Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 THPT - Năm học 2009-2010 - Sở GD & ĐT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
 Hà NỘI NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mụn thi TOÁN ( chung cho tất cả cỏc thớ sinh)
 Thời gian 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 : ( 2,5 điểm ) 
	Cho biểu thức : 
	a) Rút gọn biểu thức A . 
	b) Tính giá trị của A khi x = 
	c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất . 
Bài 2 (1.5 điểm )
	Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
Vẽ đồ thị của cỏc hàm số này trờn cựng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Tỡm tọa độ cỏc giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trờn bằng phộp tớnh
Tớnh diện tớch tam giỏc OAB
Câu 3 ( 1 điểm ) Cho hệ phương trình .
Giải hệ khi m = n = 1 .
Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm 
Bài 4 ( 1.5 điểm ) 
	Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu . 
Bài 5 (3.5 điểm )
	Cho đường trũn tõm (O) ,đường kớnh AC .Vẽ dõy BD vuụng gúc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trờn cung nhỏ CD ( E khụng trựng C và D), AE cắt BD tại H.
Chứng minh rằng tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp.
Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.
Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tớnh chu vi của hỡnh trũn (O).
Cho gúc BCD bằng α . Trờn mặt phẳng bờ BC khụng chứa điểm A , vẽ tam giỏc MBC cõn tại M .Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O).
Họ và tờn : ...........................................................................................Số bỏo danh......................................
======Hết======
Hướng dẫn: 
đỏp ỏn (Trang 1)
Bài 2 (3.0 điểm )
	Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
 Vẽ đồ thị của cỏc hàm số này trờn cựng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Lập bảng : 
x
0
- 2
x
- 2
- 1
0
1
2
y = x + 2
2
0
y = x2 
4
1
0
1
4
O
y
x
A
B
C
K
H
Tỡm toạ độ giao điểm A,B :
 Gọi tọa độ cỏc giao điểm A( x1  ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 cú đồ thị (P) và y = x + 2 cú đồ thị (d)
Viết phương trỡnh hoành độ điểm chung của (P) và (d)
 x2 = x + 2 ú x2 – x – 2 = 0
( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) cú a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0 
 	; 	
 thay x1 = -1 y1 = x2 = (-1)2 = 1 ;
 x2 = 2 y2 = 4
Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1  ; 1 ) , B( 2 ; 4 ) 
Tớnh diện tớch tam giỏc OAB
Cỏch 1 : SOAB = SCBH - SOAC =(OC.BH - OC.AK)= ... =(8 - 2)= 3đvdt
Cỏch 2 : Ctỏ đường thẳng OA và đường thẳng AB vuụng gúc 
OA ; BC = ;
AB = BC – AC = BC – OA = 
 (ΔOAC cõn do AK là đường cao đồng thời trung tuyến OA=AC)
SOAB = OA.AB = đvdt
Hoặc dựng cụng thức để tớnh AB = ;OA=...
Bài 3 (1.0 điểm ).Tỡm biểu thức x12 + x22 đạt giỏ trị nhỏ nhất.
	Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m 2 – m + 3 
 ( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + 3 ) 
Δ’ = ...= m2 - 1. ( m2 - m + 3 ) = m2 - m2 + m - 3 = m – 3 ,do pt cú hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) Δ’ ≥ 0 m ≥ 3 theo viột ta cú:
x1 + x2 = ... = 2m
x1 . x2 = ... = m2 - m + 3 
x12 + x22 = ( x1 + x2) 2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + 3 )=2(m2 + m - 3 )
 =2(m2 + 2m + - - ) =2[(m +)2 - ]=2(m +)2 - 
Do điều kiện m ≥ 3 m + ≥ 3+= 
(m +)2 ≥ 2(m +)2 ≥ 2(m +)2 - ≥ - = 18
Vậy GTNN của x12 + x22 là 18 khi m = 3
Bài 4 (4.0 điểm )
a) Chứng minh rằng tam giỏc CBD cõn và tứ giỏc CEHK nội tiếp.
* Tam giỏc CBD cõn 
AC BD tại K BK=KD=BD:2(đường kớnh vuụng gúc dõy cung) ,ΔCBD cú đường cao CK vừa là đường trung tuyến nờn ΔCBD cõn.
