Tổng hợp đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6

®Ò sè 1
Môn : Toán 6
 Năm học : 2009 – 2010
 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề ra
	Bài 1 : Tìm các số nguyên x, y:
	a) và x > y > 0	b) và x < 0 < y
	Bài 2 : Cho hai số x, y trái dấu:
	Tính x - y, biết 2010
	Bài 3 : Một vòi nước chảy vào bể sau 60 phút thì đầy bể. Vòi thứ hai lấy nước ra dùng sau 90 phút thì dùng hết. Người ta dọn bể và tháo nước. Rồi người ta mở vòi thứ nhất chảy vào bể, sau 15 phút đồng thời người ta mở vòi thứ hai lấy nước dùng. Hỏi sau bao lâu nữa bể sẽ đầy ?
	Bài 4 : a) Cho 10m - 1 19. Chứng tỏ rằng : 102m + 18 19
	b) Chứng minh : 3 + 32 + 33 + 34 +  + 325 không chia hết cho 39.
	Bài 5 : Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm O. Gọi M là trung điểm của OA, N là trung điểm của OB và K là trung điểm của AB.
Biết AB = 6. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
So sánh OM và ON
HD
Bài 2: Xét 2 TH x>0 ,y0
Bài 4 : a) Cho 10m - 1 19. Chứng tỏ rằng : 102m + 18 19
C1: Ta co 102m + 18 19 10m – 1+ 10m + 19 19 
C2: Ta cã: 102m + 18 =10 m 10 m + 18= 10 m (10 m -1)+ 10 m+18 1910 m+18 19 (v× 10 m (10 m -1) 19)
Ta cÇn c/m 10 m+18 19. Theo nguyªn lÝ quy n¹p 
+Víi m=1 th× 10 m+18 19=10 1+18 19=38 19 (®óng)
+Víi m = k. Gi¶ sö 10 k+18 19
Ta cÇn c/m 10 m+18 19 ®óng víi m= k+1
ThËt vËy víi m= k+1, ta cã10 m+18 19 =10 k+1+18 19=10 k10+18 19=10(10 k+18)-180+18 19=
 =10(10 k+18)-162 19 lu«n ®óng.
®Ò sè 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN - LỚP 6 
( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) 
Bài 1 ( 2,5 điểm ) : 
 a) Tính tổng S = và chứng tỏ tổng S < 1 ?
 b) So sánh hai phân số và ( với a ; b là số nguyên cùng dấu và a ; b ¹ 0 )
Bài 2 ( 2,5 điểm ) :
Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số, y là số nguyên âm lớn nhất. 
Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007
 b) Tìm x biết 
Bài 3 ( 2,0 điểm ) : 
 Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu ? 
Bài 4 ( 3,0 điểm ) :
 Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ta kẻ các tia Om và On sao cho mOx = a0 ; mOn = b0 ( a > b ). Vẽ tia Ot là phân giác của xOn :
Tính số đo mOt theo a và b trong hai trường hợp ( tia On nằm giữa hai tia Ox và Om ; tia Om nằm giữa hai tia Ox và On ) ?
