Các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học Lớp 6 - Nguyễn Bá Phúc

Một số phương pháp tìm x,y nguyên
I/ Phương pháp dùng tính chất chia hết:
1/ Phương pháp phát hiện tính chia hết:
	Ví dụ 1: 
	3x + 17y = 159 (1)
Giải:
	Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17y cũng chia hết cho 3, do đó y chia hết cho 3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau)
	Đặt y = 3t ( t là số nguyên). Thay vào (1), ta được:
	3x + 17.3t = 159
	 x + 17t = 53
	 => x =53 - 17t
 Do đó ( t )
	Đảo lại thay các biểu thức của x và y vào (1) được nghiệm đúng.
Vậy (1) có vô số (x; y) nguyên được biểu thị bởi công thức:
	 ( t )
2/ Phương pháp đưa về phương trình ước số:
	Ví dụ 2: Tìm x,y nguyên thoả mãn : 
	x.y - x - y = 2
Giải: 
	Ta có: x.y - x - y = 2 x.( y -1) - y = 2
	 x. (y - 1) - (y - 1) = 3
	 (x -1). (y - 1) = 3
Do x, y là các số nguyên nên x - 1, y - 1 cũng là các số nguyên và là ước của 3. Suy ra các trường hợp sau:
	 ; ; ; 
Giải các hệ này ta có các cặp : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0)
3/ Phương pháp tách ra giá trị nguyên:
	Ví dụ 3: Tìm x,y nguyên ở ví dụ 2 bằng cách khác
Giải: 
	Ta có: x.y - x - y = 2
	 x.(y-1) = y+2
	Ta thấy y ( vì nếu y=1 thì x.0 = 3 (không có giá trị x,y nào thoả mãn )
Do đó x = 
Do x nguyên nên nguyên. => y-1 là ước của 3 => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; y-1=-1
Ta cũng có đáp số như ở ví dụ 2
II/ Phương pháp xét số dư từng vế:
	Ví dụ 4: Chứng minh rằng không có x,y nguyên nào thoả mãn các biểu thức sau:
	a/ x2- y2 = 1998
	b/ x2+ y2 = 1999 
Giải: 
	a/ Ta thấy x2 ; y2 chia cho 4 chỉ có số dư là: 0 ; 1 
	nên x2 - y2 chia cho 4 có số dư là : 0 ; 1 ; 3 còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2.
Vậy biểu thức không có giá trị nguyên nào thoả mãn.
	b/ Tương tự ta có x2 + y2 chia cho 4 có số dư là : 0; 1; 2 còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3
	Vậy biểu thức không có giá trị nguyên nào thoả mãn 
	Ví dụ 5: Tìm x,y nguyên thoả mãn : 
	9x + 2 = y2+y (1)
Giải: 
	Ta có phương trình (1) ú 9x+2 = y(y+1)
 Ta thấy vế trái của phương trình là số chia cho 3 dư 2 nên y.(y+1) chia cho 3 cũng dư 2.
	Chỉ có thể: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k)
	Khi đó: 9x+2 = (3k+1).(3k+2)
Thử lại: 
x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát: 
III/ Phương pháp dùng bất đẳng thức:
1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn:
	Ví dụ 6: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Giải:
	Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = x.y.z (1)
Do x, y, z có vai trò như nhau ở trong phương trình (1) nên có thể sắp thứ tự các ẩn như sau:
Do đó : x.y.z = x + y +z 
Chia cả hai vế cho số dương z ta được: x.y 
Do đó: x.y = 
+Với x.y =1 => x=1, y=1thay vào (1)ta được 2 +z = z loại
+Với x.y = 2 =>x=1, y=2 thay vào (1) ta được x = 3
+Với x.y = 3 => x=1, y=3 thay vào (1) ta được z = 2 loại vì trái với sắp xếp y
	Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3
2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn:
	Ví dụ 7: Tìm x,y nguyên thoả mãn : 
Giải: 
	Do vai trò bình đẳng của x và y. Giả sử , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ y
Ta có:
	 (1)
Mặt khác do 
Do đó 
 nên (2)
Từ (1) và (2) ta có : . Do y
+Với y =4 ta được: 
+ Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên
+ Với y = 6 ta được: 
Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6)
3/ Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:
	Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x sao cho 2x+3x=5x
Giải: 
	Chia hai vế cho 5x, ta được:
	 (1)
+Với x=0 vế trái của (1) bằng 2 (loại)
+ Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1 ( đúng)
+ Với x thì:
	Nên: ( loại)
Vậy x = 1
IV/ Phương pháp dùng tính chất của một số chính phương:
1/Sử dụng tính chất chia hết của một số chính phương:
Các tính chất thường dùng:
số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2
Số chính phương chia cho 3 thì có số dư là 0; 1, chia cho 4 có số dư là 0; 1, chia cho 8 có số dư là 0; 1; 4
	Ví dụ 11: 
	Tìm các số nguyên x để 9x+5 là tích của hai số nguyên liên tiếp
Giải:
	Giả sử 9x+5 = n(n+1) với n nguyên thì 36x+20 = 4n2+4n
	=> 36x+21= 4n2+4n+1
	=> 3(12x+7) = (2n+1)2 (1)
Từ (1) => (2n+1)2 , do 3 là số nguyên tố => (2n+1)2 
	Mặt khác ta có 12x+7 không chia hết cho 3 nên 3(12x+7) không chia hết cho 9
Vậy chứng tỏ không tồn tại số nguyên x để 9x+5 là tích của hai số nguyên liên tiếp.
2/ Tạo ra bình phương đúng:
	Ví dụ 12:
	Tìm x,y nguyên thoả mãn :
	2x2+4x+2 = 21-3y2 (1)
Giải:
Phương trình (1) (2)
Ta thấy vế trái chia hết cho 2 => 3(7-y2) lẻ
Ta lại có 7-y2 0 (vì vế trái 0) nên chỉ có thể y2 = 1.
Khi đó phương trình (2) có dạng 2(x2+1) = 18 .
	Các cặp số (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) thoả mãn phương trình (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho.
3/ Xét các số chính phương liên tiếp:
	Hiển nhiên giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương. Do đó với mọi số nguyên a, x ta có:
Không tồn tại x để a2<x2<(a+1)2
Nếu a2<x2<(a+2)2 thì x2=(a+1)2
	Ví dụ 13:
	Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước không tồn tại số nguyên dương x sao cho x(x+1) = k(k+2)
Giải:
	Giả sử x(x+1) = k(k+2) với k nguyên, x nguyên dương. 
Ta có x2+x = k2+2k => x2+x+1 = k2+2k+1 = (k+1)2
Do x>0 nên x2<x2+x+1 = (k+1)2 (1)
Cũng do x>0 nên (k+1)2 = x2+x+1 < x2+2x+1 = (x+1)2 (2)
Từ (1) và (2) => x2 < (k+1)2 < (x+1)2 Vô lí.
Vậy không tồn tại số nguyên dương x để : x(x+1) = k(k+2)
4/ Sử dụng tính chất " nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương"
Ví dụ 14: 
	Tìm x,y nguyên thoả mãn : xy=z2 (1)
Giải:	
	Trước hết ta có thể giả sử (x, y, z) = 1. Thật vậy nếu bộ ba số x0, y0, z0, thoả mãn (1) và có ƯCLN bằng d giả sử x0=dx1; y0=dy1; z0=dz1 có ước chung bằng d thì số còn lại cũng chia hết cho d.
Ta có: z2=xy mà (x;y)=1 nên x=a2, y=b2 với a,b nguyên dương
 => z2=xy=(ab)2 do đó z=ab. 
Như vậy : với t > 0
	Đảo lại ta thấy công thức trên thoả mãn (1). Vậy công thức trên là nghiệm nguyên dương của (1)
5/ Sử dụng tính chất: " nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0 "
	Ví dụ 15: Tìm x,y nguyên thoả mãn :
	x2+xy+y2=x2y2 (1)
Giải: Thêm xy vào hai vế của phương trình (1), ta được: x2+2xy+y2=x2y2+xy
 (2)
 Ta thấy xy và xy+1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0.
Nếu xy = 0 từ (1) => x2+y2=0 nên x=y=0
Nếu xy+1=0 => xy= -1 nên (x; y)=(1;-1) hoặc (x;y)=(-1;1).
Thử các cặp số (0;0), (1;-1), (-1;1) đều là nghiệm của phương trình (1)
V/ Phương pháp lùi vô hạn ( nguyên tắc cực hạn):
	Ví dụ 16: Tìm x,y nguyên thoả mãn :
	x3+2y3=4z3 (1)
Giải:
	Từ (1) ta thấy x, đặt x=2x1 với x1 nguyên. hay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta
được 4x31+y3=2z3 (2). Từ (2) ta thấy , đặt y=2y1 với y1 nguyên thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 ta được: 2x31+4y31=z3 (3)
 Từ (3) ta thấy z đặt z = 2z1 với z1 nguyên. Thây vào (3) rồi chia hai vế cho 2, ta
được: x13+2y13= 4z13 (4)
Như vậy nếu (x; y; z) là nghiệm của (1) thì (x1; y1; z1 ) cũng là nghiệm của (1). Trong đó x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1.
Lập luận tương tự như vậy ta đi đến x, y, z chia hết cho 2k với k. Điều này chỉ xảy ra khi x = y = z = 0
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : x = y = z = 0
C. Bài tập:
Bài 1: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn :
	a. 5x-y = 13
	b .23x+53y= 109
	c. 12x-5y = 21
	d. 12x+17y = 41
Bài 2: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn :
	a/ 1+y+y2+y3 = t3
	b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4
Bài 3: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn :
	a/ 5(x+y)+2 = 3xy
	b/ 2(x+y) = 5xy
	c/ 3x+7 = y(x-3)
Bài 4: Tìm x,y nguyên > 0 thoả mãn :
	5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt
Bài 5: Tìm 12 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Bài 6: Chứng minh rằng, với n là số tự nhiên khác 0.ít nhất cũng có một giá trị trong tập hợp số tự nhiên khác 0 sao cho:
 x1+x2+x3+..+xn= x1x2x3.xn
Bài 7: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :
Bài 8: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :
	a/ 4(x+y+z) = xyz
	b/ x+y+z+9-xyz = 0
Bài 10: Chứng minh phương trình 2x2-5y2=7 không có nghiệm nguyên
Bài 11: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :
Bài 12: Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn :
4 : MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN,ước và bội
Trong chương trỡnh số học lớp 6, sau khi học cỏc khỏi niệm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN), cỏc bạn sẽ gặp dạng toỏn tỡm hai số nguyờn dương khi biết một số yếu tố trong đú cú cỏc dữ kiện về ƯCLN và BCNN. 
Phương phỏp chung để giải : 
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố đó cho để tỡm hai số. 
2/ Trong một số trường hợp, cú thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tớch của hai số nguyờn dương a, b, đú là : ab = (a, b).[a, b], trong đú (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này khụng khú : 
Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*) 
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd 
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**) 
Chỳng ta hóy xột một số vớ dụ minh họa. 
Bài toỏn 1 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Lời giải : Do vai trũ của a, b là như nhau, khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b. 
Từ (*), do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Theo định nghĩa BCNN : 
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 
=> m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. 
Chỳ ý : Ta cú thể ỏp dụng cụng thức (**) để giải bài toỏn này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy ra mn = 15. 
Bài toỏn 2 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. 
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. 
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. 
Vỡ vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18. 
Bài toỏn 3 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. 
Lời giải : 
Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. 
Tỡm được (a, b) = 3, bài toỏn được đưa về dạng bài toỏn 2. 
Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15. 
Chỳ ý : Ta cú thể tớnh (a, b) một cỏch trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta cú ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. 
Bài toỏn 4 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. 
Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. 
Vỡ vậy : a/b = m/n = 2,6 ... 	1) Tính: 
	Bài 1: So sánh 2 luỹ thừa sau: 
	27 và 72
Bài giải:
	 Ta có: 	 27 = 128 
	72 = 49 
	Vì 128 > 49 
	nên 27 > 72 
	 2) Đưa về cùng cơ số ( hoặc số mũ) 
	Bài 1: So sánh các luỹ thừa sau. 
	 a) 95 và 273
	 b) 3200 và 2300
Bài giải:
	 a) Ta có: 	95 = (32)5 = 310
	273 = (33 )3 = 39
	Vì 310 > 39
	nên 95 > 273
	b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
	2300 = (23) 100 = 8100
	Vì 9100 > 8100
	nên 3200 > 2300
	3) Dùng số trung gian. 
	Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 
	3111 và 1714
Bài giải:
	Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 
	 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) 
	Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
	nên 3111 < 1714
	Bài 2: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân 
Bài giải:
	Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 và 1031. 
	 * So sánh 2100 với 1030
	Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10
	1030 = (103)10 = 100010 
	Vì 102410 > 100010
	nên 2100 > 1030 (*) 
	* So sánh 2100 với 1031
	Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26
	= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 
	1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53
	= 231 . 6257. 53 (2) 
	Từ (1) và (2) ta có: 
	231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53
Hay 2100 < 1031 ( **) 
Từ (*),( **) ta có: 
	1031 	< 	2100 	 	< 1031
 Số có 31 chữ số nhỏ nhất 	Số có 32 chữ số nhỏ nhất 
Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân. 
Bài 3: So sánh A và B biết. 
a) A = ; 	B = 
b) 	; B = 
c) A = ; B = 
Bài giải:
 A = 
Nên 19A = = = 1 + 
B = 
nên 19B = = = 1 + 
Vì > 
Suy ra 1 + > 1 + 
Hay 19A > 19B 
Nên A > B 
b) A = 
nên 22 . A = = = 1 - 
B = 
nên 22.B = = = 1- 
Vì > 
 Suy ra 1 - < 1- 
Hay 22 A < 22 B
Nên A < B 
c) Ta có: 
 A = = 
Tương tự B = 
Từ (1) và (2) Ta có
A = + 5 > 5 > 4 > + 3 =B 
nên A > B 
6. Chứng minh: 
1) Nhóm các số một cách thích hợp.
Bài 1: Cho A = 1 + 3 +32 +...+311
 Chứng minh: 
a) A ∶ 13
b) A ∶ 40
Bài giải:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + ...+ (39+ 310+ 311) 
= ( 1+ 3 +32) + 33 . (1 +3 + 32) + ...+39. (1 + 3 + 32) 
= 13 + 33 . 13 + ...+ 39 . 13 
= 13. ( 1+ 33 + ... + 39 ) ∶ 13 
Hay A ∶ 13 
b) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) 
= 40 + 34 . 40 + 38 . 40 
= 40 . ( 1 + 34 + 38) ∶ 40 
Hay A ∶ 40 
2) Thêm bớt một lượng thích hợp.
 Bài 1: Cho 10k - 1 ∶ 19 ( k ẻ N) 
Chứng minh: 
a) 102k - 1 ∶ 19 
b) 103k - 1 ∶ 19 
Bài giải:
a) Ta có: 
102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1)
= 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1) 
= (10k - 1). ( 10k + 1) ∶ 19 vì 10k -1 ∶ 19
 b) 103k - 1 = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) 
Vì 10k - 1 ∶ 19 
102k - 1 ∶ 19 ( theo câu a ) 
3) Dùng chữ số tận cùng của luỹ thừa đặc biệt: 
Bài 1: Cho n ẻN ; n > 1 
Chứng minh: 	 + 1 có tận cùng là 7 
Bài giải:
Vì n > 1 nên 2n ∶ 4 
Suy ra 2n = 4k ( k ẻN *) 
Ta có: + 1 = 24k + 1 = (24)k + 1 
= 16 k + 1 = + 1 = 
Vì 16k = ( k ẻN (*)) 
I : chứng minh một số không phải là số CHÍNH PHƯƠNG
 (Số chớnh phương là bỡnh phương của một số tự nhiờn)
1. Nhỡn chữ số tận cựng 
Vỡ số chớnh phương bằng bỡnh phương của một số tự nhiờn nờn cú thể thấy ngay số chớnh phương phải cú chữ số tận cựng là một trong cỏc chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9. Từ đú cỏc em cú thể giải được bài toỏn kiểu sau đõy : 
Bài toỏn 1 : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khụng phải là số chớnh phương. 
Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cựng của cỏc số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1. Do đú số n cú chữ số tận cựng là 8 nờn n khụng phải là số chớnh phương. 
Chỳ ý : Nhiều khi số đó cho cú chữ số tận cựng là một trong cỏc số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 nhưng vẫn khụng phải là số chớnh phương. Khi đú cỏc bạn phải lưu ý thờm một chỳt nữa : 
Nếu số chớnh phương chia hết cho số nguyờn tố p thỡ phải chia hết cho p2. 
Bài toỏn 2 : Chứng minh số 1234567890 khụng phải là số chớnh phương. 
Lời giải : Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vỡ chữ số tận cựng là 0) nhưng khụng chia hết cho 25 (vỡ hai chữ số tận cựng là 90). Do đú số 1234567890 khụng phải là số chớnh phương. 
Chỳ ý : Cú thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vỡ chữ số tận cựng là 0), nhưng khụng chia hết cho 4 (vỡ hai chữ số tận cựng là 90) nờn 1234567890 khụng là số chớnh phương. 
Bài toỏn 3 : Chứng minh rằng nếu một số cú tổng cỏc chữ số là 2004 thỡ số đú khụng phải là số chớnh phương. 
Lời giải : Ta thấy tổng cỏc chữ số của số 2004 là 6 nờn 2004 chia hết cho 3 mà khụng chia hết 9 nờn số cú tổng cỏc chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà khụng chia hết cho 9, do đú số này khụng phải là số chớnh phương. 
2. Dựng tớnh chất của số dư 
Chẳng hạn cỏc em gặp bài toỏn sau đõy : 
Bài toỏn 4 : Chứng minh một số cú tổng cỏc chữ số là 2006 khụng phải là số chớnh phương. 
. Chắc chắn số này chia cho 3 phải dư 2. Từ đú ta cú lời giải. 
Lời giải : Vỡ số chớnh phương khi chia cho 3 chỉ cú số dư là 0 hoặc 1 mà thụi (coi như bài tập để cỏc em tự chứng minh !). Do tổng cỏc chữ số của số đú là 2006 nờn số đú chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đó cho khụng phải là số chớnh phương. 
Tương tự cỏc em cú thể tự giải quyết được 2 bài toỏn : 
Bài toỏn 5 : Chứng minh tổng cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ 1 đến 2005 khụng phải là số chớnh phương. 
Bài toỏn 6 : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 khụng là số chớnh phương. 
Bõy giờ cỏc em theo dừi bài toỏn sau để nghĩ tới một “tỡnh huống” mới. 
Bài toỏn 7 : Chứng minh số :
n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 khụng là số chớnh phương.
Nhận xột : Nếu xột n chia cho 3, cỏc em sẽ thấy số dư của phộp chia sẽ là 1, thế là khụng “bắt chước” được cỏch giải của cỏc bài toỏn 3 ; 4 ; 5 ; 6. Nếu xột chữ số tận cựng cỏc em sẽ thấy chữ số tận cựng của n là 9 nờn khụng làm “tương tự” được như cỏc bài toỏn 1 ; 2. Số dư của phộp chia n cho 4 là dễ thấy nhất, đú chớnh là 3. Một số chớnh phương khi chia cho 4 sẽ cho số dư như thế nào nhỉ ? Cỏc em cú thể tự chứng minh và được kết quả : số dư đú chỉ cú thể là 0 hoặc 1. Như vậy là cỏc em đó giải xong bài toỏn 7. 
3. “Kẹp” số giữa hai số chớnh phương “liờn tiếp” 
Cỏc em cú thể thấy rằng : Nếu n là số tự nhiờn và số tự nhiờn k thỏa món n2 < k < (n + 1)2 thỡ k khụng là số chớnh phương. Từ đú cỏc em cú thể xột được cỏc bài toỏn sau : 
Bài toỏn 8 : Chứng minh số 4014025 khụng là số chớnh phương. 
Nhận xột : Số này cú hai chữ số tận cựng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Thế là tất cả cỏc cỏch làm trước đều khụng vận dụng được. Cỏc em cú thể thấy lời giải theo một hướng khỏc. 
Lời giải : Ta cú 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nờn 20032 < 4014025 < 20042. Chứng tỏ 4014025 khụng là số chớnh phương. 
Bài toỏn 9 : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khụng là số chớnh phương với mọi số tự nhiờn n khỏc 0. 
Nhận xột : Đối với cỏc em đó làm quen với dạng biểu thức này thỡ cú thể nhận ra A + 1 là số chớnh phương (đõy là bài toỏn quen thuộc với lớp 8). Cỏc em lớp 6, lớp 7 cũng cú thể chịu khú đọc lời giải. 
Lời giải : Ta cú : 
A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2. 
Mặt khỏc : 
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A. 
Điều này hiển nhiờn đỳng vỡ n ≥ 1. Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 A khụng là số chớnh phương. 
Cỏc em cú thể rốn luyện bằng cỏch thử giải bài toỏn sau : 
Bài toỏn 10 : Hóy tỡm số tự nhiờn n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chớnh phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2. 
Bài toỏn 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 khụng là số chớnh phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến phộp chia cho 3 hoặc phộp chia cho 4. 
Bài toỏn 12 : Cú 1000 mảnh bỡa hỡnh chữ nhật, trờn mỗi mảnh bỡa được ghi một số trong cỏc số từ 2 đến 1001 sao cho khụng cú hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh rằng : Khụng thể ghộp tất cả cỏc mảnh bỡa này liền nhau để được một số chớnh phương. 
Bài toỏn 13 : Chứng minh rằng : Tổng cỏc bỡnh phương của bốn số tự nhiờn liờn tiếp khụng thể là số chớnh phương. 
Gợi ý : Nghĩ tới phộp chia cho 4. 
Bài toỏn 14 : Chứng minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 khụng là số chớnh phương. 
Gợi ý : Nghĩ đến phộp chia cho  một chục (?) 
Bài toỏn 15 : Lỳc đầu cú hai mảnh bỡa, một cậu bộ tinh nghịch cứ cầm một mảnh bỡa lờn lại xộ ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lỳc nào đú sẽ được số mảnh bỡa là một số chớnh phương. Cậu ta cú thực hiện được mong muốn đú khụng ? 
 2 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Phương phỏp 1 : Dựa vào định nghĩa. 
Ta biết rằng, số chớnh phương là bỡnh phương của một số tự nhiờn. Dựa vào định nghĩa này, ta cú thể định hướng giải quyết cỏc bài toỏn. 
Bài toỏn 1 : Chứng minh : Với mọi số tự nhiờn n thỡ an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chớnh phương. 
Lời giải : Ta cú :
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1 
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
Với n là số tự nhiờn thỡ n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiờn, theo định nghĩa, an là số chớnh phương. 
Bài toỏn 2 : Chứng minh số : là số chớnh phương. 
Lời giải :
Ta cú : 
 Vậy : là số chớnh phương. 
Phương phỏp 2 : Dựa vào tớnh chất đặc biệt. 
Ta cú thể chứng minh một tớnh chất rất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiờn nguyờn tố cựng nhau và a.b là một số chớnh phương thỡ a và b đều là cỏc số chớnh phương”.
Bài toỏn 3 : Chứng minh rằng : Nếu m, n là cỏc số tự nhiờn thỏa món 3m2 + m = 4n2 + n thỡ m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chớnh phương.
Lời giải :
Ta cú : 3m2 + m = 4n2 + n 
tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) 
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thỡ (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chia hết cho d. 
Mặt khỏc, từ (*) ta cú : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d. 
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta cú 1 chia hết cho d => d = 1. 
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là cỏc số tự nhiờn nguyờn tố cựng nhau, thỏa món (*) nờn chỳng đều là cỏc số chớnh phương. Cuối cựng xin gửi tới cỏc bạn một số bài toỏn thỳ vị về số chớnh phương :
1) Chứng minh cỏc số sau đõy là số chớnh phương : 
2) Cho cỏc số nguyờn dương a, b, c đụi một nguyờn tố cựng nhau, thỏa món : 1/a + 1/b = 1/c. Hóy cho biết a + b cú là số chớnh phương hay khụng ? 
3) Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiờn n thỡ 3n + 4 khụng là số chớnh phương. 
4) Tỡm số tự nhiờn n để n2 + 2n + 2004 là số chớnh phương.
5) Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiờn thỡ a là số chớnh phương.