Chuyên đề 1: Tập hợp - Môn toán 6

Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
CHUYEÂN ẹEÀ 1. TAÄP HễẽP 
Bài 1. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó. 
 1) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8 : x = 2. 
 2) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5. 
 3) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x – 2 = x + 2. 
 4) Tập hợp D các số tự nhiên mà x + 0 = x. 
Bài 2. Cho tập hợp A = { a,b,c,d} 
1) Viết các tập hợp con của A có một phần tử. 
2) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử. 
3) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử? 
4) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con? 
Bài 3. Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các tr−ờng hợp sau. 
1) A={1;3;5}, B = { 1;3;7} 
2) A= {x,y}, B = {x,y,z} 
 3) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên 
chẵn. 
Bài 4. Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A B⊂ ; A B≠ . Hãy viết các tập con thực sự của 
tập hợp B = {1;2;3}. 
Bài 5. Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và B = {3;4;5}. Hãy viết các tập hợp vừa là tập con của A, 
vừa là tập con của B. 
Bài 6. Cho { } { }a 18; 12; 81 , b 5; 9∈ ∈ . Hãy xác định tập hợp M = {a-b}. 
Bài 7. Cho tập hợp A = {14; 30}. Điền các ký hiệu , ∈ ⊂ vào ô trống. 
1) 14 A 2) {14} A 3) {14;30} A. 
---------- HẾT ---------- 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
CHUYEÂN ẹEÀ 2. SOÁ Tệẽ NHIEÂN 
 CAÙC PHEÙP TOAÙN 
 TREÂN TAÄP HễẽP SOÁ Tệẽ NHIEÂN 
Bài 1. Viết tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số trong đó mỗi số: 
 1) Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục. 
 2) Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4. 
 3) Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục. 
Bài 2. Cho 3 chữ số a,b,c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số nói trên. 
 1) Viết tập hợp A. 
 2) Tính tổng các phần tử của tập hợp A. 
Bài 3. Cho một số có 3 chữ số là abc (a, b, c khác nhau và khác 0). Nếu đỗi chỗ các chữ số 
cho nhau ta đ−ợc một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số nh− vậy? (kể cả 
số ban đầu). 
Bài 4. Cho 4 chữ số a,b,c và 0 (a, b, c khác nhau và khác 0). Với cùng cả 4 số này có thể lập 
đ−ợc bao nhiêu số có 4 chữ số? 
Bài 5. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập đ−ợc bao nhiêu số có 5 
chữ số? 
Bài 6. Quyển sách giáo khoa Toán 6 có tất cả 132 trang. Hai trang đầu không đánh số. Hỏi 
phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này? 
Bài 7. Tìm hai số biết tổng là 176; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia 
viết theo thứ tự ng−ợc lại. 
Bài 8. Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0. 
 1) Chứng tỏ rằng có thể lập đ−ợc 4! số có 4 chữ số khác nhau. 
 2) Có thể lập đ−ợc bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đó. 
Bài 9. Tính các tổng sau. 
 1) 1 2 3 4 .... n + + + + + 
 2) 2 4 6 8 ... 2.n+ + + + + 
 3) ( )1 3 5 7 ... 2.n 1 + + + + + + 
 4) 1 4 7 10 .. 2005+ + + + + 
 5) 2 5 8 ... 2006+ + + + 
 6) 1 5 9 .. 2001+ + + + 
Bài 10. Tính nhanh tổng A 1 2 4 8 16 ... 8192= + + + + + + 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 11. 1) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số 
 2) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số. 
Bài 12. 1) Tổng 1 2 3 4 .... n + + + + + có bao nhiêu số hạng để kết quả bằng 190 
 2) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 2 3 4 .... n 2004+ + + + + = 
Bài 13. Tính giá trị của biểu thức. 
 1) ( )( )( ) ( )A 100 1 100 2 100 3 ... 100 n , n= − − − − ∈ℕ và tích trên có đúng 100 thừa 
số. 
 2) B 13a 19b 4a 2b= + + − với a b 100.+ = 
Bài 14. Tìm các chữ số a, b, c, d biết a.bcd.abc abcabc= 
Bài 15. Chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết đ−ợc thành một tích của hai thừa số bằng nhau: 
11111111 2222.− 
Bài 16. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số d−, a ≥ b. Chứng tỏ rằng a b m− ⋮ . 
