Tài liệu và bài tập Số học - “Một số phương pháp chứng mình chia hết" - Lê Gia Lợi

 1 
Mục lục 
a. phần mở đầu 
1. Lý do chọn đề 2 
2. Mục đích nghiên cứu 2 
3. Khách thể và đối t−ợng nghiên cứu 3 
4. Giả thuyết khoa học 3 
5. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 
6. Giới hạn của đề tài 3 
7. Những luận điểm bảo vệ 3 
8. Những đóng góp mới cũng nh− ý nghĩa lý luận thực tiễn của đề tài. 3 
9. Cơ sở ph−ơng pháp luận và ph−ơng pháp nghiên cứu 4 
B. Nội dung 5 
 II.Phép chia hết 6 
 Vấn đề 1: Ph−ơng pháp chứng minh chia hết 6 
 Vấn đề 2: Dấu hiệu chia hết 9 
 Vấn đề 3: Các bài tập khác về chia hết 10 
 III. Các bài tập về phép chia hết 12 
c. Kết luận chung 13 
 Tài liệu tham khảo 15 
 2 
a. phần mở đầu 
1. Lý do chọn đề tài: 
 Đồng chí Phạm Văn Đồng từng nói : “Toán học là môn thể thao của trí 
tuệ giúp cho chúng ta rèn luyện tính thông minh, sáng tạo”. 
 Toán học ra đời gắn liền với con ng−ời, với lịch sử phát triển và cuộc sống 
xX hội loài ng−ời. Nó có lý luận thực tiễn lớn lao và quan trọng và Số học là một 
bộ môn đặc biệt quan trọng của toán học. Nếu đi sâu nghiên cứu về môn số học 
hẳn mỗi chúng ta sẽ đ−ợc chứng kiến nhiều điều lý thú của nó mang lại . “Một 
số ph−ơng pháp chứng minh chia hết” là một đề tài hay của số học, nó đX thực 
sự lôi cuốn nhiều ng−ời yêu toán học. 
 Ngày nay xX hội đang rất cần những mẫu ng−ời thông minh, trí tuệ, sáng 
tạo. Học toán sẽ giúp chúng ta phát huy cao độ những đức tính ấy. “ Một số 
ph−ơng pháp chứng minh chia hết ”mà tôi sẽ đề cập d−ới đây chỉ là một khía 
cạnh trong vô vàn những khía cạnh khác của bộ môn số học nói riêng và toán 
học nói chung. 
 Trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ 
thi tuyển sinh vào tr−ờng THPT chuyên th−ờng gặp những bài toán về phép chia 
hết. Dạng toán này rất phong phú và đa dạng, có ý nghĩa rất quan trọng đối với 
các em học sinh ở bậc THCS, phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện 
pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết 
loại toán này. 
Với ý nghĩa nh− vậy, việc h−ớng dẫn học sinh nắm đ−ợc các ph−ơng pháp 
giải các bài toán về phép chia hết là vấn đề quan trọng. Qua thực tế giảng dạy, 
tìm tòi, học hỏi, bản thân đX rút ra đ−ợc một số ph−ơng pháp để giải các bài toán 
về phép chia hết nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi d−ỡng học sinh giỏi toán, 
nâng cao chất l−ợng giảng dạy. 
2. Mục đích nghiên cứu 
* Đối với GV 
 3 
- Nâng cao trình độ chuyên môn, phục vụ cho quá trình giảng dạy. 
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học để ngày càng phục vụ cho việc 
giảng dạy hiệu quả hơn. 
* Đối với HS 
 - Giúp HS hệ thống một số ph−ơng pháp giải bài toán về phép chia hết. 
 - Nâng cao chất l−ợng giáo dục, rèn luyện t− duy, óc sáng tạo của học sinh trung 
học cơ sở. 
3. Khách thể và đối t−ợng nghiên cứu 
* Khách thể: - Học sinh khá, giỏi toánTr−ờng THCS Thiệu Trung. 
* Đối t−ợng nghiên cứu: “ Một số ph−ơng pháp chứng minh chia hết ” 
4. Giả thuyết khoa học 
 Việc hệ thống một số ph−ơng pháp chứng minh chia hết và ví dụ minh 
hoạ sẽ giúp cho học sinh rèn luyện đ−ợc kỹ năng tính toán, phát triển đ−ợc t− 
duy thuật giải, vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Đặc biệt trong đề tài đX 
nêu ra một số dấu hiệu chia hết, một số dạng toán khác từ đó kết quả sẽ đ−ợc 
nâng lên một cách rõ rệt, nhất là việc đ−a vào dạy cho học sinh khá, giỏi, tr−ờng 
chuyên, lớp chọn. 
5. Nhiệm vụ nghiên cứu: 
 Đề tài trình bày một số ph−ơng pháp chứng minh chia hết của bậc THCS. 
Mỗi ph−ơng pháp đ−ợc trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết và ví dụ 
minh hoạ. 
6. Giới hạn đề tài 
 Đề tài này chỉ đề cập tới một số ph−ơng pháp chứng minh chia hết, đối 
t−ợng mà đề tài nhằm tới là học sinh khá, giỏi toán THCS. 
7. Những luận điểm bảo vệ 
 Đề tài gồm 3 phần: 
 - Một số ph−ơng pháp chứng minh chia hết 
 - Dấu hiệu chia hết 
 - Các bài tập khác về chia hết 
8. Cơ sở Ph−ơng pháp luận và ph−ơng pháp nghiên cứu: 
 4 
 - Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi d−ỡng, tham khảo tài liệu và báo toán 
học tuổi tuổi thơ. 
 - Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của học sinh ở tr−ờng . 
 - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp, các thầy cô 
giáo có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. 
 9. Những đóng góp mới cũng nh− ý nghĩa lý luận thực tiễn của đề tài 
 Phép chia hết là một dạng toán khó đối với học sinh THCS. Việc đ−a ra 
một số ph−ơng pháp chứng minh chia hết kèm theo ví dụ, giúp học dễ dàng nắm 
đựơc một cách khá chắc chắn mức độ kiến thức và kỹ năng, đồng thời nêu ra một 
số dấu hiệu chia hết, các dạng toán khác giúp học sinh phát huy tính t− duy, sáng 
tạo. 
 5 
b. phần nội dung 
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn: 
 Trên cơ sở thực tế dạy và học, daùng toaựn “Chia heỏt” đX ủửụùc ủeà caọp trong 
saựch giaựo khoa ngay tửứ ủaàu lụựp 6 ủeỏn lụựp 9, vaứ moói khối lụựp coự yeõu caàu về mặt 
kiến thức khaực nhau, mức độ khác nhau mà kieỏn thửực ủoứi hoỷi coự sửù keỏ thửứa, caựi 
naứy laứ cụ sụỷ cuỷa caựi kia, chuựng boồ trụù cho nhau neõn laứm cho ngửụứi hoùc vaứ 
ngửụứi daùy raỏt vaỏt vaỷ nhaỏt laứ caực em hoùc sinh khoỏi 8 vaứ khoỏi 9. Thoõng thửụứng 
khi daùy daùng toaựn naứy giaựo vieõn laùi phaỷi nhaộc laùi caực kieỏn thửực cụ baỷn hoùc ụỷ 
lụựp dửụựi laứm maỏt raỏt nhieàu thụứi gian cho tieỏt daùy. Kyừ naờng bieỏn ủoồi ủeồ laứm 
xuaỏt hieọn caực yeỏu toỏ chia heỏt trong bieồu thửực soỏ hay bieồu thửực ủaùi soỏ cuỷa caực 
em coứn chửa linh hoaùt, coự nhửừng baứi toaựn raỏt ủụn giaỷn maứ caực em bieỏn ủoồi 
chửựng minh raỏt daứi doứng vaứ phửực taùp, thửùc chaỏt neỏu caực em naộm chaộc caực 
phửụng phaựp giaỷi daùng toaựn chia heỏt thỡ chửựng minh raỏt ủụn giaỷn. 
 * Về phía giáo viên: 
 Có thể khẳng đinh rằng đây là một trong những dạng bài t−ơng đối khó 
đối với giáo viên. Đó là, tr−ớc hết là khó khăn về kiến thức, về ph−ơng pháp... 
 Vậy nguyên nhân do đâu ? 
 - Các tài liệu để giáo viên tham khảo rất hiếm nên giáo viên cũng ít có cơ 
hội để bổ sung kiến thức, ph−ơng pháp. 
 - Do giáo viên ch−a tìm đ−ợc một ph−ơng pháp tối −u cho từng dạng bài, 
ch−a đầu t− nhiều để suy nghĩ để đ−a ra hệ thống những lời chỉ dẫn cho học sinh 
trong các tiết học. 
*Về phía học sinh: 
 Với giáo viên việc dạy bài bài toán chia hết là khó thì với học sinh kiểu 
bài này càng khó hơn. 
 - Việc học tập các ph−ơng pháp tổng quát và đặc biệt là để giải các bài 
toán; việc hình thành khả năng, kỹ xảo vận dụng toán học của HS ch−a hệ thống. 
 6 
 - Học sinh trong khi nghiên cứu toán học, các em có những kiến thức, nội 
dung tài liệu học tập, các em hiểu các định lý và quy tắc nh−ng không hiểu các 
ph−ơng pháp chung để giải các bài toán. Những chỉ dẫn của giáo viên thông 
th−ờng học sinh không ghi nhớ và hệ thống hoá đ−ợc. Vì thế tất cả những chỉ 
dẫn đó chỉ trông vào trí nhớ của học sinh nh−ng học sinh lại nhanh quên. 
 Và nguyên nhân của những nguyên nhân: “Tôi nghĩ rằng, nếu việc học 
toán thuộc về trí tuệ của loài ng−ời thì công bằng phải quý điều đó về khuyết 
điểm của nghệ thuật và ph−ơng pháp giảng dạy”. (NI. Lôbasepki) 
II. Phép chia hết 
* Tóm tắt lý thuyết 
1. Định lý về phép chia hết: 
a) Định lý 
 Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý, 0b ≠ , khi đó có 2 số nguyên q, r duy 
nhất sao cho : a bq r= + với 0 r b≤ ≤ , a là só bị chia, b là số chia, q là th−ơng số 
và r là số d−. 
 Đặc biệt với r = 0 thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là −ớc 
của a, ký hiệu a b
 . 
 Vậy 
 b) Tính chất 
 a) Nếu a b
 và b c
 thì a c
 