* Tứ giỏc CEHK nội tiếp
 ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) ; (gt)
(tổng hai gúc đối) tứ giỏc CEHK nội tiếp
A
O
B
M
C
E
D
M’
K
H
B”
D”
b) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.
Xột ΔADH và ΔAED cú : 
 ; AC BD tại K ,AC cắt cung BD tại A suy ra A là điểm chớnh giữa cung BAD , hay cung AB bằng cung AD (chắn hai cung bằng nhau) .Vậy ΔADH = ΔAED (g-g) 
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tớnh chu vi của hỡnh trũn (O).
BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm cõu a ) ; BC =20cm 
* ΔBKC vuụng tại K cú : KC = =16
* ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)
ΔABC vuụng tại B cú : BC2 =KC.AC 400 =16.AC AC = 25R= 12,5cm
C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)
d)Tớnh gúc MBC theo α để M thuộc đường trũn (O).
Giải: ΔMBC cõn tại M cú MB = MC suy ra M cỏch đều hai đầu đoạn thẳng BC M d là đường trung trực BC ,(OB=OC nờn O d ),vỡ M(O) nờn giả sử d cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC ).
* Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M và D nằm khỏc phớa BC hay AC 
do ΔBCD cõn tại C nờn 
Tứ giỏc MBDC nội tiếp thỡ 
* Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC 
ΔMBC cõn tại M cú MM’ là đường trung trực nờn MM’ là phõn giỏc gúc BMC
 sđ
(gúc nội tiếp và cung bị chắn)
sđ (gúc nội tiếp và cung bị chắn)
 + Xột suy ra tồn tại hai điểm là M thuộc cung nhỏ BC (đó tớnh ở trờn )và M’ thuộc cung lớn BC .
Tứ giỏc BDM’C nội tiếp thỡ (cựng chắn cung BC nhỏ)
 + Xột thỡ M’≡ D khụng thỏa món điều kiện đề bài nờn khụng cú M’ ( chỉ cú điểm M tmđk đề bài)
 + Xột (khi BD qua tõm O và BDAC)M’ thuộc cung khụng thỏa món điều kiện đề bài nờn khụng cú M’ (chỉ cú điểm M tmđk đề).
Sụỷ GIAÙO DUẽC VAỉ ẹAỉO TAẽO Kè THI TUYEÅN SINH LễÙP 10 NAấM HOẽC 2009-2010
 Hà Nội	MOÂN: TOAÙN
ẹEÀ CHÍNH THệÙC
	Thụứi gian laứm baứi: 120 phuựt (Khoõng keồ thụứi gian phaựt ủeà)
Bài 1 ( 2 điểm ) 
	Cho biểu thức : A = 
	1) Rút gọn biểu thức A . 
	2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a . 
Baứi 2: (2.0 ủieồm)
	Cho Parabol (P) : y= x2 vaứ ủửụứng thaỳng (d): y=mx-2 (m laứ tham soỏ m 0)
	a/ Veừ ủoà thũ (P) treõn maởt phaỳng toaù ủoọ Oxy.
	b/ Khi m = 3, haừy tỡm toaù ủoọ giao ủieồm (p) ( d)
	c/ Goùi A(xA;yA), B(xB;yB) laứ hai giao ủieồm phaõn bieọt cuỷa (P) vaứ ( d). 
 Tỡm caực giá trũ cuỷa m sao cho : 	yA + yB = 2(xA + xB )-1.
Baứi 3: (1.5 ủieồm)
Cho moọt maỷnh ủaỏt hỡnh chửừ nhaọt coự chiều dài hụn chieàu roọng 6 m vaứ bỡnh phửụng ủoọ daứi ủửụứng cheựo gaỏp 5 laàn chu vi. Xaực ủũnh chieàu daứi vaứ roọng cuỷa maỷnh ủaỏt hỡnh chửừ nhaọt.
Baứi 4: ( 3.5 ủieồm).
Cho ủửụứng troứn(O; R) tửứ moọt ủieồm M ngoaứi ủửụứng troứn (O; R). veừ hai tieỏp tuyeỏn A, B. laỏy C baỏt kỡ treõn cung nhoỷ AB. Goùi D, E, F laàn lửụùt laứ hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa C teõn AB, AM, BM.
	a/ cm AECD Noọi tieỏp moọt ủửụứng troứn .
	b/ cm: 
	c/ cm : Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa AC vaứ ED, K laứ giao ủieồm cuỷa CB , DF. 