Trên nửa mặt phẳng bờ là xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vuông góc với tia Ot . Chứng tỏ trong cả hai trường hợp trên ta đều có tia Ot’ là tia phân giác của nOy 
Bài 5 ( 1,0 điểm ) Chứng minh rằng tích của một số chính phương và một số đứng trước nó chia hết cho 12
ĐÁP ÁN
 Bài 1 ( 2,0 điểm )
a) 1,0 điểm
 S = 2. ..........................................................0,25đ
 S = 2.. ..........................................0,25đ
 S = 2. = ................................0,25đ
 Vì 30 < 32 nên S < 1 ..................................0,25đ
b) 1,5 điểm
 Có = 1 - và = 1 + .................................................................0,5đ
 * Nếu a > 0 và b > 0 thì > 0 và > 0 ..................................................0,25đ
 Þ 1 - < 1 + hay < ..........................................................0,25đ
 * Nếu a < 0 và b < 0 thì < 0 và < 0 .................................................0,25đ
 Þ 1 - > 1 + hay > ..........................................................0,25đ 
Bài 2 ( 2,0 điểm )
a) 1,0 điểm 
 Theo bài ta có x = - 99 + ( - 98 ) + ....+ ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + ...+ 98 + 99 ................. 0,25đ
 x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + ... + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .............0,25đ
 x = 0 Þ x2006 = 0
 và y = - 1 Þ y2007 = ( - 1 )2007 = - 1 ............................................................................................0,25đ
Do đó ta có A = 2009 . x2006 - 2008 . y2007 = 0 - 2008.( -1 ) = 2008 .............................................0,25đ 
b) 1,5 điểm
 Ta có 
 Þ ..........................................................................0,25đ
 Þ ......................................................................0,25đ
 Þ ....................................................0,25đ
 Þ Þ .....................................................0,5đ
 Þ -11.x = 22 Þ x = - 2 .................................................................0,25đ
Bài 3 ( 2,0 điểm )
 Gọi phân số tối giản lúc đầu là . Nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số ; phân số này nhỏ hơn phân số 2 lần .............................................................0,5đ
 Để gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a + b phải bằng 4 lần a ..............................0,5đ
 Þ Mẫu số b phải gấp 3 lần tử số a .....................................................................0,5đ
 Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là .........................................................0,5đ
Bài 4 ( 3,0 điểm )
 m t’
2,0 điểm . Xét đủ hai trường hợp : n
* Khi tia On nằm giữa hai tia Ox và Om t
+ Vì tia On nằm giữa hai tia
Om và Ox Þ xOn = a0 - b0 ......................0,25đ	x	y
 O
 + Vì Ot là phân giác của xOn nên nOt = xOn = ................0,25đ 
 + Số đo của mOt là : mOt = mOn + nOt = = ............0,5đ
* khi tia Om nằm giữa hai tia Ox và On m n t’
 + Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và On t
 Þ xOn = xOm + mOn = a0 + b0 ............. 0,25đ
 + Vì Ot là phân giác của xOn nên
 xOt = xOn = ......................0,25đ x O y
 + Số đo của mOt là : mOt = xOm - xOt = = ...................0,5đ 
1,0 điểm 
 Trong cả hai trường hợp trên, ta đều có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 900 ....................0,5đ
 Mà tOn = xOt ( do Ot là phân giác của xOn ) ..................................................0,25đ
nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác của nOy ....................................................0,25đ 
Bài 5 ( 1,0 điểm )
Số chính phương là n2(n Z) số đứng trước nó là n2-1
Ta có (n2-1)n2 =(n+1)(n-1)n2= (n-1)n.n(n+1) 
Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 
Mặt khác (n-1)n là hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
Và n (n+1) chia hết cho 2 
Nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4 
Mà (3;4) = 1 nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 12 
Vậy (n2-1)n2 chia hết cho 12 
®Ò sè 3
---------- Hết ----------
thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 6 N¨m häc 2007-2008
Bµi 1. Cho c¸c sè a, b, c. H·y chøng tá r»ng nÕu 4a + 5b + 7c chia hÕt cho 11 th× 5a + 9b + 6c còng chia hÕt cho 11 (4®iÓm)
Gi¶i: Theo bµi ra ta cã: (4a + 5b + 7c) 11 => 7(4a + 5b + 7c) 11
XÐt tæng: 28a + 35b + 49c + 5a + 9b + 6c = 11(3a + 4b + 5c) 11 => 5a + 9b + 6c 11 
Bµi 2. Cho mét sè cã ba ch÷ sè mµ ch÷ sè cuèi lín h¬n ch÷ sè ®Çu. NÕu viÕt ch÷ sè cuèi lªn tr­íc ch÷ sè ®Çu th× ®­îc mét sè míi lín h¬n sè ®· cho lµ 783. T×m sè ®· cho? (3®iÓm)
Gi¶i: Sè ®· cho biÓu diÔn d­íi d¹ng: 
 Trong ®ã a, b, c N; 
 Sè míi biÓu diÔn d­íi d¹ng: .