 
 b) Nếu a b
 và b a
 thì a = b 
 c) Nếu a b
 , a c
 và (b,c) = 1 thì a bc
 
 d) Nếu ab c
 và (c,b) = 1 thì a c
 
2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích. 
- Nếu 



mb
ma




mba 
+→ 
- Nếu 



mb
ma




mba 
−→ 
- Nếu 



mb
ma




a→ .b m
 
 - Nếu →ma
 a 
n m (n là số tự nhiên) 
3. Đồng d− thức 
a b ⇔
 có số nguyên q sao cho a = b.q 
 7 
 a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > 0. Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số 
d− khi chia cho m thì ta nói a đồng d− với b theo môđun m . 
Kí hiệu : (mod )a b m≡ 
 b) Tính chất 
 a) (mod ) (mod )a b m a c b c m≡ ⇒ ± ≡ ± 
 b) (mod ) (mod )a b m na nb m⇒
 
 
 c) (mod ) (mod )n na b m a b m≡ ⇒ ≡ 
 d) (mod ) (mod )a b m ac bc m≡ ⇒ ≡ 
Vấn đề 1: 
Ph−ơng pháp 1: Dùng tính chất 
 Trong n ( 1)n ≥ số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n. 
Ví dụ 1: a) Tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120. 
 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 3 11 6n n+ 
 
