Tài liệu môn Toán - Các nhận dạng để so sánh phân số

CÁCH NHẬN DẠNG ĐỂ SO SÁNH PHÂN SỐ
A. Phần mở đầu
I
I.CÁC CÁCH SO SÁNH HAI PHÂN SỐ.
	ẹeồ so saựnh 2 phaõn soỏ, tuứy theo moọt soỏ trửụứng hụùp cuù theồ cuỷa ủaởc ủieồm caực phaõn soỏ, ta coự theồ sửỷ duùng nhieàu caựch tớnh nhanh vaứ hụùp lớ. Tớnh chaỏt baộc caàu cuỷa thửự tửù thửụứng ủửụùc sửỷ duùng (), 
trong ủoự phaựt hieọn ra moọt soỏ trung gian ủeồ laứm caàu noỏi laứ raỏt quan troùng. Sau ủaõy toõi xin giụựi thieọu moọt soỏ phửụng phaựp so saựnh phaõn soỏ 
PHAÀN I : CAÙC PHệễNG PHAÙP SO SAÙNH .
I/CAÙCH 1: Quy ủoàng maóu dửụng roài so saựnh caực tửỷ: tửỷ naứo lụựn hụn thỡ phaõn soỏ ủoự lụựn hụn 
	Vớ duù : So saựnh ?
	Ta vieỏt : ; 
Chuự yự :Phaỷi vieỏt phaõn soỏ dửụựi maóu dửụng .
II/CAÙCH 2: Quy ủoàng tửỷ dửụng roài so saựnh caực maóu coự cuứng daỏu “+” hay cuứng daỏu “-“: maóu naứo nhoỷ hụn thỡ phaõn soỏ ủoự lụựn hụn .
Vớ duù 1 : 
Vớ duù 2: So saựnh ?
Ta coự : ; 	
	Vớ duù 3: So saựnh ? 
Ta coự : ; 	
	Chuự yự : Khi quy ủoàng tửỷ caực phaõn soỏ thỡ phaỷi vieỏt caực tửỷ dửụng .
III/CAÙCH 3: (Tớch cheựo vụựi caực maóu b vaứ d ủeàu laứ dửụng )
 	+Neỏu a.d > b.c thỡ 
+ Neỏu a.d < b.c thỡ ; 
+ Neỏu a.d = b.c thỡ 
Vớ duù 1: 
Vớ duù 2:
 Vớ duù 3:So saựnh Ta vieỏt ; 
Vỡ tớch cheựo –3.5 > -4.4 neõn 
Chuự yự : Phaỷi vieỏt caực maóu cuỷa caực phaõn soỏ laứ caực maóu dửụng 
vỡ chaỳng haùn do 3.5 < -4.(-4) laứ sai 
IV/CAÙCH 4 : Duứng soỏ hoaởc phaõn soỏ laứm trung gian .
1/ Duứng soỏ 1 laứm trung gian:
Neỏu 
Neỏu maứ M > N thỡ 
M,N laứ phaàn thửứa so vụựi 1 cuỷa 2 phaõn soỏ ủaừ cho .
Phaõn soỏ naứo coự phaàn thửứa lụựn hụn thỡ phaõn soỏ ủoự lụựn hụn.
Neỏu maứ M > N thỡ 
M,N laứ phaàn thieỏu hay phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ cuỷa 2 phaõn soỏ ủoự.
Phaõn soỏ naứo coự phaàn buứ lụựn hụn thỡ phaõn soỏ ủoự nhoỷ hụn.
Baứi taọp aựp duùng :
Baứi taọp 1: So saựnh 
Ta coự : ; 
Baứi taọp 2: So saựnh 
Ta coự : ; 	
 Baứi taọp 3 : So saựnh Ta coự 
2/ Duứng 1 phaõn soỏ laứm trung gian:(Phaõn soỏ naứy coự tửỷ laứ tửỷ cuỷa phaõn soỏ thửự nhaỏt , coự maóu laứ maóu cuỷa phaõn soỏ thửự hai)
Vớ duù : ẹeồ so saựnh ta xeựt phaõn soỏ trung gian .
	Vỡ 
*Nhaọn xeựt : Trong hai phaõn soỏ , phaõn soỏ naứo vửứa coự tửỷ lụựn hụn , vửứa coự maóu nhoỷ hụn thỡ phaõn soỏ ủoự lụựn hụn (ủieàu kieọn caực tửỷ vaứ maóu ủeàu dửụng ).
*Tớnh baộc caàu : 
Baứi taọp aựp duùng :
Baứi taọp 1: So saựnh 
-Xeựt phaõn soỏ trung gian laứ , ta thaỏy 
-Hoaởc xeựt soỏ trung gian laứ , ta thaỏy 
Baứi taọp 2: So saựnh 
Duứng phaõn soỏ trung gian laứ
Ta coự : 
Baứi taọp 3: (Tửù giaỷi) So saựnh caực phaõn soỏ sau:
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
(Hửụựng daón : Tửứ caõu ac :Xeựt phaõn soỏ trung gian.
 	Tửứ caõu dh :Xeựt phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ )
Duứng phaõn soỏ xaỏp xổ laứm phaõn soỏ trung gian.
Vớ duù : So saựnh 
Ta thaỏy caỷ hai phaõn soỏ ủaừ cho ủeàu xaỏp xổ vụựi phaõn soỏ trung gian laứ.
Ta coự : 
Baứi taọp aựp duùng :
Duứng phaõn soỏ xaỏp xổ laứm phaõn soỏ trung gian ủeồ so saựnh :
V/ CAÙCH 5: Duứng tớnh chaỏt sau vụựi m0 : 
Baứi taọp 1: So saựnh 
Ta coự : (vỡ tửỷ < maóu) 
Vaọy A < B .
Baứi taọp 2: So saựnh 
Ta coự : Coọng theo veỏ ta coự keỏt quaỷ M > N.
Baứi taọp 3: So saựnh ?
Giaỷi: (aựp duùng )
VI/CAÙCH 6: ẹoồi phaõn soỏ lụựn hụn ủụn vũ ra hoón soỏ ủeồ so saựnh :
 +Hoón soỏ naứo coự phaàn nguyeõn lụựn hụn thỡ hoón soỏ ủoự lụựn hụn.
	+Neỏu phaàn nguyeõn baống nhau thỡ xeựt so saựnh caực phaõn soỏ keứm theo
Baứi taọp 1: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù taờng daàn.
Giaỷi: ẹoồi ra hoón soỏ : 
Ta thaỏy: neõn .
Baứi taọp 2: So saựnh 
Giaỷi: maứ 
Baứi taọp 3: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù taờng daàn.
Giaỷi: Xeựt caực phaõn soỏ nghũch ủaỷo: , ủoồi ra hoón soỏ laứ : 
Ta thaỏy: 
Baứi taọp 4: So saựnh caực phaõn soỏ : ?
Hửụựng daón giaỷi: Ruựt goùn A=1 , ủoồi B;C ra hoón soỏ A<B<C.
Baứi taọp 5: So saựnh 
Hửụựng daón giaỷi:-Ruựt goùn 
( Chuự yự: 690=138.5&548=137.4 )
Baứi taọp 6: (Tửù giaỷi) Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù giaỷm daàn.
PHAÀN II: CAÙC BAỉI TAÄP TOÅNG HễẽP 
	Baứi taọp 1: So saựnh caực phaõn soỏ sau baống caựch hụùp lyự:
	(Gụùi yự: a) Quy ủoàng tửỷ c) Xeựt phaàn buứ , chuự yự :
	d)Chuự yự: Xeựt phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ 
	e)Chuự yự: phaàn buứ ủeỏn ủụn vũ laứ:)
Baứi taọp 2: Khoõng thửùc hieọn pheựp tớnh ụỷ maóu , haừy duứng tớnh chaỏt cuỷa phaõn soỏ ủeồ so saựnh caực phaõn soỏ sau: 
Hửụựng daón giaỷi:Sửỷ duùng tớnh chaỏt a(b + c)= ab + ac
+Vieỏt 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Vieỏt 423134.846267=(423133+1).846267=
+Keỏt quaỷ A=B=1
(Gụùi yự: laứm nhử caõu a ụỷ treõn ,keỏt quaỷ M=N=1,P>1)
Baứi taọp 3: So saựnh 
Gụùi yự: 7000=7.103 ,ruựt goùn 
Baứi taọp 4: So saựnh 
Gụùi yự: Chổ tớnh 
Tửứ ủoự keỏt luaọn deó daứng : A < B
Baứi taọp 5:So saựnh ?
Gụùi yự: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Keỏt quaỷ M > N
	Mụỷ roọng : 123123123=123.1001001 ;..
 Baứi taọp 6: So saựnh 
	Gụùi yự: +Caựch 1: Sửỷ duùng ; chuự yự : 
	 +Caựch 2: Ruựt goùn phaõn soỏ sau cho 101.
	 Baứi taọp 7: Cho a,m,n N*. Haừy so saựnh : 
	 Giaỷi: 	
	 Muoỏn so saựnh A & B ,ta so saựnh & baống caựch xeựt caực trửụứng hụùp sau:
Vụựi a=1 thỡ am = an A=B
Vụựi a0:
Neỏu m= n thỡ am = an A=B
Neỏu m< n thỡ am < an A < B
Neỏu m > n thỡ am > an A >B
	Baứi taọp 8: So saựnh P vaứ Q, bieỏt raống: ?
	Vaọy P = Q
	Baứi taọp 9 : So saựnh 
	Giaỷi: 
Ruựt goùn 
Vaọy M = N
	Baứi taọp 10: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù taờng daàn ?
	 Gụùi yự: Quy ủoàng tửỷ roài so saựnh .
	 Baứi taọp 11: Tỡm caực soỏ nguyeõn x,y bieỏt: ?
	 Gụùi yự : Quy ủoàng maóu , ta ủửụùc 2 < 3x < 4y < 9
	 Do ủoự x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.
	 Baứi taọp 12: So saựnh 
	 Giaỷi: Aựp duùng coõng thửực: 
	 Choùn laứm phaõn soỏ trung gian ,so saựnh > C > D.
	 Baứi taọp 13: Cho 
	a)Chửựng minh: M < N 
	b) Tỡm tớch M.N 
	c) Chửựng minh: 
	 Giaỷi: Nhaọn xeựt M vaứ N ủeàu coự 45 thửứa soỏ
	a)Vaứ	 neõn M < N
	b) Tớch M.N
	c)Vỡ M.N maứ M < N neõn ta suy ra ủửụùc : M.M <<
	tửực laứ M.M < . M < 
	 Baứi taọp 14: Cho toồng : .Chửựng minh: 
Giaỷi: Toồng S coự 30 soỏ haùng , cửự nhoựm 10 soỏ haùng laứm thaứnh moọt nhoựm .Giửừ nguyeõn tửỷ , neỏu thay maóu baống moọt maóu khaực lụựn hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ giaỷm ủi. Ngửụùc laùi , neỏu thay maóu baống moọt maóu khaực nhoỷ hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ taờng leõn.
	 Ta coự : 
	hay tửức laứ: Vaọy (1)
	 Maởt khaực: 
	 tửực laứ : Vaọy (2).
	 Tửứ (1) vaứ (2) suy ra :ủpcm.
II. CÁCH NHẬN DẠNG ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ 
1. So sỏnh hai phõn số cú cựng tử số hoặc cựng mẫu số.
 Vớ dụ 1: So sỏnh hai phõn số
 và 
 Trờn cơ sở học sinh đó biết cỏch so sỏnh hai phõn số cựng mẫu số ( hoặc cựng tử số) , giỏo viờn hướng dẫn học sinh đưa về dạng hai phõn số cú cựng tử số hoặc cựng mẫu số
Nhận xột:
- Tử số của hai phõn số cú quan hệ với nhau như thế nào? ( 12 = 6x2)
- Vậy phõn số bằng phõn số nào cú tử số là 12 ( = )
- Ta so sỏnh 2 phõn số nào với nhau ( và )
Cỏch giải: Ta thấy = 
 Vỡ > nờn > 
Vớ dụ 2: So sỏnh hai phõn số
 và 
Nhận xột: 
- Mẫu số của 2 phõn số cú quan hệ với nhau như thế nào? ( 75=25x3)
- Phõn số bằng phõn số nào cú mẫu số là 75 (=)
- Ta so sỏnh 2 phõn số nào với nhau ( và )
Cỏch giải: Ta thấy = 
Vỡ > nờn > 
2. So sỏnh với 1:
 Vớ dụ: So sỏnh hai phõn số
 và 
 Trờn cơ sở học sinh đó biết cỏch so sỏnh phõn số với 1. Giỏo viờn hướng dẫn học sinh so sỏnh như sau:
Vỡ 1 nờn < 
3. So sỏnh phần bự:
 Vớ dụ 3: So sỏnh hai phõn số
 và 
Nhận xột: = 1- 
 Mà 1- < 1- 
 Để so sỏnh hai phõn số trờn ta so sỏnh hai hiệu với nhau. Hai hiệu cú cựng số bị trừ nờn ta chỉ cần so sỏnh số trừ, số trừ càng lớn thỡ hiệu càng nhỏ và ngược lại.
 Vỡ > nờn 1- < 1- hay < 
 Từ cỏch giải trờn ta cũn cú cỏch giải khỏc. Phần bự tới 1 đơn vị của phõn số là: 1- = 
 Phần bự tới 1 đơn vị của phõn số là 1- = 
 Vỡ > nờn < ( phần bự càng lớn thỡ phõn số càng bộ và ngược lại)
4. So sỏnh phần thừa
Vớ dụ: So sỏnh hai phõn số
 và 
Cỏch giải: 
Vỡ = 1 + 
 = 1 + 
 Để so sỏnh hai phõn số đó cho ta so sỏnh hai tổng. Hai tổng cú một số hạng bằng nhau, tổng nào cú số hạng cũn lại lớn hơn thỡ lớn hơn và ngược lại.
Vỡ > nờn 1 + > 1 + hay là > 
5. So sỏnh với phõn số trung gian:
 Vớ dụ: So sỏnh hai phõn số
 và 
 Để so sỏnh hai phõn số trờn ta phải tỡm ra một phõn số trung gian cú tử số là tử số của phõn số thứ nhất và mẫu số là mẫu số của phõn số thứ hai ( hoặc ngược lại)
Cỏch giải: Chọn phõn số trung gian là 
Ta thấy: > 
 > nờn > .
 Qua thực tế giang dạy, tụi thấy học sinh cũn rất lỳng tỳng khi chọn cỏch so sỏnh hai phõn số. Vỡ vậy việc định hướng cho học sinh là rất quan trọng trong quỏ trỡnh giải toỏn. Tụi đó hướng dẫn học sinh cỏch nhận dạng như sau:
II. CÁCH NHẬN DẠNG:
 1.Nếu hai phõn số và mà b - a = d - c ( hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phõn số bằng nhau) thỡ ta so sỏnh phần bự.
 2. Nếu hai phõn số và mà a - b = c - d (hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phõn số bằng nhau) thỡ ta so sỏnh phần thừa
 3. Nếu hai phõn số và khụng thuộc hai dạng trờn :
 Trong đú a>c và bd (tử phõn số này lớn hơn tử số phõn số kia đồng thời mẫu phõn số này bộ hơn mẫu phõn số kia hoặc ngược lại) thỡ ta chọn phõn số trung gian.
 Khi chọn phõn số trung gian ta cú hai cỏch chọn:
 Cỏch 1: chọn tử số của phõn số thứ nhất làm tử số của phõn số trung gian và mẫu số của phõn số thứ hai làm mẫu số của phõn số trung gian.
 Cỏch 2: chọn tử số của phõn số thứ hai làm tử số của phõn số trung gian và mẫu số của phõn số thứ nhất làm mẫu số của phõn số trung gian.
 4. Nếu hai phõn số và khụng thuộc ba dạng trờn thỡ ta làm như sau:
 + Nhõn cả tử và mẫu của một phõn số với cựng một số tự nhiờn để đưa về cựng tử số, cựng mẫu số để so sỏnh
 + Nhõn cả tử và mẫu của một phõn số với cựng một số tự nhiờn để đưa về ba dạng trờn.
Vớ dụ 1: So sỏnh hai phõn số
 và 
 Ta thấy hai phõn số này khụng thuộc cỏc dạng trờn. Để so sỏnh dễ dàng ta nhõn cả tử số và mẫu số của phõn số với 4
Ta cú: = 
Ta so sỏnh hai phõn số và 
Chọn phõn số trung gian là hoặc để so sỏnh 
Vớ dụ 2: So sỏnh hai phõn số
 và 
Ta cú = 
Ta so sỏnh hai phõn số và bằng cỏch so sỏnh phần bự.
 Vớ dụ 3: So sỏnh hai phõn số
 với 
Ta nhõn cả tử số và mẫu số của với 5
Ta cú = 
Ta so sỏnh với bằng cỏch so sỏnh phần thừa.
Tỡm phần bự, phần thừa tới phõn số trung gian để so sỏnh:
 Vớ dụ 4: So sỏnh hai phõn số
 và 
Chọn phõn số trung gian là 
 = 
Vỡ < và < nờn < 
 Với cỏch hướng dẫn học sinh nhận dạng như trờn tụi thấy học sinh làm bài rất nhanh. Trờn đõy là những kinh nghiệm khi giải bài toỏn so sỏnh phõn số. từ những kinh nghiệm này tụi đó truyền đạt cho học sinh và học sinh vận dụng rất nhanh. Qua ỏp dụng và trao đổi trong chuyờn mụn, cỏc đồng nghiệp rất tõm đắc với cỏch nhận dạng này.
* Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về "phép chia hết". Các bài toán về "phép chia hết" thật đa dạng và phong phú. nếu như chúng ta chỉ hướng dẫn học sinh giải những bài tập ở mức độ trung bình thì các em chưa thể thấy được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các em còn có cảm giác là khó và phức tạp. Qua các bài tập trên ta thấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về định nghĩa và các tính chất của phép chia hết. Chính vì vậy, việc nắm vững định nghĩa về phép chia hết, các tính chất và các dấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúp học sinh có thể định hướng được cách giải bài tập giúp học sinh có tư duy sáng tạo và sự linh hoạt khi giải toán. Khi đã làm được như vậy thì việc giải các bài toán về phép chia hết đã trở thành niềm say mê, thích thú của học sinh.
IV. Một số kết quả ban đầu
1. Kết quả
 	Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau 3 năm dạy toán 6, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần so sánh trong tập hợp số nguyên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học sinh phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến cách so sánh hai phân số và từ đó có thể giải được hầu hết các bài tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu. Điều đó giúp cho học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn toán.
	* Kết quả cụ thể: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được một cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:
Năm học
áp dụng đề tài
Tổng số HS lớp 6
 Số HS giải được theo các mức độ
Từ 0 -20% BT
Từ 20-50% BT
Từ 50-80% BT
Trên 80% BT
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2005 - 2006
Chưa áp dụng
36
7
19.4
15
41.7
10
27.8
4
11.1
2006 - 2007
Đã áp dụng
37
5
13.5
11
29.7
12
32.4
9
24.4
2007 - 2008
Đã áp dụng
36
5
13.9
9
25
12
33.3
10
27.8
2. Bài học kinh nghiệm.
	Phần " so sánh hai phân số trong tập hợp số nguyên" ở lớp 6 là một nội dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững các cách so sánh hai phân số, các dấu hiệu nhận dạng đề bài để lựa chọn phương pháp so sánh nhanh nhất và đặc biệt là khả năng quan sát, nhận xét các vấn đề khó, suy luận logic và phán đoán là rất cần thiết bởi vì các tính chất này rất hay sử dụng trong giải dang toán này.
	Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó mới bắt tay vào giải theo nhiều cách ( nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải nhiều bài tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập luận trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
	Với mỗi dạng đều có đặc điểm riêng không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự học sinh có thể liên hệ được.
C. KEÁT LUAÄN
Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo tình huống dẫn dắt học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Thông qua đó phát huy tính tích cực chủ động của học sinh. Tuy nhiên để làm được điều đó phải tốn không ít thời gian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Nhưng theo tôi một trong những phương pháp giúp chất lượng học tập của học sinh ngày một nâng cao là phải làm như vậy.
	Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần " so sánh hai phân số trong tập hợp Z " ở lớp 6. Chắc chắn nó chưa được hoàn chỉnh và có chỗ kiếm khuyết. Trong khi vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán đối với giáo viên THCS còn nhiều bức xúc thì bản thân tôi muốn đóng góp một kinh nghiệm nhỏ của mình. Qua đây, tôi rất mong sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để năm học tới được tốt hơn, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nước nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn!