Tài liệu vài bài tập Đại số - Phép chia hết - Phép chia có dư

1CHUYÊN ĐỀ 2 : PHÉP CHIA HẾT - PHÉP CHIA CÓ DƯ
I- LÝ THUYẾT CẦN NHỚ.
1. Định nghĩa.
Với mọi a, bN (b0) ta luôn tìm được số tự nhiên r sao cho a = bq + r (0  r < b)
a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
- Nếu r = 0 ta được phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a b), hay a là bội của b,
hay b chia hết a, hay b là ước của a (b/a).
- Nếu r > 0,ta được phép chia có dư, ta nói rằng a không chia hết cho b (a  :b).
2. Các tính chất về phép chia hết. (10 tính chất)
1) Số 0 chia hết cho mọi số b0.
2) Số a chia hết cho mọi a0.
3) Nếu a: b, b: c thì a c.
4) Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b và a-b đều chia hết cho m.
5) - Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a+b và a -b
đều không chia hết cho m.
- Nếu tổng hoặc hiệu hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì
số còn lại cũng chia hết cho m.
6) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.Suy ra a  m thì an m (nN*).
7) Nếu a m, b n thì ab  mn Suy ra nếu a  b thì an  bn.
8) Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của hai số đó.
9) Nếu tích ab chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.
10) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p. Suy ra
nếu an  p, p là ngyên tố thì a  p.
3. Các dấu hiệu chia hết. (9 dấu hiệu)
Cho số tự nhiên M = anan-1...a2a1a0.
1) M  2  a0 0; 2; 4; 6; 8
2) M 5  a0 0; 5
3) M 3  (an-1 + an-1 +...+ a1 + a0)  3
4) M 9  (an-1+ an-1 +...+ a1 + a0)  9
5) M 4  a1 a0  4
6) M 25  a1 a0 25
7) M 8  a2 a1 a0  8
8) M 125  a2 a1 a0 125
9) M 11  (a0 + a2 +...) - (a1 + a3 +...)  11  (a1 + a3 +...) - (a0 + a2 +...) 11
4. Các phương pháp giải các bài toán về chia hết. Có các phương pháp chính sau:
*PP 1.Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p,có thể xét mọi trường hợp về
số dư khi chia n cho p
Ví dụ1:Chứng minh rằng A(n)= n(n2-+1)(n2+4) 5 với mọi số nguyên n.
 Giải: Xét mọi trường hợp:
Với n 5 ,rõ ràng A(n) 5
Với n=5k  1  n2= 25k2  10  5  A(n) 5
Với n= 5h  2  n2= 25k2  20k+4  5 n2+1 5  A(n) 5
A(n) là tích của ba thừa số trong mọi trường hợp đều có một thừa số chia hết cho 5 vậy A(n) 5
*PP 2. .Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m ,ta phân tích m ra thừa số.
Giả sử m=p.q.Nếu p và q là số nguyên tố,hay p và q nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách chứng
minh A(n) p và A(n) q(từ đó suy ra A(n) p.q=m).