 Giải 
 a) Ta có 120 = 32 .3.5 
 Trong 5 số nguyên liên tiếp phải có 2 số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8. 
Mặt khác trong 5 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 
5 nên tích chia hết cho 3. 5 mà (3,5,8) = 1 . 
 Vậy tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120. 
 b) Ta có : 
3 311 12
( 1)( 1) 12 6
n n n n n
n n n n
+ = − +
= − + + 

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích ( n-1) n (n+1) 6
 
Ph−ơng pháp 2: Dùng công thức khai triển 
 , ( )n na b a b a b n N− − ≠ ∀ ∈
 
 n na b a b+ +
 nếu n lẻ 
 n na b a b− +
 nếu n chẵn ( )a b≠ − 
 ( ) (mod )n na b b a+ ≡ 
 Ví dụ 2 a) Với n chẵn, chứng minh rằng 20 16 3 1 323n n n+ − − 
 
 b) Chứng minh rằng : 5555 22222222 5555 7+ 
 
 Giải: 
a) Ta có 323 = 17 . 19 và 20 16 3 1 (20 1) (16 3 ) 19n n n n nn+ − − = − + − 
 (1) 
 Vì 20 1 20 1 19n − − =
 và 16 3 19n n− 
 do n chẵn. 
 Mặt khác : 20 16 3 1 (20 3 ) (16 1) 17n n n n nn+ − − = − + − 
 (2) 
 Vì (20 3 ) 20 3;(16 1) 16 1 17n n n− − − + =
 
 do n chẵn. 
 Từ (1) và (2) suy ra 20 16 3 1 17.19 323n n n+ − − =
 
Ph−ơng pháp chứng minh chia hết 
 8 
b) Ta có : 
2222 4(mod 7)≡ − ;5555 4(mod 7)≡ ⇒ 5555 2222 5555 22222222 5555 ( 4) 4 0(mod 7)+ ≡ − + ≡ 
Vì 5555 2222 2222 3333 3( 4) 4 4 (4 1) 4 1 63 7− + ≡ − − − =
 
 
Ph−ơng pháp 3: Dùng định lý về phép chia có d− 
 Để chứng minh nA p
 ta xét về mọi tr−ờng hợp về số d−. Khi chia n 
cho p có thể d− là 0; 1; 2; ...; p - 1 hoặc là 
11; 2;...;
2
p −± ± ± nếu p lẻ. 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu 3n 
 thì 23 3 1 13n n+ + 
 
 Giải: 
 Vì 3n 
 nên n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 
1) Nếu n = 3k + 1 thì 
2 6 2 3 1 23 3 1 3 3 1 9.27 3.27 1 9 3 1 0(mod13)n n k k k k+ ++ + = + + = + + ≡ + + ≡ 
 Vì 27 1(mod13)≡ 
2) Nếu n = 3k + 2 thì 
2 6 4 3 2 23 3 1 3 3 1 81.27 9.27 1 81 9 19 mod13)n n k k k k+ ++ + = + + = + + ≡ + + 
 Vậy 3n 
 thì 23 3 1 13n n+ + 
 
