Tính các tổng được viết theo quy luật

PhÇn I: Mét sè vÊn ®Ò chung
I. Lý do chän ®Ò tµi : 
 To¸n häc lµ mét m«n häc cã tÝnh chÊt rÊt quan träng trong viÖc ph¸t triÓn vµ rÌn luyÖn kü n¨ng, t­ duy s¸ng t¹o, kü n¨ng ph©n tÝch tæng hîp, tÝnh cÈn thËn, kiªn tr×, tÝnh chÝnh x¸c, n¨ng lùc s¸ng t¹o vµ kh¶ n¨ng t­ duy l«gÝc cho häc sinh .
Trong ch­¬ng tr×nh to¸n häc ë bËc trung häc c¬ së c¸c bµi to¸n tÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt lµ mét d¹ng to¸n kh¸ hay, th­êng xuÊt hiÖn nhiÒu trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái líp 6, líp 7. Nhµ to¸n häc Gau-x¬ lóc b¶y tuæi ®· lµm thÇy gi¸o cña m×nh ph¶i ng¹c nhiªn khi tÝnh ®­îc tæng mét c¸ch hÕt søc nhanh chãng vµ ®éc ®¸o.
 §Ó ph©n d¹ng vµ t×m ra ph­¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh. Nh»m trang bÞ cho c¸c em häc sinh mét sè ph­¬ng ph¸p vµ kü n¨ng c¬ b¶n khi tÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt. T«i ®· ®i s©u nghiªn cøu chuyªn ®Ò nµy.
II. Môc ®Ých nghiªn cøu: 
1) §èi víi gi¸o viªn 
1. X©y dùng ®­îc c¬ së lý thuyÕt, c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt”.
2. Ph©n d¹ng, x©y dùng hÖ thèng c¸c bµi tËp theo chuyªn ®Ò riªng phï hîp víi tõng ®èi t­îng häc sinh, cã ph­¬ng ph¸p gi¶i cña tõng d¹ng.
2) §èi víi häc sinh 
1. N¾m ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt”.
2. VËn dông tèt c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n ®Ó lµm bµi tËp.
3. Ph¸t huy kh¶ n¨ng ®éc lËp suy nghÜ vµ t­ duy s¸ng t¹o trong viÖc gi¶i to¸n.
III. §èi t­îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu:
 1. §èi t­îng: Häc sinh líp 6,7
 2. Ph¹m vi : C¸c bµi to¸n: “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt”.
IV. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu:
1. Nghiªn cøu lý luËn:
 - §äc tµi liÖu s¸ch tham kh¶o cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi.
 - T×m hiÓu c¸c d¹ng to¸n “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt”.
2. Nghiªn cøu thùc tÕ:
- Kh¶o s¸t kü n¨ng gi¶i bµi to¸n “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt” ë c¸c líp gi¶ng d¹y, vµ ë c¸c líp båi d­ìng häc sinh giái.
- Dù giê trao ®æi ý kiÕn víi gi¸o viªn, ®Æc biÖt lµ c¸c gi¸o viªn tham gia båi d­ìng häc sinh giái.
PhÇn II : Néi dung
A. C¬ së lÝ thuyÕt
1. TÝnh chÊt cña phÐp céng
- TÝnh chÊt giao ho¸n: 
- TÝnh chÊt kÕt hîp: 
- TÝnh chÊt céng víi 0: 
- TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng: 
2. Ph­¬ng ph¸p chung:
- §Ó tÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt tr­íc hÕt chóng ta cÇn t×m ®­îc quy luËt viÕt c¸c sè h¹ng cña tæng. Sau ®ã biÕn ®æi ®Ó xuÊt hiÖn c¸c sè h¹ng ®èi nhau tõ ®ã gi¶n ­íc, rót gän ®Ó tÝnh ra kÕt qu¶.
- §Ó tÝnh tæng A trong mét sè tr­êng hîp chóng ta tÝnh k .A (k lµ mét sè kh¸c 0) tõ ®ã suy ra A.
B. C¸c Bµi to¸n vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i: 
VÝ dô 1: TÝnh 
Gi¶i: 
C¸ch 1: 
 (cã 50 ngoÆc)
 (cã 50 sè h¹ng)
C¸ch 2: 
Do ®ã: (cã 100 sè h¹ng)
NhËn xÐt: - Trong c¸ch 1, viÖc x¸c ®Þnh hai sè h¹ng cña ngoÆc cuèi cã vÎ h¬i khã kh¨n.
- C¸ch tÝnh thø hai tæng qu¸t h¬n, viÖc x¸c ®Þnh sè sè h¹ng còng ®¬n gi¶n h¬n.
*H·y gi¶i bµi to¸n trong tr­êng hîp tæng qu¸t ?
TÝnh 
KQ : 
¸p dông:
TÝnh:
H·y nªu vµ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t ?
VÝ dô 2: TÝnh 
Gi¶i:
NhËn xÐt: 
Do ®ã: LÇn l­ît cho n=1, 2, 3,...,99 ta ®­îc:
Do vËy 
*Còng tõ nhËn xÐt trªn ta cã:
nªn ta cã thÓ tr×nh bµy bµi gi¶i theo c¸ch kh¸c nh­ sau:
Ta tÝnh 3E sau ®ã thay 3 lÇn l­ît bëi 3-0 ; 4-1 ; 5-2;...
Do ®ã : 
Bµi tËp vËn dông
 TÝnh: 
TQ: 
HD: TÝnh 4G
 ( h·y nªu vµ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t?)
VÝ dô 3: TÝnh 
Gi¶i: 
NhËn xÐt: 
 .....................
Nªn ta tr×nh bµy nh­ sau:
* H·y gi¶i bµi to¸n trong tr­êng hîp tæng qu¸t ?
TQ: 
Chó ý: 
VD: (a=3 , k=2)
VÝ dô 4: TÝnh 
Gi¶i:
T­¬ng tù vÝ dô trªn ta cã:
 =....
H·y nªu vµ gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t ?
VÝ dô 5: TÝnh 
NhËn xÐt: 
Nªn ta tÝnh M nh­ sau:
C¸c em còng cã thÓ tr×nh bµy nh­ sau: 
 Ta c ã: 
Khai th¸c bµi to¸n: 
*TÝnh:1) 
 2) 
 * Cho 
 1) H·y viÕt sè h¹ng tæng qu¸t cña M.
 2) TÝnh M biÕt M cã 100 sè h¹ng.
VÝ dô 6: Cho d·y sè: 
a) H·y viÕt sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña d·y.
b) T×m sè h¹ng thø 50 cña d·y.
c) TÝnh tæng 50 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y.
Gi¶i:
D·y sè ®· cho cã thÓ viÕt l¹i nh­ sau: 
a) XÐt c¸c mÉu trong d·y: Ta thÊy thõa sè thø nhÊt trong mçi mÉu chia cho 3 ®Òu d­ 1 (hay chia cho 3 thiÕu 2) nªn cã d¹ng: ; thõa sè thø hai trong mçi mÉu chia cho 3 ®Òu d­ 1 nªn cã d¹ng: 
Do ®ã sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña d·y lµ: 
b) Sè h¹ng thø 50 cña d·y lµ: 
c) Gäi tæng 50 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·ylµ A:
Ta cã: 
(C¸c b¹n tù tÝnh tiÕp)
Bµi tËp vËn dông :
Bµi 1: TÝnh
Bµi 2: TÝnh
Bµi 3: T×m sè tù nhiªn n biÕt:
Bµi 4: T×m x biÕt:
Bµi 5: TÝnh
Bµi 6: Chøng minh r»ng:
a)
b) 
Bµi 7: Chøng minh r»ng
Bµi 8: Cho d·y sè 
a) H·y viÕt sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y.
b) T×m sè h¹ng thø 100 cña d·y.
c) Chøng tá r»ng tæng 100 sè h¹ng ®Çu cña d·y nhá h¬n .