 Ta cã: 100c + 10a + b – 100a – 10b – c = 783
 => 99c – 90a – 9b = 783 => 11c – 10a – b = 87 => 11c > 87 => c = 8 hoÆc c = 9
 NÕu c = 8 => 10a + b = 1 => a = 0 (lo¹i).
 NÕu c = 9 => 10a + b = 12 => a = 1, b = 2
 Thö l¹i: 912 – 129 = 783. VËy sè ph¶i t×m lµ 129
Bµi 3. a) T×m x: (2®iÓm)
Gi¶i: => => 
 => 3x = 23 + 6 => x = 
b)T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a vµ b, sao cho ¦CLN (a, b) = 10, BCNN = 100 (4®iÓm)
Gi¶i: Ta cã = 100.10 = 103. Gi¶ sö a = 10a,, b = 10b,, víi (a,, b, ) = 1 => a,b, =10.
VËy , , , => , , , 
Bµi 4. Chu vi cña mét h×nh ch÷ nhËt lµ 60m. NÕu gi¶m chiÒu dµi 10% cña nã vµ t¨ng chiÒu réng 20% cña nã th× chu vi kh«ng ®æi. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt? (4 ®iÓm)
Gi¶i: Tæng chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ 60 : 2 = 30 (m)
Tæng cña 0,9 chiÒu dµi vµ 1,2 chiÒu réng còng b»ng 30m, tøc 0,1 chiÒu dµi b»ng 0,2 chiÒu réng. 
NghÜa lµ tû sè gi÷a chiÒu réng vµ chiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt b»ng VËy:
ChiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt lµ 30 : (1 + 2) . 2 = 20 (m)
ChiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ 30 – 20 = 10 (m)
DiÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt lµ 10 . 20 = 200 (m2)
Bµi 5. Cho tia Oc n»m gi÷a hai tia Oa vµ Ob, tia Om n»m gi÷a hai tia Oa vµ Oc, tia On n»m gi÷a hai tia Oc vµ Ob. Chøng tá r»ng tia Oc n»m gi÷a hai tia Om vµ On (3®iÓm)
 Gi¶i: Gäi n÷a mÆt ph¼ng bê Oc chøa tia Oa lµ P, n÷a mÆt ph¼ng ®èi cña nã lµ Q, nh­ vËy tia Ob thuéc Q. 
 Tia Om n»m gi÷a hai tia Oa vµ Oc nªn c¸c tia Om, Oa thuéc cïng mét n÷a mÆt ph¼ng cã bê Oc, do ®ã tia Om thuéc P.
Tia On n»m gi÷a hai tia Oc, Ob nªn c¸c tia On, Ob thuéc cïng mét n÷a mÆt ph¼ng cã bê Oc, do ®ã tia On thuéc Q.
O
a
m
c
n
b
P
Q
 C¸c tia Om, On thuéc hai n÷a mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê Oc (1).
 Ta l¹i cã (v× tia Om n»m gi÷a hai tia Oc vµ Oa), 
 (v× tia On n»m gi÷a hai tia Oc vµ Ob) 
nªn , 
tøc lµ (2). Tõ (1) vµ (2) 
suy ra tia Oc n»m gi÷a hai tia Om vµ On
®Ò sè 4
§Ò thi häc sinh giái khèi 6
M«n: to¸n Thßi gian 120 phót
 §Ò bµi
Bµi 1: Chøng minh ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho 7
Bµi 2: ViÕt 7. 32 thµnh tæng 3 lòy thõa c¬ sè 2 víi c¸c sè mò lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp
Bµi 3: TÝnh A = 
Bµi 4: Cho biÓu thøc 
A =
 a)B»ng c¸ch ®Æt a= , b = 	
Rót gän biÓu thøc A theo a vµ b
 b)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A
Bµi 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20
Bµi 6: T×m sè d­ khi chia 1963 1964 cho 7
Bµi 7: Mét xÝ nghiÖp ®· lµm mét sè dông cô trong 3 ®ît. §ît 1 ®· lµm ®­îc tæng sè dông cô
§ît 2 lµm ®­îc tæng sè dông cô vµ lµm thªm 25 chiÕc. §ît 3 xÝ nghiÖp lµm nèt 25 dông cô. 