Ph−ơng pháp 4: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet 
 Nếu đem n + 1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo 
chứa từ 2 vật trở lên. 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng 
a) có thể tìm đ−ợc một số có dạng 19911991...19910...0 và chia hết cho 1992. 
b) Trong 8 số tự nhiên mỗi số có 3 chữ số, bao giờ cũng chọn đ−ợc 2 số mà khi 
viết liền nhau ta đ−ợc một số có 6 chữ số và chia hết cho 7. 
 Giải: 
 a) Lấy 1992 số 1991; 19911991 ;...;
1992 1991
1991...1991
so
 chia cho 1992. Vì đây là 
dXy các số lẻ nên không có số nào chia hết cho 1992, do đó d− trong phép chia 
các số này cho 1992 chỉ thể là 1; 2; ...; 1991. Vậy phải có 2 số có cùng d− khi 
chia cho 1992, hiệu 2 số đó có dạng 19911991...19910...0 và chia hết cho 1992. 
 b) Lấy 8 số đX cho chia cho 7 thì có 2 số có cùng số d−, giả sử là abc và 
def chia cho 7 có số d− là r. 
 Khi đó : 1000abcdef abc def= + 
 =1000(7 ) 7k r l r+ + + 
 =7(1000 1 143 ) 7k r+ + 
 (đpcm) 
Ph−ơng pháp 5: Dùng quy nạp toán học 
 Ta cần chứng minh ( )A n p
 (1) với n = 1; 2; ... 
 9 
 1) Ta chứng minh (1) đúng với n = 1, nghĩa là (1)A p
 
 2) Giả sử (1) đúng với n = k , nghĩa là ta có ( )A k p
 
 3) Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 , nghĩa là phải chứng minh 
( 1)A k p+ 
 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi 1n ≥ : 4 15 1 9n n+ − 
 
 Giải: 
 Với n = 1 ta có: 14 15.1 1 18 9+ − = 
 
Giả sử với n = k, ta có: 4 15 1 9k k+ − 
 ⇒ 4 15 1 9n n m+ − = ( 1) với m Z∈ 
Với n = k + 1 ta có: 14 15( 1) 1 4.4 15 14k kk k+ + + − = + + (2) 
Từ (1) suy ra: 4 9 15 1k m k= − + , thay vào (2) ta có: 
14 15( 1) 1
4(9 15 1) 15 14
36 45 18 9
k k
m k k
m k
+ + + −
= − + + +
= − + 

Vậy 1n ≥ : 4 15 1 9n n+ − 
 
Ph−ơng pháp 6: Dùng định lý Fermat 
 Với P là số nguyên tố ta có: pa ≡ (mod )p p 
 Đặc biệt nếu (a,p) =1 thì 1 1(mod )pa p− ≡ 
 Ví dụ 6: Chứng minh rằng 
 1991 1991 19911 2 ... 1991 11+ + + 
 
 Giải: 
 Theo định lý Fermat : 11 1991(mod11) (mod11)a a a a≡ ⇒ ≡ 
 Do đó : 
1991 1992 19911 2 ... 1991
1 2 ... 1991
1991.966 0(mod11)
+ + +
≡ + + +
= ≡
Vấn đề 2: 
*Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời 
chia hết cho 2 và cho 3. 
 1) Các dấu hiệu chia hết đơn giản 
 a. Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125. 
 1 1 0 0 0... 2 2 0;2;4;6;8.n na a a a a a− ⇔ ⇔ =
 
 
 1 1 0 0... 5 0;5n na a a a a− ⇔ =
 
1 1 0... 4n na a a a− 
 ( hoặc 25) 1 0 4a a⇔ 
 ( hoặc 25) 
 Dấu hiệu chia hết 
 10 
 1 1 0... 8n na a a a− 
 ( hoặc 125) 2 1 0 8a a a⇔ 
 ( hoặc 125) 
 b) Chia hết cho 3; 9. 
 1 1 0... 3n na a a a− 
 (hoặc 9) 0 1 ... 3na a a⇔ + + + 
 ( hoặc 9) 
 Nhận xét: D− trong phép chia N cho 3 ( hoặc 9) cũng chính là d− trong phép 
chia tổng các chữ số của N cho 3 ( hoặc 9). 
Ví dụ 7: Tìm các chữ số x, y để: 
 a) 134 4 45x y
 
 b) 1234 72xy
 
 Giải: 
a) Để 134 4 45x y
 ta phải có 134 4x y chia hết cho 9 và 5 ⇒y = 0 hoặc y = 5 
Với y = 0 thì từ 134 40 9x 
 ta phải có 1+3+5+x+4 9
 4 9 5x x⇒ + ⇒ =
 
 khi đó ta có số 13554 
 với x = 5 thì từ : 134 4 9x y
 ta phải có 1+3+5+x+4 +5 9
 
9 0; 9x x x⇒ ⇒ = =
 lúc đóta có 2 số: 135045; 135945. 
b) Ta có 1234 123400 72.1713 64 72 64 72xy xy xy xy= + = + + ⇒ +
 
