Tài liệu các phương pháp chứng minh Hình học

Các phương pháp chứng minh trong hình học
Việc học hình học trong các lớp THCS nhà trường dạy cũng không nhiều lắm, do đó đa số học sinh yếu hình học hơn đại số. 
Sau đây mình xin giới thiệu các phương pháp chứng minh thường gặp trong hình học ở bậc THCS. 
I. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. 
1. Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. (lớp 7) 
2. Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7)
3. Sử dụng tính chất trung điểm.(lớp 7) 
4. Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc.(lớp 7) 
5. Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng.(lớp 7) 
6. Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại. (lớp 7) 
7. Dùng tính chất bắc cầu. 
8. Có cùng độ dài hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 
9. Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau. 
10. Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác.(lớp 8) 
11. Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt.(lớp 8) 
12. Sử dụng kiến thức về diện tích.(lớp 8) 
13. Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn.(lớp 9) 
14. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.(lớp 9) 
15. Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn.(lớp 9) Các phương pháp chứng minh trong hình học
II. Chứng minh hai góc bằng nhau. 
1. Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. (lớp 7) 
2. Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7,8) 
3. Các góc của tam giác đều.(lớp 7) 
4. Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.(lớp 7) 
5. Có cùng số đo hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 
6. Sử dụng tính chất bắc cầu trong quan hệ bằng nhau. 
7. Hai góc ở vị trí đồng vị, so le trong, so le ngoài.(lớp 7)
8. Hai góc đối đỉnh.(lớp 7) 
9. Sử dụng tính chất hai góc cùng bù, cùng phụ với một góc khác.(lớp 6) 
10. Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng.(lớp 8) 
11. Sử dụng tính chất về góc của các tứ giác đặc biệt.(lớp 8) 
12. Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.(lớp 9) 
13. Sử dụng tính chất của góc ở tâm, góc nội tiếp, góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau.(lớp 9) 
III. Ch. minh một đoạn thẳng bằng ½ đoạn thẳng khác. 
1. Sử dụng tính chất trung điểm. 
2. Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông. 
3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác. 
4. Sử dụng tính chất tam giác nửa đều. 
5. Sử dụng tính chất trọng tâm của t.giác. 
6. Sử dụng hai đồng dạng với tỉ số ½. 
7. Sử dụng quan hệ giữa bán kính và đường kính trong một đường tròn. 
III. Ch. minh một đoạn thẳng bằng ½ đoạn thẳng khác. 
1. Sử dụng tính chất trung điểm. 
2. Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông. 
3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác. 
4. Sử dụng tính chất tam giác nửa đều. 
5. Sử dụng tính chất trọng tâm của t.giác. 
6. Sử dụng hai đồng dạng với tỉ số ½. 
7. Sử dụng quan hệ giữa bán kính và đường kính trong một đường tròn. 
IV. Chứng minh một góc bằng nửa góc khác. 
1. Sử dụng tính chất tam giác nửa đều. 
2. Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc. 
3. Sử dụng số đo tính được hay giả thiết cho. 
4. Sử dụng quan hệ giữa góc ở tâm, góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung trong đường tròn. 
V. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 
1. Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 900. 
2. Hai đ. thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù. 
3. Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông. 
4. Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai. 
5. Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng. 
6. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác. 
7. Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân. 
8. Hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của hình vuông, hình thoi. 
9. Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn. 
10. Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường tròn. 
VI. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng. 
1. Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC. 
2. Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt. 
3. Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau. 
4. Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ 3. (Tiên đề Ơclit) 
5. Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai đầu đoạn thẳng. 
6. Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai cạnh của một góc. 
7. Sử dụng tính chất đồng qui của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác. 
8. Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt. 
9. Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn. 
10. Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau. 
VII. Chứng minh Oz là tia phân giác của góc xÔy. 
1. C/minh tia Oz nằm giữa tia Ox, Oy và xÔz = yÔz hay xÔz = xÔy. 
2. Chứng minh trên tia Oz có một điểm cách đều hai tia Ox và Oy. 
3. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của cân. 
4. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác. 
5. Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông. 
6. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn. 
7. Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác. 
VIII. Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
1. Chứng minh M nằm giữa A, B và MA = MB hay MA = AB. 
2. Sử dạng tính chất trọng tâm trong tam giác. 
3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, hình thang. 
4. Sử dụng tính chất đối xứng trục và đối xứng tâm. 
5. Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt. 
6. Sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung trong đường tròn. 
7. Sử dụng tính chất đường kính đi qua điểm chính giữa cung trong đường tròn. 
IX. Chứng minh hai đường thẳng song.1. Hai đường thẳng đó cắt một đường thẳng thứ ba và tạo thành một cặp góc ở vị trí so le trong, so le ngoài hay đồng vị bằng nhau. 
2. Hai đường thẳng đó cùng song song hay cùng vuông góc với một đg thẳng thứ ba. 
3. Hai đường thẳng đó là đường trung bình và cạnh tương ứng trong tam giác, trong hình thang. 
4. Hai đường thẳng đó là hai cạnh đối của tứ giác đặc biệt. 
5. Sử dụng định lý đảo của định lý Talet. 
X. Chứng minh 3 đường thẳng đồng qui. 
1. Chứng minh có một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó. 
2. Cm giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba. 
3. C/minh giao điểm của 2 đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ ba. 
4. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác. 
5. Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt. 
XI. Chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 
1. Chứng minh d AB tại trung điểm của AB. 
2. Chứng minh có hai điểm trên d cách đều A và B. 
3. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến hay phân giác ứng với cạnh đáy AB của tam giác cân. 
