Đầy đủ các dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6

®Çy ®ñ c¸c d¹ng bµi to¸n båi giái 6
®· tæng hîp
D·y c¸c sè viÕt theo qui luËt
Bµi 1: TÝnh:
	A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
HD:
	3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
	3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
	3A = 99.100.101
Bµi 2: TÝnh:
	A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
HD:
	A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
	A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
	A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
Bµi 3: TÝnh:
	A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
HD:
	A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
	A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
	A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
Bµi 4: TÝnh:
	A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
HD:
	4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)
	4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
	4A = 98.99.100.101
Bµi 5: TÝnh:
	A = 12+22+32+...+992+1002
HD:
	A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
	A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
	A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
Bµi 6: TÝnh:
	A = 22+42+62+...+982+1002
HD:
	A = 22(12+22+32+...+492+502)
Bµi 7: TÝnh:
	A = 12+32+52+...+972+992
HD:
	A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)
	A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)
Bµi 8: TÝnh:
	A = 12-22+32-42+...+992-1002
HD:
	A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)
Bµi 9: TÝnh:
	A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992
HD:
	A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
	A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
	A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) 
D·y c¸c sè viÕt theo qui luËt
Bµi 1: TÝnh:
	A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
HD:
	3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
	3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
	3A = 99.100.101
Bµi 2: TÝnh:
	A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Bµi 3: TÝnh:
	A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
HD:
Bµi 4: TÝnh:
	A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Bµi 5: TÝnh:
	A = 12+22+32+...+992+1002
Bµi 6: TÝnh:
	A = 22+42+62+...+982+1002
Bµi 7: TÝnh:
	A = 12+32+52+...+972+992
Bµi 8: TÝnh:
	A = 12-22+32-42+...+992-1002 
Bµi 9: TÝnh:
	A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992
CHUY£N §Ò ¦C - BC
 Bµi to¸n mÉu : Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này không khó : 
Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*) 
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd 
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**) 
Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. 
Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. 
Bài toán 5 : 
Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. 
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) 
CHUY£N §Ò D·Y Sè VIÕT THEO QUY LUËT
D¹ng 1 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : 
Bài toán A : 
Tính tổng : 
Lời giải : 
Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn chút xíu 
Bài 1 : Tính tổng : 
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược. 
Bài 2 : Tìm x thuộc N biết : 
Hơn nữa ta có : 
ta có bài toán 
Bài 3 : Chứng minh rằng : 
Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó” 
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : 
không phải là số nguyên. 
Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì 
Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : 
Bài 5 : Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho 
Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau : 
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa mãn 
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. 
Bài 7 : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < ... < a44 < a45 và 
Các bạn còn phát hiện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ?
D¹ng 2: so s¸nh
Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2 
Lời giải : Có khá nhiều cách chứng minh nhờ “đánh giá” vế trái bởi các kiểu khác nhau. Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A. 
Cách 1 : Ta có :
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5  (1) 
1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11   (2) 
Từ (1) và (2) => : 
A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 
Cách 2 : Ta có : 
1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5   (3) 
1/8 + 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 < 10.1/8 = 5/4   (4) 
Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 
Cách 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1   (5) 
1/10 + 1/11 + ... + 1/17 < 8.1/8 = 1   (6) 
Từ (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 
Cách 4 : 1/6 + 1/7 + ...+ 1/11 < 6.1/6 = 1   (7) 
1/12 + 1/13 + ... + 1/17 < 6.1/12 = 1/2   (8) 
Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 
Cách 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1   (9) 
1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2   (10) 
1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5   (11) 
Từ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. 
ĐỀ SỐ HỌC 6 NÂNG CAO
1. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:
	a) Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3.
	b) Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 5.
2. * Ghi số nhỏ nhất có:	a) chín chữ số
	b) n chữ số (nÎ N*)
	c) mười chữ số khác nhau
 ** Ghi số lớn nhất có:	a) chín chữ số
	b) n chữ số (nÎ N*)
	c) mười chữ số khác nhau
3. Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy số sau:
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ...Hỏi:
	a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy?
	b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gì? Chữ số đó của số tự nhiên nào?
4. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông:
	a) 2 c {1; 2; 6}	e) Æ c {a}
	b) 3 c {1; 2; 6}	f) 0 c {0}
	c) {1} c {1; 2; 6}	g) {3; 4} c N
	d) {2;1; 6} c {1; 2; 6}	h) 0 c N*
5. Trong đợt thi đua "Bông hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giáo Việt Nam - Lớp 6/1 có 45 bạn đạt từ 1 điểm 10 trở lên, 38 bạn đạt từ 2 điểm 10 trở lên, 15 bạn đạt từ 3 điểm 10 trở lên, 9 bạn đạt 4 điểm 10, không có ai đạt trên 4 điểm 10. Hỏi trong đợt thi đua đó, lớp 6/1 có tất cả bao nhiêu điểm 10?
6. Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phù Đổng", kết quả điều tra ở một lớp cho thấy; có 25 học sinh thích bóng đá, 22 học sinh thích điền kinh, 24 học sinh thích cầu lông, 14 học sinh thích bóng đá và điền kinh, 16 học sinh thích bóng đá và cầu lông, 15 học sinh thích cầu lông và điền kinh, 9 học sinh thích cả 3 môn, còn lại là 6 học sinh thích cờ vua. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?
7. Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1000 phải dùng bao nhiêu chữ số 5?
8. Điền các chữ số thích hợp vào ô trống để tổng ba chữ số liền nhau bằng 23:
6
8
9. Tìm số có hai chữ số sao cho số đó lớn hơn 6 lần tổng các chữ số của nó là 2 đơn vị.
10. Tìm số bị chia và số chia nhỏ nhất để thương của phép chia là 15 và số dư là 36.
11. Em hãy đặt các dấu (+) và dấu (-) vào giữa các chữ số của số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (có thể ghép chúng lại với nhau) để kết quả của phép tính bằng 200.
12. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó là 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63 đơn vị.
13. Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia là 97. Biết rằng thương là 4 và số dư là 7. Tìm số bị chia và số chia.
14. So sánh: 21000 và 5400
15. Tìm n Î N, biết:
	a) 2n . 8 = 512	b) (2n + 1)3 = 729
16. Tính giá trị của biểu thức:
	a) 39 : 37 + 5 . 22	b) 23 . 32 - 516 : 514
c)
47. 34 . 96
 613
d)
216 + 28
213 + 25
17. Tìm x, y Î N, biết rằng: 2x + 242 = 3y 
18. Tìm x Î N, biết:
	a) 1440 : [41 - (2x - 5)] = 24 . 3
	b) 5.[225 - (x - 10)] -125 = 0
19. Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 215 : 213
	b) [504 - (25.8 + 70)] : 9 - 15 + 190
	c) 5 . {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15}
	d) [1104 - (25.8 + 40)] : 9 + 316 : 312
20. Tìm x biết:
	a) (x - 15) : 5 + 22 = 24
	b) 42 - (2x + 32) + 12 : 2 = 6
	c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]}. x = 86
21. Xét xem:
	a) 20022003 + 20032004 có chia hết cho 2 không?
	b) 34n - 6 có chia hết cho 5 không? (n Î N*)
	c) 20012002 - 1 có chia hết cho 10 không?
22. Tìm x, y để số chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2.
23. Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số, tận cùng bằng 6 và chia hết cho 9.
D
A
NANG CAO
Bài 1 
Cho số M = (1/16)2002. Tính tổng của 2002 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của số M khi viết dưới dạng số thập phân. 
Bài giải : 
Vì 1/16 < 1/10 nên M = (1/16)2002 < (1/10)2002 = (0,1)2002 = 0, 00...01 ( 2001 chữ số 0). 
Do đó M phải có ít nhất là 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy. Từ đó ta có tổng của 2002 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy khi viết M dưới dạng số thập phân là 0. 
Nhận xét : 
+ Nhiều bạn nêu ra mấy trường hợp : 
1/16 = 0,0625 ; (1/16)2 = 0,00390625 ; (1/16)3 = 0,000244140625 
Và từ đó => (1/16)2002. có 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy khi viết M ở dạng số thập phân. Từ mấy trường hợp riêng mà => trường hợp chung thì điều đó chỉ là dự đoán (cần phi chứng minh). Trong toán học, người ta gọi phép suy diễn đó là phép qui nạp không hoàn toàn. 
+ Bạn Hoàng Minh Hiếu, 7C, THCS Lê Quý Đôn, Bỉm Sơn, Thanh Hóa đánh giá : 
M = (1/16)2002 = (1/2)8008 = (1/2)8.(1/2)8000 
< ((1/2)10)8000 < (1/1024)800 < (1/1000)800 = (1/10)2400 
= 0,00...01 (2399 chữ số 0). 
Từ đó có thể thấy tổng của 2400 chữ số đầu tiên ngay sau dấu phẩy của M viết dưới dạng số thập phân cũng bằng 0. 
+ Bạn Phạm Huy Hoàng, 9B, trường THPTNK Trần Phú, Hi Phòng nhận xét : “Nếu M = (1/16)k với k N thì M = (1/16)k = (0,625/10 )k . Từ đó tổng của k chữ số đầu tiên ngay sau dấu phẩy ở dạng viết thập phân của M sẽ bằng 0. 
Bài 4: Em hãy thay mật chữ cái bởi mật chữ số để phép tính dưới đây đúng (chữ cáI khác nhau thì thay chữ số khác nhau) 
TIME + TIME = MONEY
Đẳng thức trên còn có ý nghĩa gì nữa không? 
BàI giải: Từ MONEY = TIME + TIME ≤ 9999 + 9999 = 19998. 
=> M = 1, do đó E = 2 và Y = 4. 
Lại vì : MONEY ≥ 10000 nên TIME ≥ 5000 => T ≥ 5 . 
1) Nếu I = 0 thì N = 0 (loại vì I ≠ N ). 
2) Nếu I = 3 thì N = 6. 
a) Với T = 5 thì có O = 0 ,vậy nghiệm bài toán là TIME = 5312 và MONEY = 10624 (1). 
b) Với T = 7 có O = 4 (loại vì O = Y). 
c) Với T = 8 có O = 6 (loại vì O = N). 
d) Với T = 9 t ... 1, 12321, 40804, 14641, 44844, 69696, 94249. 
Nhận xét : 
- Nếu bài toán có thêm điều kiện a, b, c đôi một khác nhau thì chỉ có 5 số thỏa mãn đề bài. 
Bài 1(4) : Cho số : 
gồm 2003 chữ số 1 ở bên trái dấu * và 2003 chữ số 3 ở bên phải dấu *. Hãy thay dấu * bằng chữ số nào để được một số chia hết cho 7. 
Lời giải : 
Để ý rằng :
Mặt khác 103 trùng với -1 (mod 7) => : 102003 trùng với 5 (mod 7) 
=> 102003 - 1 trùng với 4 (mod 7) => 2 (mod 7) (2)
102004 trùng với 1 (mod 7) => 
102004 + 3 trùng với 4 (mod 7) (3)
Để A chia hết cho 7, từ (1), (2), (3) => A trùng với (*).5 + 2.4 trùng với (*).5 + 1 trùng với 0 (mod 7). 
Chú ý rằng 0 ≤ * ≤ 9, từ đó => ngay * = 4. 
Vậy số cần tìm là : 
Nhận xét : Một số bạn đặt vấn đề hãy tìm số x sao cho : 
Bài 2(5) : Phân số Ai Cập 
Biểu diễn phân số 1/2 dưới dạng tổng của 3 phân số dương có tử số bằng 1. Có bao nhiêu cách ? 
Lời giải : 
* Bài toán có thể phát biểu dưói dạng : 
Giải phương trình : 
Do vai trò của x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z và từ (1) ta => : 
1/x ≤ 1/y ≤ 1/z x ≥ y ≥ z ≥ 3 (2) 
Từ (1), (2) => 1/2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3/z 
=> z ≤ 6 => 3 ≤ z ≤ 6 => z thuộc {3 ; 4 ; 5 ; 6}. 
* Với z = 3, ta có : 
1/x + 1/y + 1/3 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/3 = 1/6 
=> 6x + 6y = xy => xy - 6x - 6y + 36 = 36 
=> (x - 6)(y - 6) = 36. 
Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : 
* Với z = 4, ta có : 
1/x + 1/y + 1/4 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/4 = 1/4 
=> : 4x + 4y = xy => ...... => (x - 4)(y - 4) = 16. 
Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : 
* Với z = 5, ta có : 
1/x + 1/y + 1/5 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/5 = 3/10 
=> 10x + 10y = 3xy => (3x - 10)(3y - 10) = 100. Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : 
* Với z = 6, ta có : 
1/x + 1/y + 1/6 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/6 = 1/3 
=> : 3x + 3y = xy => ... => (x - 3)(y - 3) = 9. 
Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : 
* Vậy phương trình (1) có các nghiệm là : (42 ; 7 ; 3), (24 ; 8 ; 3), (18 ; 9 ; 3), (15 ; 10 ; 3), (12 ; 12 ; 3), (20 ; 5 ; 4), (12 ; 6 ; 4), (8 ; 8 ; 4), (10 ; 5 ; 5), (6 ; 6 ; 6), cùng các hoán vị. Từ đây, dễ dàng => phân số có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 phân số dương có tử số bằng 1 với đúng 10 cách : 
Bài 3(5) : So sánh A và B biết : 
A = (20032002 + 20022002)2003 
B = (20032003 + 20022003)2002 
Lời giải : (của bạn Võ Văn Tuấn) 
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát : 
(an + bn)n + 1 > (an + 1 + bn + 1)n với a, b, n là các số nguyên dương. 
Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b. (an + bn)n + 1 = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + 1 + bn + 1)n. 
Với a = 2003, b = n = 2002, ta có A > B. 
Bài 1(6) : Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố, p - 5 chia hết cho 8. Giả sử các số nguyên x, y thỏa mãn ax2 - by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p. 
Lời giải : Đặt p = 8k + 5, k thuộc N. 
Chú ý : (ax2)4k + 2 - (by2)4k + 2 chia hết cho (ax2 - by2). 
Từ đó ta => : a4k + 2.x8k + 4 - b4k + 2y8k + 4 chia hết cho p. 
Ta lại có :
a4k + 2.x8k + 4 - b4k + 2.y8k + 4 =(a4k + 2 + b4k + 2).x8k + 4 - b4k + 2(x8k + 4 + y8k + 4) 
Mặt khác : a4k + 2 + b4k + 2 = (a2)2k + 1 + (b2)2k + 1 chia hết cho (a2 + b2) = p và b < p, do đó x8k + 4 + y8k + 4 chia hết cho p . (*) 
Nếu trong hai số x, y có một số chia hết cho p thì từ (*) ta => số thứ hai cũng chia hết cho p. 
Nếu cả hai số x, y không chia cho p, theo định lí Fecma x8k + 4 trùng với 1 (mod p), y8k + 4 trùng với 1 (mod p). Khi đó x8k+4 + y8k+4 2 (mod p). Mâu thuẫn với (*). 
Vậy cả hai số x, y chia hết cho p. 
Bài 2(6) : Cho một hình lập phương. Người ta gắn cho 8 đỉnh của nó bắt đầu từ đỉnh A, đi theo chiều mũi tên 8 số tự nhiên liên tiếp và thực hiện : mỗi lần cộng vào 4 đỉnh của một mặt cùng với một số nguyên nào đó. Hỏi sau bao nhiêu lần thực hiện như vậy thì ta được 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau ? 
Lời giải : Kí hiệu các đỉnh theo chiều mũi tên lần lượt bởi các chữ cái A, B, C, D, E, G, H, I. Giả sử các số nguyên gắn tương ứng với các đỉnh này là a, b, c, d, e, g, h, i, ta xét :
S = (b + d + g + i) - (a + c + e + h).
Nhận thấy 4 số gắn ở 4 đỉnh thuộc cùng một mặt sẽ gồm 2 số trong các số g, d, g, i và 2 số trong các số a, c, e, h. Do đó khi cộng 4 số này với cùng một số nguyên thì S không thay đổi. 
Ban đầu a, b, c, d, e, g, h, i là các số tự nhiên liên tiếp nên S = 4. Vì vậy dù có thực hiện bao nhiêu lần việc cộng với cùng một số nguyên cho 4 số gắn ở 4 đỉnh thuộc cùng một mặt thì S vẫn bằng 4, tức là S ≠ 0. Chứng tỏ không thể làm cho 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau. 