TÝnh tæng sè dông cô.
§¸p ¸n to¸n 6
C©u 1: (3 ®iÓm)
Ch­¬ng minh: ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho 7
Ta cã ( 210 + 211 + 212 ) = 2 10 (1 + 2 + 2 2 ) (1 ®)
mµ (1 + 2 + 2 2 ) chia hÕt cho 7 	 	(1 ®)
do vËy 2 10 (1 + 2 + 2 2 ) chia hÕt cho 7. Do ®ã ( 210 + 211 + 212 ) chia hÕt cho 7	(1 ®)
C©u 2: (3 ®iÓm) 
§Æt sè tù nhiªn thø nhÊt lµ a c¸c sè tiÕp theo lµ a + 1, a + 2
Ta cã: 7 . 32 = 2 a + 2 a+1 + 2 a+2 = 2a +2a 2 + 2a. 22 = 2a (1 + 2 + 22 ) = 2a 7	 (1,5 ®)
7. 32 = 2a 7 Þ 32 = 2a Þ a = 5 (1 ®)
VËy 32 = 2 5 + 2 6 + 2 7
C©u 3: TÝnh A= 
®Æt a = , b = 	(1 ®)
Ta cã: 
= 3ab – 4a (5 + 1 - b) – 5ab + 	(0,5 ®)
= 3ab – 24 a + 4ab – 5ab + 	(0,5 ®)
= 2ab – 24a + 	(0,5 ®)
Thay a = , b = 
 ta cã A = 
 = = (0,5 ®)
C©u 4: A =
a) ®Æt a=, b = 	
Ta cã: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a	(1,5 ®)
b) A = 5a = 5	(1,5 ®)
C©u 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20
C¸ch 1: ta cã (19 45 + 1930 ) = 1930 (1915 +1) 	(1 ®)
Mµ (1915 +1) = BS (19 + 1) chia hÕt cho 20	(1 ®)
Do ®ã: 1930 (1915 +1) chia hÕt cho 20 	(1 ®)
Nªn (19 45 + 1930 ) chia hÕt cho 20	(1 ®)
C©u 6: Ta thÊy 1963 chia cho 7 d­ 3 
Do ®ã 19631964 = (BS 7 +3)1964 = BS 7 + 31964	(1 ®)
XÐt s ...  b»ng 294 vµ béi chung nhá nhÊt cña chóng b»ng 42.
C©u 3. T×m th­¬ng cña mét phÐp chia, biÕt r»ng nÕu t¨ng sè bÞ chia thªm 91 vµ t¨ng sè chia lªn 5 th× th­¬ng kh«ng ®æi cßn d­ t¨ng 6 ®¬n vÞ.
C©u 4. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn n ®Ó ph©n sè ch­a ph¶i lµ tèi gi¶n
C©u 5. Cho ®o¹n th¼ng AB cã ®é dµi 20 cm. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy hai ®iÓm I vµ K sao cho I n»m gi÷a A vµ K. Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AI, IK vµ KB. TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng IK, biÕt MN = 5 cm, NP = 7 cm
§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
1
a)
2,00 ®iÓm
1,00 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
b)
1,00 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,25 ®iÓm
0,25 ®iÓm
2
BiÓu diÔn ®­îc hai sè a vµ b d­íi d¹ng: a = dm, b = dn víi (m, n) = 1.
Ta cã ab = d2mn = 294, [a, b] = dmn = 42 
suy ra (a, b) = d = .