Bài 17. Chia 129 cho một số ta đ−ợc số d− là 10. Chia 61 cho số đó ta đ−ợc số d− là 10. Tim 
số chia. 
Bài 18. Cho S 7 10 13 ... 97 100= + + + + + 
 1) Tổng trên có bao nhiêu số hạng? 
 2) Tim số hạng thứ 22 
 3) Tính S. 
Bài 19. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết đ−ợc thành một tích của hai số tự nhiên liên 
tiếp: 
 1) 111222 
 2) 444222 
Bài 20. Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Th−ơng bằng 6, số d− bằng 49, tổng của số bị 
chia, số chia và d− bằng 595. 
Bài 21. Tính bằng cách hợp lý. 
 1) 44.66 34.41A
3 7 11 ... 79
+
=
+ + + +
 2) 1 2 3 ... 200B
6 8 10 ... 34
+ + + +
=
+ + + +
 3) 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54C
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
+ + +
=
+ + +
Bài 22. Tìm kết quả của phép nhân. 
 1) 
2005c.s 2005c.s
A 33...3.99...9= 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 2) 
2005c.s 2005c.s
B 33...3.33...3= 
Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )A 2009 1005 : 999 x= − − với mọi x. 
---------- HẾT ---------- 
CHUYEÂN ẹEÀ 3. LUếY THệỉA 
 VễÙI SOÁ MUế Tệẽ NHIEÂN 
A – KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 + na = a.a...a (n thừa số a, n ≠ 0) 
 + Quy −ớc: a1 = a, a0 = 1 
 + am.an = am+n (m, n ∈N*) 
 + am:an =am-n (m, n ∈N*, m ≥ n, a ≠ 0) 
Nâng cao: 
 + Luỹ thừa của một tích: (a.b)n = am.bn 
 + Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n = am.n 
 + Luỹ thừa tầng: 
nma = 
n(m )a 
(trong một luỹ thừa tầng ta thực hiện phép luỹ thừa từ trên xuống d−ới) 
 + Số chính ph−ơng là bình ph−ơng của một số tự nhiên. 
So sánh hai luỹ thừa: 
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lơn hơn sẽ lớn 
hơn. 
 + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ lớn hơn 0 thì luỹ thừa nào có cơ số lơn hơn sẽ lớn 
hơn. 
B – BÀI TẬP 
Bài 1. Viết các tích sau hoặc th−ơng sau d−ới dạng luỹ thừa của một số. 
 1) 25 . 84 2) 256.1253 3) 6255:257 
Bài 2. Viết mỗi tích , th−ơng sau d−ới dạng một luỹ thừa. 
 1) 410.230 2) 50 525 .125 3) 3 8 464 .4 .16 
Bài 3. Tính giá trị các biểu thức. 
 1) 
10 10
9 4
3 .11 3 .5A
3 .2
+
= 2) 
10 10
8
2 .13 2 .65B
2 .104
+
= 
 Nếu m > n Thì am > an (a > 1) 
 Nếu a > b Thì am > bm (m > o) 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 3) 
3 2
4
72 .54C
108
= 4) 
22 7 15
14 2
11.3 .3 9D (2.3 )
−
= 
Bài 4. Viết các số sau d−ới dạng tổng các luỹ thừa của 10. 
 213 421 2009 
 abc abcde 
Bài 5. So sánh các số sau, số nào lớn hơn? 
 1) 2711 và 818 2) 6255 và 1257 
 3) 523 và 6. 522 4) 7. 213 và 216 
Bài 6. Tính giá trị các biểu thức sau 
 1) a3.a9 2) (a5)7 
 3) (a6)4.a12 4) 56 :53 + 33 .32 
Bài 7. Tìm n ∈ N * biết. 
 1) 2 n 53 .3 3= 2) 1 .27 3
9
n n
= 
 3) n n n1 .2 4.2 9.5
2
+ = 4) n32 2 128< < 
Bài 8. Tìm x ∈N biết 
 1) ( x - 1 )3 = 125 2) 2x+2 - 2x = 96 
 3) (2x +1)3 = 343 4) ( ) 3720 : 41 2x 5 2 .5 − − =  
Bài 9. Tính các tổng sau bằng cách hợp lý. 
 A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 B = 1 + 3 + +32 +32 +...+ 32009 
 C = 1 + 5 + 52 + 53 +...+ 51998 D = 4 + 42 + 43 +...+ 4n 
Bài 10. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+2200. Hãy viết A + 1 d−ới dạng một luỹ thừa. 
Bài 11. Cho B = 3 + +32 +33 +...+ 32005. Chứng minh rằng 2B + 3 là luỹ thừa của 3. 
Bài 12. Chứng minh rằng 
 1) 55 - 54 + 53 ⋮ 7 2) 6 5 47 7 7 11+ − ⋮ 
 3) 6 710 5 59− ⋮ 4) n 2 n 2 n n3 2 3 2 10+ + + − ⋮ 
Bài 13. 
 1) Viết các tổng sau thành một tích: 2+22; 2+22+23; 2+22+23 +24. 
 2) Chứng minh rằng: A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004 chia hết cho 3; 7 và 15 
Bài 14. 
 1) Viết tổng sau thành một tích 34 +325 +36+ 37 
 2) Chứng minh rằng 
 + B = 1 + 3 + +32 +32 +...+ 399 ⋮ 40 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 + A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 ⋮ 31 
 + C = 165 + 215 ⋮33 
 + D = 53! - 51! ⋮29 
Bài 15. Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý 
 1) (217+172).(915 - 159)(42- 24) 2) (71997- 71995):(71994.7) 
 3) 2 3 4 5 3 3 3 3 8 2(1 2 3 4 ).(1 2 3 4 ).(3 81 )+ + + + + + − 4) 8 3 5 3(2 8 ) : (2 .2 )+ 
BAỉI TOAÙN VEÀ CHệế SOÁ TRAÄN CUỉNG 
A- Tóm tắt lý thuyết: 
 - Tìm chữ số tận cùng của một tích: 
 + Tích của các số lẽ là một số lẽ 
 + Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. 
 - Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 
 + Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn 
giữ nguyên các chữ số tận cùng của nó. 
 + Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 2,4,8 nâng lê luỹ thừa 4n (n ≠ 0) đều có 
tận cùng bằng 6. 
...24n = ...6 ; ...44n = ...6 ; ...84n = ...6 
 + Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 3,7,9 nâng lê luỹ thừa 4n (n ≠ 0) đều có 
tận cùng bằng 1. 
...34n = ...1 ; ...74n = ...1 ;...94n = ...1 
 - Một số chính ph−ơng thì không có tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 
B - Bài tập áp dụng: 
Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau. 
372003 99 99 99 99 99 5 32 332 ; 4 ; 9 ; 3 ; 7 ; 8 ; 789 ; 87 ; 58 
Bài 2. Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10. 
 481n + 19991999 162001 - 82000 
 192005 + 112004 175 + 244 - 1321 
Bài 3. Tìm chữ số tận cùng của tổng: 5 + 52 + 53 +...+ 596 
Bài 4. Chứng minh rằng ( )2006 942004 921A . 7 310= − là một số tự nhiên. 
Bài 5. Cho S = 1 + 3 +32 +33 +...+ 330 . Tìm chữ số tận cùng của S. Chứng minh rằng S không 
là số chính ph−ơng. 
Bài 6. Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 
 1) Chứng minh A ⋮ 3 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 2) Chứng minh A ⋮ 15 
 3) Tìm chữ số tận cùng của A. 
Bài 7. Chú ý 
 + *01 01( )nx y n N= ∈ 
 + *25 25( )nx y n N= ∈ 
 + Các số 320; 815 ; 74 ; 512; 992 có tận cùng bằng 01. 
 + Các số 220; 65; 184;242; 684;742 có tận cùng bằng 76. 
 + 26n (n >1) có tận cùng bằng 76. 
 áp dụng 
 Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau. 
 2100; 71991; 5151; 6666; 14101; 22003. 
Bài 8. Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998 - 41998 
Bài 9. Các tổng sau có là số chính ph−ơng không? 
 1) 108 + 8 2) 100! + 7 3) 10100 + 1050 + 1. 
Bài 10. Chứng minh rằng 
 1) 20022004 - 10021000 ⋮ 10 
 2) 1999 2001 + 2012005 ⋮ 10. 
Bài 11. Chứng minh rằng 
 1) 0,3 . ( 20032003 - 19971997) là một số từ nhiên 
 2) ( )2006 19982004 19941 1997 199310 − . 
---------- HẾT ---------- 
CHUYEÂN ẹEÀ 4. CHIA HEÁT TRONG 
 SOÁ Tệẽ NHIEÂN 
A – KIẾN THỨC 
 1. ( )1 2a m, b m k a k b m⇒ +⋮ ⋮ ⋮ 
 2. a m, b m , a b c m c m+ + ⇒⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
 Phương phỏp 1. Để chứng minh a ⋮ b (b 0≠ ). Ta biểu diễn a = b. k, với k ∈ N 
 Phương phỏp 2. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng. 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 Nếu a ± b⋮m và a ⋮ m thì b ⋮ m. 
 Phương phỏp 3. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (giã sử chứa n) chia hết cho 
b (b khác 0) ta có thể xét mọi tr−ờng hợp về số d− khi chia n cho b. 
 Phương phỏp 4. Để chứng minh a⋮ b. Ta biểu diễn b d−ới dạng b = m.n. 
 + Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh a⋮m và a ⋮n suy ra a⋮m.n hay a ⋮ b. 
+ Nếu (m,n) ≠ 1 ta biểu diễn a = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1⋮m; a2⋮ n thì tích 
a1.a2 ⋮ m.n suy ra a⋮ b. 
 Phương phỏp 5. Dùng các dấu hiệu chia hết. 
 Phương phỏp 6. Để chứng minh a⋮ b ta biểu diễn 1 2 na a a ...a= + + và chứng minh 
các ia (i 1, n) b= ⋮ 
C – BÀI TẬP 
Bài 1. Chứng minh với mọi n ∈N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nh−ng không chia hết cho 30. 
Bài 2. Cho a, b ∈N. Hỏi số ab(a + b) có tận cùng bằng 9 không? 
Bài 3. Cho n ∈N. Chứng minh 5n – 1 ⋮ 4. 
Bài 4. Chứng minh rằng 
 1) ab ba 11+ ⋮ 
 2) ab ba 9− ⋮ với a > b. 
Bài 5. Chứng minh rằng 
 1) A=1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+239 là bội của 15 
 2) T = 1257 - 259 là bội của 124 
 3) M = 2 3 4 20007 7 7 7 ... 7 8+ + + + + ⋮ 
 4) P = 2 3 2na a a ... a a 1+ + + + +⋮ với a, n ∈N 
Bài 6. Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự 
nhiên liên tiếp chia hết cho 5. 
Bài 7. Chứng minh rằng 
 1) Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6 
 2) Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6. 
 3) Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5 số lẽ liên tiếp thì chia 
10 d− 5 
Bài 8. Cho a, b ∈ N và a - b ⋮ 7 . Chứng minh rằng 4a +3b ⋮ 7. 
Bài 9. Tìm n ∈ N để. 
 1) n + 6 ⋮ n 4n + 5 ⋮ n 38 - 3n ⋮ n 
 2) n + 5 ⋮ n + 1 3n + 4 ⋮ n - 1 2n + 1 ⋮ 16 - 3n 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 10. Chứng minh rằng (5n)100 ⋮ 125 
Bài 11. Cho A = 2 + 22 + 23 +... + 22004. Chứng minh rằng A chia hết cho 7; 15; 3. 
Bài 12. Cho S = 3 +32 +33 +...+ 31998 . Chứng minh rằng 
 1) S ⋮ 12 2) S ⋮ 39 
Bài 13. Cho B = 3 +32 +33 +...+ 31000. Chứng minh rằng B ⋮ 120. 
Bài 14. Chứng minh rằng 
 1) 3636 - 910⋮45 2) 810 - 89 - 88 ⋮ 55 
 3) 55 - 54 + 53 ⋮ 7 4) 6 5 47 7 7 11+ − ⋮ 
 5) 9 8 710 10 10 222+ + ⋮ 6) 6 710 5 59− ⋮ 
 7) 7 9 1381 27 9 45− − ⋮ 8) n 2 n 2 n n *3 2 3 2 10, n+ + + − ∀ ∈⋮ ℕ 
Bài 15. Tìm n ∈ N để 
 1) 3n + 2 ⋮ n - 1 2) n2 + 2n + 7 ⋮ n + 2 
 3) n2 + 1 ⋮ n - 1 4) n + 8 ⋮ n + 3 
 5) n + 6 ⋮ n - 1 6) 4n - 5 ⋮ 2n - 1 
Bài 16. Chứng minh rằng 
 1) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2. 
 2) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. 
 3) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24. 
 4) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120. 
(Chú ý: Bài toán trên đ−ợc sử dụng trong CM chia hết, không cần CM lại) 
Bài 17. Cho 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 đ−ợc những số d− 
khác nhau. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5. 