Ví dụ2: Chứng minh tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
 Giải: Ta có A(n) = n(n+1)(n+2) và 6=2.3(2 và 3 là số nguyên tố),ta tìm cách chứng minh
A(n)  2 và A(n) 3
 Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2 vậy A(n)  2
 Trong ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3 vậy A(n)  3
 A(n)  2 và A(n) 3 vậy A(n)  2.3=6
2 Nếu q và p không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) ra thừa số,chẳng hạn
A(n)=B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n) p và C(n) q (suy ra A(n) =B(n).C(n)  p.q = m )
Ví dụ 3 Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
 Giải: Gọi số chẵn đầu tiên là 2n,số chẵn tiếp theo là 2n+2,tích của chúng sẽ là A(n) = 2n(2n+2)
ta có 8=4.2 và A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) đây là tích của hai thừa số một thừa số là 4 4 và thừa số
kia là n(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
Vì vậy A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) 2.4 =8
*PP 3.Để C/M A(n) m, có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều số hạng và C/M mỗi số hạng
chia hết cho m.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng n3-13n 6 với mọi n thuộc Z
Giải: Ta phải chứng minh A(n) = n3-13n 6
 Chú ý rằng 13n=12n+n mà 12n 6 ,ta biến đổi A(n) thành
 A(n) = (n3-n)-12n = n(n2-1)-12n=(n-1)n(n+1)-12n
 Mà (n-1)n(n+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên (n-1)n(n+1) 6 (Ví dụ 2)
Và 12n 6 Vì vậy (n-1)n(n+1)-12n 6 hay A(n) = n3-13n 6
* PP 4.Để C/M một tổng không chia hết cho m,có thể chứng minh một số hạng của tổng không
chia hết cho m còn tất cả các số hạng còn lại chia hết cho m
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số n lẻ : n2+4n+5 không chia hết cho 8
Giải: Đặt n=2k+1 (nlẻ) ta có :
 n2+4n+5=(2k+1)2 +4(2k+1) +5
 = (4k2+4k+1+)+ (8k+4)+5
 = (4k2+4k) +(8k+8)+2
 Đây là tổng của ba số hạng số hạng đầu bằng (4k2+4k)=4k(k+1) 8(ví dụ 3),Số hạng thứ hai
chia hết cho 8 số hạng thứ ba không chia hết cho 8 vậy tổng trên không chia hết cho 8
*PP 5.Phương pháp phản chứng.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng a2 - 8 không chia hết cho 5 với aN.
Giải: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử A(n)=a2 - 8  5,nghĩa là A(n) phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5, suy ra a2 (là một số
chính phương) phải có chứ số tận cùng là một trong các chữ số 3;8 - Vô lý(vì một số chính
phương bao giờ cũng có các chữ số tận cùng là:0;1;4;6;9)
Vậy a2 - 8 không chia hết cho 5.
*PP 6.Phương pháp qui nạp.
Ví dụ7: Chứng minh rằng 16n-15n-1 225
 Giải: Với n=1 thì 16n-15n-1=16-15-1=0 225. Giả sử 16k-15k-1 225
Ta chứng minh 16k+1-15(k+1)-1 225
 Thực vậy: 16k+1-15(k+1)-1=16.16k -15k-15-1 =(16k-15k-1)+15.16k-15
Theo giả thiết qui nạp 16k-15k-1 225
Còn 15.16k-15=15(16k-1) 15.15=225 Vậy 16n-15n-1 225
II- MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHÉP CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ.
1: Khi chia số a cho số b ta được thương là 18 và số dư là 24. Hỏi thương và số dư thay đổi thế
nào nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần.
 2: Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5.
Tìm số dư trong phép chia a cho 36.
 4: Tìm các chữ số x, y, z, để số 579xyz chia hết cho 5;7 và 9.
 5: Tìm nN biết 2n + 7 chia hết cho n + 1.
6.CMR: a) 8926-4521 2 ; 20092008-20082009 không chia hết cho 2
b) 10n -4 3 ; 9.10n+ 18 27 c) 4110-1 10 ;92n-14 5
7.CMR a) (a2-1)a2 12 với a >1; b) (n-1)(n+1)n2(n2+1) 60 với mọi n ( Gợi ý :Sử dụng PP 2 )
8 CMR với mọi n lẻ:a) 4n+15n-1 9 b)10n+18n-28 27 (Gợi ý: dùng qui nạp)
9. Tìm số dư trong phép chia sau:
a)bình phương của một số lẻ cho 8; b) 21000 cho 5 ; c) 21000 cho 25
10.Chứng minh rằng với mọi nZ : a) n2-n 2 ; b)n3-n 3 ; c) n5 -n 5
(Gợi ý :phân tích thành các tích và áp dụng PP1)
3
4II- MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHÉP CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ.
Bài 1: Khi chia số a cho số b ta được thương là 18 và số dư là 24. Hỏi thương và số dư thay đổi
thế nào nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần.