Nhận xét : Một số bạn mắc các sai lầm khác nhau khi lập luận : 
- Chỉ dùng một số nguyên xác định cho tất cả các lần cộng. 
- Mỗi mặt chỉ thực hiện một lần cộng 4 đỉnh với cùng một số nguyên. 
- Tám số đầu tiên là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 
Bài 2(8) : Cho dãy số tự nhiên liêp tiếp : 150 O 149 O 148 O  O 51 O 50. Chứng minh rằng, nếu điền vào các vòng tròn “O” dấu “+” hoặc dấu “-” thì kết quả không thể bằng 2003. 
Lời giải : Các bạn đã lí luận bằng nhiều cách để chỉ ra : khi điền vào các hình tròn dấu “+” hoặc dấu “-” thì kết quả là một số chẵn nên kết quả không thể bằng 2003. 
Cách 1 : Nếu điền vào tất cả các hình tròn dấu “+” ta có :
S = 150 + 149 + 148 +  + 51 + 50 = (150 + 50).101/2 = 10100, là số chẵn. 
Trong tổng S, nếu thay mỗi dấu “+” trước một số a bất kì bởi dấu “-” thì S sẽ giảm đi 2a (là một số chẵn). Như vậy, nếu thay bao nhiêu dấu “+” trong S bởi dấu “-” thì S sẽ vẫn là một số chẵn. 
Cách 2 : Ta thấy rằng, mỗi cặp số tự nhiên liên tiếp đều có tổng hoặc hiệu là một số lẻ. Các số tự nhiên liên tiếp từ 150 đến 51 có tất cả 50 (là số chẵn) cặp như vậy. Tổng hoặc hiệu của một số chẵn các số lẻ luôn là một số chẵn nên giữa các số tự nhiên liên tiếp từ 150 đến 51, đặt bất kì dấu “+” hay dấu “-” thì kết quả đều là số chẵn ; cộng hay trừ với số còn lại của dãy số đã cho là số 50 cho kết quả cuối cùng là một số chẵn
Bài 3(9) : Trong một giải bóng đá Nhi đồng theo thể thức thi đấu vòng tròn một lượt. Thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Đội Măng Non chỉ hòa 1 trận, thua 1 trận và được tất cả 16 điểm. Chứng minh rằng vào bất kì lúc nào cũng tìm được ít nhất hai đội đã đấu cùng số trận.
Lời giải : Đội Măng Non chỉ hòa 1 trận, thua 1 trận và được 16 điểm nên tổng số điểm của các trận thắng là : 16 - 1 = 15 (điểm). Do đó đội này đã thắng 15 : 3 = 5 (trận) và thi đấu tất cả 7 trận. Vì giải đấu theo thể thức vòng tròn một lượt nên số đội dự giải là : 7 + 1 = 8 (đội)
Chia các đội thành các nhóm mà mỗi nhóm gồm các đội có cùng số trận đã đấu thì nhiều nhất chỉ có 7 nhóm vì nếu có nhóm chưa đá trận nào thì không có nhóm đã đá 7 trận. Cụ thể chỉ có các nhóm với số trận đã đá là : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 hoặc 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7.
Vì có 8 đội mà chỉ có 7 nhóm nên theo nguyên lí Đi-rích-lê thì tồn tại hai đội ở cùng một nhóm tức là hai đội đã đá cùng số trận. 
Nhận xét : Hầu hết các bạn đều giải đúng nhờ sử dụng nguyên lí Đi-rích-lê như trên. Nhưng các bạn “nhạy cảm” hơn nhận ra bài toán đã cho thừa giả thiết, đó là những thông tin về đội Măng Non ! Thực ra ta có thể chứng minh : Trong một giải đấu theo thể thức đấu vòng tròn một lượt (có ít nhất 2 đội tham gia) thì tại bất cứ thời điểm nào cũng tìm được 2 đội có số trận đã đấu như nhau
Bài 1(11) : Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp. 
Lời giải : 
Ta thấy : Tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = [ a + (a + 4006)] : 2 x 2004 = (a + 2003) x 2004. 
Do đó S = 8030028 tương đương với (a + 2003) x 2004 = 8030028 hay a = 2004. 
Vậy 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010. 