 Cm IK// AB.
d/ Xaực ủũnh vũ trớ c treõn cung nhoỷ AB deồ (AC2 + CB2 )nhoỷ nhaỏt. tớnh giaự trũ nhoỷ nhaỏt ủoự khi OM =2R
Câu 5: (1,0 điểm)
 1. Cho số x thoả mãn điều kiện: x2 + = 7
 Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + và B = x5 + 
---Hết---
Đỏp ỏn cõu 5(Trang 5)
Từ giả thiết suy ra: (x +)2 = 9 ị x + = 3 (do x > 0)
ị 21 = (x +)(x2 + ) = (x3 +) + (x +) ị A = x3 +=18
ị 7.18 = (x2 + )(x3 +) = (x5 +) + (x +)
ị B = x5+= 7.18 - 3 = 123
 Đỏp ỏn cõu 4c,d: Đề thi 2009 – 2010 :
4c)Chứng minh rằng : IK//AB 
Gợi ý: Chứng minh tổng số đo hai gúc ICK và IDK bằng 1800 .
4d)Xỏc định vị trớ điểm C trờn cung nhỏ AB để CA2 + CB2 đạt GTNN. 
Gợi ý : Xõy dựng cụng thức đường trung tuyến của tam giỏc.
Gọi N là trung điểm của AB.
Ta cú: 
AC2 + CB2 = 2CD2 + AD2 + DB2 =2(CN2 – ND2) + (AN+ND)2 + (AN – ND)2
 = 2CN2 – 2ND2 + AN2 + 2AN.ND + ND2 + AN2 – 2AN.ND + ND2.
 = 2CN2 + 2AN2
 = 2CN2 + AB2/2
AB2/2 ko đổi nờn CA2 + CB2 đạt GTNN khi CN đạt GTNN ú C là giao điểm của ON và cung nhỏ AB.
=> C là điểm chớnh giữa của cung nhỏ AB.
Khi OM = 2R thỡ OC = R hay C là trung điểm của OM => CB = CA = MO/2 = R
Do đú: Min (CA2 + CB2 ) = 2R2 .
SễÛ GIAÙO DUẽC ẹAỉO TAẽO KYỉ THI TUYEÅN SINH VAỉO LễÙP 10 THPT
 Hà Nội NAấM HOẽC 2009 - 2010
 ẹeà chớnh thửực
Moõn thi: Toaựn
Thụứi gian laứm baứi: 120 phuựt (khoõng keồ thụứi gian giao ủeà)
Baứi 1: (2,0 ủieồm)
 1.Cho 
	a) Tỡm tập xỏc định của M.
	b) Rỳt gọn biểu thức M.
	c) Tớnh giỏ trị của M tại .
Baứi 2: (2,0 ủieồm)
Cho haứm soỏ y = ax + b. tỡm a, b bieỏt ủoà thũ haứm soỏ đó cho ủi qua hai ủieồm A(-2; 5) vaứ B(1; -4).
Cho haứm soỏ y = (2m – 1)x + m + 2
Tỡm ủieàu kieọn cuỷa m ủeồ haứm soỏ luoõn nghũch bieỏn.
Tỡm giaự trũ m ủeồ ủoà thũ haứm soỏ caột truùc hoaứnh taùi ủieồm coự hoaứnh ủoọ baống 
Baứi 3: (2,0 ủieồm)
	Moọt ngửụứi ủi xe maựy khụỷi haứnh tửứ Hoaứi AÂn ủi Quy Nhụn. Sau ủoự 75 phuựt, treõn cuứng tuyeỏn ủửụứng ủoự moọt oõtoõ khụỷi haứnh tửứ Quy Nhụn ủi Hoaứi AÂn vụựi vaọn toỏc lụựn hụn vaọn toỏc cuỷa xe maựy laứ 20 km/giụứ. Hai xe gaởp nhau taùi Phuứ Caựt. Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe, giaỷ thieỏt raống Quy Nhụn caựch Hoaứi AÂn 100 km vaứ Quy Nhụn caựch Phuứ Caựt 30 km.
Baứi 4: (3,0 ủieồm)
	Cho tam giaực vuoõng ABC noọi tieỏp trong ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB. Keựo daứi AC (veà phớa C) ủoaùn CD sao cho CD = AC.
