Đề ôn tập hay cho học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Phạm Huy Hoạt

Đề toán hay cho HSG lớp 6
I.- Giới thiệu:
Bước vào đầu năm, để ôn lại kiến thức số học ( phân số) và củng cố kiến thức bài lũy thừa, giới thiệu hai bài toán hay (kèm theo đáp án) góp phần rèn luyên HSG lớp 6
II.- Bài mẫu:
Đề1: cho A = 1+1/2+1/3+1/4+...+1/15.
 B = 9876/9873+9873/9874+9874/9875+9875/9876 
a./ Chứng minh A < 4 
b./ So sánh A và B ?
Giải 1:
Cách 1 (cho HS tiểu học)
*Phần a./ Có A= 1+  1/2 +  1/3+1/4+ ... +1/15.
  = 1 + 1/2  + ( 1/3 +1/4 + 1/5) + ( 1/6+ 1/7+...+1/11) +  ( 1/12 +1/13 +1/14 +1/15)
  ---3 số hạng-----     -------6 số hạng------      ---------4 số hạng------------
  < 1 + 1/2  + (1/3 +1/3 +1/3)  + (1/6 +1/6+...+1/6) + ( 1/12 +1/12+ 1/12+ 1/12)  =
  ---3 số hạng-----     -------6 số hạng------      ---------4 số hạng------------
       = 1+ 1/2 +3/3 +6/6+4/12 = 1+ 1+1 +1/2+1/3 = 3+5/6 < 3 + 6/6 [*]
 Vậy A < 4  ( đpcm)
*Phần b./ So sánh A và B.
  A 3,83..)
 B = 9876/9873+9873/9874+9874/9875+9875/9876  
    > 9873/9873  + 9873/9874  + 9873/9875   +9873/9876 
       = 9873*(  1/9873  + 1/9874  + 1/9875   + 1/9876  )
       > 9873*( 1/9876  +1/9876  +1/9876   +1/9876)
       =  9873*(4/9876) = 9873 * ( 1/2469)  = 9873/2469 = 3,9987..... [**]
Phần a [*] đã có A = 3+5/6 = 3,8333..
 So sánh [*] với [**] ta kết luận B>A ( đpcm)
Cách 2 : (cho HS đã học Đẳng thức Cô-si )
Biết rằng theo BĐT Cô-si với 4 số hang của B >0 nên
B=9876/9873+9873/9874+9874/9875+9875/9876 ≥ 4 
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 9876/9873 = 9873/9874 = 9874/9875 = 9875/9876 
 ( Điều này hiển nhiên vô lý )
suy ra dấu " = " không thể xảy ra ! VẬY : B > 4 
 mà : A A < B ( đpcm)
Đề 2: Cho S = 5 + 52 + 53 + + 52009 + 52010
	 a, Tính S
	 b, Chứng minh S chia hết cho 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10
Giải 2
a/. Ta có 5S = 52 + 53 +54 +52010 + 52011
Þ 5S –S = (52 + 53 +54 ++52011) – (5 + 52 + 53 + + 52010)
Þ 4S = 52011 – 5 
 Vậy S = (52010 – 1 ) . 5/4 (ĐA) 
b/. S = (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) +.. + (52006 + 52009) + (52007 + 52010)
Biến đổi được S =.(1+ 53 ).(5 + 52 + 53 ++52006 + 52007)
Vì 1+ 53 = 126 mà 126 = 2. 32 .7 [***] ; và
(5 + 52 + 53 ++52006 + 52007) = 5. ( 1 + 5 + 52 + 53 ++52006 ) [****] 
 Từ [***] và [****] Þ S = 2. 32 .7.5. ( 1 + 5 + 52 + 53 ++52006 ) 
 Vậy Þ S 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10 ( đpcm)
III .- Bài thực hành
Từ kết quả đề 2- phần a/ - hãy tìm công thức tổng quát cho mọi trường hợp có số mũ = 2n
 S = 5 + 52 + 53 + + 5(2n - 1 ) + 52n = ?
Áp dụng 2 cách tính ( 1 cách tương tự đề 2 & 1 cách dùng công thức cấp số nhân)