Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (vòng 1) - Năm học 2007-2008

Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 ( vòng 1)
Năm học 2007 - 2008
Thời gian 120 phút
	I. Trắc nghiệm : Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu sau:
	1. Khi rút gọn biểu thức ta có kết quả là:
a. + 	b. + 1	c. - 	d. Một kết quả khác
	2. Giá trị bé nhất của biểu thức:
	A = + + là:
a. 0	b. 2	c. 3	d. Một kết quả khác
	3. Tập nghiệm của phương trình: 
	19 + 5 + 91 = 3 là 
a. {1;2}	b. {1;2;3}	c. {2;3}	d. {1}
	4. Để hàm số 
Y = (m- 3m)x3 + ( m-3)x2 + x + 7 là hàm bậc nhất thì giá trị của m phải là:
a. m = 0	b. m = o và m = 3	c. m = 3	d. với mọi m thuộc R
	5. Điểm cố định mà đường thẳng Y = mx - - 1 luôn luôn đi qua khi m thay đổi có toạ độ là:
a. ()	b. ( -1; 2)	c. ()	d. ( 1; 1)
	6. Cho ABC vuông tại A có AB = 2AC, AH là đường cao. Tỷ số HB:HC là:
a. 2	b. 4	c. 3	d. 9
	7. Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 16; AB = 12. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở D và E. Độ dài DE là :
a. 28	b. 32	c. 34	d. 30
	8. Cho góc thoả mãn 00 < < 900 ta có các kết luận sau:
a. sin cotg	c. sin<tg	d. Chưa thể kết luận được
	9. Cho đường tròn có bán kính 12. Độ dài dây cung vuông góc với một bán kính tại trung điểm của bán kính ấy là:
a. 3	b. 27	c. 6	d. 12
	10. Cho ABC cân tại A; đường cao AH = 2; BC = 8. Độ dài đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
a. 6	b. 8	c. 10	d. 12
	II Phần tự luận
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
	a. 	A = - 
	b. 	B = ( với x2)
Câu 2: Chứng minh rằng nếu a> b> 0 thì:	2a3 - 12ab + 12b2 + 1 0
Câu 3: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC.
	a. Chứng minh ABD cân
	b. Biết BC = 25 cm; DK = 6cm. Tính độ dài AB.
	ĐÁP ÁN
	I. Trắc nghiệm ( Mỗi ý đúng cho 0,4 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đáp án
a
c
d
c
a
b
d
c
d
C
	II. Tự luận
Câu 1: ( 2 điểm)
a. Ta có: ( 0,25 điểm); 	( 0,25 điểm)
	A = 	( 0,25 điểm);	A = = 0	( 0,25 điểm)
b. B2 = x - 	( 0,5điểm)
 B2 = x + x + 2	(0,25 điểm)
 B = 	( 0,25 điểm)
Câu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
	2a3 - 12b ( a-b) + 1 0 	( 0,25 điểm)
	- Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:
	a2 4b( a- b) 	(2)
	 ( a - 2b)2 0; (đúng) Þ (2) đúng (0.25đ)
từ (2) Þ 3a2 12b(a-b) 	(3)	(0.25đ)
Muốn chứng minh (1) đúng ta chứng minh
2a3 - 3a2 + 1 0 	(4)	(0.25đ)
 2a3 – 2a2 – a2 + 1 0
 2a2(a - 1) – (a - 1)(a + 1) 0
 (a - 1)(2a2 – a - 1) 0
(a - 1)(a2 – a + a2 - 1) 0
 (a - 1)2 (2a + 1) 0 đúng (vì a > 0) Þ (4) đúng	(0.25đ)
Vì 3a2 12b (a-b) theo (3)
Þ 2a3 – 12b (a-b) + 1 2a3 – 3a2 + 1 0 (theo (4))	(0.25đ)
Câu 3: (2,5đ)
Vẽ hình đúng (0.25đ)
a) (1đ)
+ Vỡ D AHD = D AKD (Cạnh huyền và gúc nhọn bằng nhau)	(0.25đ)
+ Suy ra (cặp góc tương ứng)	(0.25đ)
+ (so le trong)	(0.25đ)
+ Suy ra D ABD cân tại B	(0.25đ)
b) (1.25đ)
+ Gọi cạnh AB là y BD = y (theo (1))	(0.25đ)
+ Ta có:
AB2 = y2 = BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK)	(0.25đ)
Hay: y2 = 25y – 150	(0.25đ)
 y2 = 25y + 150 = 0
 (y – 10) (y – 15) = 0	(0.25đ)
 AB = 10cm hoặc 15cm	(0.25đ)
(Học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)