 
Vì 64 64 163xy≤ + ≤ nên 64 xy+ bằng 72 hoặc 144. 
+ Với 64 xy+ =72 thì xy=08, ta có số: 123408. 
+ Với 64 xy+ =14 thì xy=80, ta có số 123480 
2. Một số dấu hiệu chia hết khác 
a) Dấu hiệu chia hết cho 11: 
 Cho 5 4 3 2 1 0...A a a a a a a= 
 ( ) ( )0 2 4 1 3 511 ... ... 11A a a a a a a⇔ + + + − + + +  
 
 
Ví dụ 8 Tìm các chữ số x, y để 7 36 5 1375N x y= 
 
 Giải: 
Ta có: 1375 = 11.125. 
( ) ( )
125 6 5 125 2
7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1
N y y
N x x x x
⇔ ⇔ =
= ⇔ + + − + + = − ⇔ =

 


 

Vậy số cần tìm là 713625 
b) Dấu hiệu chia hết cho 101 
 5 4 3 2 1 0...A a a a a a a= 
 ( ) ( )1 0 5 4 3 2 7 6101 ... ... 101A a a a a a a a a⇔ + + − + +  
 
 
Ví dụ 9 a) Hỏi số 1991
1991 1991
1991...1991
so
A = có chia hết cho 101 không? 
 b) Tìm n để 101nA 
 
 Giải: 
 a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A1991 có 2 cặp số là 91;19 
 11 
 Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991. 72 
 101 nên 1991 101A 
 
b) 101 .91 .19 72 101 101nA n n n n⇔ − = ⇔
 
 
 
c) Dấu hiệu chia hết cho7;13 
5 4 3 2 1 0...A a a a a a a= 
( ) ( )2 1 0 8 7 6 5 4 37 ... ... 7A a a a a a a a a a⇔ + + − +  
 
 
( ) ( )2 1 0 8 7 6 5 4 313 ... ... 13A a a a a a a a a a⇔ + + − +  
 
 
Vấn đề 3 
1) Chứng minh không chia hết 
 - Nếu a b
 và b c
 thì a c
 
 - Nếu a c
 và b c
 thì c b c± 
 
 - Nếu ab p
 thì a p
 hoặc b p
 với p là số ngyuên tố. 
 - Số chính ph−ơng( là bình ph−ơng của số tự nhiên ) chia hết 
cho số nguyên tố p thì sẽ chia hết cho p2. 
 Vậy nếu n p
 nh−ng 2n p
 thì n là số chính ph−ơng. 
Ví dụ 11 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n : 
 a) 2 1 9n n+ + 
 
 b) 2 11 39 49n n+ + 
 
 Giải: 
 a)Với n = 3k thì 2 1 3n n+ + 
 do đó 2 1 9n n+ + 
 
 Với n = 3k + 1 thì 2 2 21 (3 1) (3 1) 1 9( ) 3 9n n k k k k+ + = + + + + = + + 
 
Với n = 3k+2 thì 2 1 1(mod 3)n n+ + ≡ do đó 2 1 9n n+ + 
 
 Vậy 2 1 9n n+ + 
 vớ mọi n. 
2) Tìm số tự nhiên n để a(n) ( )B n
 
 Ph−ơng pháp: Giả sử có A(n), ta biến đổi hoặc dùng phép chia đa 
thức đẻ đi đến hằng số m ( )B n
 , từ đó suy ra n. 
 Kiểm nghiệm các giá trị tìm đ−ợc n. 
Ví dụ 12: a) Tìm n > 0 sao cho 2 1n + chia hết cho n +1 
 b) Tìm n > 0 và 4n ≠ sao cho 3n - 8 4n −
 
