Tổng hợp các dạng bài tập về bất đẳng thức

1. Cho . Chứng minh rằng  
 ( đúng theo Côsi).
Đẳng thức xảy ra đều.
2. Chứng minh với mọi ta có 
( đẳng thức xảy ra  )
Lại có 
Đẳng thức xảy ra hoặc .
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
Ta có :     Đặt .
Khi đó  
Xét hàm số 
Suy ra : .
Vậy ,chẳng hạn khi 
4. Trong các số thực  thỏa mãn hệ thức .
Hãy tìm để cho biểu thức  đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị lớn nhất đo.
  đạt giá trị lớn nhất 
5. Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 và đạt dấu "=" khi thỏa mãn 
Hệ này có hệ có nghiệm khi .
Vậy khi 
Với .
Đặt 
và đạt dấu = khi  
Vậy              
6. Cho là độ dài trung tuyến, là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng .
. Đẳng thức xảy ra   đều.
7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số :
Ta có : 
Đặt Điều kiện : 
Ta có : 
Thay vào biểu thức của y ta được :
 + 
 đồng biến trên ( vì ).
Vậy 
8.   là 2 nghiệm của phương trình: 
Với giá trị nào của thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất .
Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
Ta có : 
Khi đó : Vì nên 
Do đó  Vậy , khi .
9. Tìm giá trị nhỏ nhất của : với 
Đặt thì 
. Khi đó :
Xét 
Ta có : 
Xét bảng biến thiên:  
10. Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng: 
Do giả thiết 
(đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi 
11. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Áp dụng Côsi cho trường hợp 2 số và trường hợp 3 số, ta có:
 Vậy GTNN của P là . Dấu = 
12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
Đặt   với .
.
- Nếu nghịch biến trong 
.
- Nếu  đồng biến tròn 
- Nếu  thì có bbt
Vậy 
Kết luận             .
13. Giả sử là hai số dương thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
 Giá trị   đạt được khi
  Vậy 
14. Chứng minh: ta có:
Nhận xét: 
Dấu “” xảy ra 
15. Cho 3 số dương thoả mãn Chứng minh: 
Ta có:
16. Chứng minh 
Ta có: 
 BĐT đã cho đúng, “” xảy ra 
17. Cho . Chứng minh 
Ta có: 
  bất đẳng thức đã cho đúng, dấu “” xảy ra 
18. Chứng minh   
 Dấu xảy ra 
19 Chứng minh rằng    
Ta có: 
 Dấu xảy ra 
20. Chứng minh rằng với mọi số dương ta luôn có bất đẳng thức
Vì 
Tương tự: 
Do đó vế trái bất đẳng thức cần chứng minh không lớn hơn :
(đpcm).
Đẳng thức xảy ra .
21. Cho thoả mãn  Chứng minh: 
 Từ giả thiết suy ra:
*) Xét 
Ta có: 
Mà nên là nghiệm của phương trình
*) Trường hợp: 
Mà là nghiệm của phương trình:
Từ 
Tương tự cho  ,  ta có: 
22. Cho 3 số 
thoả mãn Chứng minh: 
Từ Kết hợp 
mà nên
là 2 nghiệm của phương trình
Tương tự cho  
23. Cho 3 số thực thoả mãn các điều kiện sau:.  Chứng minh 
Từ giả thiết suy ra: là nghiệm của phương trình:
Do    nên 
24. Cho . Chứng minh: 
Dấu “” xảy ra   hoặc 2 trong 3 số   bằng 1, số còn lại bằng 0
25. Cho Chứng minh: 
26. Cho Chứng minh : 
(*)đúng
Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số    có 1 số bằng 2 và 1 số bằng 0
27. Cho Chứng minh: 
Ta chứng minh:  . Thật vậy:
Ta có: 
  dấu “”  
28. Cho Chứng minh: 
29. Chứng minh trong ta có 
Ta có : 
Dấu “”  xảy ra    đều
30. Chứng minh : ta có: 
+) Ta chứng minh:
Nhận xét: Cho   
Thật vậy  đúng do   đúng
Áp dụng:
đúng
+) Ta chứng minh: 
Ta có: 
Tương tự:  
 đúng
Từ   BĐT cần chứng minh đúng
31. Cho thoả mãn: Chứng minh: 
Từ giả thiết suy ra
Dấu “” xảy ra 
32. Cho Chứng minh 
Nhận xét: 
Ta có 
Dấu    xảy ra 
33. Cho . Chứng minh rằng:
Bất đẳng thức 
Do nên ( luôn đúng do áp dụng bất đẳng thức Côsi )  (đpcm).
34. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số:  .
Đặt 
  luôn cùng dấu với ,do đó
35. Cho các số . Chứng minh rằng : 
Ta có : 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacopxki:
 Dấu " = " xảy ra khi 
36. Chứng minh rằng nếu thì 
 (1) 
(do x > 0) 
(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh .
37. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
, 
38. Cho là hai số thực thỏa mãn và 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Theo bất đẳng thức Côsi ta có :
Suy ra : 
Với thỏa mãn giả thiết thì 
Vậy , đạt khi 
39. Chứng minh rằng nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
.
Có . Do đó theo Côsi:
 .
Đẳng thức xảy ra .
40. Cho 
Chứng minh rằng : 
(1)
Cộng vế với vế suy ra:
(1) 
41. Với thỏa mãn đẳng thức 
Chứng minh rằng  .
Biến đổi : 
Đặt thì giả thiết 
Và đpcm .
Theo Bunhiacopxki :
Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có:
.
Đẳng thức xảy ra   
42. Chứng minh rằng với các số dương bất kỳ, ta có:  .
Có 
Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.
43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  .
Điều kiện .Ta có : 
Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi .
Vậy GTLN  bằng 1 .
Mặt khác 
Đẳng thức xảy ra .
Vậy GTNN bằng -1.
44. Chứng minh rằng với mọi : 
Áp dụng Côsi: .Cộng lại ta có (đpcm)
45. Chứng minh rằng: 
Với 
Đặt           
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số dương , số dương và  số dương ta có:
46. Chứng minh rằng: 
Ta có: 
Hoàn toàn tương tự ta có: 
Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh
47. Cho a>0,b>0.Chứng minh rằng:
với 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:
48. Cho .Chứng minh rằng: 
Vì 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho bốn số dương: 
Ta có:
Thu gọn ta có: 
49. Chứng minh rằng: với 
 Ta có:
Ta lại có: 
Vậy (đpcm)
50. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất: 
Ta có: 
Lại có: 
Cộng 3 BDT ta có: 
Vạy khi 
51. Cho và: a+b=2.Tìm giá trị lớn nhất của: 
Ta có b=2-a. Thay vào có: với .
Khảo sát F trên [0;2] ta có MaxF=F(2;0)=40.
52. Cho a,b,c>0. Chứng minh: 
Ta có các bất đẳng thức: ; ; .
Vậy có: 
Lại có: nên có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức khi a=b=c
53. Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: 
54. Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:
55. Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: 
56. Cho a,b,c>0 và thoả mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
57. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 
58. Cho a,b>2 và: a+b=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0.
Theo BDT Cosi ta có: hay: 
     hay: 
Cộng vế hai bất đẳng thức ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 320 khi a=b=4.
59. Cho a,b,c>0 và thoả: . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
60. Cho a,b,c>0 và thoả mãn: . Chứng minh rằng: 
61. Cho a,b,c>2 và thoả mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
62. Cho tam giác ABC có ba cạnh a,b,c thoả: a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
63. Cho a,b,c>0 và thoả: abc=ab+bc+ca. Tìm giá trị lớn nhất của: 
64. Cho a,b,c thoả: . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của: 
65. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 
66. Cho bốn số x, y, z , t thay đổi thỏa mãn hệ điều kiện : 
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  .
Theo bunhiacôxki ta có : .
Ngoài ra, với ta có
.
Mặt khác, , và với thì 
67. Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện và . 
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Đặt thì :
có ; 
Từ Bảng biến thiên ta có: 
68. Các số x, y, z thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn điều kiện : 
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Đẳng thức 
Mặt khác : 
Có thể chọn thì   ( và ) 
69. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :  
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có : 
Tương tự ta cũng có : 
Suy ra : 
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra   và và 
70. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Có 
Đặt thì giả thiết 
và .
Theo Bunhiacopxki :
Nếu thì 
Đảo lại , nếu thì .
Vậy 
71. Cho . Chứng minh rằng  
( đúng theo Côsi).
Đẳng thức xảy ra đều.
72. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: 
Ta luôn có : 
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:   (2)   (3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
73. Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: 
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
74. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = với x ; y; z > 0
ta có 1 + = 
tương tự với các nhân tử trong ngoặc còn lại ta được M 
dấu = xảy ra khi x = y = z
75. Cho a,b,c là các số dương và a+b+c = 1.Chứng minh rằng : 
 Áp dụng BĐT được: 
suy ra 
Mà ta có 
Vậy Đẳng thức xảy ra 
76. Cho x và y là nghiệm của phương trình: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
77. Cho x và y là nghiệm của phương trình: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
.
78. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết x và y thay đổi thoả mãn điều kiện: .