Bµi 9: TÝnh tæng:
Bµi 10: TÝnh tæng:
Bµi 11:TÝnh tæng:
víi 
Bµi 12: So s¸nh
a) vµ 
b) vµ 
Bµi 13: TÝnh nhanh 
Bµi 14 : TÝnh 
Bµi 15: TÝnh
Bµi 16: CMR : 
Bµi 17: TÝnh 
Bµi 18: TÝnh 
a) b) 
VÝ dô 7: BiÕt r»ng 
TÝnh nhanh: 
Gi¶i: 
Nh­ vËy, nÕu ®Æt P = th× S = 4P
Do ®ã nÕu cho S ta sÏ tÝnh ®­îc P
Ta cã bµi to¸n:
Cho .TÝnh P =
Bµi 1: BiÕt r»ng . TÝnh 
Bµi 2: BiÕt r»ng . TÝnh 
NhËn xÐt: Chóng ta cã thÓ t¨ng sè mò cña c¸c luü thõa ®Ó cã c¸c bµi to¸n kh¸c:
Bµi 3: BiÕt r»ng 
TÝnh nhanh: 
Bµi 4: BiÕt r»ng 
TÝnh nhanh: 
VÝ dô 8: Cho 
a) ViÕt sè h¹ng tæng qu¸t thø n cña A
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A
H­íng dÉn:
 a) A gåm c¸c sè chia cho 3 d­ 2, tøc lµ chia cho 3 thiÕu 1, c¸c sè nµy mang dÊu “+” nÕu n lÎ vµ mang dÊu “-“ nÕu n ch½n.
- D¹ng tæng qu¸t sè h¹ng thø n cña A lµ víi 
hoÆc víi 
b) gép thµnh tõng nhãm hai sè ®­îc: (-3).17 = -51
VÝ dô 9: TÝnh 
H­íng dÉn: 
C1: Céng tõng nhãm 4 sè ta ®­îc ( -8).50 = -400
C2: Céng tõng nhãm hai sè (1+(-3) ; 3+(-7)...
ta ®­îc: (-4). 100 = -400
VÝ dô 10: Cho 
A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho 5 kh«ng ?
A cã bao nhiªu ­íc tù nhiªn, ­íc nguyªn.
Gi¶i: 
a) Gép thµnh nhãm 4 sè, ta ®­îc 25 nhãm, mçi nhãm b»ng -4. Do ®ã A = -100. V× thÕ A chia hÕt cho 2, chia hÕt cho 5, kh«ng chia hÕt cho 3.
XÐt nªn A cã 9 ­íc tù nhiªn, cã 18 ­íc nguyªn 
Bµi tËp:
Bµi 1: Cho 	
a) ViÕt sè h¹ng thø n cña A
b) TÝnh A khi A cã 100 sè h¹ng
Bµi 2: TÝnh 
VÝ dô 11: TÝnh 
Gi¶i:
 nªn 
Do ®ã: 
Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: TÝnh
Bµi 2: So s¸nh A vµ B biÕt
 vµ 
Bµi 3: Cho 
a) Chøng minh r»ng: S chia hÕt cho 3
b) Chøng minh r»ng: S chia hÕt cho 31
=> H·y nªu 3 bµi to¸n t­¬ng tù bµi to¸n trªn.
Bµi 4: Chøng minh r»ng tæng ( trong ®ã k lµ sè tù nhiªn) chia hÕt cho 400.
Bµi 5: Chøng minh biÓu thøc :
Chia hÕt cho 
Bµi 6: Cho 
T×m ch÷ sè tËn cïng cña A.
Bµi 7: Cho 
Chøng minh r»ng M chia hÕt cho 13 vµ 41.
Bµi 8: Chøng minh: 53 ! - 51 ! chia hÕt cho 29.
Bµi 9: TÝnh 
Bµi 10: H·y chøng tá r»ng tæng:
 kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn.
H·y ph¸t biÓu vµ chøng minh bµi to¸n tæng qu¸t?
Bµi 11: Cho 
a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 126.
b) T×m ch÷ sè tËn cïng cña A.
C. bµi häc kinh nghiÖm vµ ý kiÕn ®Ò xuÊt
 ViÖc ph©n chia kiÕn thøc theo tõng chuyªn ®Ò vµ ë mçi chuyªn ®Ò ®­îc ph©n chia theo tõng d¹ng bµi, lo¹i bµi lµ hÕt søc cÇn thiÕt . §iÒu ®ã gióp c¸c em cã thÓ ®i s©u h¬n , ph©n tÝch ®¸nh gi¸ ®Çy ®ñ h¬n ®Õn tõng néi dung kiÕn thøc .