Suy ra m.n = 6 suy ra c¸c tr­êng hîp cña (m,n) vµ c¸c cÆp sè (a,b)
m
n
a
b
1
6
7
42
2
3
14
21
3
2
21
14
6
1
42
7
2,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
1,00 ®iÓm
3
BiÓu diÔn ®­îc phÐp chia d­íi d¹ng a = b.q + r.
Theo ®Ò bµi ta cã a + 91 = (b+5).q +r + 6
Suy ra 5q = 75 suy ra q = 15 
1,5 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
4
Gäi d = (7n + 6, 6n + 7) suy ra 7n + 6 d vµ 6n + 7 d suy ra 7n + 6 – (6n + 7 ) d hay n -1 d suy ra 6n – 6 d
mµ 6n + 7 d suy ra 6n +7 – (6n - 6) d hay 13 d. 
§Ó ph©n sè kh«ng lµ tèi gi¶n th× d = 13 suy ra n -1 = 13 k ( kN) hay n = 13k + 1.
2,00 ®iÓm
1,00 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
5
Chøng tá ®­îc I n»m gi÷a M vµ N tõ ®ã tÝnh ®­îc AK = 10 cm
Chøng tá ®­îc k n»m gi÷a P vµ N tõ ®ã tÝnh ®­îc IB = 14 cm.
Chøng tá ®­îc I n»m gi÷a A vµ K tõ ®ã cã: AK + IB = AI +IK + IB =
(AI + IB) + IK = AB + IK = 20 +IK. mµ AK = 10 cm, IB = 14 cm.
 suy ra 20 +IK = 10 + 14 suy ra IK = 4 cm.
2,00 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
0,50 ®iÓm
§Ò sè 23
C©u1.
 T×m x biÕt:
(x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ ...+ (x+100)=205550
3x+3x+1+3x+2=351
C©u2. TÝnh
 a) A=
 b) B=1.2+2.3+3.4+...+99.100
C©u 3.
Chøng minh : (nZ) tèi gi¶n.
Cho A=
*T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó biÓu thøc A lµ ph©n sè.
* T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lµ mét sènguyªn .
* T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó biÓu thøc A lµ ph©n sè tèi gi¶n.
C©u 4.
Cho ba ®iÓm th¼ng hµng A,B,C víi AB=8cm,BC=3cm.Gäi D lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB .TÝnh ®é dµi ®o¹n DC?.
Cho 100 ®iÓm A1, A2, A3,...., A100 trong ®ã kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng.Cø qua hai ®iÓm ta kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng.TÝnh sè ®­êng th¼ng kÎ ®­îc?.
Cho =600 .VÏ tia 0t sao cho =200 .TÝnh ?
§Ò sè 23 
C©u1.
 T×m x biÕt:
(x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ ...+ (x+100)=205550
3x+3x+1+3x+2=351
C©u2. TÝnh
 a) A=
 b) B=1.2+2.3+3.4+...+99.100
C©u 3.
Chøng minh: (nZ) tèi gi¶n.
Cho A=
*T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó biÓu thøc A lµ ph©n sè.
* T×m c¸c sè tù nhiªn n ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lµ mét sènguyªn .
* T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó biÓu thøc A lµ ph©n sè tèi gi¶n.
C©u 4.
a) Cho ba ®iÓm th¼ng hµng A,B,C víi AB=8cm,BC=3cm.Gäi D lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB .TÝnh ®é dµi ®o¹n DC?.
b) Cho 100 ®iÓm A1, A2, A3,...., A100 trong ®ã kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng.Cø qua hai ®iÓm ta kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng.TÝnh sè ®­êng th¼ng kÎ ®­îc?.
 c) Cho =600 .VÏ tia 0t sao cho =200 .TÝnh ?
§¸p ¸n.
