Đề cương ôn tập cuối năm môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013

PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn.
Bài 2: Thực hiện phép tính.
Bài 3: Thực hiện phép tính.
Bài 4: Thực hiện phép tính.
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức 
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - ).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với .
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với .
c) Tính giá trị của x để 
Bài 4: Cho biểu thức 
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu 
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức 
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức 
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức 
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H ≥ 0.
c) So sánh H với .
Bài 8: Xét biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu .
Bài 9: Xét biểu thức 
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức 
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho 
c) So sánh P với .
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT.
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phương trình
1) x2 – 6x + 14 = 0 ;	2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ;	4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ;
5) x2 – 4x + 2 = 0 ;	6) x2 – 2x – 2 = 0 ;
7) x2 + 2x + 4 = 3(x + ) ; 	8) 2x2 + x + 1 = (x + 1) ;
9) x2 – 2( - 1)x - 2 = 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 	2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;
3) x2 – (1 + )x + = 0 ;	4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + 1 + 3 = 0 ;
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ;	6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( + 1)x2 + 2x + - 1 = 0 ;	8) x2 – 11x + 30 = 0 ;
9) x2 – 12x + 27 = 0 ;	10) x2 – 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.
1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 	2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ;	4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ;	6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ;
7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 	8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bài 2: 
a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm:
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết: 
c) Chứng minh rằng phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai: 
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: 
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)
x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2)
x2 - 4ax + b2 = 0 (3)
x2 + 4bx + a2 = 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.
c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):
với a, b, c là các số dương cho trước.
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài 4: 
a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0. 
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước.
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0.
Tính:
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là .
Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là .
b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là .
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m.
b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn .
Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1
Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
Bài 8: Cho phương trình x2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm.
Bài 1: 
a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. 
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0.
Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0.
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
Cho phương trình: . 
Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm.
Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trước.
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).
Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2.
Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ;	(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ;	2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ;	4(x12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ;	3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ;	2x1 – 3x2 = 1
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; 	x1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 	2x1 + x2 + 1 = 0
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ;	x1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ;	x1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; 	x12 + x2 = 6.
Bài 4: 
Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Chư phương trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.
mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
 Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số.
Bài 1:
Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6.
Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - 1 < x1 < x2 < 1.
Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1.
Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.
Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1.
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - 2 ≤ x2. 
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Bài 1: 
Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m.
Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1.
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m.
Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: .
Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
Giải và biện luận phương trình ...  tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC.
c) Chứng minh rằng CH là tia phân giác của góc ACE.
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH và cung nhỏ AH của đường tròn nói trên biết AC= 6cm, ÐACB = 300.
Bài 12:
Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.
a) Chứng minh rằng ADCF là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ÐAME = 2 ÐACB.
c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tròn (O) biết BC= 8cm, ÐABC = 600.
Bài 13:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D là tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng
b) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính tổng AC + BD theo R.
d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết ÐAOM = 600.
Bài 14:
Cho tam giác vuông cân ABC (ÐA = 900), trung điểm I của cạnh BC. Xét một điểm D trên tia AC. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm tương ứng M, N, P.
a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hàng.
c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần lượt là H, K. Tam giác HNK là tam giác gì, tại sao?
d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC.
Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy.
Bài 1:
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) và (O') lần lượt tại C và C'. Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) và (O') lần lượt tại D và D'.
a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp
c) Đường thẳng CD và đường thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp.
Bài 2:
Từ một điểm C ở ngoài đường tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB. Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại M, N.
a) Chứng minh rằng IN, JM và AB đồng quy tại một điểm D.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, N đi qua trung điểm E của CD.
Bài 3:
Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R> R' ). Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đường tròn (O') tại D.
a) Tứ giác BEFC là hình gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng.
c) CF cắt đường tròn (O’) tại G. Chứng minh ba đường EG, DF và CI đồng quy.
d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’).