4. Sử dụng tính chất đối xứng trục. 
5. Sử dụng tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn cắt nhau tại hai điểmXII. Chứng minh hai tam giác bằng nhau. 
¨ Hai tam giác bất kỳ: 
1. Trường hợp: c – c – c. 
2. Trường hợp: c – g – c. 
3. Trường hợp: g – c – g. 
¨ Hai tam giác vuông: 
1. Trường hợp: c – g – c. 
2. Trường hợp: g – c – g. 
3. Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông. 
4. Trường hợp: cạnh huyền – góc nhọn. 
XIII. Chứng minh hai tam giác đồng dạng. 
¨ Hai tam giác bất kỳ: 
1. Dùng định lý 1 đường thẳng song song với 1 cạnh và cắt 2 cạnh còn lại của tam giác. 
2. Trường hợp: c – c – c. 
3. Trường hợp: c – g – c. 
4. Trường hợp: g – g. 
¨ Hai tam giác vuông: 
1. Trường hợp: g – g. 
2. Trường hợp: c – g – c. 
3. Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông. 
XIV. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. 
1. Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác. 
2. Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1. 
XV. Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. 
Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác. 
XVI. Ch. minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp trong . 
1. Chứng minh O là giao điểm của hai đường trung trực trong tam giác. 
2. Chứng minh O cách đều ba đỉnh của tam giác. 
XVII. Chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. 
1. Chứng minh O là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác. 
2. Chứng minh O cách đều ba cạnh của tam giác. 
XVIII. Chứng minh O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. 
Chứng minh K là giao điểm của phân giác trong góc BÂC và phân giác ngoài của góc B (hay C). 
XIX. Chứng minh các tam giác đặc biệt. 
¨ ¨ Tam giác cân: 
1. có hai cạnh bằng nhau. 
2. có hai góc bằng nhau. 
3. có đường cao đồng thời là đường phân giác hay trung tuyến.¨ Tam giác đều: 
1. có ba cạnh bằng nhau. 
2. có ba góc bằng nhau. 
3. cân có một góc bằng 600. 
4. cân tại hai đỉnh. 
¨ Tam giác nửa đều: 
1. vuông có một góc 300. 
2. vuông có một góc 600. 
3. vuông có cạnh huyền gấp đôi cạnh góc vuông ngắn. 
¨ Tam giác vuông: 
1. Tam giác có một góc vuông. 
2. Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vuông góc. 
3. Dùng định lý đảo của định lý đường trung tuyến trong vuông. 
4. Dùng định lý Pitago đảo. 
5. Tam giác nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính. 
¨ Tam giác vuông cân: 
1. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. 
2. vuông có một góc bằng 450. 
3. cân có một góc đáy bằng 450. 
XX. Chứng minh các tứ giác đặc biệt. 
¨ ¨ Hình thang: 
Tứ giác có hai cạnh song song. 
¨ Hình thang cân: 
1. Hình hang có hai đường chéo bằng nhau. 
2. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 
3. Hình thang nội tiếp trong đường tròn. 
¨ Hình thang vuông: 
Hình thang có một góc vuông. 
¨ Hình bình hành: 
1. Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song. 
2. Tứ giác có 2 cặp cạnh đối bằng nhau. 
3. Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 
4. Tứ giác có 2 cặp góc đối bằng nhau. 
5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
¨ Hình chữ nhật: 
1. Tứ giác có 3 góc vuông. 
2. Hình bình hành có một góc vuông. 
3. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. 
4. Hình thang cân có một góc vuông. 
¨ Hình thoi: 
1. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. 
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. 
3. H. bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. 
4. Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của một góc. 
¨ Hình vuông: 
1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau 
2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc 
3. Hình chữ nhật có một đường chéo là tia phân giác. 
4. Hình thoi có một góc vuông. 
5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau. 
XXI. Chứng minh hai cung bằng nhau. 
1. 1. Chứng minh hai cung trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau có cùng số đo độ. 
2. Chứng minh hai cung đó bị chắn giữa hai dây song song. 
3. Chứng minh hai cung trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau căng hai dây bằng nhau. 
4. Dùng tính chất điểm chính giữa cung. 
XXII. Ch. minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn. 
1. 1. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. 
2. Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 
3. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện nó. 
4. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau. 
XXIII. Chứng minh đường thẳng (d) là tiếp tuyến tại A của (O). 
1. Chứng minh A thuộc (O) và (d) OA tại A. 
2. Chứng minh (d) OA tại A và OA = R. 
XXIV. Chứng minh các quan hệ không bằng nhau 
(cạnh – góc – cung) 
1. Sử dụng quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên (cạnh). 
2. Sử dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc (cạnh). 
3. Sử dụng quan hệ giữa các cạnh trong một tam giác vuông (cạnh). 
4. Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác (cạnh và góc). 
5. Sử dụng định lý: Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và góc xen giữa không bằng nhau thì tam giác nào có góc lớn hơn thì cạnh đối diện lớn hơn và ngược lại. 
6. Sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung (cạnh). 
7. Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (cạnh). 
8. Sử dụng quan hệ giữa cung và số đo (độ) của cung trong đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau (cung) 
9. Sử dụng quan hệ giữa dây và cung bị chắn (cung và cạnh). 
10. Sử dụng quan hệ giữa số đo (độ) của cung và số đo của góc nội tiếp, góc ở tâm,