 Giải: 
 a) Giả sử 2 1 1n n+ +
 2 21 1 2 1 2 1 1n n n n n⇒ + = − + + ⇒ + ⇒ =
 
 
 Thử lại với n = 2 ta có : 2 = 2. 
 Vậy 2 1 1n n+ +
 , n > 0 
Các bài tập khác về chia hết 
 12 
 b) Giả sử 
3 8 4 3 8 3( 4) 4 4 4 4
4 4; 2; 1 8;6;2;5;3
n n n n n n
n n
− − ⇒ − = − + − ⇒ −
⇒ + = ± ± ± ⇒ =

 
 

 Vậy 3n - 8 4n −
 với n > 0; 4n ≠ 
3) Bài tập về số chính ph−ơng 
 Ph−ơng pháp 1: Dùng tính chẵn lẻ 
Ví dụ 13 Chứng minh rằng số chính ph−ơng có chứa chữ số lẻ ở hàng chục 
thì chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6. 
 Giải: 
 Giả sử số chính ph−ơng có dạng 
2 2 2 2 2 2(10 ) , ; 9 100 20 20 (5 )nb n b n N b nb n nb b n n b b= + ∈ ≤ ⇒ = + + = + + 
Chữ số hàng chục của 20n(5n + b) là chẵn nên theo giả thiết chữ số hàng chục 
của b2 phải lẻ, từ đó suy ra b = 6; 4. 
Khi đó b2 = 36; 16 nên chữ số hàng đơn vị của 2nb luôn bằng 6. 
Ph−ơng pháp 2: Sử dụng chia hết và chia có d− 
Ví dụ 14: Tìm số chính ph−ơng abcd biết 1ab cd− = 
 Giải: 
Giả sử 2 100 100(1 )n abcd ab cd cd cd= = + = + + 
 2101 100 101 100cd cd n= + ⇒ = − 
 = ( n - 10 )( n +10) 
Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91. 
 Thử lại : abcd = 912= 8281 có 82 - 81 = 1 
 Ph−ơng pháp 3 Sử dụng tính chất 
 a) Nếu a là số chính ph−ơng và ( a, b) = 1 thì a và b đều là số chính ph−ơng 
 b) Nếu có số nguyên m sao cho 2 2( 1)m n m< < + thì n không thể là số chính 
ph−ơng. 
 Ví dụ 15 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số 
chính ph−ơng. 
 Giải: 
Ta có A = n(n+1)(n+2)(n+3) 
 = 2 2 2 2 2( 3 )( 3 2) ( 3 ) 2( 3 )n n n n n n n n+ + + = + + + 
2 2 2 2( 3 ) ( 3 1)n n A n n⇒ + < < + + 
 Vậy A không thể là số chính ph−ơng. 
III) Các bài tập về chia hết 
 13 
1.Chứng minh rằng: 
 a) 16 15 1 225n n− − 
 