79. Cho x,y,z thay đổi thoả điều kiện :. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :.
80. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng : 
Đẳng thức xảy ra 
81. Cho x, y, z là những số dương . Chứng minh rằng 
Có 
( dấu = xảy ra ). Do đó :
82. Cho a,b,c,d là 4 số dương thỏa mãn điều kiện 
Tìm Max của A=abcd
83. Cho x,y,z > 0 và x*y*z=1, n thuộc tập hợp các số nguyên dương.
Tìm Min của biểu thức : 
84. CMR nếu tam giác ABC có các cạnh a,b,c và có diện tích bằng 1 thì .
Ta có 
Vậy nên 
Biến đổi 
Từ đó .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c
85. Cho x,y dương thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ nhất của x+y.
Áp dụng bất  đẳng thức BunhiaCopxkia ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
 Vậy 
86. Cho . Chứng minh: 
 BĐT đã cho tương đương với: 
Đặt với 
Ta có: 
            AD định lí Lagrange đối với hàm số: trên , thì tồn tại sao cho:
. Từ (1) suy ra: 
Suy ra:   (đpcm). 
87. Cho CMR: 
Đặt 
Khi đó bất đẳng thức trở thành 
Ta có vì 
Tương tự ta có :
Cộng lại với nhau(x)
Côsi cho 2 số dương và 
(y)
Từ x,y được 
Bài giải hay vô đối,mình pro` thật.Nhưng nhận xét bài toán là các bạn khó biết được dấu bằng xảy ra khi nào,đó chính là vấn đề phức tạp của bài toán
Đa số các bài toán bđt thường có kết quả xảy ra khi các giá trị bằng nhau ví như trong bài toán này mà ta mong đợi điều kì diệu xảy ra khi x=y=z thì ta thu được vậy là vô lý rồi,vậy bằng ở đâu đây,chỉ có 1 cách chứng minh duy nhất nhưng vấn đề bài toán chưa chọn vẹn về mặt tương đương.Ai pro` giải tiếp hoặc chứng minh cách khác nhé
88. chứng minh với mọi a,b,c dương: 
Sử dụng bdt Cauchy - Schwarz ta có:
Từ hai bdt trên suy ra điều phải chứng minh
89. Cho . Chứng minh rằng:  
90. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:       
trong đó x,y là các số thực thỏa mãn:               
91. Cho a>0,b>0,c>0 và abc=1 ,chứng minh : P= 
ta có bất đẳng thức với a,b,c >0 :  
Vì tích abc=0 và a>0,b>0,c>0 nên ta đặt : (với x,y,z >0}
vậy  
92. Cho ,tìm min A = 
93. Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 
ta có theo cauchy 
tương tự 
lại có 
Cộng theo vế 6 bdt  rút gọn dc
vậy 
94. Cho tam giác . Chứng minh rằng: 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
Ta có: 
vì 
Vậy Bất đẳng thức đúng 
95. Trong các nghiệm (x;y) của bất phương trình:    .
hãy tìm nghiệm có tổng (x+3y) nhỏ nhất.
96. tìm min: với x>0,y>0,z>0 và :
áp dụng BĐT với 6 số dương : 
Đặt ,phương trình tương đương
áp dụng BĐT cosi :             
nên 
dễ thấy 
nên min 
97. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa .tìm min : A=
ta có 
vậy min P =9
98. Tìm min : A= ,biết 
Ta có:  P=
mà  : vậy min P = khi x=y=
99. Cho x,y,z là 3 số dương và . Chứng minh rằng 
 Ta có 
Tương tự 
Cộng vế theo vế ta được
100. Cho 3 số dương . Chứng minh rằng:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 
Do đó:
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
101. Cho a, b, c> 0 và a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
102. Cho a, b, c>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Áp dụng bất đẳng thức Cosi có: ; ; 
Vậy có: 
Vậy MinF=6 khi a=b=c=1.
103. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: 
Ta có: 
Tương tự có: ; 
Do đó: 
Từ đó có điều phải chứng minh. Dấu bằng khi: a=b=c.
104. Cho a, b, c>0 và thoả: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
105. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của: 
106. Cho a, b, c>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
107. cho , chứng minh: 
108. Cho a,b,c > 0. . Chứng minh rằng : 
Có: ; ; .
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 
Dấu đẳng thức khi : 
109. Cho a,b,c>0 và: . Tìm giá trị nhỏ nhất: 
(1)
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng   khi và chỉ khi a=b=c=1
110. Cho a,b>o và thoả: . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
(1)
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (*)
từ (*) ta cũng có 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có:
(**) Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có: 
Từ (*) và (**) ta có: 
Vậy khi và chỉ khi a=b=c=1.
111. Cho a,b,c>0 và: a+b+c=abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
ta có theo cauchy (1)
tương tự (2) (3)
Mặt khác ta lại có: (4) (5) (6)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2),(3),(4),(5) và (6) ta có:
vậy 
112. Cho a,b,c>0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Đặt : a=x; b+1=y; z+2=c ta có bất đẳng thức dạng:
Ta có:
Theo BDT Cosi: 
Vậy: hay. Dấu bằng xảy ra khi: a=b+1=c+2.
113. Cho a,b,c>0 và: . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Ta có: Do: 
Lại có: 
Lại có: Nên có:
. Dấu bằng khi: