Tài liệu một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trình - Nguyễn Hồng Bốn

 Phương trình – Hệ phương trình
Cơ sở lý luận và một số phương pháp giải
I- Đặt vấn đề 
	Trong chương trình đại số phổ thông nói chung và ở chương trình THCS nói riêng chuyên đề phương trình và hệ phương trình là một trong những nội dung trọng tâm với hai yêu cầu: 
- Thứ nhất là trực tiếp rèn kỹ năng giải; giải và biện luận các phương trình và hệ phương trình. 
- Thứ hai phương trình và hệ phương trình cùng với việc giải chúng là công cụ để giải các bài toán khác (trong nội bộ bản thân môn toán cũng như Vật lý, hoá học..)
	Nói chung trong chương trình phổ thông là như vậy, nói riêng trong việc dạy bồi dưỡng những lớp chuyên lớp chọn (bồi dưỡng học sinh giỏi) thì phương trình, hệ phương trình là một nội dung thường gặp trong các bài thi học sinh giỏi. 
	Trong phạm vi chuyên đề này tôi cố gắng trình bày vấn đề dạy phương trình và hệ phương trình đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi các cấp, thi vào THPT và thi vào các trường chuyên lớp chọn. Nhằm đưa ra được các cơ sở lý thuyết để giải những phương trình và hệ phương trình mẵu mực (cơ bản) cũng như những phương pháp thường sử dụng để có thể giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực (năng cao). Chuyên đề này bao gồm những phần sau:
	1. Kiến thức cơ sở trong việc giải những phương trình và hệ phương trình.
	2. Những phương pháp cơ bản của việc giải và biện luận các phương trình hệ phương trình.
	3. Một số bài toán ở các dạng thường gặp, có thể là ở dạng tổng quát.
II- Nội dung.
A/ Kiến thức cơ sở:
1. Giải phương trình: 
	Trong chương trình THCS giải phương trình thực chất chỉ có hai kiến thức cơ bản: Giải và biện luận phương trình bậc nhất, giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn.
	Với một bài toán giải hoặc giải và biện luận một phương trình, người làm toán phải tìm cách chuyển được phương trình đang giải về việc giải một số hữu hạn các phương trình bậc nhất, bậc hai những phương trình có công thức giải.
2. Hệ phương trình
	Về nguyên tắc lý thuyết cứ giải được một lớp phương trình thì cũng có thể giải được một lớp những hệ phương trình tương ứng. Trong các kiến thức trang bị cho học sinh PTCS những loại hệ phương trình sau có thể coi là những hệ phương trình chuẩn (những hệ phương trình đã có thuật toán hoá phương pháp giải tổng quát một cách tương minh)
	+ Hệ phương trình tuyến tính bậc nhất
	+ Hệ phương trình hai ẩn gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc 2.
	+ Hệ phương trình dạng 
	+ Hệ phương trình trong đó có 1 phương trình là đa thức đẳng cấp đối với x, y bằng 0 dạng
	trong đó f(x,y) là đa thức đẳng cấp đối với x, y
3. Lý thuyết về các phép biến đổi tương đương (hệ quả) của PT và hệ phương trình.
	- Các khái niệm nghiệm, tập hợp nghiệm
	- Chú ý cho học sinh khi nào dùng kí hiệu Û, khi nào dùng kí hiệu ị
4. Các kiến thức có liên quan
	- Các phép toán với đơn, đa thức, phân thức đại số.
	- Phân tích đa thức thành nhân tử
	- Tính chất của phép nhân:	A.B = 0 
	- Các loại phương trình thường gặp và cách làm
B/ Một số phương pháp chung để giải phương trình và hệ phương trình.
	ở đây tôi xin trình bày một số phương pháp thường gặp để giúp chúng ta có thêm một số công cụ để giải những phương trình, hệ phương trình được coi là nâng cao hoặc là không mẫu mực được đưa ra và thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi hoặc thi vào các trường chuyên, lớp chọn đối với học sinh lớp 9.
1. Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình (hệ phương trình) về một hay một số phương trình dạng chuẩn (hay hệ phương trình dạng chuẩn) phương pháp này nhằm giải các loại phương trình
	+ Bậc >2: qua đặt ẩn phụ ta được phương trình trung gian bậc thấp hơn, từ đó từng bước ta quy về dạng chuẩn.
	+ Những phương trình hoặc hệ phương trình phức tạp, chẳng hạn là sự hợp thành của nhiều loại biểu thức (VD biểu thức vô tỉ, hữu tỉ....)
2. Phương pháp 2: Phân tích VT của phương trình thành tích các thừa số VP bằng 0. Từ đó ta có phương trình đã cho ở dạng phức tạp được chuyển về các phương trình đơn giản hơn từ đây ta có thể tiến 1 bước gần hơn tới dạng chuẩn.
3. Phương pháp 3: Phương pháp đánh giá
	+ Cơ sở của phương pháp nếu ta chứng minh được 
	Thì A = B 
	+ ứng dụng trong giải phương trình (hay hệ phương trình) của phương pháp đánh giá: chuyển từ 1 phương trình về 1 hệ phương trình. Điều này đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình (hệ phương trình) không mẫu mực ở dạng một phương trình có nhiều ẩn (hay các hệ phương trình có số ẩn nhiều hơn số phương trình)
	+ Công cụ trong giải phương trình (hay hệ phương trình) của phương pháp đánh giá.
	Sử dụng một cách hợp lý các bất đẳng thức đã được chứng minh như Cô si, Bunhiacôpski
	Đồng thời mẫu thứ 2 thường hay gặp 
	A12 + A22 +.......+ AK2 = 0
	hoặc là đối với các biểu thức căn bậc chẵn ta thường sử dụng quy ước
	Riêng đối với phương trình nghiệm nguyên thì giáo viên đưa ra phương pháp giải cụ thể và một số dạng thường gặp.
C/ Một số chú ý trong quá trình bồi dưỡng
1. Cần bồi dưỡng tốt, rèn kỹ năng thành thục giải các phương trình, hệ phương trình dạng chính tắc (có cách giải) trong chương trình SGK.
2. Quá trình dạy với những phương trình, hệ phương trình nếu có thể nên đưa ra dạng tổng quát của mỗi loại....
3. Trong quá trình áp dụng nên nâng dần mức độ yêu cầu từ dễ đến khó.
4. Trong mỗi dạng bài nên đưa ra những lỗi thường mắc phải khi trình bầy.
D/ Một số câu hỏi thường gặp dạng phương trình- hệ phương trình
I- Phương trình
1. Phương trình bậc nhất một ẩn
	Cách giải chung
	- Biến đổi đưa phương trình về dạng chính tắc
	ax = -b	(1)
	+ nếu a ạ 0	phương trình có nghiệm 
	+ nếu a = 0	b=0 thì phương trình vô số nghiệm
	bạ 0 thì phương trình vô nghiệm
	Chú ý: Khi giải phương trình bậc nhất một ẩn ở những dạng có điều kiện (chứa ẩn ở mẫu) thì phải tuân theo quy tắc chung.
a) Giải phương trình bậc nhất
VD1: 	(1) điều kiện xác định: "x ạ ±
	PT (1) 	ị	(3x2 +2)2 - 6(3x-2) = 9x2
	Û	9x2 + 12x + 4 – 18x + 12 = 9x2
	Û	-6x + 16 = 0	Û	6x = 16
	Û	x= ẻ ĐKXĐ
	Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất 
VD2:	Giải phương trình
	(1)
Phân tích: Dễ dàng nhận thấy PT đã cho là PT bậc nhất với ẩn x. Ta biến đổi PT về dạng chính tắc với đk a, b ạ 0
	Với đk đó PT (1) tương đương với
	bx- ab + ab2 = ax - ab + a2b
	Û	(a-b)x = ab(a-b) 	(2)
	Nếu a ạ b	PT (2) có nghiệm duy nhất x = ab
	Nếu a = b	PT (2) có dạng ox = 0 đúng "x
	Vậy với a ạ b ạ 0 PT (1) có nghiệm duy nhất x= ab
	Với a= b ạ 0	PT (1) vố số nghiệm
	Với 	PT (1) không xác định
VD3: 	Giải phương trình
	Phân tích: Nhận thấy mẫu số của các biểu thức trong PT là rất lớn vì vậy ta không thể làm bằng cách quy đồng. Vậy GV cần phải hướng dẫn cho HS quan sát để nhận ra quy luật.
