Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Trường THCS Nhân Đạo

 Phòng gd&đt sông lô
 Trường thcs nhân đạo
đề thi học sinh giỏi
môn toán 8
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) 
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
Bài 2: (2điểm) 
Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm)
Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức .
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Hết
ĐÀP ÁN
Điểm
1.
Câu
2,0
1.1
(0,75 điểm)
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
0,25
0,25
0,25
2.
2,0
2.1
 (1)
+ Nếu : (1) (thỏa mãn điều kiện ).
+ Nếu : (1) 
 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là .
0,5
0,5
2.2
 (2)
Điều kiện để phương trình có nghiệm: 
 (2)
 và .
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm 
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1
Gọi số cần tìm là (a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết: là số nguyên, nên và là các số chính phương, do đó: chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
Ta có: 
 (vì )
Do đó phải là số chẵn: , nên 
Nếu (thỏa điều kiện bài toán)
Nếu (thỏa điều kiện bài toán)
Nếu (thỏa điều kiện bài toán)
0,5
0,5
3.2
Ta có: 
Đặt , biểu thức P(x) được viết lại:
Do đó khi chia cho t ta có số dư là 1993
0,5
0,5
4
4,0
4.1
+ Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
1,0
0,5
4.2
Ta có: (do )
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra: 
0,5
0,5
0,5
4.3
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: , mà 
0,5
Do đó: 
0,5