Chửựng minh tam giaực ABD caõn.
ẹửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi AC taùi A caột ủửụứng troứn (O) taùi E. Keựo daứi AE (veà phớa E) ủoaùn EF sao cho EF = AE. Chửựng minh raống ba ủieồm D, B, F cuứng naốm treõn moọt ủửụứng thaỳng.
Chửựng minh raống ủửụứng troứn ủi qua ba ủieồm A, D, F tieỏp xuực vụựi ủửụứng troứn (O).
Baứi 5: (1,0 ủieồm) 
Vụựi moói soỏ k nguyeõn dửụng, ủaởt Sk = ( + 1)k + ( - 1)k
Chửựng minh raống: Sm+n + Sm- n = Sm .Sn vụựi moùi m, n laứ soỏ nguyeõn dửụng vaứ m > n.
ĐÁP ÁN (Trang 7)
Bài 2: (2,0 điểm)
1.Ta cú a, b là nghiệm của hệ phương trỡnh 
 Vậy a = - 3 vaứ b = - 1
 2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
 Để hàm số nghịch biến thỡ 2m – 1 < 0 m < .
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng . Hay ủoà thũ haứm soỏ ủi qua ủieồm coự toaù ủoõù (;0). Ta phải cú pt
0 = (2m – 1).(- ) + m + 2 m = 8
Bài 3: (2,0 điểm)
	Quóng đường từ Hoài Ân đi Phự Cỏt dài : 100 - 30 = 70 (km)
	Gọi x (km/h) là vận tốc xe mỏy .ĐK : x > 0.
	Vận tốc ụ tụ là x + 20 (km/h)
 	Thời gian xe mỏy đi đến Phự Cỏt : (h) 
 	Thời gian ụ tụ đi đến Phự Cỏt : (h) 
 	Vỡ xe mỏy đi trước ụ tụ 75 phỳt = (h) nờn ta cú phương trỡnh : 
 - = 
 Giải phương trỡnh trờn ta được x1 = - 60 (loại) ; x2 = 40 (nhaọn).
Vậy vận tốc xe mỏy là 40(km/h), vận tốc của ụ tụ là 40 + 20 = 60(km/h)
Bài 4 : 	a) Chứng minh ABD cõn 
 Xột ABD cú BCDA (Do = 900 : Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn (O) ) 	
Mặt khỏc : CA = CD (gt) .BC vừa là đường cao vừa là trung tuyến nờn ABD cõn tại B
b)Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cựng nằm trờn một đường thẳng.
Vỡ = 900, nờn CE là đường kớnh của (O), hay C, O, E thẳng hàng.
Ta cú CO là đường trung bỡnh của tam giỏc ABD
Suy ra BD // CO hay BD // CE	(1)
Tương tự CE là đường trung bỡnh cuỷa tam giaực ADF
Suy ra DF // CE	(2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra D, B, F cuứng naốm treõn moọt ủửụứng thaỳng
c)Chứng minh rằng đường trũn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xỳc 
với đường trũn (O).
Ta chửựng minh ủửụùc BA = BD = BF 
Do đú đường trũn qua ba điểm A,D,F nhận B làm tõm và AB làm bỏn kớnh .
Vỡ OB = AB - OA > 0 Nờn đường trũn đi qua
 ba điểm A, D, F tiếp xỳc trong với đường trũn (O) tại A 
Bài 5: (1,0 điểm) 
Với mọi m, n là số nguyờn dương và m > n.
Vỡ Sk = ( + 1)k + ( - 1)k
Ta coự: Sm+n = ( + 1)m + n + ( - 1)m + n
	 Sm- n = ( + 1)m - n + ( - 1)m - n
Suy ra Sm+n + Sm- n = ( + 1)m + n + ( - 1)m + n + ( + 1)m - n + ( - 1)m – n	(1)
Maởt khaực Sm.Sn = 
= ( + 1)m+n + ( - 1)m+n + ( + 1)m. ( - 1)n + ( - 1)m. ( + 1)n	(2)
Maứ ( + 1)m - n + ( - 1)m - n
= + = 
= 
= 	(3)
Tửứ (1), (2) vaứ (3) Vậy Sm+n + Sm- n = Sm .Sn với mọi m, n là số nguyờn dương và m > n.
