Tài liệu ôn thi môn Toán Lớp 9 - Phần Đại số (phần 4)

Bài 2Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE, cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho . Chứng minh AM=AN.
Bài 3Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và AH=420. Tính chu vi tgiác ABC.
Bài 4: Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết AB=; OA = 6. Tính diện tích hình thang.
Bài 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi cạnh hình thoi là h; AC =m; BD = n. Chứng minh rằng: 
 Ví dụ 2:	Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC =0,9 m, BC =1,2 m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc A.
 Ví dụ 3: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 450: sin 600; cos 750 ; sin 52030' ; cotag 820 ; tan 800
 Ví dụ 8 Chứng minh các hệ thức:	
Ví dụ 9: biết tan a= hãy tìm sina và cos a
	C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
VÝ dô6: Cho ABC ( = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4 
 	a) TÝnh tØ sè l­îng gi¸c cña b) Tõ KQ ( a) c¸c tØ sè l­îng gi¸c cña gãc B
VÝ dô7: Cho ABC ( = 1v) ; AB = 6 ; = tg = . TÝnh 
a) AC = ? b) BC = ? 
 Bµi tËp vÒ nhµ : §¬n gi¶n biÓu thøc
1). 1 – Sin2 = ? 2). (1 - cos).(1+ cos) = ? 3). 1+ sin2 + cos2 = ? 
4). sin - sin.cos2 = ? 5). sin4 + cos4 + 2sin2 .cos2 = ? 
6).Kh«ng dïng b¶ng sè vµ m¸y tinh. H·y so s¸nh c¸c tØ sè LG theo thø tù tõ lín ®Õn nhá: Cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620 
VÝ dô8: TÝnh S h×nh thang c©n . BiÕt hai c¹nh ®¸y lµ 12cm vµ 18cm . gãc ë ®¸y b»ng 750 
VÝ dô9: Cho ABC cã gãc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . §­êng cao kÎ tõ C ®Õn AB c¾t AB t¹i P ( h×nh vÏ) . H·y t×m a) AP ? ; BP ? b) CP ?
 Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH.
Bài 2: Cho tam giác ABC , , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm; BD = cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác. Biết AD = 4cm; BD = cm . Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 +cos2 880 +cos2 890 – 
Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau: 
	a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + . . . . + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – .
b) C = tg210 . tg220. tg230 . . . . tg2870. tg2880. tg2890 . 
	c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + . . . . + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2 450 . 
Bài 8: Cho hcnhật ABCD có diện tích 108cm2 . Biết AB – BC = 3cm. Tính chu vi của hcnhật ABCD ?
	Bài 1: Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
	a, M=cos2150 + cos2250 +cos2350+cos2450+cos2550+cos2650+cos 750
	b, N= sin2100-sin2200+sin2300-sin2400-sin2500-sin2700+sin2800
	Bài 2: Cho góc nhọn a biết sin a <tan a và cos a <cot a
	Bài 3: Cho biết cos a=0,4, hãy tìm sin a; tan a ; cot a.
	Bài 4. C minh các hệ thức: 
	Bài 5:Biết cot a=Hãy tìm sin a và cos a
	Bài 6Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C.
	a, Cmr: 	b, Có thể xảy ra đẳng thức: sin A = sin B + sin C không?
Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:
 a, b=10 cm , ; b, c = 21 cm ; b=18 cm
Ví dụ 	Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11 cm, . Gọi điểm N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính:
	a, Đoạn thẳng AN 	b, Cạnh AC
Ví dụ 1: Các tia nắng Mặt Trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 340 và bóng của một tháp trên mặt đất dài 86 m. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)
VD 2: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút ) mà tia nắng Mặt Trời tạo với mặt đất (góc a)
VD 3: Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chéo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ ?
