Đề thi học sinh giỏi vòng Huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2006-2007

UBND HUYỆN CẦU KÈ
PHÒNG GIÁO DỤC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC : 2006 - 2007
	 MÔN : TOÁN . LỚP 9
 (Thời gian làm bài 150 phút )
Bài 1: (4 điểm)
Cho ba số x , y , z tùy ý. Chứng minh rằng : x+y+z+1 2x(xy- x + z + 1)
Cho a, b , c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :
 abc (a+b – c).(b + c – a).(c +a – b)
Bài 2: (4 điểm)
 1) Giải phương trình: = 2 + 
 2) Giải hệ phương trình:
Bài 3: (4 điểm)
Tính giá trị biểu thức: A = + với a = và b = 
Cho biểu thức: P = : với x > 0 và x 1
Rút gọn P .
	 b) Tìm giá trị của x để P = 3
Bài 4: (4 điểm)
 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kỳ . Giao điểm của AC với đường thẳng PM làQ. Chứng minh rằng = 
Bài 5 : (4 điểm)
 Cho đường tròn (o) đường kính AB =2R và C là một điểm thuộc đường tròn (CA;CB). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C , kẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn (o). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q. Tia AM cắt BC tại N.
 1) Chứng minh các tam giác BAN và MCN là tam giác cân.
 2) Khi MB = MQ . Chứng minh tồn tại biểu thức : BC+2R.BC – 4R = 0
HẾT.
UBND HUYỆN CẦU KÈ
PHÒNG GIÁO DỤC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN. 
 NĂM HỌC 2006 – 2007
TÓAN: TOÁN - LỚP 9
BÀI
NỘI DUNG
ĐIỂM
Bài 1
 (4 đ)
1) x+ y+ z+1 2x(xy- x + z +1) (1)
x+ y+z+1- 2xy+ 2x-2xz- 2x 0
(x+ y- 2xy) + (x- 2x +1) + (x- 2xz + z) 0
(x- y)+ (x – 1)+ (x – z) 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng 
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh
2) abc (a+ b- c).(b+c-a).(c+a-b)
Ta có : a + b – c > 0
 b + c – a > 0
 c + a – b > 0
Aùp dụng bất đẳng thức Cô Si cho a + b – c và b + c – a
 a + b – c +b +c – a 2
	2b 2
	b (1)
Tương tự :
 a (2) 
 c (3)
Nhân từng vế (1); (2) ; (3) . Ta có:
abc 
abc 
abc (a+ b – c)(b+c-a)(c+a-b)
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 2
(4đ)
1) Giải phương trình : = 2 + (1)
ĐK : x 3
Từ (1) . Ta có x = 4
	x = 16(x - 3)
	x - 16x + 48 = 0
(x –4)(x –12) = 0
 thỏa ĐK : x 3
Vậy nghiệm của phương tình là : x1 = 4 ; x2 = 12
2) Giải hê phương trình :
 (2)
Lấy (2) trừ (1) Ta có y + 3z = 7
Lấy (3) trừ (2) Ta có y + 5z = 19
Ta có hệ 
Suy ra z =-6 ; y= -11 
Thế z =6 ; y= -11vào phương trình (1)
Suy ra x =6
Vậy nghiệm của hệ là 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 3
(4 đ)
1) Ta có : a = = =2 - 
 b = = = 2 + 
Do đó : A = + = + 
 = + = = 1
2) a) Rút gọn P
P = : (1)
Ta có : A = = - 
 = - 
 =
 B = = = 
Từ (1) suy ra P = A: B
 = : = . = 
 b) Khi P = 3 . Suy ra 
 = 3
	3x + - 2 =0
	x + - = 0
 = 0
 =0
x =1 (Loại vì x 1) x = (Thỏa ĐK)
Vậy x = 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 4
(4 điểm)
Gọi I là giao điểm của MN và AC .Ta AMCN là hình bình hành (AM =NC và AM//NC) . Nên I là trung điểm của MN và AC.
 Qua I kẽ đường vuông góc với MN cắt QN tại H.
Ta có : IH// NC suy ra 
 IM// CP suy ra 
Dođó 
Suy ra HM// NP . Do đó (1)
 Mặt khác : MHN có đường cao IH cũng là đường trung tuyến nên cân tại H
 Do đó : (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 
 Hay 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5
(4đ)
1) Kẻ BM . DoAB là đường kính của (o) nên 
Suy ra BM AN nên BM là đường cao của BAN
Mà nên BM là đường phân giác của BAN
Do đóBAN cân tại B
Suy ra (1)
Mặt khác : AC BQ . Ta có (cùng chắn cung AM)
Mà 
Suy ra 
Ta lại có .Nên suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Nên MCN cân tại M .
2) Khi MB =MQ thì BMQ cân tại M . Do đó (1)
Xét MNQ và MCB có :
MB = MQ ( GT )
MN = MC (CMN cân )
Nhưng 
Do đó (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đó MNQ =MCB (c.g.c) . Suy ra QN =BC
Mặt khác AB = BC. BQ 
 =BC.( BN + NQ)
 =BC.(AB + BC) (Vì BN=AB ; NQ = BC)
Suy ra BC.( BC + 2R) =4R
Hay BC+ 2R.BC – 4R = 0
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
Ghi chú:
Học sinh có thểlàm cách khác nếuđúng vẫn được hưởng tròn điểm từng câu, từng bài.
Hình vẽ bài 4
Hình vẽ bài 5