Đề cương ôn tập Hình học Lớp 11 - Học kỳ II

1 
Đề cương ôn tập hk2 hình học 11 
 Kiến thức cơ bản 
1/Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau 
2/Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau 
4/ Tính được các góc, các khoảng cách. 
 Bài tập ôn tập 
I . Hai đường thẳng vuông góc 
Phương pháp chứng minh: 
C1: Nếu d vuông góc với mp )( thì d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mp )( : 
 ad
a
d






)(
)(


. 
C2: Dùng hệ quả : a//b, d bda  . 
C3: Dùng hệ quả: ad
d
a




 )(
)(//


 . 
C4: 090),(  bagócba . 
 0.  vuba với vu , lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b. 
C5: Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng. 
Bài tập 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD . M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB=16a, CD=12a, MN=10a. Chứng 
minh rằng ABCD. 
HD: Gọi P là trung điểm của AC, góc giữa AB và CD bằng góc MPN. 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có AB=AC, góc SAC=góc SAB. M là trung điểm của BC. Cmr: 
 a) AM BC và SM BC. b) SABC. 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD và góc A = 090 . Biết AD=2BC=2AB. 
a) Cmr ACCD 
b) Với E là trung điểm của AD. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBE) và (SCD). 
c) Biết rằng góc SCD= 090 . Xác định góc giữa 2 đường thẳng SA và BE. 
II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
Phương pháp chứng minh: 
C1: Đường thẳng d vuông góc với mp )( khi d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp )( . 
 )(
)( ,











d
ba
bd
ad
. 
C2: )(
)(
//







a
b
ba
. 
C3: Cho hai mp vuông góc, nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc 
với mặt phẳng kia. 
 ).(
),(
)()(
)()(













a
aa
C4: Nếu hai mp cùng vuông góc với mp thứ ba thì giao tuyến của hai mp này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba 
đó. 
Bài tập 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B. 
a) Cmr: BC  SB. 
cắt nhau 
2 
b) Từ A lần lượt kẻ hai đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. Cmr AH (SBC) và SC (AHK) 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA=SC và SB=SD.Chứng minh: 
a) SO (ABCD) b) AC SD. 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có ABCD, AC BD. Gọi H là trực tâm BCD. Chứng minh rằng 
a) AH (BCD) b) ADBC. 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA đáy và ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm của BC. 
a) Cmr : BC (SAM). b)Vẽ AH SM tại H. cmr AH SB. 
Bài 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt 
phẳng(ABC). 
a) Chứng minh rằng ( ), ( ). ( )BC OAH CA OBH AB OCH   . 
b) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. 
III. Hai mặt phẳng vuông góc 
Phương pháp chứng minh: 
C1:Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mp kia. 
 ).()(
)(
)(









a
a
C2: Xác định góc giữa hai mp, chứng minh góc đó là góc vuông. 
 Cách xác định góc giữa hai mp: góc giữa hai mp là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mp đó và 
cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng tại một điểm. 
Bài tập 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và ABC vuông tại B. 
a) Cmr: (SAC)  (ABC). 
b) Gọi H là hình chiếu của A lên SC, K là hình chiếu của A lên SB. Cmr : (AHK)  (SBC). 
c) Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC). Cmr AIAH. 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, SA đáy . 
 a) cm (SAB)  (SBC). b) Gọi M là trung điểm của AC. Cm: (SAC)  (SBM). 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình 
thoi . cmr : 
 a) SO (ABCD). b) (SAC)  (SBD). 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA (ABCD) và SA = 6a . 
Chứng minh: 
a. (SAC)  (ABCD) và (SAC)  (SBD) b. (SBC)  (SDC) 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD 
 SA = a. Tính góc của hai mặt phẳng: 
 a,(SBC) và (ABCD) 
 b,(SBC) và (DSC). 
V. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mp )( : 
Goi )( dO . Từ A bất kỳ d kẻ AH )( . Khi đó góc giữa đường thẳng d và mp )( bằng góc AOH = . 
 Trong tam giác vuông AHO ta có 
OH
AH
tan 
AO
OH
cos 
AO
AH
sin 
Bài tập 
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau : 
 