SễÛ GIAÙO DUẽC ẹAỉO TAẽO KYỉ THI TUYEÅN SINH VAỉO LễÙP 10 THPT
 Hà Nội NAấM HOẽC 2009 - 2010
 ẹeà chớnh thửực
Moõn thi: Toaựn
Thụứi gian laứm baứi: 120 phuựt (khoõng keồ thụứi gian giao ủeà)
Bài 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức:
	N=; với n 0, n 1.
Rút gọn biểu thức N.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để biểu thức N nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (1,5 điểm):
	Cho ba đường thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 và (d3): nx - y = n - 1;
n là tham số.
	a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai đường thẳng (d1) và (d2).
	b) Tìm n để đường thẳng (d3) đi qua N.
Câu 2 ( 2 điểm ) . 
	Cho hệ phương trình : 
a)Giải hệ phương trình với m = 1 
b)Với giỏ trị nào của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x2 + y2 = 1 .Bài 4 (1,5 điểm)
	Tìm hai số có tổng bằng 30 và tổng các bình phương của chúng bằng 468. 
Bài 5 (3,5 điểm): Cho tam giác PQR vuông cân tại P. Trong góc PQR kẻ tia Qx bất kỳ cắt PR tại D (D không trùng với P và D không trùng với R). Qua R kẻ đường thẳng vuông góc với Qx tại E. Gọi F là giao điểm của PQ và RE.
Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp được trong một đường tròn.
Chứng minh tia EP là tia phân giác của góc DEF
Tính số đo góc QFD.
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng QE. Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên cung tròn cố định khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR
 Đáp án bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT(Trang10)
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán
Bài 5:
Q
P
R
D
E
F
x
M
I
N
Ta có: QPR = 900 ( vì tam giác PQR vuông cân ở P)
 QER = 900 ( RE Qx)
 Tứ giác QPER có hai đỉnh P và E nhìn đoạn thẳng QR dưới một góc không đổi (900) Tứ giác QPER nội tiếp đường tròn đường kính QR.
Tứ giác QPER nội tiếp PQR +PER = 1800
 mà PER + PEF = 1800 (Hai góc kề bù)
 PQR = PEF PEF = PRQ (1)
 Mặt khác ta có: PEQ = PRQ (2) .
 Từ (1) và (2) ta có PEF = PEQ EP là tia phân giác của gócDEF
Vì RPQF và QERF nên D là trực tâm của tam giác QRF suy ra 
FDQR QFD = PQR (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
mà PQR = 450 (tam giác PQR vuông cân ở P) QFD = 450
Gọi I là trung điểm của QR và N là trung điểm của PQ. (I,N cố định)
 Ta có: MI là đường trung bình của tam giác QRE MI//ER mà ERQE 
 MI QE QMI = 900 M thuộc đường tròn đường kính QI.
Khi QxQR thì MI, khi QxQP thì MN.
 Vậy: khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR thì M luôn nằm trên cung NI của đường tròn đường kính QI cố định.
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO 10 THPT (2008-2009)
Thời gian 120 phỳt – ĐỀ 5
Bài 1 ( 2 điểm )
Cho biểu thức . Với và 
1) Rỳt gọn biểu thức Q
2) Tỡm giỏ trị của x để 
Bài 2 ( 2,5 điểm )
Cho hệ phương trỡnh: 
1) Giải hệ với m=-2
2) Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ cú nghiệm duy nhất (x; y) thỏa món 
Bài 3 ( 1,5 điểm )
Trong hệ tọa độ ) Oxy, cho đường thẳng (d): y = x +2 và Parabol (P): 
1) Xỏc định tọa độ hai giao điểm A và B của (d) với (P)
2) Cho điểm M thuộc (P) cú hoành độ là m với (). CMR: 
Bài 4( 3,5 điểm )
Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AB = 2R. Gọi I là trung điểm của AO. Qua I kẻ dõy CD vuụng gúc với AB.
1) Chứng minh: tứ giỏc ACOD là hỡnh thoi và 
2) Chứng minh rằng O là trực tõm của tam giỏc BCD
3) Xỏc định vị trớ điểm M trờn cung nhỏ BC để tổng (MB + MC + MD) đạt giỏ trị lớn nhất.
Bài 5 ( 0,5 điểm )
Giải bất phương trỡnh: