Tổng hợp đề thi học sinh giỏi Toán học Lớp 7

QuËn t©n phó - tphcm
Năm học 2003 – 2004
(90 phút)
Bài 1 (3đ):
1, Tính: P = 
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A = 
Tính giá trị của A biết là số nguyên âm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):
Tìm x biết:
 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. 
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ?
Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
2, 
Bài 5 (3đ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.
2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. 
Chứng minh: AE = AB
thÞ x· hµ ®«ng – hµ t©y
Năm học 2003 – 2004
(120 phút)
Bài 1 (4đ):
Cho các đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 
1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tính giá trị của M(x) khi x = 
3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?
Bài 2 (4đ):
1, Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tìm x biết:
Bài 3 (4đ):
Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
1, P = có giá trị lớn nhất
2, Q = có giá trị nguyên nhỏ nhất
Bài 4 (5đ):
Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tính AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):
Cho ∆ABC cân tại A, . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho .
Tính góc ADB ?
Tp hcm
Năm học 2004 – 2005
(90 phút)
Bài 1 (3đ): Tính:
1, 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 
Bài 2 (3đ):
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức:
Bài 3 (4đ): 
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số: 
y = 
Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
 quÕ vâ – bn
Năm 2007 – 2008:
(120 phút)
Bài 1 (5đ): 
1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729
 2, Tính :
 A = + 
Bài 2 (3đ):
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
Bài 3 (4đ):
 Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?
Câu 4 (6đ):
 Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE.
 1, Chứng minh: BE = DC.
 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC.
Bài 5 (2đ):
 Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
§Ò sè 5
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a, Cho 
Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ?
b) Sè cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
C©u 2: (2 ®iÓm)
 Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. 
TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ?
C©u 3: 
a) Cho víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ.
 	Chøng tá r»ng: . BiÕt r»ng 
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho DABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB.
a) Chøng minh r»ng: DABF = DACE
b) FB ^ EC.
C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m ch÷ sè tËn cïng cña 
§Ò sè 6
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh 
b) Cho 
Chøng minh r»ng .
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu th× 
(gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
b) T×m x biÕt: 
C©u 3: (2®iÓm)
a) Cho ®a thøc víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn.
Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ?
C©u 4: (3 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng:
a) DM = EN
b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN.
c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC.
C©u 5: (1 ®iÓm) 
T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
§Ò sè 7
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh:
A = 
B = 
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: 
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: kh«ng lµ sè nguyªn.
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: .
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) T×m hai sè d­¬ng kh¸c nhau x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12.
b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian m¸y bay bay tõ A ®Õn B Ýt h¬n thêi gian « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ 16 giê. 
Hái tµu ho¶ ch¹y tõ A ®Õn B mÊt bao l©u ?
C©u 4: (3 ®iÓm) 
 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. 
Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: 
§Ò sè 8
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d­¬ng ®Òu cã:
A= 
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho lµ sè nguyªn tè.
Bµi 2: ( 2 ®iÓm)
a) T×m sè nguyªn n sao cho 
b) BiÕt 
Chøng minh r»ng: 
Bµi 3: (2 ®iÓm)
An vµ B¸ch cã mét sè b­u ¶nh, sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi ch­a ®Õn 100. Sè b­u ¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch. 
+ B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b­u ¶nh cña t«i.
+ An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n. 
TÝnh sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
Cho DABC cã gãc A b»ng 1200 . C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF .
a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña DADB.
b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:
§Ò sè 9
Bµi 1: (2 ®iÓm)
TÝnh: 
Bµi 2: (3 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 77.
b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
c) Chøng minh r»ng: P(x) cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
 vµ 
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho: chia hÕt cho 7.
Bµi 4: (2 ®iÓm)
 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: (a, b Î Z )
§Ò sè 10
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) T×m sè nguyªn d­¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a.
b) TÝnh 
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho 
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 3: (2 ®iÓm) 
 Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. 
TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH ^ BC (H Î BC). VÏ AE ^ AB vµ AE = AB (E vµ C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AH (M, N Î AH). EF c¾t AH ë O. 
Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
So s¸nh: vµ 
§Ò sè 11
C©u 1: (2 ®iÓm)
TÝnh : ; 	
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
b) T×m x, y, z biÕt: (x, y, z )
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d­¬ng ta cã:
 	 chia hÕt cho 10.
b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 
C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh:
a) AC // BP.
b) AK ^ MN.
C©u 5: (1 ®iÓm)
 Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn. Chøng minh r»ng:
 ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0.
§Ò sè 12
C©u 1: (2 ®iÓm) 
TÝnh:
C©u 2: ( 2, 5 ®iÓm) 
1) T×m sè nguyªn m ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1.
b) 
2) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d­¬ng.
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) T×m x, y, z biÕt:
 	; vµ 
b) Cho . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. 
Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn.
C©u 4: (2,5 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH).
 a) Chøng minh: EM + HC = NH.
 b) Chøng minh: EN // FM.
C©u 5: (1 ®iÓm)
 Cho lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh lµ hîp sè.
§Ò sè 13
C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh:
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi 
b) T×m x nguyªn ®Ó chia hÕt cho 
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
a) T×m x, y, z biÕt vµ 
b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót. 
TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B.
C©u 4: (3 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®­êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®­êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
c) AM ^ EF.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng tá r»ng: 
§Ò sè 14
C©u 1: (2 ®iÓm) 
a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
b) TÝnh tæng: 
C©u 2: (2 ®iÓm)
1) T×m x biÕt: 
2) Trªn qu·ng ®­êng KÐp - B¾c giang dµi 16,9 km, ng­êi thø nhÊt ®i tõ KÐp ®Õn B¾c Giang, ng­êi thø hai ®i tõ B¾c Giang ®Õn KÐp. VËn tèc ng­êi thø nhÊt so víi ng­êi thø hai b»ng 3: 4. §Õn lóc gÆp nhau vËn tèc ng­êi thø nhÊt ®i so víi ng­êi thø hai ®i lµ 2: 5. 
Hái khi gÆp nhau th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ?
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Cho ®a thøc (a, b, c nguyªn).  ... iªu lÇn ?
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 59.
b) Cho x, y lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng 5x + 2y chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi 9x + 7y chia hÕt cho 17.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng nÕu: th× 
Bµi 4: (3 ®iÓm) 
 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c trung tuyÕn BE vµ CF. Trªn tia ®èi cña tia EB lÊy ®iÓm M sao cho EM = EB. Trªn tia ®èi cña tia FC lÊy ®iÓm N sao cho FN = FC. 
Chøng minh A lµ trung ®iÓm cña MN.
Bµi 5: (1 ®iÓm) 
T×m c¸c sè nguyªn nguyªn d­¬ng x, y, z biÕt r»ng:
 vµ 
§Ò sè 34
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh 
b) Chøng tá r»ng: 
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng tån t¹i sè cã d¹ng 323232 chia hÕt cho 31.
b) T×m n ÎN* ®Ó 
Bµi 3: (3 ®iÓm)
a) H·y t×m sè biÕt 
b) T×m x, y biÕt r»ng: vµ 
c) T×m a, b biÕt r»ng: 
Bµi 4: (1 ®iÓm)
 G¹o chøa trong 3 kho theo tØ lÖ 1,3 : . G¹o chøa trong kho thø hai nhiÒu h¬n kho thø nhÊt 43,2 tÊn. Sau 1 th¸ng ng­êi ta tiªu thô hÕt ë kho thø nhÊt 40%, ë kho thø hai lµ 30%, kho thø 3 lµ 25% cña sè g¹o trong mçi kho. 
Hái 1 th¸ng tÊt c¶ ba kho tiªu thô hÕt bao nhiªu tÊn g¹o ?
Bµi 5: (2 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm D sao cho AC = AD. Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AB = AE.
a) Nèi D, E . Chøng minh BC = DE.
b) Chøng minh ®­êng ph©n gi¸c cña gãc BAE vu«ng gãc víi CD.
§Ò sè 35
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh mét c¸ch hîp lÝ:
b) Chøng minh r»ng: 
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) BiÕt 
TÝnh nhanh: 
b) Chøng minh r»ng: 
C©u 3: (2 ®iÓm) 
Hai ng­êi ®Ü xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B c¸ch nhau 11 km ®Ó ®Õn C (Ba ®Þa ®iÓm A, B, C cïng ë trªn mét ®­êng th¼ng). VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h, cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. 
TÝnh qu·ng ®­êng cña mçi ng­êi ®· ®i, biÕt r»ng hä ®Õn C cïng mét lóc.
C©u 4: (3 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC víi vµ . KÎ AH vu«ng gãc víi BC (H thuéc BC). Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm E sao cho BE = BH. §­êng th¼ng HE c¾t AC t¹i D.
a) Chøng minh: BAC.
b) Chøng minh DA = DH = DC.
c) LÊy ®iÓm B’ sao cho H lµ trung ®iÓm cña BB’. Chøng minh r»ng ∆AB’C c©n.
d) Chøng minh: AE = HC.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng nÕu cã c¸c sè a, b, c, d tho¶ m·n ®¼ng thøc:
 th× chóng lËp thµnh mét tØ lÖ thøc.
§Ò sè 36
Bµi 1: (3 ®iÓm)
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
b) T×m x, a, b nguyªn d­¬ng biÕt x + 3 = 2a vµ 3x + 1 = 4b.
c) T×m a, b, c biÕt 8a = 5b ; 7b = 12c ; a + b + c = -318.
d) T×m a, b, c biÕt: vµ ab + ac + bc =11
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho a, b, c, x, y, z nguyªn d­¬ng vµ a, b, c 
tho¶ m·n: ax = bc ; by = ac ; cz = ab
Chøng minh: xyz - x - y - z =2
b) Cho a, b, c kh¸c 0, , , 
tho¶ m·n: 
Chøng minh: 
Bµi 3: (2 ®iÓm) 
Cho 23 sè nguyªn kh¸c 0: a1 , a2, a3 , ., a23 cã tÝnh chÊt:
* a1 d­¬ng.
* Tæng 3 sè liªn tiÕp bÊt k× d­¬ng.
* Tæng cña c¶ 23 sè lµ ©m.
Chøng minh: a2 ©m vµ a1 d­¬ng.
Bµi 4: (3 ®iÓm) 
 Cho DABC vu«ng t¹i A vµ AB < AC. VÏ ®­êng cao AH, trªn ®o¹n HC lÊy ®iÓm M sao cho BM = AB. Tia ph©n gi¸c cña gãc ABC c¾t AH t¹i N vµ AM t¹i E.
a) Chøng minh AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HAC.
b) Chøng minh MN vu«ng gãc víi AB.
§Ò sè 37
Bµi 1: (2 ®iÓm)
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
a) 
b) 
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 14.
b) Cho x, y Î Z. Chøng minh r»ng: (6x + 11y) chia hÕt cho 31 khi vµ chØ khi 
(x + 7y) chia hÕt cho 31.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng nÕu: (a, b, c, d 0)
Th× 
Bµi 4: (2 ®iÓm) 
 Cho tam gi¸c ABC nhän, c¸c ®­êng cao BD, CE. Trªn tia ®èi cña tia BD lÊy ®o¹n th¼ng BH b»ng AC. Trªn tia ®èi cña tia CE lÊy ®o¹n th¼ng CK b»ng AB. Chøng minh r»ng:
a) BAH = CKA
b) AH ^ AK
Bµi 5: (1 ®iÓm)
 Cho hai sè nguyªn a vµ b chia cho 3 cã cïng sè d­ kh¸c 0.
 	Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 3.
§Ò sè 38
Bµi 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh:
a) 
b) 
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 59.
b) Chøng minh r»ng nÕu (3a + 2b) chia hÕt cho 17 th× (10a + b) chia hÕt cho 17 vµ ng­îc l¹i.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) T×m x, y, z biÕt: ; vµ 
b) Cho tØ lÖ thøc: . Chøng minh r»ng: 
Bµi 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC (gãc B = 900 ). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa ®iÓm C vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa ®iÓm B vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC. Trªn tia Ax lÊy ®iÓm D sao cho AD = AB. Trªn tia Ay lÊy ®iÓm E sao cho 
AE = AC. Chøng minh r»ng:
a) AD // BC.
b) DDAC = DBAE.
c) CD ^ BE.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho p vµ 2 p + 1 lµ 2 sè nguyªn tè, p > 3. Chøng minh r»ng 4p +1 lµ hîp sè.
§Ò sè 39
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) T×m x sao cho biÓu thøc A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt:
b) T×m c¸c sè h÷u tØ a vµ b biÕt r»ng a - b = a : b vµ a - b = 3(a + b).
C©u 2: (2 ®iÓm) 
Chøng minh r»ng:
a) Tån t¹i sè cã d¹ng 1997k (k Î N) cã tËn cïng lµ 0001.
b) NÕu th× 
C©u 3: (2 ®iÓm) 
Cho hµm sè 
a) X¸c ®Þnh m ? BiÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm A(1; 1)
b) VÏ ®å thÞ cña hµm sè ®ã vµ nhËn xÐt vÒ d¹ng cña ®å thÞ ?
C©u 4: (2 ®iÓm)
 Trong ngµy tÕt trång c©y nhµ tr­êng dù ®Þnh giao cho líp 7A, 7B, 7C trång sè c©y theo tØ lÖ 5 : 4 : 3. Nh­ng do sè häc sinh c¸c líp ®i trång c©y cã thay ®æi nªn sè c©y ®­îc chia cho c¸c líp tØ lÖ víi 4 : 3 : 2. Nh­ vËy cã mét líp trång sè c©y Ýt h¬n so víi dù ®Þnh lµ 2 c©y vµ cã mét líp trång sè c©y nhiÒu h¬n so víi dù ®Þnh lµ 2 c©y.
 TÝnh sè c©y mçi líp ®· trång ®­îc ?
C©u 5: (2 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ®Òu ABC trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bê lµ ®­êng th¼ng AB ta dùng ®o¹n th¼ng MB vu«ng gãc víi AB vµ MB = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B cã bê lµ ®­êng th¼ng AC ta dùng ®­êng th¼ng NC vu«ng gãc víi AC vµ NC = AC. §­êng th¼ng MN c¾t AB t¹i E vµ c¾t AC t¹i F.
a) Chøng minh: EF // BC.
b) Chøng minh r»ng nÕu thay ®æi ®é dµi c¹nh cña tam gi¸c ABC th× tØ sè gi÷a BE vµ NF vÉn kh«ng thay ®æi.
c) H·y chØ ra tÝnh chÊt chung nhÊt cña 3 ®o¹n th¼ng MN, EF vµ BC.
§Ò sè 40
C©u 1: (2 ®iÓm)
TÝnh : 
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. BiÕt p + 2 còng lµ sè nguyªn tè.
Chøng minh r»ng: p + 1 chia hÕt cho 6.
b) T×m mét sè cã ba ch÷ sè. BiÕt r»ng sè ®ã cã tËn cïng b»ng ch÷ sè 7 vµ nÕu chuyÓn ch÷ sè 7 lªn vÞ trÝ ®Çu th× ®­îc mét sè míi. Sè nµy khi chia cho sè ph¶i t×m th× ®­îc th­¬ng lµ 2 vµ d­ 21.
C©u 3: (2 ®iÓm)
 Mét tr­êng cã ba líp 7. BiÕt r»ng sè häc sinh líp 7A b»ng sè häc sinh líp 7B, sè häc sinh líp 7B b»ng sè häc sinh líp 7C. BiÕt r»ng tæng hai lÇn sè häc sinh líp 7A víi ba lÇn sè häc sinh líp 7B th× nhiÒu h¬n bèn lÇn sè häc sinh líp 7C lµ 19 b¹n. 
TÝnh sè häc sinh cña mçi líp.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã . Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D. §­êng th¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi AD c¾t tia BC t¹i E. Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh r»ng:
a) AM = DM.
b) Tam gi¸c ACM lµ tam gi¸c c©n.
c) Chu vi tam gi¸c ABC b»ng ®é dµi ®o¹n th¼ng BE.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: 
§Ò sè 41
C©u 1: (2,25 ®iÓm)
1) TÝnh: 
2) So s¸nh: vµ 
3) XÐt biÓu thøc: 
a) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A cã nghÜa.
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã ?
C©u 2: (1,5 ®iÓm)
1) T×m ph©n sè cã mÉu b»ng 20. BiÕt nã lín h¬n nh­ng nhá h¬n .
2) T×m sè nguyªn n sao cho: (n2 + 2n - 7) chia hÕt cho (n + 2).
3) Cho p vµ 2p + 1 lµ sè nguyªn tè (p > 3). Chøng minh r»ng: 4p + 1 lµ hîp sè.
C©u 3: (2,25 ®iÓm)
1) Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
2) Chøng minh r»ng: : 55 lµ sè tù nhiªn.
3) Trªn cïng hÖ trôc to¹ ®é vÏ c¸c ®å thÞ hµm sè y = vµ y = 2. 
a, TÝnh diÖn tÝch h×nh tam gi¸c giíi h¹n bëi hai ®å thÞ ®ã ? 
b, Dïng ®å thÞ ®Ó t×m gi¸ trÞ cña x sao cho .
C©u 4: (1,5 ®iÓm) 
 T×m 3 ph©n sè, biÕt r»ng tæng cña chóng b»ng c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3, 4, 5; c¸c mÉu cña chóng tØ lÖ víi 5, 1, 2.
C©u 5: (2,5 ®iÓm) 
 Cho tam gi¸c ABC. VÏ ®o¹n AD b»ng vµ vu«ng gãc víi AB (D, C n»m kh¸c phÝa ®èi víi AB) . VÏ ®o¹n th¼ng AE b»ng vµ vu«ng gãc víi AC (E vµ B n»m kh¸c phÝa ®èi víi AC) ; vÏ ®o¹n AH vu«ng gãc víi BC. §­êng th¼ng HA c¾t DE ë K. 
Chøng minh r»ng DK = KE.
 §Ò sè 42
PhÇn I: Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan (2 ®iÓm)
H·y chän chØ mét ch÷ c¸i ®øng tr­íc c©u tr¶ lêi ®óng:
a) So s¸nh: vµ .
A. > ; 	 B. = ;	 C. < 
2) Tam gi¸c ABC cã . TÝnh vµ 
A. 700 vµ 500 ; B. 650 vµ 450; C. 600 vµ 400; D. 500 vµ 300 
3) Mét tam gi¸c c©n cã gãc ë ®Ønh b»ng 1100 . Mçi gãc ë ®¸y sÏ cã sè ®o lµ:
A. 700 ; 	 B. 350; 	 C. 400; 	 D. 450
4) NÕu trong mét tam gi¸c vu«ng cã a, c lµ ®é dµi hai c¹nh gãc vu«ng vµ b lµ ®é dµi c¹nh huyÒn th×:
A. ; B. ; C. 
PhÇn 2: Tù luËn (8 ®iÓm)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Cho víi n =1, 2, 3,...
TÝnh S35 + S60 = ?
b) T×m x biÕt: 
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) T×m x biÕt: 
b) T×m x, y, z biÕt: vµ 
Bµi 3: (2 ®iÓm)
 Hai ®Þa ®iÓm A vµ B c¸ch nhau 30 km. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B ®i ng­îc chiÒu nhau. ¤ t« thø nhÊt ®i tõ A, « t« thø hai ®i tõ B, chóng gÆp nhau lÇn thø nhÊt t¹i C c¸ch B lµ 12 km. Sau khi gÆp nhau, « t« thø nhÊt tiÕp tôc ®i ®Õn B råi quay l¹i A. ¤ t« thø hai tiÕp tôc ®i ®Õn A råi quay l¹i B. Chóng gÆp nhau lÇn 2 t¹i D. 
Hái D c¸ch A bao nhiªu km ?
Bµi 4: (2 ®iÓm) 
Cho DABC, gãc BAC = 1200, kÎ ®­êng ph©n gi¸c trong AD. Tõ D h¹ DE vu«ng gãc víi AB vµ DF vu«ng gãc víi AC.
a) Qua C kÎ Cx // AD, Cx c¾t AB t¹i M. DACM lµ tam gi¸c g× ?
b) TÝnh AD biÕt CM = a vµ CF = b (a > b).
§Ò sè 43
Bµi 1: (5 ®iÓm)
Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
Bµi 2: (3 ®iÓm)
a) Cho . Chøng minh r»ng: 
b) T×m sè cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ víi 1; 2; 3.
Bµi 3: (5 ®iÓm)
a) Rót gän biÓu thøc: 
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña y ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt.
Bµi 4: (5 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn l­ît t¹i E vµ D.
a) Chøng minh r»ng: BE = CD vµ AD = AE.
b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD, AI c¾t BC ë M. Chøng minh r»ng c¸c tam gi¸c MAB vµ MAC lµ c¸c tam gi¸c c©n.
c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc BE, c¸c ®­êng nµy c¾t BC lÇn l­ît ë K vµ H. Chøng minh r»ng: KH = KC.
Bµi 5: (2 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC cã AB > AC vµ . §­êng th¼ng ®i qua A vu«ng gãc víi ph©n gi¸c gãc A c¾t ®­êng th¼ng BC t¹i M sao cho BM = BA + AC. 
TÝnh sè ®o gãc B vµ gãc C ?
§Ò sè 44
Bµi 1: (5 ®iÓm)
T×m x biÕt:
a) ; b) 
c) ; d) 
Bµi 2: (3 ®iÓm)
TÝnh:
a) 
b) 
Bµi 3: (4 ®iÓm)
a) T×m a, b, c biÕt : 2a = 3b ; 5b = 7c ; 3a + 5c -7b = 30.
b) T×m hai sè nguyªn d­¬ng sao cho: tæng, hiÖu (sè lín trõ ®i sè nhá), th­¬ng (sè lín chia cho sè nhá) cña hai sè ®ã céng l¹i ®­îc 38.
Bµi 4: (6 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i B, cã trung tuyÕn BM. Gäi D lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc c¹nh AC. KÎ AH, CK vu«ng gãc víi BD (H, K thuéc ®­êng th¼ng BD). Chøng minh:
a) BH = CK
b) Tam gi¸c MHK vu«ng c©n
Bµi 5: (2 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, cã , BC = 2 cm. Trªn AB dùng ®iÓm D sao cho ACD = 100. 
TÝnh ®é dµi AD.