Tài liệu môn Toán - Bất đẳng thức

Bất đẳng thức
Miền chấp nhận được (feasible region) của một bài toán quy hoạch tuyến tính được xác 
định bởi một tập các bất đẳng thức
Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. 
(Xem thêm: đẳng thức)
• Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và 
• Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b. 
Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có
• có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và 
• có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b. 
Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác.
• Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều. 
Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất 
đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.
Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này 
được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó 
của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức 
có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá 
trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả 
hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.
Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là
1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho 
trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức. 
2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất 
phương trình. 
Các tính chất
Bất đẳng thức có các tính chất sau:
[sửa] Tính chất tam phân
Tính chất tam phân phát biểu:
• Với mọi số thực a và b, chỉ có một trong những quan hệ sau đây là đúng: 
o a < b 
o a = b 
o a > b 
Tính chất này suy ra từ tính sắp thứ tự đầy đủ của tập số thực.
[sửa] Tính chất bắc cầu
Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức được phát biểu như sau:
• Với mọi số thực a, b,c: 
o Nếu a > b và b > c thì a > c 
o Nếu a < b và b < c thì a < c 
[sửa] Tính đảo
Quan hệ bất đẳng thức có thể đảo chiều như ảnh qua gương theo nghĩa như sau:
• Với mọi số thực, a và b: 
o Nếu a > b thì b < a 
o Nếu a a 
[sửa] Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ
Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ được phát biểu như sau:
Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số 
thực. Nghĩa là 
• Với mọi số thực a, b và c: 
o Nếu a > b thì a + c > b + c và a - c > b - c 
o Nếu a < b thì a + c < b + c và a - c < b - c 
[sửa] Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia
Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau:
Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số 
thực, phép nhân (hoặc chía)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập 
số thực. Cụ thể: 
• Với mọi số thực a, b và c: 
o Nếu c là một số dương và a > b thì a × c > b × c và a/c > b/c 
o Nếu c là một số dương và a < b thì a × c < b × c và a/c < b/c 
o Nếu c là một số âm và a > b thì a × c < b × c và a/c < b/c 
o Nếu c là một số âm và a b × c và a/c > b/c 
Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức
Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của 
một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết quả vẫn đúng. Ngược lại nếu ta áp vào hai vế của một 
bất đẳng thức dạng hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì lúc ấy ta phải đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất 
đẳng thức đúng.
Điều đó có nghĩa là:
1. Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a ≤ b (hoặc a ≥b) và 
1. f(x) là hàm đơn điệu tăng thì f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a)≥f(b)) (không đảo chiều) 
2. f(x) là hàm đơn điệu giảm thì f(a) ≥ f(b) (hoặc f(a)≤f(b))(đảo chiều) 
2. Nếu có bất đẳng thức nghiêm ngặt a b) và 
1. f(x) là hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt thì f(a) f(b)) (không 
đảo chiều) 
2. f(x) là hàm đơn điệu giảm nghiêm ngặt thì f(a) > f(b) (hoặc f(a)<f(b)) (đảo 
chiều) 
Kiểu ký hiệu ghép nối
Ký hiệu a<b<c có nghĩa là a < b và b < c và do tính chất bắc cầu ta suy ra a < c. Dễ thấy rằng, cũng bằng các tính 
chất ở phần trên, chúng ta có thể cộng/trừ cùng một số vào ba số hạng này, hay nhân/chia cả ba số hạng này với 
cùng một số khác không và tùy vào dấu của số nhân/chia đó mà ta có đảo chiều bất đẳng thức hay không. Nhưng 
cần thận trọng vì bạn chỉ có thể làm điều đó với cùng một số, tức là a < b + e < c tương đương với a - e < b < c - e.
Tổng quát hơn, kiểu ký hiệu ghép nối này có thể dùng với một số bất kỳ các số hạng: chẳng hạn a1 ≤a2 ≤...≤an có 
nghĩa là ai≤ai+1 với i = 1,2,...,n-1. Theo tính chất bắc cầu, điều này tương đương với ai≤aj với mọi 1≤i≤j≤n.
Đôi khi, kiểu ký hiệu ghép nối được dùng với các bất đẳng thức có chiều ngược nhau, trong trường hợp này phải 
hiểu đây là việc viết ghép các bất đẳng thức riêng biệt cho hai số hạng kế cận nhau. Cho ví dụ, a c ≤ d có 
nghĩa là a c và c ≤d. Thường trong toán học, người ta ít xài kiểu ký hiệu này và trong ngôn ngữ lập trình, 
chỉ có một ít ngôn ngữ như Python cho phép dùng ký hiệu này.
Các bất đẳng thức nổi tiếng
Xem thêm bảng các bất đẳng thức 
Khi gặp các đại lượng mà không thể tìm được hoặc không dễ dàng tìm được công thức tính chính xác, các nhà toán 
học thường dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng tầm giá trị mà các đại lượng đó có thể có. Một vài bất đẳng 
thức thông dụng và có tên gọi riêng cho nó:
• Bất đẳng thức Azuma 
• Bất đẳng thức Bernoulli 
• Bất đằng thức Boole 
• Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 
• Bất đẳng thức cộng Chebyshev 
• Bất đẳng thức Chernoff 
• Bất đẳng thức Cramer-Rao 
• Bất đẳng thức Hoeffding 
• Bất đẳng thức Holder 
• Bất đẳng thức Jensen 
• Bất đẳng thức Markov 
• Bất đẳng thức Minkowski 
• Bất đẳng thức Nesbitt 
• Bất đẳng thức Pedoe 
• Bất đẳng thức tam giác 
Mẹo nhỏ cho học sinh
Các học sinh thường bị lẫn lộn giữa ký hiệu lớn hơn và nhỏ hơn, vì hai ký hiệu này chẳng 
qua là ảnh qua gương lẫn nhau. Một mẹo nhỏ giúp học sinh dễ nhớ là dấu bất đẳng thức 
trông giống như một con cá sấu đói đang muốn ăn một con lớn hơn, vì thế, cái mõm mở ra 
luôn hướng về số 8 trong cả hai bất đẳng thức 3 3. Cũng có một mẹo khác là, 
đại lượng lớn hơn chỉ tay về phía đại lượng nhỏ hơn và nói "ha...ha, tôi lớn hơn bạn".
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy–Schwarz , còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz , bất đẳng thức 
Cauchy , hoặc bằng cái tên khá dài là bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovski–Schwarz, đặt theo tên của Augustin 
Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz, là một bất đẳng thức thường 
được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, 
trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương 
sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc 
bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là 
bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu 
giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy.
Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song 
với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông 
góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.
Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm 
tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp 
này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian 
Euclide.
Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.
Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với 
chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong
Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 
1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được 
dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh 
bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885.
 Chứng minh
Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử khác zero. Giả sử λ là một số phứcbất kỳ. 
Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:
Chọn
chúng ta được
mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi
hay tương đương:
(điều phải chứng minh)
Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý
• Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành 
. Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số 
chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó 
bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: 
. Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức 
Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số 
hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng: 
• Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta 
có 
Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.
Một vài ứng dụng
Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau: 
cho các vector x và y,
Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.