Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2003-2004

Đề thi HSG 9 năm 2003 – 2004 tỉnh Phú Thọ
Bài 1 : ( 2đ) a) CMR nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì ( p –1) ( p + 1) chia hết cho 24 .
 b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xy – 2x – 3y + 1 = 0 .
Bài 2 : ( 2đ) Cho các số a , b , c khác 0 và đôi một khác nhau , thoả mãn điềui kiện a3+ b3 + c3 = 3abc . Tính : .
Bài 3: ( 2đ ) a) Tìm a để phương trình 3 + 2ax = 3a – 1 có nghiệm duy nhất .
 b) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn điều kiện 1 với mọi x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 4 : ( 1,5 đ) Cho xOy và hai điểm A , B lần lượt nằm trên tia Ox ; Oy thoả mãn OA – OB = m ( m là độ dài cho trước ) CMR đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định 
Bài 5 : (2,5 đ) Cho tam giác nhọn ABC gọi ha , hb , hc lần lượt là đường cao và ma , mb ,mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC , CA , AB ; R và r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC . CMR .
Đề thi HSG 9 năm 2003 – 2004 tỉnh Phú Thọ
Bài 1 : ( 2đ) a) CMR nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì ( p –1) ( p + 1) chia hết cho 24 .
 b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xy – 2x – 3y + 1 = 0 .
Bài 2 : ( 2đ) Cho các số a , b , c khác 0 và đôi một khác nhau , thoả mãn điềui kiện a3+ b3 + c3 = 3abc . Tính : .
Bài 3: ( 2đ ) a) Tìm a để phương trình 3 + 2ax = 3a – 1 có nghiệm duy nhất .
 b) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn điều kiện 1 với mọi x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 4 : ( 1,5 đ) Cho xOy và hai điểm A , B lần lượt nằm trên tia Ox ; Oy thoả mãn OA – OB = m ( m là độ dài cho trước ) CMR đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định 
Bài 5 : (2,5 đ) Cho tam giác nhọn ABC gọi ha , hb , hc lần lượt là đường cao và ma , mb ,mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC , CA , AB ; R và r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC . CMR .
Đáp án : 
Bài 1 : a) vì p là nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 3 . Do đó :
p = 2k + 1 ( k , k > 1 ) suy ra A = ( p – 1) ( p + 1 ) = 2k ( 2k + 2 ) = 4k ( k+ 1) A 8 
p = 3h 1 ( h , h > 1 ) suy ra A 3 vậy A = ( p – 1) ( p + 1 ) 24 . 
b) Ta có xy – 2x – 3y + 1 = 0 y ( x – 3 ) = 2x – 1 . ( *) 
Vì x = 3 không là nghiệm của phương trình đã cho nên ( * ) 
Vì y là nguyên tố nên 5 ( x – 3 ) , suy ra x – 3 nhận các giá trị 1 ; 5 . Từ đó ta xác định được hai nghiệm nguyên dương ( x ; y ) của phương trình đã cho là ( 4 ; 7 ) và ( 8 ; 3 ) .
Bài 2 : Ta có a3+ b3 + c3 = 3abc ( a + b + c ) ( ( a – b )2 + ( b – c ) 2 + ( c – a )2 ) = 0 
 a + b + c = 0 ( do a , b ,c đôi một khác nhau ) 
Suy ra : 
 = 
 = 
Mặt khác : 
 = 
 = 
Vậy = 9 .
Bài 3 : a) 3 + 2ax = 3a – 1 ( 1) 
Nếu x 0 thì (1) 3x + 2ax = 3a – 1 x (3 + 2a ) = 3a – 1 .(2) 
Với a = ta có phương trình (2) vô nghiệm 
Với a nghiệm của (2) là x1 = và x1 sẽ là nghiệm của (1) nếu 0 .
Nếu x 0 thì (1) -3x + 2ax = 3a – 1 x ( 2a – 3 ) = 3a – 1 ( 3 ) 
Với ta có ( 3 ) vô nghiệm 
Với a nghiệm của (3) là x2 = , x2 là nghiệm của phương trình (1) nếu 0 
Vậy : ( 1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hoặc 
 x1 x2 0 a = hoặc a > hoặc a < - . 
b) Từ điều kiện 1 , với mọi x ta có : 
 . Mặt khác 4a2 + 3b2 = 2(a+ b)2 +2(a-b)2 2(a+b)2 +2(a-b)2 16 .
Vậy 4a2 + 3b2 đạt giá trị lớn nhất bằng 16 , khi và chỉ khi ( a ; b ; c ) nhận giá trị là ( 2 ; 0 ; -1 ) hoặc ( -2 ; 0 ; 1 ) .
Bài 4 : lấy điểm C thuộc đoạn OA sao cho OC = m ( C cố định ) 
Vẽ đường tròn ngoại tiếp ABO và trung trực của AB , cắt nhau tại M . 
Đường thẳng qua trọng tâm G của ABO vuông với AB cắt OM tại N . 
Ta có MAC = MBO ( c.g.c) suy ra MO = MC 
OMB = CMA OMC = BMA = AOB = không đổi M cố định ( là giao điểm của đường trung trực OC và cung OC chứa góc ) 
Gọi I là trung điểm của AB . Xét OMI , N thuộc OM và G thuộc OI . Vì G là trọng tâm của ABO nên . NG // MI ( vì cùng vuông góc với AB ) suy ra N cố định . Vậy đường thẳng qua trọng tâm G của ABO vuông góc với AB đi qua điểm N cố định ( đpcm ) 
Bài 5 : Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và A1 , B1 , C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CA , AB . Ta có AA1 = ma R + OA1 ( đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi AB = AC ) 
 BB1 = mb R + OB1 ( đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi AB = AC )
 CC1 = mc R + OC1 ( đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi AB = AC )
Suy ra :