Giải: Theo định nghĩa của phép chia và theo đề bài ta có:
a = b18 + 24 (1) (b > 24)
Nếu số bị chia và số chia b giảm đi 6 lần thì từ (1) ta có:
a: 6 = (b18 + 24)  6
= b18  6 + 24  6
= (b  6) 18 + 4 (b  6 > 4)
Vậy nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần thì thương không thay đổi còn số dư giảm 6 lần.
Bài 2: Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5.
Tìm số dư trong phép chia a cho 36.
Giải: Theo đề bài ta có: a = 4q1 + 3 = 9q2 + 5
(q1 và q2 là thương trong hai phép chia)
Suy ra a + 13 = 4q1 + 3 + 13 = 4(q1 + 4) (1)
a + 13 = 9q2 + 5 + 13 = 9(q2 + 2) (2)
Từ (1)(2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4; 9) = 1 nên alà bội của 4.9 = 36.
Ta có a + 13 = 36k (kN*)
 a = 36k - 13 = 36(k - 1) + 23
Vậy a chia hết cho 36có số dư là 23.
Bài 4: Tìm các chữ số x, y, z, để số 579xyz chia hết cho 5;7 và 9.
Giải: Vì các số 5; 7; 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z sao cho
579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.
Ta có 579xyz= 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
Suy ra 30 + xyz chia hết cho 315
Vì 30  30 + xyz < 1029 nên:
Nếu 30 + xyz = 315  xyz = 315 - 30 = 285
Nếu 30 + xyz = 630  xyz = 630 - 30 = 600
Nếu 30 + xyz = 945  xyz = 945 - 30 = 915
Vậy x = 2; y = 8; z = 5
x = 6; y = 0; z = 0
x = 9; y = 1; z = 5
Bài 5: Tìm nN biết 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Giải:
Vì (2n + 7)  (n + 1)  2n + 7 - 2(n + 1)  n + 1
 5  n + 1  n + 1 là ước của 5
Với n + 1 = 1  n = 0
Với n + 1 = 5  n = 4
 Đáp số: n = 0; n = 4
Bài tập:
1.CMR:
a) 8926-45212 ; 20092008-20082009 không chia hết cho 2
b) 10n -4 3 ; 9.10n+ 18 27
c) 4110-1 10 ;92n-14 5
 2.CMR
 a) (a2-1)a2 12 với a >1
 b) (n-1)(n+1)n2(n2+1) 60 với mọi n
( Sử dụng PP 2 )
 3 CMR với mọi n lẻ:
a) 4n+15n-1 9
 b)10n+18n-28 27 (Gợi ý: dùng qui nạp)
4. Tìm số dư trong phép chia sau:
 a)bình phương của một số lẻ cho 8; b) 21000 cho 5 ; c) 21000 cho 25
5.Chứng minh rằng với mọi nZ : a) n2-n 2 ; b)n3-n 3 ; c) n5 -n 5
(phân tích thành các tích và áp dụng PP1)
5II- MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHÉP CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ.
1: Khi chia số a cho số b ta được thương là 18 và số dư là 24. Hỏi thương và số dư thay đổi thế
nào nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần.
 2: Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5.
Tìm số dư trong phép chia a cho 36.
 4: Tìm các chữ số x, y, z, để số 579xyz chia hết cho 5;7 và 9.
 5: Tìm nN biết 2n + 7 chia hết cho n + 1.
6.CMR: a) 8926-4521 2 ; 20092008-20082009 không chia hết cho 2
b) 10n -4 3 ; 9.10n+ 18 27 c) 4110-1 10 ;92n-14 5
7.CMR a) (a2-1)a2 12 với a >1; b) (n-1)(n+1)n2(n2+1) 60 với mọi n ( Gợi ý :Sử dụng PP 2 )
8 CMR với mọi n lẻ:a) 4n+15n-1 9 b)10n+18n-28 27 (Gợi ý: dùng qui nạp)
9. Tìm số dư trong phép chia sau:
a)bình phương của một số lẻ cho 8; b) 21000 cho 5 ; c) 21000 cho 25
10.Chứng minh rằng với mọi nZ : a) n2-n 2 ; b)n3-n 3 ; c) n5 -n 5
(Gợi ý :phân tích thành các tích và áp dụng PP1)