	- Với PT này ta thấy các tử đều chứa x với hệ số bằng 1
	- Hệ số tự do + mẫu bằng nhau
	- Có 4 phân thức ứng với số 4
	Vậy cách giải như sau:
	Vậy nghiệm của PT là x= 416
VD4: 	
	Điều khác biệt trong bài này là không có hệ số độc lập vì vậy phải tiến hành thêm vào hai vế 2 đơn vị
	PT	
VD5: 	Giải phương trình
	(1)
	ĐKXĐ: 	"x ạ , 
	PT (1)	
	Ta nhận thấy không thoả mãn đk. Vậy PT (1) vô nghiệm
b) Giải và biện luận phương trình (PT chứa tham số)
Nguyên tắc
	- Biến đổi PT về dạng ax =B	(1)
	(trong đó A, B chứa m)
	nếu A= 0 ị m= m1
	Thay m = m1 vào PT (1) ta thấy
	+ Nếu B = 0	PT (1) có dạng 0x = 0 VT = VP "x. 
	Khi đó PT (1) vô số nghiệm	ị nghiệm của PT ban đầu
	+ Nếu B ạ 0	PT (1) có dạng 0x = B VT ạ VP "x. . 	
	ịPT (1) vô nghiệm	ị PT ban đầu vô nghiệm
	Nếu m ạ m1 ị A ạ 0. Khi đó PT (1) có nghiệm duy nhất ị nghiệm của PT ban đầu.
	Kết luận: PT vô nghiệm
	PT vô số nghiệm
	PT có nghiệm duy nhất
	PT không xác định
VD1:	Giải và biện luận PT
	4x- 2 = m(mx-1)	(1)
	PT	Û	4x- 2= m2x- m
(m2- 4)x = m-2
(m-2) (m+2)x = m-2
	ở đây A là (m+2) (m-2);	B là m-2
	Cho (m+2)(m-2) = 0	Û	m= ± 2
	Với m = 2 thay vào (1) ta có
	0x = 0 VT = VP "x	ị 	PT (1) vô số nghiệm
	Với m = -2 thay vào (1) ta có
	0x = - 4 VT ạ VP "x	ị PT vô nghiệm	ị PT (1 ) vô nghiệm
	Với m ạ ± 2	khi đó (m+2)(m-2) ạ 0. Lúc đó PT có nghiệm duy nhất 
VD2: (Như ví dụ 2 ở phần a)
VD3: 	Giải và biện luận PT
	(1)
	điều kiện x ạ 3; m
	Nhận xét: Đây là PT ở 2 dạng: chứa tham số; chứa ẩn ở mẫu. Vì vậy khi hướng dẫn học sinh làm bài GV cần phải yêucầu học sinh làm theo quy trình chứa tham số và PT chứa ẩn ở mẫu. Tức là phải có sự đối chiếu nghiệm khi có nghiệm duy nhất với ĐKXĐ. Hoặc loại với nghiệm khi PT vô số nghiệm
Hướng dẫn
ĐKXĐ	x ạ 3; m
Với điều kiện trên PT có dạng
	(x+m)(x-m)+ (x+3)(x-3) = 2(x-3)(x-m)
	Û	x2- m2+ x2- 9 = 2x2- 2mx- 6x+6m
	Û	2(m+3)x = (m+3)2	(2)
	nếu m +3 = 0	ị 	m= -3. Khi đó PT (2) có dạng
	0x= 0 đúng	ị	PT (2) vô số nghiệm
	Đối chiếu đk 	ị	PT (1) nghiệm đúng 	"x ạ ± 3.
	+ nếu m ạ -3 	ị	m+3 ạ 0	PT (2) có nghiệm duy nhất 
	+ nếu x= 3	ị	
	+ nếu x= m	ị	
	thì 	ẽ ĐKXĐ	ị PT (1) vô nghiệm
	+ nếu m ạ 3	ịẻ ĐKXĐ	ị PT có nghiệm duy nhất 
	Vậy nếu m =3	PT vô nghiệm
	m = -3 	PT vô số nghiệm (xạ ±3)
	m ạ ± 3	PT có nghiệm duy nhất 
c) Phương trình bậc nhất 1 ẩn chứa dấu 
	Nhận xét: Để giải được các phương trình dạng này HS cần phải nhớ được một số kiến thức về giá trị tuyệt đối
	+ = 	A nếu A 0
	- A nếu A < 0
	+ = 	ax+b nếu 
	-ax +b nếu 
	ị Nguyên tắc chung để giải PT chứa dấu là dựa vào nghiệm của các đa thức trong dấu phân khoảng để bỏ rồi giải PT thành phần.
	* Chú ý: Nghiệm của PT chứa là nghiệm của các phương trình thành phần thuộc khoảng đang xét.
	- Một số dạng PT chứa dấu thường gặp và phương pháp giải:
	Dạng 1: 	(1)	(a là số dương)
	PT (1) 	Û f(x) = ± a
Dạng 2: 	
	Dạng 3:	
	Dạng 4: 	
	Dạng 5: 	
	Riêng dạng 5 ta áp dụng cách giải theo đúng nguyên tắc
* Một số ví dụ về giải PT chứa dấu 
VD1:	Giải PT
a- 	Û x- 3 = ± 5
	nếu x- 3 = 5	ị x= 8
	nếu x- 3 = -5	ị x= -2
	Vậy PT có 2 nghiệm x= 8 và x= -2
b-	Û x+3= ± (5- x)
	nếu x+3= 5-x	Û2x= 2	Û x= 1
	nếu x+3 = x-5	Û3= -5 VT ạ VP "x 
	Vậy PT có nghiệm là x = 1
c- 	(1)
	+ nếu 	x< -2 thì 	x-3 < 0; 	x+2 < 0
	PT (1) có dạng	3- x- x- 2 = 7	Û	-2x = 6	Û x= -3 ẻ khoảng đang xét. 
	Vậy x = -3 là một nghiệm
	+ nếu 	- 2 x< 3 thì 	x+2³ 0; 	x-3 < 0
	PT (1) có dạng	-x +3+ x+ 2= 7	Û	5=7 sai ị	PT vô nghiệm
	+ nếu x ³ 3 thì 	x+2> 0;	x-3 ³ 0
	PT (1) có dạng	x-3 +x+ 2 = 7	Û 2x = 8	Û	x=4 ẻ khoảng đang xét. Vậy PT (1) có 2 nghiệm	x1 = -3 và x2 = 4
d-	
	Với VD này ta làm giống như ví dụ ở (c) tuy nhiên nghiệm của PT là 
VD2: 	Giải phương trình
	(1)
Nhận xét: Điều khác biệt là PT ở VD2 là sự kết hợp của 2 loại PT: PT ẩn ở mẫu và PT chứa . Vì vậy khi làm bài học sinh cần phải có sự kết hợp cách làm của 2 loại PT đó.
Hướng dẫn:	ĐKXĐ	"x ạ ... = 0 VT VP x ị	x= 0 không là nghiệm của PT (1) 
x 0, Chia 2 vế của PT cho x2 ta có
đặt 	 (*)	PT có dạng	2(y2-2) + 3y –1 = 0
Û	2y2 + 3y – 5 = 0ị	y1 = 1; 	
	Thay y vào (*) tiếp tục giải PT 
* Một cách tổng quát
a) 	ax4 + bx3 + cx2 +dx + e = 0
Trong đó Cách làm tương tự như trên
b)	a0x2n +a1x2n-1 + ....+ an-1xn+1+anxn+an-1xn-1+...+a1x + a0 = 0
	(PT đối xứng bậc chẵn)
Cách làm vẫn chia hai vế cho 	xn và đặt	. Khi n = 2 ta giải bình thường
*) Một số VD về các PT bậc cao
a)	Giải PT	x4 + x2 + 6x + 1 = 0	(đề thi Hàn Thuyên năm 2001-2002)
	Û	x4 + 4x2 + 4 – 3x2 + 6x –3 = 0
	Û	(x2 + 2)2 – 3(x-1)2 = 0
	Û	
b) 	Giải PT	(6x +7)2 + (3x + 4)(x + 1) = 6
Nhân 2 vế với 12 ta được
	(6x+ 7)2(6x + 8)(6x + 6) = 72
	Û	đặt 6x + 7 = y
	PTÛ	y2(y + 1)(y - 1) = 72	ị	y = ± 3	ị x
* Một số bài tập tự giải.
	Giải các PT sau:
a) 	x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0
b) 	(2x2 + 2x)2 + 2x(2x+1) = 3
c) 	(6x + 5)2 (3x+2)(x+1) = 35
d) 	6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + 6 = 0
e) 	(x-1)(x-3)(x+5)(x+7) = 297
f) 	(3-x)4 + (5-x)4 = 16
4. Phương trình vô tỉ
	Một số phương pháp thường sử dụng để giải các PT vô tỉ (PT chứa căn) ở chương trình PTCS :
1- Bình phương hai vế của PT
	 ở phương pháp này ta cô lập căn chứa ẩn về 1 vế (không âm) rồi đặt điều kiện cho vế kia không âm sau đó ta bình phương hai vế
VD:	Giải PT	(1) 	đk: 
	đk 	x-2 ³ 0 ị x ³ 2
PT có dạng	2x-1 = (x-2)2	Û	x2 – 6x + 5 = 0	
	Û x1 = 1 (loại);	x2 =5 thoả mãn
	ở đây sai lầm của HS là chỉ đặt đk có nghĩa của mà không hề để ý đến điều kiện x- 2 ³ 0. Vì vậy sẽ không loại được nghiệm x = 1 mà còn sai về kiến thức
2- Đưa PT về dạng PT chứa 
	Thông thường chỉ làm được cách này khi biểu thức trong có dạng bình phương
VD:	
Tổng quát	PT 
3- Đặt ẩn phụ
VD1:	Giải PT	đk: x2 ³	2	(1)
	đặt	
ta có	y2- y- 2 = 0	ị	giải tiếp tìm giá trị của y
VD2: 	Giải PT	
	Đưa về tích giải tiếp
* Một số bài tham khảo 
Giải các PT sau
a) 	
b) 	
c) 	
d) 	
II. Hệ phương trình
	- Trước hết giáo viên phải rèn cho HS có kỹ năng giải thành thạo hệ hai PT bậc nhất 2 ẩn trên cơ sở dựa vào các quy tắc biến đổi
* Quy tắc thế và quy tắc cộng: thực chất đối với SGK mới cách viết có phần dễ hơn so với cũ đó là đã hình thành cụ thể các bước để dùng hai quy tắc này vào giải PT
	- Từ việc giải thành thạo các hệ PT đó GV cho HS làm quen với việc giải và biện luận một hệ PT và các câu hỏi mang tính chất nâng cao
	- Trong phạm vi bồi dưỡng GV cần đưa ra các hệ PT đặc biệt hơn để HS có thể làm tốt các bài thi ở mức độ yêu cầu cao hơn
1. Hệ 2 PT bậc nhất 2 ẩn
a) Các phương pháp giải
* Phương pháp 1: Phương pháp thế
B1: Rút một ẩn từ 1 trong 2 PT theo ẩn còn lại
B2: Thay ẩn vừa rút vào PT còn lại
B3: Tạo ra hệ mới tương đương với hệ đã cho (có một PT chỉ còn một ẩn giải được)
Chú ý: Trong quá trình làm bài giáo viên hướng dẫn HS không cần phải trình bày theo 1 nguyên mẫu như trên mà có thể giải ngay PT sau khi thế để tìm lấy giá trị của một ẩn rồi thay thế tìm ẩn còn lại và trả lời
* Phương pháp 2: Phương pháp cộng đại số
B1: Biến đổi hệ số của 1 trong 2 ẩn trong PT trùng nhau hoặc đối nhau
B2: Tổng hoặc cộng hai vế của hệ để được PT mới (chỉ còn 1 ẩn)
B3: Kết hợp PT với 1 trong 2 PT ban đầu tạo hệ mới và giải hệ đó
Chú ý: Cũng như trên có thể cho phép HS giải ngay PT 1 ẩn thu được mà không cần thiết phải thiết lập hệ
 * Phương pháp 3: Phương pháp đồ thị
B1: Đưa 2 PT của hệ về dạng PT hàm số y= ax + b	(d1);	y = a’x + b’	 (d2)
B2: Vẽ đồ thị của 2 PT (d1), (d2) trên cùng một hệ trục toạ độ
B3: Xác định toạ độ giao điểm ị nghiệm của hệ
Chú ý: Với PP này chỉ dùng khi bài toán bắt buộc phải làm (vì thường khó đối với HS) có thể sử dụng để biện luận số nghiệm của một hệ
b) Các câu hỏi thường gặp đối với dạng Hệ PT
	Câu 1: 	Giải hệ PT 	
	Câu 2: 	Giải và biện luận hệ PT
	C1: Biến đổi đưa việc biện luận hệ biện luận PT bậc nhất 1 ẩn (sử dụng PP cộng hoặc thế để được PT bậc nhất 1 ẩn)
	C2: Sử dụng PP đồ thị (biện luận số nghiệm của hệ)
	Câu 3: 	Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước về nghiệm
	Câu 4: 	Tìm m để hai hệ PT tương đương
	Về nguyên tắc chung cũng giống như ở PT 2 hệ PT tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm vì vậy 2 hệ tương đương nếu xét các trường hợp sau
TH1: Hệ I Û hệ II nếu 	hệ I vô nghiệm
	hệ II vô nghiệm
TH2: Hai hệ Û nếu nghiệm trùng nhau
* Chú ý: Trong trường hợp hệ vô số nghiệm ta phải xét đến chúng có cùng điều kiện xác định hay không thì mới ị tương đương.
	Câu 5: 	Tìm m ẻZ để hệ có nghiệm nguyên
	Thông thường cách làm của dạng này chúng ta tìm m để hệ có nghiệm tính nghiệm đó theo m. Sau đó tìm m ẻZ để các nghiệm và trả lời.
(1)
(2)
	Sau đây là một số VD về hệ PT
VD1: 	Cho hệ PT	(I)
a) Giải và biện luận hệ PT theo tham số m
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là các số nguyên
c) CMR: khi hệ có nghiệm duy nhất (x, y), điểm M (x, y) luôn chạy trên một đường thẳng cố định
d) Xác định m để điểm M ẻ đường tròn tâm là gốc toạ độ O và bán kính bằng 
Hướng dẫn:
a) Từ (2) ị	(3)
Thay (3) vào (1) Û	
	(4)
Số nghiệm của hệ (I) phụ thuộc vào số nghiệm PT (4)
	+ nếu m = 2	PT (4) có dạng 0x = 0 VT=VP x 	ị PT(4) vô số nghiệm ị hệ (I) vố số nghiệm
	+ nếu m = -2	PT (4) có dạng 0x = -4 VTVP x	ị PT (4) vô nghiệm ị hệ (I) vô nghiệm
	+ nếu m ạ ± 2	ị (m+2)(m-2) ạ 0	ị PT (4) có nghiệm duy nhất thay vào (3) vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất 	
	Vậy với m = - 2 hệ vô nghiệm
	m = 2 hệ vố số nghiệm
	m ạ ± 2 hệ có nghiệm duy nhất 
b) Theo trên với m ạ ± 2 hệ có nghiệm duy nhất 	 
để x, y ẻ Z thì m +2 là Ư(1)	(1)
	Vậy với m = -1, m = -3 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất x, y là số nguyên
c) Theo trên với m ạ ± 2 hệ có nghiệm duy nhất 	ị điểm M (x, y) là toạ độ của điểm ẻ đường thẳng y = x có định
d) M (x,y) ẻ khi và chỉ khi	 hay 
(1)
(2)
Kết luận:
VD2: 	Cho hệ PT	(I)
a) Giải hệ khi m = 2
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x> 0; y< 0
c) Tìm m ẻZ để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) là số nguyên
Hướng dẫn:
a) HS tự làm
b) Giải hệ ta thấy hệ có nghiệm duy nhất 	 với " m
để vì m2 + 2>0
	 mà mẻ Z
c) Với " m hệ có nghiệm duy nhất 
Ta có xẻ Z	Û	m+4 m2+ 2	Û	
	 y ẻ Z	Û	2m-1 m2+ 2Û	
	Như vậy điều kiện của m là 	
vô nghiệm
Chỉ cần xét điều kiện 	 
	ị	Khi m = -1	ị	
	thoả mãn điều kiện là số nguyên
Bài tập tương tự
(1) Cho hệ PT	
	a) Giải và biện luận theo m
	b) Với giá trị nào của số nguyên m thì hệ có nghiệm duy nhất (x, y) là các số nguyên dương
(2) Cho hệ PT	
	Xác định tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Một số hệ phương trình đặc biệt
a) Hệ phương trình tích
	Là hệ PT sau khi biến đổi có dạng
	(I)	 hoặc (II)
	Việc giải các loại hệ trên ta đưa về giải các hệ thành phần
	(I)	 hoặc hoặc 
* Lưu ý: Nghiệm của hệ ban đầu là tập hợp với tất cả các nghiệm của các hệ PT thành phần. 
VD:	Giải hệ PT (I)	
Hệ (I) 	Từ hệ (II) ta giải các hệ sau:
	hệ (1)	
	hệ (2)	
	hệ (3)	
	hệ (4)	
	Vậy hệ (I) có 4 cặp nghiệm
	;	;	;	;
b) Hệ phương trình chứa 
	Phần này thường giải bằng cách bỏ dấu trị tuyệt đối và giải các hệ PT thành phần. Chú ý nghiệm của PT thành phần chỉ là nghiệm PT ban đầu nếu thoả mãn khoảng đang xét.
c) Hệ PT bậc 2
* Hệ PT đối xứng loại 1
	Là các hệ PT hai ẩn x, y nếu đổi chỗ cho nhau thì hệ không thay đổi. Với hệ này thường giải bằng cách sử dụng hệ thức Vi ét đảo
(1)
(2)
VD:	Giải hệ PT	 
(3)
(4)
Từ hệ 	
Từ (2), (3) 	ị	ị	x và y là nghiệm của hệ	
Từ (2) và (4)ị	ị	
* Hệ phương trình đối xứng loại 2
	Hệ PT hai ẩn số x, y gọi là hệ PT đối xứng loại 2 nếu đổi chỗ x và y cho nhau thì PT này chuyển thành PT kia và ngược lại. Với loại hệ PT này ta thường giải bằng cách trừ hai vế của hệ để được một PT dạng tích
(1)
(2)
VD:	Giải hệ PT	
Từ 2 vế của hệ ta có	x2-y2- x+ y= 0	Û	(x+ y)(x + y –1) = 0
	Sau đó thay từng trường hợp vào 1 trong 2 PT giải tiếp
	Chú ý: Với 2 loại hệ này vì x, y có vai trò bình đẳng nên nếu hệ có nghiệm (a, b) thì cũng có nghiệm là (b, a)
* Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 
	Là hệ phương trình có dạng	 thường dùng 2 cách sau để giải
	Cách 1: Dùng phương pháp cộng đại số để biểu thị một ẩn theo ẩn kia sau đó thay thế vào PT còn lại
	Cách 2: Xét x = 0, xét x ạ 0; đặt x = ky. Thay vào 2 PT để tìm k
(1)
(2)
VD:	Giải hệ PT sau 	(I)	
	Cách 1:
Hệ (I) Trừ vế cho vế của từng PTta có:
	x2 – y2 = 0	ịx = ± y
	Với x = y thay vào (1) ta có x2 = 1 nên nghiệm của hệ là (1; 1); (-1; -1)
	Với x = -y thay vào (1) ta có 	3x2 = 1 
	hệ có nghiệm là . Vậy hệ (I) có 4 nghiệm
	Cách 2:	Xét x = 0 thay vào hệ không thoả mãn
	Xét x ạ 0. Đặt x = Ky thay vào hệ ta có	
	ị	3K2 – 3K + 3 = 2K2 – 3K + 4
	ị	K2 = 1ị K = ± 1
	Với K = 1 ta có 	y = 1	ị nghiệm của hệ (1; 1); (-1; -1)
	Với K = - 1 ta có 	ị nghiệm của hệ 
	Trên đây là 1 số hệ cơ bản mà có cách giải cụ thể GV cần đưa ra hướng dẫn cho HS làm.
(1)
(2)
d) Các hệ PT khác
Bài 1: 	Giải hệ PT	 (I)	
Cách 1:	Từ hệ (I)	Û	
	Û	2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy-2xz-2yz = 0
	Û	(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
	Û	x= y = z = 3
Cách 2: Biến đổi 	
	ị	x2 + y2 +z2 – 6x-6y-6z+27= 0
	ị	(x-3)2 + (y-3)2 + (z-3)2 = 0
	ị	x= y = z =3
(1)
(2)
(3)
Bài 2:	Giải hệ PT	(I)	
	Từ (1) và (3) 	ị	(x+y+z)3- (x3 + y3+z3) = 0
	Û	3(x+y)(y+z)(z+x) = 0
	Xét x + y = 0 thay vào (1) 	ị	z = a
	Thay z = a vào (2)	ị	x2 + y2 = 0	ị	x= 0 = y
	Tương tự các trường hợp còn lại ta thấy hệ (I) có nghiệm là
	(a, 0, 0)	(0, a, 0)	(0, 0, a)
(1)
(2)
(3)
Bài 3: 	Giải hệ 	
	Giải
	Rút y từ (1) 	
	Rút z từ (3) 	 thay vào (2) ta có 	(4)
	Giải (4) 	ị	x=1	ị	y = 1; z = 1
	Vậy hệ có nghiệm (1; 1;1)
Bài 4: 	(Đề thi chuyên Toán Hàn Thuyên năm 2005-2006)
	ị	x2 +2xy + y2 +x+y-6 = 0
	Û	(x+y)2 + (x+y) – 6 = 0
	Û	(x+ y+ 3)(x+ y- 2) = 0
	Û	ị 	làm tương tự hệ PT đối xứng loại 1
Bài 5:	 Đề thi Đại học Quốc gia- KHTN năm 2005-2006
	ị
	Làm tương tự
Bài 6:	Giải hệ PT	Ta thấy x, y ạ 0
	Cộng hai vế ta có	2xy + 3 = 3y	 (yạ 0)	 và 	Thay vào (2) ta có
	y.x2 + y3 – y + 3x = 0
(1)
(2)
	nên 	
Bài 7: 	Giải hệ PT	
	Từ (2)	; 
	ị	;	
	Vì 	 do đó theo (1) ta có y ³ 0
	Vì 	 do đó theo (1) ta có x ³ 0
	ị	;	
	từ (1) và (2)	ị	x4 + y4 = x3 + y3
	ị	x3(1- x)+y3(1- y) = 0	(3)
	mà x3(1-x) ³ 0; 	y3(1-y)³ 0
	PT (3)	ị	
III/ Kết luận
	Trên đây là một số dạng bài về phương trình và hệ phương trình cùng phương pháp, giải mà bản thân tôi trong quá trình giảng dạy tự tìm tòi và phát hiện vì vậy không thể tránh khỏi có những thiếu sót rất mong các đồng chí góp ý để hoàn thiện và chuyên đề này có thể có ích cho việc dạy học của tôi cũng như các đồng chí.
	Xin chân thành cám ơn!
Thuận Thành, ngày 30 tháng 5 năm 2008.