C©u
§¸p ¸n 
Thang ®iÓm
C©u1
2®
a)
 (x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ ...+ (x+100)=205550
 x+x+x+...+x+1+2+3+...+100=205550
 100x+5050=205550
0,5®
 100x=200500
 x=2005
0,5®
b)
3x+3x+1+3x+2=351
 3x+3x .3+3x..32=351
0.5®
 3x(1+3+9)=351
 3x=27=33
 x=3 
0,5®
C©u2.
a)
2®
A=
A=2()
0,5®
 A=
 A=1-=
0,5®
b)
B=1.2+2.3+3.4+...+99.100
3B=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4(5-2)+...+99.100.(101-98)
0,5®
3B=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3B=99.100.101 
B=333300
0,5®
C©u 3
3®
a)
Chøng minh ph©n sè (nZ) tèi gi¶n.
Gäi d=UCLN(12n+1,30n+2)
Suy ra (12n+1)d 
 (30n+2)d 
0,5®
Hay 5. (12n+1)d hay 60n+5 d
 2. (30n+2)d 60n+4 d
Suy ra (60n+5-60n-4) d hay 1d .VËy d=1;-1
0,25®
Khi ®ã 12n+1,30n+2 nguyªn tè cïng nhau.VËy PSè
tèi gi¶n.
0,25®
b)
A=
*) §Ó A lµ ph©n sè th× n- 20 .VËy n2
0,5
*) A=
0,5
§Ó A nguyªn th× nguyªn ,hay 3(n-2)
Suy ra n-2 ¦(3)
0,5
NÕu n-2=-3,khi ®ã n=-1
NÕu n-2=-1,khi ®ã n=1
NÕu n-2=1,khi ®ã n=3
NÕu n-2=3,khi ®ã n=5. VËy n=-1;1;3;5
0,5
C©u 4
3®
*)TH1.NÕu B n»m gi÷a A vµ C 
 V× D lµ trung ®iÓm cña AB nªn DB=(cm) 
Do B n»m gi÷a D vµ C nªn :
DC=DB+BC=4+3=7(cm)
0,5®
*) TH2.NÕu C n»m gi÷a A vµ B 
V× D lµ trung ®iÓm cña AB nªn DB=(cm) 
Do C n»m gi÷a B vµ D nªn
DC=DB-BC=4-3=1(cm)
VËy DC=7cm hoÆc DC=1cm
0,5®
b) Trong n ®iÓm trong ®ã kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng,qua hai ®iÓm ta kÎ ®­îc mét ®­êng th¼ng.Chän 1®iÓm ta kÎ ®­îc
 n-1 ®­êng th¼ng.VËy qua n ®iÓm ta kÎ ®­îc n.(n-1) ®­êng th¼ng.Nh­ng mçi ®­êng th¼ng ®­îc tÝnh hai lÇn nªn ta kÎ ®­îc ®­êng th¼ng. VËy 100 ®iÓm ta sÏ kÎ ®­îc ®­êng th¼ng
1®
c) TH1.Tia 0t n»m trong gãc x0y 
 Do tia 0t n»m gi÷a tia 0x vµ tia 0y nªn =-
 =600-200=400
0,5®
TH1.Tia 0t kh«ng n»m trong gãc x0y
Khi ®ã tia 0y gi÷a tia0x vµ tia 0t nªn =+
 =600+200=800
VËy =400
hoÆc=800
0,5®
*Chó ý :C¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau nÕu ®óng (trong ph¹m vi ch­¬ng tr×nh líp 6)vÉn cho ®iÓm tèi ®a t­¬ng øng.
®Ò sè 24
H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái cÊp huyÖn
N¨m Häc 2008 - 2009
M«n To¸n líp 6
Bµi 1( 3 ®iÓm ) TÝnh (mét c¸ch hîp lÝ)
a, ( 1,5 ®iÓm )
143.( 57 – 36) – 57 . (143 – 36) = 143. 57 – 143. 36 – 143. 57 + 57. 36
0,5®
= 36. ( - 143 + 57 )
0,5®
= 36. (- 86)
0,25®
= - 3096
0,25®
b, ( 1,5 ®iÓm )
 = 
0,5®
= 84 - 212
0,5®
= 212 - 212
0,25®
= 0
0,25®
Bµi 2 (4 ®iÓm) T×m x
a, ( 2 ®iÓm )
72 – ( 15 – 7x ) = 36
0,5®
15 – 7x = 36
0,5®
7x = - 21
0,5®
x = -3. VËy x = -3.
0,5®
b, ( 2 ®iÓm )
12 - = 7
 = 5
0,25®
x + 2 = 5 hoÆc x + 2 = - 5
0,5®
x = 3 hoÆc x = - 7
1®
VËy x = 3 hoÆc x = - 7
0,25®
 Bµi 3 (3 ®iÓm)
a, ( 2 ®iÓm )
S = ( 
 §Æt T = 
 Q = 
0,5®
Ta cã T = = .
 = chia hÕt cho 126 
0,5®
 Q = = 780 = 126. 6 + 24 kh«ng chia hÕt cho 126
0,5®
Do ®ã S = T + Q kh«ng chia hÕt cho 126
0,5®
b, ( 1 ®iÓm )
Tæng S gåm 2008 sè h¹ng mµ mçi sè h¹ng ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 nªn tæng cña 2008 sè nµy cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0. 
Do ®ã ch÷ sè tËn cïng cña S lµ 0
1®
Bµi 4 (3 ®iÓm)
Víi mäi sè tù nhiªn n th× kh«ng chia hÕt cho 3 thËt vËy:
 = n ( n + 1 ) + 2
0,5®
NÐu n chia hÕt cho 3 th× n(n + 1) chia hÕt cho 3 khi ®ã n (n + 1) + 2 chia cho 3 d­ 2
0,5®
NÐu n chia cho 3 d­ 1 th× n = 3k + 1 (k) khi ®ã = (3k + 1)(3k + 2) + 2 = 3(3k2 + 5k + 1) chia cho 3 d­ 1
0,5®
NÐu n chia cho 3 d­ 2 th× n + 1 chia hÕt cho 3 khi ®ã chia cho 3 d­ 2
0,5®
Nh­ vËy kh«ng chia cho 3 víi mäi n , mµ 3 lµ sè nguyªn tè nªn 
0,5®
BCNN(; 3) = 3() > 
0,5®
Bµi 5 (3 ®iÓm)
Gäi a lµ sè häc sinh tham gia ®ång diÔn.
LËp luËn ®Ó cã a – 1 = BC (5; 6; 8)
0,5®
Tõ ®ã cã a – 1 = k. BCNN ( 5; 6; 8), víi k lµ sè tù nhiªn 
0,5®
T×m ®­îc a = 120k + 1 (1)
0,5®
V× sè häc sinh trong kho¶ng tõ 350 ®Õn 500 nªn ta cã 350 500
0,25®
Tõ ®ã t×m ®­îc k = 3; 4
0,5®
Thay k = 3 vµo (1) ®­îc a = 120. 3 + 1 = 361, mµ 361 kh«ng chia hÕt cho 13 (lo¹i)
0,25®
Thay k = 4 vµo (1) ®­îc a = 120. 4 + 1 = 481, cã 481 chia hÕt cho 13 (tho¶ m·n)
0,25®
VËy sè häc sinh tham gia ®ång diÔn lµ 481.