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải tam giác vuông ABC, biết : 	a) a= 15 cm ; b = 10 cm	b) b = 12 cm ; c = 7 cm
Bài 2: Tam giác ABC có 
Bài 3Tứ giác ABCD có . Cho biết AB=4cm; AD=3cm, tính diện tích tứ giác ABCD
Bài 4Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 280 và có độ cao là 2,1m. Tínhđộ dài của mặt cầu trượt 
Bài 5: Hãy xác định độ cao của một cột ăng-ten CH (hình vẽ) với a=8,5m ; a = 200 ; b = 240 
Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 504 dm2.
Biết AB – AC = 47dm. Tính độ dài AB và AC.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 cm có 
 D AB , E BC , F AC. Biết AB > AC và . Tính AB ; AC.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác ,
	M là trung điểm BC. Cho biết .	Tính BC : AC : AB ?
Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và
 BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. 
Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A .
BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm và chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC 
BT 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4 cm. Tính các cạnh của tam giác ABC ?
BT 4:Cho tam giác ABC vuông tại A Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E.Cm:CD2+BE2=CB2 + DE2 
BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH3
VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG.
Lí thuyết
 Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác tù cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông .
 Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vuông )
+S = bc . sin A = ca. sinB = ab .sin C (1) 
+S = (2) Công thức Heron ; p là nửa chu vi tam giác
+S = (3) 
+ S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác	
+ Nếu a2 < b2 + c2 thì góc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập )
+ a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC 
+Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thì trong có AH = c.sin B. Do đó diện tích là : S = AH . BC = c.sinB . a = ac. sinB
Hay S = ac.sinB . Đối với các góc khác thì tương tự
BT1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm, AC+ AB = 28 cm.
Chứng minh các góc B và C nhọn ?
Tính AB, AC ?
BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Chứng minh:
a) b)
BT 4: Cho tam giác ABC có , AH là đường cao kẻ từ A. Chứng minh AH2 = HB . HC ?
BT 5: Cho tam giác ABC biết a = 3 + , ; .
Tính độ dài đườnh cao AH? B. Tính  ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC?
Từ các kết quả trên, tính cos 750 ?
Bài 1. Chứng minh a/ sin2α + cos2α = 1 b/ tgα = c/ 
 d/ e/ f/ tgα . cotgα = 1 
 k/ l/ , . . . . . . ( C/M các hệ thức nầy)
 Bài 2. Chứng minh các hằng đẳng thức: 
 a) (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinx.cosx b) (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinx.cosx
 c) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x d) sinxcosx(1 + tgx)(1 + cotgx) = 1 + 2sinx . cosx .
 e) Cho µ là góc nhọn của một tam giác vuông. Chứng minh các hệ thức:
 i) sin2 α = ii) cos2 α = 
 Bài 3. Dựng góc nhọn α, biết rằng: sinα = ; cosα = 0,8 ; tgα = 1.
Bài 4 Đổi các tỉ số lượng giác của các góc nhọn sau đây thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45o. 
 sin82o; cos47o; sin48o; cos55o. 
 Bài 5. Xếp thứ tự từ nhỏ đến lớn các tỉ số LG đã cho.
a)Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B, C.
b) Xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn các tỉ số lượng giác sau: sin78o; cos14o; sin47o; cos87o.
Bài 6. Biết sinα . Tính cosα. . . . 
1) Biết rằng sinα = 0,6. Tính cosα và tgα. 2) Biết rằng cosα = 0,7. Tính sinα và tgα.
 3) Biết rằng tgα = 0,8. Tính sinα và cosα. 4) Biết cosx = , tính P = 3sin2x + 4cos2x.
 5) a) Cho góc nhọn b mà sinb = . Tính cosb và tgb.
 b) Cho góc α mà cosα = -. Tính sinα, tgα và cotgα . c) Cho tgx = . Tính sinx và cosx.
 6) Hãy tính sinα, tgα nếu: a) b) 
7) Biết rằng sin 15o = . Tính tỉ số lượng giác của góc 15o .
Bài 7 Các biểu thức dạng chứng minh khi biết một số điều kiện của bài toán ( áp dụng các hệ thức để chứng minh các đẳng thức khác).
 1/ Cho các góc α, b nhọn, α<b. Cmr: a.cos(b -α)=cosbcosα + sinbsinα b.sin(b - α)=sinbcosα - sinbsinα.
