Đề đề xuất thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Mỹ Tho

PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ THỌ
ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 
	A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Bài 2: ( 2,5 điểm)
 	Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
Bài 3: ( 3,0 điểm)
 	Cho a, b > 0 và a + b = 1.
 Chứng minh rằng : 
Bài 4: ( 3,0 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 5: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC.
	Chứng minh: PQ // IK.
Bài 6: ( 4,0 điểm)
	Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z .
	Tính 
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN - MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2011-2012
Bài 1
(3,5đ)
Với n = 0 ta có A(0) = 19 19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 
	 = 7.52k.52 + 12.6n. 6 
	 = 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
	 = 6.A(k) + 7.52k .19 19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n
0,5
0,75
0,75
1,0
0,5
Bài 2
(2,5đ)
1
Ta có:	
	 	Vậy: n = 452 – 24 = 2001 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(3,0đ)
Nhận xét rằng với mọi x,y ta có:
 Đặt ta được :
 Vì 
 Do đó : 
0,5
0,5
0,75
0,5
0,75
Bài 4
(3,0đ)
Ta có
Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0. 
Ta có 
Áp dụng BĐT: vôùi a > 0; b > 0. 
Ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 . Dấu “=” xảy ra khi x = y =
0,5
1,0
1,0
0,5
Bài 5
(4,0đ)
- Vẽ hình đúng
- Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh được:
 IK // BC, EI // AB, EK // AC 
- Áp dụng định lý Ta-lét vào các tam giác DPA, DAQ. Suy ra:
- Áp dụng định lý Ta-lét đảo vào tam giác DPQ, suy ra:
	PQ // IK 
0,5
1,5
1,5
0,5
Bài 6
(4,0đ)
A
B
C
ha
x
Vẽ hình đúng
Xét hai tam giác ABC và OBC ta có :
SABC = (1)
SOBC = (2)
Từ (1)và (2) ta suy ra : 
Tương tự ta có : 
Từ đó tính được : =1
0,5 
0,5 
1,0 
0,5
0,5
1,0