 
A 
O 
H 
3 
a) Góc giữa AB và (BCD). 
b) Góc giữa AH và (ACD) với H là hình chiếu của A lên (ABC). 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = 6a . Tính các góc giữa: 
a) SC và (ABCD). 
b) SC và (SAD). 
c) SB và (SAC). 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SO (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của SA và CD. Cho biết MN tạo với mp(ABCD) góc 060 . 
a) Tính độ dài MN và SO. 
b) Tính góc giữa MN và (SBD). 
VI. Khoảng cách 
Bài 1. Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và SA= 2a, cạnh SA (ABC) và SA=a. 
a) Cmr : (SAB)  (SBC). 
b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC). 
c) Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC). 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD la hình chữ nhật, AB=3, AD=4, SA (ABCD) và SA=5. Tính : 
a) d(A, (SBD)). b) d(A, (SBC)). 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy SA (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB=BC= a
AD

2
, 
SA=a. 
a) Cm các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. 
b) Tính d(A,(SBC)). 
c) Tính d(B, SD). 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (BCD) và AB=a. Tính 
a) d(D, ABC). b) d(B, (ACD)). 
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . 
a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD). 
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AB tới mp(SCD). 
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. 
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a 
a) Tính k/c giữa hai đt chéo nhau AD và CC’. 
b) Tính k/c giữa hai đt chéo nhau BC’ và CD’. 
VII.Bài tập tổng hợp. 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) , SA = 6a . 
a) Cmr BD SC và (SBD)  SAC b) d(A,(SBD))=? 
c) Tính góc giữa SC và mp(ABCD). 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAmp(ABCD), góc giữa đường thẳng SC với 
mp(ABCD) bằng 060 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB.CMR: 
a) BC (SAB) b)AH SC c) (SBD)  (SAC) d) d(A, (SBC))=? 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD),CMR: 
a) BD SC b) BC (SAB) 
c) Biết AB=SA=a. Tính d(O, (SBC)). 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là  vuông tại B và SA đáy. 
a) Chứng minh rằng SBC vuông. 
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của ABC. Cm : (SAC)  (SBH). 
c) Biết AB=a và BC=2a. Tính d(B, (SAC)). 
Bài 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho 
 OH  (ABC). Cmr : 
a) BC (OAH). b) H là trực tâm của ABC. c) 
2222
1111
OCOBOAOH
 
4 
Bài 6. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a, I là trung điểm của BC. 
Cmr: a) BC (OAI). 
 b) (OAI)  (ABC). 
 c) Tính góc giữa AB và mp(AOI). 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B và SA (ABC). Biết SA=a và BC=a. 
a) Cmr: SBBC 
b) b) Xác định góc giữa SC và (SAB). 
c) c) Tính d(C, (SAB)). 
Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB=SA =a. Gọi O là tâm của mặt đáy. 
a) Cmr : BD SC b) d(S,(ABCD)). 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là  đều cạnh a, SA (ABC), SA= 3a . 
a) Gọi M là trung điểm của BC. cmr BC (SAM). 
b) Tính góc giữa mp(SBC) và (ABC). 
c) Tính d(A, (SBC)). 
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông tại C. 
AC=a, SA=x. 
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). 
b) Chứng minh (SAC)  (SBC). Tính khỏng cách từ A đến (SBC). 
c) Tính d(O,(SBC)). (O là trung điểm của AB ). 
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC. 
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA  (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt 
là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. 
a. Chứng minh rằng: CD  (SAD), BD  (SAC). 
b. Chứng minh: SC  (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK). 
c. Chứng minh: HK  (SAC), từ đó suy ra HK  AI. 
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = 2a . 
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. 
a. Chứng minh: SH  (ABCD) b. Chứng minh: AC  SK và CK  SD 
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông ở C có CA = a;CB = 2a , SA  (ABC) và 
SA= 3a . 
a) Chứng minh mp(SBC) vuông góc với mp(SAC). 
b) Tính góc giữa SB và mp(ABC). 
c) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(SBC). 
d) Gọi I là trung điểm AB. Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC). 
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a, 
2
3a
SCSBSA  
a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). 
b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau. 
c)Tính góc  giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC). 
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, SC  2a , H, K là trung điểm 
AB, AD. Chứng minh rằng: 
a. SH (ABCD). 
b. AC  SK, CK  SD. 
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Biết SA = a, AB = a, BC = 2a, 
cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD). 
a)Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD) . 
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.Tính khoảng cách từ O đến (SCD). 
Bài 17. Cho tứ diện ABCD có AD  (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm,BC = 5 cm. 
 Tính d(A,(BCD))