 b) 29 14 5n + 
 
2. Tìm số tự nhiên n để 7 42n n− 
 
3. Với 4 số nguyên a,b,c, d . 
 Chứng minh rằng: (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) 12
 
4. Chứng minh rằng với mọi n 1≥ : 
 a) 3 33 26 27 169n n+ − − 
 
 b) 2 2 111 12 133n n+ ++ 
 
5. Chứng minh 29 3 9 27 29abcd a b c d⇔ + + +
 
 
6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n : 
a) 9 1 100n + 
 
b) 2 2 15n n+ + 
 
7. Với giá trị nào của n thì (n+5)(n+6)
6n. Với n N∈ 
8. Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các −ớc tự nhiên của p4 là một số chính 
ph−ơng. 
9.Cho n là số tự nhiên , d là −ớc nguyên d−ơng của 2n2 chứng minh rằng n2+d 
không chính ph−ơng. 
 14 
c. Kết luận chung 
A. Kết quả thực hiện: 
 Sau khi thời gian thực hiện chuyên đề này với ph−ơng pháp đX trình bày ở 
trên tôi đX thu đ−ợc kết quả: 
 - Với học sinh trung bình đX có thể làm đ−ợc những bài tập điển hình đơn 
giản, có những em đX có h−ớng giải quyết khi gặp các bài toán về phép chia hết 
ở dạng khó hơn, các em không còn lo sợ tr−ớc một bài tập về phép chia hết. 
 - Với các học sinh khá, giỏi có em có thói quen t− duy lâu hơn, tìm ra 
h−ớng để giải bài tập, có kỹ năng đơn giản hoá các vấn đề phức tạp, có những 
học sinh đX tìm các bài tập để làm và yêu cầu giáo viên ra những bài tập khó 
hơn. 
 Tôi đX áp dụng một số ph−ơng pháp và dạng toán phù hợp với ch−ơng 
trình lớp 6 và thực hiện bồi d−ỡng ở lớp 6A, lớp 6B không đ−ợc luyện tập chuyên 
đề này và kết quả đạt đ−ợc nh− sau: 
Giỏi Khá TB 
Yếu Kém Đạt Lớp 
BD 
Sĩ số 
SL % SL % SL % SL % SL % % 
6A 30 4 13,3 10 33,4 15 50 1 3,3 0 0 96,7% 
6B 34 0 0 1 2,9 5 14,7 18 52,9 10 29,4 17,7% 
B. Những kinh nghiệm rút ra: 
 Trong quá trình thực hiện chuyên đề này, tôi nhận thấy để làm tốt chuyên 
đề này yêu cầu giáo viên và học sinh phải tiến hành theo những b−ớc sau: 
1. Đối với thầy: 
- Nghiên cứu kỹ SGK và tài liệu tham khảo. 
- Giúp học sinh suy nghĩ tìm ra h−ớng để giải quyết các dạng bài tập về 
phép chia hết là chủ yếu. 
- Trong quá trình làm bài tập bao giờ cũng luyện cho học sinh làm thành 
thạo các dạng bài tập cơ bản sau đó nâng dần bài toán lên giúp các em t− duy 
cao hơn. 
- Tr−ớc khi chữa bài tập giáo viên phải nghiên cứu thật kỹ để tìm ra cách 
giải quyết ngắn gọn, dễ hiểu để học sinh dễ tiếp thu. 
2. Đối với trò: 
- Học chắc kiến thức cơ bản tr−ớc khi làm bài tập. 
- Rèn thói quen không phụ thuộc vào sách vở. 
- Với mỗi bài toán phải rút ra nhận xét cho bản thân. 
C. Kết luận chung: 
 Trong đề tài sáng kiến này tôi đX nêu đ−ợc một số ph−ơng pháp về phép 
chia hết, mỗi ph−ơng pháp có ví dụ minh hoạ do tôi tuyển chọn ở một số tài liệu 
tham khảo. Do tuổi nghề ít, kinh nghiệm còn hạn chế nên quá trình viết khó 
 15 
tránh khỏi đơn điệu, sai sót cách trình bày cũng nh− hệ thống và ph−ơng pháp. 
Tôi hy vọng rằng một phần nào đó giúp chúng ta hiểu kỹ hơn về toán chia hết và 
cá ph−ơng pháp giải. 
 Thông qua sáng kiến này, bản thân tôi thực sự rút ra đ−ợc nhiều kiến thức 
quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn cho công việc giảng dạy sau này. 
 Tôi rất mong nhận đ−ợc sự đóng góp ý kiến quý báu của đồng nghiệp để 
vốn kiến thức của tôi ngày càng hoàn thiện hơn. 
 16 
Tài liệu tham khảo 
1. Số học 6 - Phan Đức Chính-Tôn Thân -Phạm Gia Đức - NXB giáo dục. 
2. Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình - NXB giáo dục. 
3. Toán học tuổi thơ. 
4. Bài tập số học - Đại Học S− phạm Vinh.