 V× vËy chóng ta ph¶i coi ®©y lµ viÖc lµm th­êng xuyªn, cÇn thiÕt nh»m lµm cho kÕt qu¶ häc tËp cña c¸c em cao h¬n.
 Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y kh«ng nh÷ng gi¸o viªn ph¶i tù nghiªn cøu, ph©n tÝch tæng hîp kiÕn thøc mµ cÇn ph¶i chó träng viÖc d¹y cho häc sinh biÕt c¸ch ph©n d¹ng c¸c bµi tËp, tæng hîp kiÕn thøc . §©y lµ nhiÖm vô chÝnh cña gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc vµ gi¸o dôc.
 Qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y t¹i tr­êng THCS DÜnh Tr× t«i nhËn thÊy n¨ng lùc häc tËp cña c¸c em trong tr­êng rÊt tèt. T«i ®· triÓn khai ®Ò tµi t¹i tr­êng vµ cã kÕt qu¶ tèt. 
 Tõ ®ã t«i xin ®Ò xuÊt: 
- Khi vËn dông ®Ò tµi, víi mçi khèi líp gi¸o viªn cã thÓ lùa chän ph¹m vi kiÕn thøc vµ l­îng bµi tËp sao cho phï hîp víi n¨ng lùc cña mçi ®èi t­îng häc sinh.
- V× ®Ò tµi ¸p dông chñ yÕu cho häc sinh kh¸ giái nªn khi ¸p dông gi¸o viªn h·y ¸p dông ph­¬ng ph¸p gîi më (nÕu cÇn) vµ cã thÓ yªu cÇu häc sinh khai th¸c bµi to¸n ë nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau: T­¬ng tù ho¸, tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n, vËn dông bµi to¸n sang bµi to¸n kh¸c, t×m tÝnh chung vµ tÝnh riªng cho tõng bµi, tõng d¹ng bµi. Nh­ng bªn c¹nh ®ã cã thÓ chän nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n vµ cÇn thiÕt ®Ó d¹y cho c¸c ®èi t­îng häc sinh trung b×nh.
PhÇn III : KÕt luËn
	Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm nhá cña t«i sau khi d¹y häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n båi d­ìng häc sinh giái vÒ “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt”. trong nh÷ng n¨m võa qua . Trong thùc tÕ gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy sau khi ¸p dông chuyªn ®Ò trªn th×:
C¸c em häc sinh ®· biÕt ph©n d¹ng vµ nhËn biÕt ®­îc c¸c d¹ng bµi to¸n vÒ “TÝnh c¸c tæng ®­îc viÕt theo quy luËt” mét c¸ch ®óng ®¾n vµ chÝnh x¸c .
 - Th«ng qua ®¸nh gi¸ trong khi «n tËp vµ kÕt qu¶ c¸c k× thi th× ®a sè c¸c em ®· biÕt ph­¬ng ph¸p gi¶i vµ gi¶i tèt d¹ng to¸n nµy.
 - Tuy nhiªn víi sù hiÓu biÕt vµ kinh nghiÖm gi¶ng d¹y còng nh­ thêi gian cßn nhiÒu h¹n chÕ, nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt khi nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y chuyªn ®Ò nµy. 
 VËy b¶n th©n t«i kÝnh mong c¸c thÇy c« gi¸o ®· cã nhiÒu kinh nghiÖm trong gi¶ng d¹y, c¸c ®ång nghiÖp ®ãng gãp ý kiÕn, phª b×nh ®Ó chuyªn ®Ò ®­îc ®Çy ®ñ h¬n.
 Xin ch©n thµnh c¸m ¬n!
 Ngµy 10 th¸ng 5 n¨m 2007
 Ng­êi viÕt
 NguyÔn ThÞ H»ng
Tµi liÖu tham kh¶o :
1/ S¸ch gi¸o khoa , SBT To¸n 6, 7 (NXBGD)
2/ Mét sè vÊn ®Ò ph¸t triÓn ®¹i sè 6,7 (Vò H÷u B×nh) 
3/ T¹p chÝ To¸n tuæi th¬, To¸n häc vµ tuæi trÎ ( NXB GD) 
4/ C¸c ®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn, cÊp tØnh (B¾c Giang)