Báo cáo Chuyên đề tháng 12 - Tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó có UCLN và BCNN - Nguyễn Thị Kim Anh

 Thø ngµy th¸ng 12 n¨m 2010
 B¸O C¸O CHUY£N §Ó TH¸NG 12
Ng­íi b¸o c¸o : NguyÔn ThÞ Kim Anh
Tªn chuyªn ®Ò : T×m hai sè nguyªn d­¬ng khi biÕt mét sè yÕu tè trong 
 ®ã cã UCLN vµ BCNN
 A-§ÆT VÊN §Ò
 Trong ch­¬ng tr×nh sè häc 6, häc sinh chØ míi biÕt ®Õn c¸c kh¸I niÖm ­íc chung lín nhÊt ( UCLN ) vµ béi chung nhá nhÊt ( BCNN ) , cßn c¸c øng dông cña chóng häc sinh chØ míi biÕt mét phÇn nhá trong viÖc gi¶I c¸c bµi tËp vÒ rót gän ph©n sè hay quy ®ång mÉu sè Trong khi ®ã UCLN vµ BCNN cã vai trß rÊt quan träng trong viÖc gi¶I c¸c bµi tËp vÒ t×m hai sè nguyªn d­¬ng khi biÕt mét sè yÕu tè trong ®ã cã c¸c d÷ kiÖn vÒ UCLN vµ BCNN , c¸c bµi tËp vÒ t×m sè 
 Do ®ã ®Ó häc sinh hiÓu s©u h¬n vÒ c¸c øng dông cña UCLN vµ BCNN trong viÖc gi¶I to¸n ®ång thêi t¹o høng thó häc tËp cho häc sinh , t«I ®­a ra mét sè øng dông cña UCLN vµ BCNN.
 Mét sè bµi to¸n cã liªn quan ®Õn viÖc t×m sè : 
T×m hai sè nguyªn d­¬ng a,b biÕt : tÝch vµ UCLN ( BCNN )
T×m hai sè nguyªn d­¬ng a,b biÕt : ka+lb=m vµ UCLN ( BCNN )
T×m hai sè nguyªn d­¬ng a,b biÕt : UCLV vµ BCNN
T×m hai sè nguyªn d­¬ng a,b biÕt : m.UCLN + n.BCNN=k vµ p.a+q.b=m
 B- NéI DUNG
1- Ph­¬ng ph¸p chung:
 1.1- Dùa vµo ®Þnh nghÜa UCLN ®Ó biÓu diÔn hai sè ph¶I t×m, liªn hÖ víi c¸c yÕu tè ®· cho ®Ó t×m hai sè .
 1.2 - Trong mét sè tr­êng hîp cã thÓ sö dông mèi quan hÖ ®Æc biÖt gi÷a UCLN< BCNN vµ tÝch cña hai sè nguyªn d­¬nga,b ®ã lµ: 
 a.b=(a,b) , (a,b) lµ UCLN vµ lµ BCNN cña a vµ b
2- Mét sè vÝ dô minh häa
 Bµi to¸n 1 :
 T×m hai sè nguyªn d­¬ng a,b biÕt : 
 =900 vµ (a,b) =10
 Lêi gi¶I :
Do vai trß a,b lµ nh­ nhau, kh«ng mÊt tÝnh qu¸t, gi¶ sö ab ,do (a,b)=10 nªn a=10a1 ; b=10b1, a1 1 (do ab)
 Víi a1,b1z+; (a1,b1)=1
 Theo ®Þnh nghÜa BCNN :
 =a1b1d (d=(a,b) )=a1b110=900 a1b1=90
 1=1 , b1 =90 a=10, b=900
 1=2 , b1=45 a=20, b=450
 1=5 , b1=18 a=50 , b=180
 1=9 , b1=10 a=90 , b=100
 Bµi to¸n 2 :
 T×m sè nguyªn d­¬ng a,b, biÕt ab=24300 vµ (a,b)=45
 Lêi gi¶i
 LËp luËn nh­ bµi 1, gi¶ sö a:
Do (a,b)=45 a=45a1, b=45b1 víi a1,b1 z+ , (a1,b1)=1 ; a1 b1
V× vËy ab=45a1.45b1=2025a1b1 24300=2025a1b1 a1b1=12
 1=1 , b1=12 a=45 , b=540
 1=3 , b1=4 a=135 , b=180
 Bµi to¸n 3 :
 T×m hai sè nguyen d­¬ng a.b biÕt ab=4320 vµ BCNN (a,b)=360
 Lêi gi¶I :
Ta cã ab =(a,b) (a,b)=12 , bµi to¸n ®­a vÒ d¹ng bµi to¸n 2: 
 a =12 ; b=360
 KÕt qu¶ a =24 ; b=180
 a =36 ; b=120
 a =60 ; b=72
 Bµi to¸n 4: 
T×m hai sè nguyªn d­¬ng a,b biÕt : =2,6 vµ (a,b) =5
 Lêi gi¶I :
Ta cã : (a,b)=5 a=5a1, b=5b1 , víi a1, b1 Z+ ,( a1,,b1) =1.
V× vËy: =2.6 
 a1 =13 a =65
 b1 =5 b =25 
 Bµi to¸n 5:
 T×m a,b biÕt : vµ 
 Lêi gi¶I :
§Æt (a,b) =d v× , mÆt kh¸c (4,5) =1 nªn a=4d , b=5d 
 L­u ý d=7 a =28 , b =35
 Bµi to¸n 6 :
 T×m hai sè nguyªn d­¬ng a,b biÕt : a+b =84 vµ (a,b) =6
 Lêi gi¶I :
Gi¶ sö a b . Do (a,b) =6 nªn a=6a1 , b=6b1 , víi a1,b1 Z+ (a1,b1) =1 ; 
V× vËy : a+b =84 6(a1,b1) =84 a1 + b1 =14
 1 =1 ; b1 =13 a =6 ; b =78
 1 =3 ; b1 =11 a =18 ; b =66
 1 =5 ; b1 =9 a =30 ; b =54
 Bµi to¸n 7 :
 T×m a,b biÕt : a+b=42 vµ =72
 Lêi gi¶I :
Gäi d=(a,b) a=a1d , b=b1d víi a1.b1 Z+ , (a1,b1)=1
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö ab a1 b1 
Do ®ã a+b= d(a1+b1) =42 (1)
= a1b1d =72 (2)
 d lµ UC(42,72)
 d 1,2,3,6 
LÇn lùot thay c¸c gi¸ trÞ cña d vµo (1) vµ (2) ®Ó tÝnh a1, b1 ta thÊy chØ cã tr­êng hîp :
 1 + b1=7 a1 =3
 ® =6 a1.b1 =12 b1 =4
 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña a1,b1 )
 a =18
 Vëy d=6 vµ b =24
 Bµi to¸n 8:
 T×m a,b biÕt a -b=7 
 Lêi gi¶I :
Gäi d=(a,b) a=a1d , b=b1d víi a1,b1 Z+ , (a1,b1) =1 
Do ®ã a-b=d(a1-b1) =7 (3) 
 a1b1d =140 (4)
 d 1,7 
Thay lÇn l­ît c¸c gi¸ trÞ cña d vµo (3) vµ (4) ®Ó tÝnh a1,b1 ta ®­îc kÕt qu¶ duy nhÊt :
 1-b1=1 a1=5
d =7 a1b1 =20 b1 =4
 a=35
 vËy d=7 vµ b =28 
 C - KÕT LUËN 
 Trªn ®©y lµ mét sè bµi to¸n cñng nh­ ph­¬ng ph¸p gi¶imµ b¶nth©n t«I tÝch luü ®­îc qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc sinh, rÊt mong ®­îc sù gãp ý cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp . Xin ch©n thµnh c¶m ¬n .