Nhận xét : Hầu hết các bạn giải đúng. Một số bạn tính S hơi khác một chút : S = 2004a + (2 + 4 + ... + 4006)
Bài 2(11) : Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho số T = 427 + 41016 + 4a là số chính phương. 
Lời giải : Ta xét a là số nguyên thỏa mãn a ≥ 27 và T là số chính phương. Nhận xét T = 427 (1 + 4989 + 4a - 27) = (227)2 . (1 + 21978 + (2a - 27)2), => S = 1 + 21978 + (2a - 27)2 là số chính phương. 
Chú ý : 1 + 21978 + (2a - 27)2 > (2a - 27)2 => 1 + 21978 + (2a - 27)2 ≥ (2a - 27 + 1)2 
Tức là ta có 21978 ≥ 2.2a - 27 
=> 1978 ≥ a - 26 => 2004 ≥ a. 
Với a = 2004 thì T = (227)2 . (21977 + 1)2 là số chính phương. 
Vậy số nguyên a lớn nhất cần tìm là a = 2004. 
Nhận xét : Hầu hết các bạn gửi lời giải cho tòa soạn đều nhìn thấy số cần tìm a = 2004, nhưng lúng túng trong lí luận. Lí luận chính của lời giải là : nếu S là số chính phương và S > n2 (n thuộc N) thì => S ≥ (n + 1)2. 
Bài 3(11) : Bạn Hải đã làm bài toán nhân đúng bằng cách sắp các chữ số rời. Hà, em của Hải, đã đổi chỗ một số chữ số như ở bên. Hãy sắp lại vị trí các chữ số ban đầu mà Hải đã làm đúng. 
Lời giải : (của bạn Võ Thái Thông) 
Theo giả thiết, các chữ số có mặt trong phép nhân đúng không bị thêm bớt (kể cả số chữ số trên mỗi hàng ; số lần xuất hiện của mỗi chữ số). Như vậy phép nhân đúng có dạng (hình bên):
trong đó a, b, c, , m chỉ gồm : sáu chữ số 1 ; một chữ số 2 ; hai chữ số 5 ; một chữ số 7 ; ba chữ số 9. (1) 
+ Vì có 3 chữ số nên ab > 1 và d > 1 => b ≠ 1 và d ≠ 1. (2) 
+ Nếu b = 2 hoặc d = 2 thì g chẵn, vô lí vì chỉ có một chữ số chẵn duy nhất là chữ số 2 => b ≠ 2 và d ≠ 2. (3) 
+ Nếu b = 5 hoặc d = 5 thì g = 5, xuất hiện ba chữ số 5, vô lí vì chỉ có hai chữ số 5 => b ≠ 5 và d ≠ 5. (4) 
+ Nếu b = 7 => d = 9 hoặc d = 7 ; => b = 9 (do (1), (2), (3), (4)). Cả hai trường hợp đều dẫn đến g = 3, vô lí vì trong phép nhân không có chữ số 3 => b ≠ 7 và d ≠ 7. (5) 
+ Từ (1), (2), (3), (4), (5) => b = 9 và d = 9. 
+ Xét phép nhân Vì b = 9 ; d = 9 => ef = a x 9 + 8 . Lần lượt kiểm tra với a = 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 9, chỉ có trường hợp a = 1 thỏa mãn (1). Vậy a = 1. 
+ Xét phép nhân ab x c = hi => hi = 19 x c. Nếu c = 7 hoặc c = 9 thì 19 x c có ba chữ số, khác hi (có hai chữ số). Nếu c = 2 thì i = 8, không thỏa mãn (1). Vậy c = 1 hoặc c = 5, thay vào phép nhân và kiểm tra, ta thấy chỉ có c = 5 thỏa mãn điều kiện đề bài. 
Phép nhân mà bạn Hải đã làm được xác định xong. 
Nhận xét : 1) Tất cả các bạn đều tìm được kết quả đúng, tuy nhiên chỉ có ít bạn biết cách lập luận chặt chẽ, ngắn gọn. Một số bạn chỉ “mò” ra đáp số, trong đó có một bạn tâm sự : “Em nghĩ bài toán này không thể dùng suy luận bằng lời mà chỉ có thể đoán kết quả. Vì thế, em mới trình bày ngắn gọn như vậy”.