0,25®
Bµi 6 (4 ®iÓm)
t
y
z
x
o
V× tia Ox vµ tia Oz thuéc cïng nöa mÆt ph¼ng bê chøa tia Oy nªn x¶y ra hai tr­êng hîp:
1, ( 2 ®iÓm) Tia Oz n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy
a, (1®iÓm) V× tia Oz n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy nªn cã
xOz + yOz = xOy ( 0,25 ®)
Thay xOz = 350; xOy = 1100 ®­îc 350 + yOz = 1100 (0,25 ®)
T×m ®­îc yOz = 750 (0,25 ®)
VËy yOz = 750 (0,25 ®) 
b, (1®iÓm) 
ChØ ra gãc kÒ bï víi gãc yOz, lËp luËn ®Ó cã hÖ thøc (0,25®)
Thay sè vµ tÝnh ®­îc yOt = 1050 (0,5®)
VËy yOt = 1050 (0,25®)
x
z
2, ( 2 ®iÓm) Tia Ox n»m gi÷a hai tia Oz vµ Oy
a, (1®iÓm)
LËp luËn ®Ó cã hÖ thøc (0,25®)
y
Thay sè vµ tÝnh ®­îc yOz = 1450 (0,5®)
O
VËy yOz = 1450 (0,25®)
b, (1®iÓm)
t
ChØ ra gãc kÒ bï víi gãc yOz, lËp luËn ®Ó cã hÖ thøc (0,25®)
Thay sè vµ tÝnh ®­îc yOt = 350 (0,5®)
VËy yOt = 350 (0,25®)
Chó ý:
1.Trong mçi bµi vµ mçi c©u HS cã thÓ lµm c¸ch kh¸c vµ lËp luËn chÆt chÏ th× ®óng ®Õn ®©u cho ®iÓm t­¬ng øng ®Õn ®ã.
2. §iÓm cña toµn bµi thi kh«ng lµm trßn.
Đề số 25
Đề thi học sinh giỏi tham khảo
Môn Toán Lớp 6
Thời gian: 90 phút
Bài 1( 2 điểm): 
 a)Tìm x biết: 
b) Tìm x, y N biết: 2x + 624 = 5y
Bài 2( 2 điểm): 
a) So sánh: và 
b) Tính :
Bài 3( 2 điểm): 
 Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. 
 Bài 4( 2 điểm): 
Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn , nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy một và máy ba thì bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phút. Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu?
Bài 5( 2 điểm): Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia On sao cho góc yOn bằng 900.
Chứng minh góc xOn bằng góc yOm.
Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy. Chứng minh rằng Ot là tia phân giác của góc mOn.
Đáp án và biểu điểm
 Bài 1( 2 điểm): 
 a)- Từ giả thiết ta có: (1)	 	 (0,25 đ)
- Vì nên (1) xảy ra khi và chỉ khi hoặc (0,25 đ)
- Từ đó tìm ra kết quả x = ; 	 (0,5 đ)
 b) Nếu x = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54 y = 4 (y N) (0,5 đ)
Nếu x 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y N : vô lý (0,25 đ)
Vậy: x = 0, y = 4 (0,25 đ) Bài 2( 2 điểm): 
 a) (1đ)
 b) B= 
 (1đ)
Bài 3( 2 điểm): 
 Gọi số tự nhiên phải tìm là x. 
- Từ giả thiết suy ra và và x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35.	 (0,5 đ)
- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 . (0,5 đ)
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra k = 1 (0,5 đ)
 x + 20 = 700 x = 680. 	 (0,5 đ)
Bài 4( 2 điểm): 
Máy một và máy hai bơm 1 giờ 20 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai bơm được bể . (0,25 đ) 
Máy hai và máy ba bơm 1 giờ 30 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba bơm được bể. (0,25 đ) 
Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và ba bơm được bể. (0,25 đ) 
Þ Một giờ cả ba máy bơm bể. (0,25 đ) 
Một giờ:máy ba bơm được bể Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể (0,25 đ) 
 máy một bơm được bểMáy một bơm một mình 4 giờ đầy bể(0,25 đ) 
 máy hai bơm được bểMáy hai bơm một mình 2 giờ đầy bể(0,25 đ)
Kết luận (0,25 đ) 
x
Bài 4( 2 điểm)
 a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy (0,25 đ) 
 yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy (0,25 đ) xÔn = yÔm (0,25 đ)
b) Lập luận được : xÔt = tÔy (0,25 đ)
 xÔt = xÔn + nÔt (0,25 đ)
 tÔy = yÔm + mÔt (0,25 đ)
 nÔt = mÔt (0,25 đ)
 Ot là tia phân giác của góc mOn (0,25 đ)
x
y
m
t
n
O