2) Cho tam giác ABC nhọn. Cmrằng: a) b) .
 3) Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh là a,b,c. Cmr: c2= a2+b2 –2ab.cosC (AB=c, BC=a,CA= b).
 4) a/ Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 10cm, AC = 8cm. Tính sinB, cosB, tgB.
 b/ Cho tam giác ABC có AD, BE, CF là 3 đường cao. Cmr: AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
Bài 8 Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) Chứng minh rằng sin2α + cos2α = 1, tgα = b) 
 c) sin4x – cos4x = 2sin2x – 1 d) tg2x + cotg2x + 2 e) 
 f) Cho α, b là hai góc nhọn. Cminh rằng: cos2α – cos2b = sin2b - sin2α = - 
 a) tgα = cotgα = b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) và sin2x + cos2x = 1.
 c) Chứng minh rằng: và 
 Bài 9 Rút gọn biểu thức: 1) sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o. 
 2) sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x 3) (1 + cosα)(1 – cosα) – sin2α. . . .
 4) Đơn giản các biểu thức: 
 A = cosy + siny . tgy B = . C = 
 5) Tính: a) cos2 12o + cos2 78o + cos2 1o + cos2 89o b) sin2 3o + sin2 15o + sin2 75o + sin2 87o 
 6) Đơn giản biểu thức: A = sin(90o – x)sin(180o – x) B = cos(90o – x)cos(180o – x)
 Bài 10 Bài toán cực trị: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng .
Bài 11: Giải các tam giác vuông ở C, biết rằng:
a) b = 10cm, A = 30o ; b) c = 20cm, B = 35o ; c)a = 21cm, b = 18cm; d) a = 82cm, A = 42o
 Bài 12Tính khoảng cách - Tính chiều cao - Tính diện tích tam giác - Tính độ dài đoạn thẳng - C /m các hệ thức trong tam giác. :Bằng cách áp dụng tỉ số LG góc nhọn.
 BT 1: Cho tam giác ABC có AB = 26cm, AC = 25cm, đường cao AH = 24cm. Tính cạnh BC. 
 BT 2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) và đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB và AC lần lượt ở B và C. Từ điểm M trên cung nhỏ BC (M khác B và C) kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các đường thẳng BC, CA, AB.
 1/ Chứng minh các tứ giác MDBF, MBCE nội tiếp.
 2/ Chứng minh các tam giác DBM và ECM đồng dạng.
 3/ Cho gó ...  SABCD=AC.BD.sin AOB.
BT 5: Cho điểm A nằm bên trong dãy tạo bởi hai đường thẳng song song d và m lần lượt tại B và C. 
 Xác định vị trí của B và C. Xác định vị trí của B và C để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. 
 BT 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Chứng minh rằng:
 a) b) .
 BT 7: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
 a) Tính b) Tính chiều cao của hình thang ABCD.
 BT 8: Cho tam giác ABC. Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
 a) Chứng minh tam giác ABC vuông; b) Tính sinB, sinC. 
BT 9: Cho hình thang ABCD. Biết đáy AB = a và CD = 2a ; cạnh bên AD = a, góc A = 90o 
 a) Chứng minh tgC = 1 ; b)Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD ;
 c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC.
 BT 10:Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC.
 a) Chứng minh: D ANL ~ D ABC ; b) Cminh: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosAcosBcosC. 
Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác 
 Áp dụng cho hình thang. Ta có thể vẽ thêm đường thẳng song song hoặc đường thẳng vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc chứng minh nó vuông 
BT1 Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là 3cm và 14 cm. Độ dài các đường chéo là 8cm và 15 cm. Tính diện tích hình thang ABCD ?
BT 2 : Cho hình thang ABCD có AB // CD , đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.Tính diện tích hình thang ABCD ?
HD: Như bài trên , vẽ thêm BE // AC thì tam giác BDE vuông tại B
BT 3: Cho hình bình hành ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, góc BAD = 1250 . Các đường phâb giác của góc A và B cắt nhau tại P, các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại Q. 
a) Chứng minh và là những tam giác vuông?
b) Tính AP, BP , PQ ?
BT 4 : Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính chu vi và diện tích hình thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm. 
BT 5: Cho hình thang ABCD có AB // CD Gọi AB=a, CD=b, AD=d , BC=c .CmAC2 +BD2= c2+d2 +2ab 
MỘT SỐ VÍ DỤ 
Bài 1: Cho 2 yếu tố trong 6 yếu tố của vuông ABC (a, b, h, b’, c’, c) thì có tính được các yếu tố còn lại.
Ví dụ: Cho vuông ABC (= 900), h =48, a = 100. Tính b, c, b’, c’.
Bài 2: Cho ABC. Kẻ hai đường cao BB’ và CC’. Trên 2 đường cao lấy M BB’, N CC’ sao cho = ANB = 900 Chứng minh : AM = AN 
Bài 3: Cho vuông ABC : = 900. Kẻ đường cao Ah = h, AC = b; AB= c; HE AB ; HF AC.
Cmcác hệ thức sau: 1/ 	(m = BE ; n = FC ) 2/ 3h2 + m2 + n2 = a2. 3/ amn = h3. 	
Bài 4:Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đthẳng d qua A cắt BC, CD ở I, J. Cminh : 
Bài 5: Cho ABC kẻ các đường cao AD, BE, CF lần lượt cắt các đường tròn đường kính BC, CA, AB ở các điểm A’,A’’,B’,B’’, C’,C’’. Cmcác hệ thức AB’ =AB’’ =AC’ =AC’’ và 
Bài 6: ChoABC vuông cân (=900) điểm M bất kỳ BC.Chứng minh: 2MA2 = MB2 + MC2 . (1)
Bài 7: Cho ABC (=900), kẻ đường cao AH. Gọi E và F là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh các hệ thức:
a. BC2 = 3AH2 + BE2 + CF2.	b. 	c. HB.HC = EA. EB + FA. FC
Bài 8: Cho ABC (=900) và có đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD đồng quy tại 1 điểm. Chứng minh : BH AC	
Bài 9 : Cho (O) và đường thẳng d, M d; từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O). Gọi H là hình chiếu của O trên d. Gọi I OH AB.Chứng minh: IO.OH = R2 (*)
(III) – BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho 3 đểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) đi qua A và B. Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với (O). Gọi E là giao của MN với AB, gọi H là trung điểm của AB.
Chứng minh : CE . CH = CA . CB
Bài 2: Cho hình thang : ABCD (AB // CD) ngoại tiếp (O, R).Chứng minh : 
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm tùy ý.Chứng minh : 
Bài 4: Cho đều ABC có =1500 (O ở trong ABC).Chứng minh: OB2 = OA2 + OC2 	(1)
Bài5:Chovuông cân ABC()Điểm M ở trong ABC sao cho.Cm:MC2=MB2 +2MA2.
Bài 6: Cho 3 đường tròn (O1, r1), (O2, r2), (O3, r3) đôi một tiếp xúc ngoài nhau; tiếp tuyến chung ngoài của (O1), (O3) và (O1), (O2) song song với nhau.Chứng minh rằng: r12 = 4r2r3.
Bài 7: Cho 3 đường tròn (O, r), (O’, r’), (O’’, r’’) đôi một tiếp xúc ngoài nhau và cùng tiếp xúc với một đường thẳng d.Chứng minh rằng: 	(1) (trong đó r nhỏ nhất)
Bài 8: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng lấy AB, BC, CA vẽ 3 nửa đường tròn (O1, r1), (O2, r2), (O, r). Kẻ tiếp tuyến tại B của và , cắt ở D. Gọi (I, r) là đường tròn tiếp xúc với , BD; (I, r’) là đường tròn tiếp xúc với , BD.Chứng minh rằng: r = r’ 
Bài9:ChoABC nội tiếp (O,R) có pgiác trong và phân giác ngoài của là BM=BN.Cm:AB2+BC2=4R2.