Bài 4:
Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại C. AC và BC là đường kính của (O) và (O’), DE là tiếp tuyến chung ngoài (D Î (O), E Î (O’)). AD cắt BE tại M.
a) Tam giác MAB là tam giác gì?
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).
c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh D, N, C thẳng hàng.
d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và OO’. Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK.
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.
Bài 1:
Cho đường tròn (O ; R). Đường thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K.
a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp.
b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD.
c) Chứng minh IC là phân giác ngoài của tam giác AIB.
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhưng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định.
Bài 2:
Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA sao cho BM = CN.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định.
Tính góc MDN.
MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuông góc với MN.
Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn nhất.
Bài 3:
Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoài (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C.
Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K.
Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M.
CH cắt AB tại N, I là trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN.
Chứng minh: IM.IN = IA2.
Bài 4:
Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O. C là điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN.
So sánh tam giác AMC và BCN.
Tam giác CMN là tam giác gì?
Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN là hình bình hành.
Đường thẳng d đi qua N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định.
Bài 5:
Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I là trung điểm của CD.
Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn.
Gọi H là trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì?
Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định.
Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E và K. Chứng minh EC = EK.
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học.
Bài 1:
Cho đường tròn (O) và dây AB. M là điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C.
Chứng minh MA2 = MC.MD.
Chứng minh MB.BD = BC.MD.
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B.
Gọi R1, R2 là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD. Chứng minh R1 + R2 không đổi khi C di động trên AB.
Bài 2:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và một điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lượt ở C và E.
Chứng minh rằng CE = AC + BE.
Chứng minh AC.BE = R2.
Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE.
Xét trường hợp hai đường thẳng AB và CE cắt nhau tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB.
+ Chứng minh rằng: .
+ Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
Bài 3:
Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì. Các đường thẳng AP và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng: .
Bài 4:
Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đường tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox tại A và cắt Oy tại hai điểm B, C. Chứng minh các hệ thức:
a) .
b) AB2 + AC2 = 4R2.
Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích.
Bài 1:
Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B Î (O); C Î (O’)).
Chứng minh rằng góc O’OB bằng 600.
Tính độ dài BC.
Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC và các cung AB, AC của hai đường tròn.
Bài 2:
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K).
Chứng ming rằng EC = MN.
Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K).
Tính độ dài MN.
Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn.
Bài 3:
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q.
Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi.
Cho biết BAC = 600 và bán kính của đường tròn (O) bằng 6 cm. Tính độ dài của tiếp tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC.
Bài 4:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp , K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.
Bài 5:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. E là một điểm trên đường tròn mà AE > EB. M là một điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB.
a) Chứng minh DAOM vuông tại O.
b) OM cắt đường tròn ở C và D. Điểm C và điểm E ở cùng một phía đối với AB. Chứng minh DACM đồng dạng với DAEC.
c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM.
d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm và AEC là . Tính AC, AE, AM, CM theo R.
Chủ đề 7: Toán quỹ tích.
Bài 1:
Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn (O) và M là điểm di động trên đường tròn đó. Gọi D là hình chiếu của B trên AM và P là giao điểm của BD với CM.
a) Chứng minh DBPM cân.
b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đường tròn (O).
Bài 2:
Đường tròn (O ; R) cắt một đường thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ.
a) Chứng minh rằng góc QMO bằng góc QPO và đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua hai điểm cố định khi M di động trên d.
b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vuông?
c) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn nội tiếp tam giác MPQ khi M di động trên d.
Bài 3:
Hai đường tròn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng d đi qua A cắt các đường tròn (O) và (I) lần lượt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng PO và QI.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp.
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đường thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đường nào?
c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất.
Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian.
Bài 1:
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.
Bài 2:
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 25 cm2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình lập phương đó.
Bài 3:
Cho hình hộp chứ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ bằng 600. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó.
Bài 4:
Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết cạnh đáy dài 6 cm và góc AA’B bằng 300.
Bài 5: 
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC.
Chứng minh rằng SA = SB = SC.
Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a.