Bài 18. Cho số abc không chia hết cho 3. Phải viết số này liên tiếp nhau ít nhất mấy lần để 
ủ−ợc một số chia hết cho 3. 
Bài 19. Cho n ∈ N, Chứng minh rằng n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho5. 
Bài 20. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó. 
Bài 21. Chứng minh rằng 
 1) n∀ ∈ℕ thì 
n conso1
A 2n 11...1 3= + ⋮ 
 2) , ,a b n N∀ ∈ thì ( ) n
n. conso1
B 10 1 .a 11..1 n .b 9 = − + − 
 
⋮ 
Bài 22. Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a⋮3 
Bài 23. Chứng minh rằng m + 4n ⋮ 13 ⇔ 10m + n⋮13, m, n∀ ∈ℕ . 
---------- HẾT ---------- 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
CHUYEÂN ẹEÀ 5. SOÁ NGUYEÂN TOÁ – HễẽP SOÁ 
A – KIẾN THỨC BỔ SUNG 
+ Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết cho 
mọi số nguyên tố mà bình ph−ơng không v−ợt quá a. 
 + Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số, chỉ cần chỉ ra một −ớc khác 1 và a. 
 + Cách xác định số l−ợng các −ớc của một số: 
Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố đ−ợc M = ax . by cz thì số l−ợng các −ớc của M 
là ( x + 1)( y + 1)( z + 1). 
 + Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính ph−ơng chỉ chứa các thừa số 
nguyên tố với số mũ chẵn. Từ đó suy ra. 
 Số chính ph−ơng chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22 
 Số chính ph−ơng chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24 
 Số chính ph−ơng chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32 
 Số chính ph−ơng chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 24 
 Số chính ph−ơng chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52 
 + Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: 
Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a⋮p hoặc b⋮p 
Đặc biệt nếu an ⋮ p thì a⋮p 
 + Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình ph−ơng lên 
không v−ợt quá nó. 
 + Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: 4n 1± 
 + Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: 6n 1± 
 + Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị 
 + Một số bằng tổng các −ớc của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn chỉnh’. 
Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh 
B – BÀI TẬP 
Bài 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601. 
Bài 2. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó. 
Bài 3. Cho A = 5 + 52 + 53 +...+ 5100 
 1) Số A là số nguyên tố hay hợp số? 
 2) Số A có phải là số chính ph−ơng không? 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 4. Số 54 có bao nhiêu −ớc? Viết tất cả các −ớc của nó. 
Bài 5. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số? 
 1) 1.3.5.713 + 20 
 2) 147.247.347 – 13 
Bài 6. Tìm số nguyên tố p sao cho 
 1) 4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30. 
 2) P + 2; p + 4 đều là số nguyên tố. 
 3) P + 10; p +14 đều là số nguyên tố. 
Bài 7. Cho n ∈N*; Chứng minh rằng: 
n conso1 n conso1
A 111...12111...1=  là hợp số. 
Bài 8. 
 1) Cho n là một số không chia hết cho 3. Chứng minh rằng n2 chia 3 d− 1. 
 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số? 
Bài 9. Cho n ∈N, n > 2 và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng n2 – 1 và n2 + 1 không 
thể đồng thời là số nguyên tố. 
Bài 10. Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố, số còn lại 
là số nguyên tố hay hợp số? 
Bài 11. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. 
Bài 12. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số. 
---------- HẾT ---------- 
CHUYEÂN ẹEÀ 6. ệễÙC CHUNG – ệCLN 
 BOÄI CHUNG – BCNN 
A – KIẾN THỨC BỔ SUNG 
1. ƯỚC CHUNG - ƯCLN 
 + Nếu a⋮ b thì (a,b) = b. 
 + a và b nguyên tố cùng nhau ⇔ (a,b) = 1 
 + Muốn tìm −ớc chung của các số đã cho ta tìm các −ớc của ƯCLN của các số đó. 
 + Cho ba số a,b,c nguyên tố với nhau từng đôi một nếu (a,b) = 1; (b,c) = 1; (a,c) = 1 
 Tính chất chia hết liên quan đến ƯCLN 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Cho (a,b) = d. Nếu chia a và b cho p thì th−ơng của chúng là những số nguyên tố 
cùng nhau. 
 Cho a.b ⋮ mà (a,m) = 1 thì b ⋮m 
2 . BỘI CHUNG – BCNN 
 + Nếu số lớn nhất trong một nhóm chia hết cho các số còn lại thì số này là BCNN 
của nhóm đó. 
 + Nếu các số nguyên tố với nhau từng đôi một thì BCNN của chúng là tích của các 
số đó. 
 + Muốn tìm BC của các số đã cho, ta tìm bội của BCNN của các số đó. 
 Nâng cao. 
 Tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng. 
a.b = ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b) 
 - Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a và b thì các th−ơng của chúng là những số 
nguyên tố cùng nhau. 
 - Nếu a ⋮ m và a⋮n thì a chia hết cho BCNN(m,n). Từ đó suy ra 
 + Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của 
chúng. 
 + Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết cho 
tích của chúng. 
B – BÀI TẬP 
Bài 1. Tìm ƯCLN rồi tìm ƯC của 48 và 120. 
Bài 2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 120⋮a và 150 ⋮a. 
Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết rằng 210 ⋮ x, 126 ⋮ x và 10 < x < 35. 
Bài 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng a⋮120 và a⋮86. 
Bài 5. Tìm các bội chung nhỏ hơn 300 của 25 và 20. 
Bài 6. Một đội y tế có 24 bác sỹ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ 
để số bác sỹ và y tá đ−ợc chia đều cho các tổ? 
Bài 7. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó. 
Biết số sách trong khoảng 200 đến 500. Tìm số sách. 
Bài 8. Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 ng−ời. Tính 
số đội viên của liên đội đó biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150. 
Bài 9. Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 ng−ời, 
nh−ng xếp hàng 7 thì và đủ. Biết rằng số học sinh đó ch−a đến 300. Tính số học sinh 
đó. 
Biờn soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Bài 10. Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150 dm. Một b−ớc nhảy của chó dài 9 dm, một 
b−ớc nhảy của thỏ dài 7 dm và khi chó nhảy một b−ớc thì thỏ củng nhảy một b−ớc. 
Hỏi chó phải nhảy bao nhiêu b−ớc mới đuổi kịp thỏ? 
Bài 11. Tôi nghĩ một số có ba chữ số. 
 Nếu bớt số tôi nghĩ đi 7 thì đ−ợc số chia hết cho 7. 
 Nếu bớt số tôi nghĩ đi 8 thì đ−ợc số chia hết cho 8. 
 Nếu bớt số tôi nghĩ đi 9 thì đ−ợc số chia hết cho 9. 
 Hỏi số tôi nghĩ là số nào? 
Bài 12. Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. 
Bài 13. Chứng minh rằng các số sau đây nguyên tố cùng nhau. 
 1) Hai số lẻ liên tiếp. 
 2) 2n + 5 và 3n + 7. 
Bài 14. ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ. 
Bài 15. Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18. 
Bài 16. Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15. 
Bài 17. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng là 210. 
Bài 18. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khi chia cho 5, cho 7, cho 9 có số d− theo thứ tự là 3, 4, 5. 
Bài 19. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 3, cho 4, cho 5 có số d− theo thứ tự là 1; 3; 1. 
Bài 20. Cho ƯCLN(a,b)= 1. Chứng minh rằng ƯCLN (a + b, ab) = 1. Tìm ƯCLN( a + b, a-b). 
Bài 21. Có 760 quả và cam, vừa táo, vừa chuối. Số chuối nhiều hơn số táo 80 quả, số táo nhiều 
hơn số cam 40 quả. Số cam, số táo, số chuối đ−ợc chia đều cho các bạn trong lớp. 
Hỏi chia nh− vậy thì số học sinh nhiều nhất của lớp là bao nhiêu? mỗi phần có bao 
nhiêu quả mỗi loại? 
Bài 22. 1) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 4, số nhỏ bằng 8. tìm số lớn. 
 2) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 16, số lớn bằng 96, tìm số nhỏ. 
Bài 23. Tìm hai số tự nhiên biết rằng: 
 Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN bằng 28, các số đó trong khoảng từ 300 đến 440. 
 Hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12. 
Bài 24. Tìm hai số tự nhiên biết rằng: 
 Tích bằng 720 và ƯCLN bằng 6. 
 Tích bằng 4050 và ƯCLN bằng 3. 
Bài 25. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau. 
 1) 7n +10 và 5n + 7 
 2) 2n +3 và 4n +8. 
---------- HẾT ----------