Bài 10: Cho ABC () ; Dựng hình chữ nhật BCDE ra phía ngoài ABC. Gọi M và N là giao của BC với EA và DA. (BC = CD).Chứng minh : MC2 + NB2 = BC2. (*)
Bài 11: Cho hình ABCD tâm O, cạnh a. Gọi (O1, r1) và (O2, r2) là đường tròn ngoại tiếp các ABC và ABD. Chứng minh : 
1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Cminh:
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
	a) Chứng minh AC vuông góc với BD.	 b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC=700.
3. bài tập cơ bản:
1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC.	Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F.	Chứng minh: 
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN:
- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:
- Chú ý: 
+) 
+) Khi góc tăng từ 0o đến 90o thì sin và tg tăng còn cos và cotg giảm.
+) Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tg của góc này bằng cotg của góc kia và ngược lại. 
+) Tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt.
3. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=4cm; BC=6 cm. Tính các TSLG của góc B và góc C.
Bài 2: Chứng minh rằng sin < tg; và cos< cotg.
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần.
	Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o.
Bài 4: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o .
b) N = tg35o. tg40o.tg45o.tg50o. tg55o.
Bài 5: a) Biết sin=, hãy tính cos, tg, cotg. 
 b) Biết tg = , hãy tính sin, cos, cotg.
Bài 6: Cho biểu thức với 45o.
a) Chứng minh rằng b) Tính giá trị của A biết .
Bài 7. Tìm x biết tgx + cotgx = 2.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21. Tính các TSLG của góc B và góc C.
Bài 2: a) Biết cos=, hãy tính sin, tg, cotg.
b) Biết cotg = , hãy tính sin, cos, tg.
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o.
b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o.
Bài 4. Sắp xếp các TSLG sau theo thứ tự tăng dần:	Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o.
Bài 5. Cminh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn .
a) (cos - sin)2 + (cos + sin)2. b) 
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.
a) Cminh răng: b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?
III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề.
2. Bài tập:
Bài1:Cho hình thang ABCD có Biết AB=2; CD=1,2.Tính diện tích hình thang.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường hợp:
a) b) 
Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6, AC = 9 và , tính độ dài AD.
Bài 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và góc C.
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 18; b = 8. b) b = 20; .
Bài 6: Tam giác ABC cân tại A, , đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 17cm; . Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Bài2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB=2, CD=5 và . Tính diện tích hình thang.
Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 và . Tính diện tích hình bình hành.
Bài 4: Độ dài hai đường chéo của một tứ giác là 9 và 13. Góc nhọn giữa hai đường chéo là 48o. Tính diện tích tứ giác.
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết: a) a = 12; . b) b = 13; c = 20.
Bài 6: Giải tam giác ABC biết: AB = 6,8; ; 
Bài 7: Giải tam giác ABC biết: AB= 4,7; BC = 7,2; 
Bài 1Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN và BC. 
a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng.
b/ Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP Ç NQ, R là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng.
Bài 2Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Cho biết AB < AC. Chứng minh các hệ thức sau:
a/ b/ 
Bài 3Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh các hệ thức sau: a/ b/ 
Bài 4Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 600 có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N.
a/ Chứng minh rằng OB2 = BM.CN
b/ Chứng minh rằng tia MO, NO luôn là phân giác của góc BMN và CMN
c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi góc xOy quay quanh O nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.
Bài 5Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N sao cho O khác B, C và ÐMON = 600.
Chứng minh rằng: BM.CN £ BC2/4. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao vẽ từ A của DABC. Chứng minh rằng: .
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: 
Bài 8:Cho hình thoi ABCD. Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp DABD và DABC. Gọi a là độ dài cạnh hình thoi.
a/ Chứng minh rằng: . b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 và R2.
Bài 9: Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có: 
Bài 10: CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD
Bài 1: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C1 là điểm đối xứng của H qua AB, B1 là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B1C1 với AC và AB là I và K. Chứng minh rằng đường BI, CK là đường cao của tam giác ABC.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng hai tam giác BIC và AOH đồng dạng với nhau và AO vuông góc với BI.