Tài liệu bồi dưỡng Toán Lớp 6 - Dãy số có quy luật

Dãy số có qui luật
 I > Phương pháp dự đoán và quy nạp :
 Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn 
Sn = a1 + a2 + .... an (1) 
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được .
 Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 
 S2 = 1 + 3 =22 
 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 
 ... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2 
 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng 
giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k 2 (2)
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) 
 Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) 
vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2 
theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 
 Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + .... + n = 
2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 
3, 13+23 + ..... + n3 = 
4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 
II > Phương pháp khử liên tiếp :
 Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2 
 	a2 = b2 - b3 
 	.... .... .....
 	an = bn – bn+ 1 
khi đó ta có ngay : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 
Ví dụ 2 : tính tổng : S = 
Ta có : , , 
Do đó : S = 
Dạng tổng quát Sn = ( n > 1 ) = 1- 
Ví dụ 3 : tính tổng Sn = 
Ta có Sn = 
 Sn = 
 Sn = 
Ví dụ 4 : tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) 
Ta có : 1! = 2! -1! 
 2.2! = 3 ! -2! 
 3.3! = 4! -3! 
 	 ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng Sn = 
Ta có : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó Sn = ( 1- = 1- 
III > Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: 
Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) 
 ta viết lại S như sau : S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )
 S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101 . Vậy S = 2101-1
Ví dụ 7 : tính tổng Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1) 
Ta viết lại Sn dưới dạng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )
Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) =>Sn = 1+p ( Sn –pn ) 
Sn = 1 +p.Sn –p n+1 =>Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 =>Sn = 
Ví dụ 8 : Tính tổng Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) 
Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 
 = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn- ( theo VD 7 )
 Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - =>Sn = 
IV > Phương pháp tính qua các tổng đã biết 
Các kí hiệu : 
Các tính chất : 1, ; 2, 
Ví dụ 9 : Tính tổng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) 
Ta có : Sn = 
Vì : (Theo I )
cho nên : Sn = 
Ví dụ 10 : Tính tổng : Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta có : Sn = = 
Theo (I) ta có : Sn = 
Ví dụ 11 . Tính tổng Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 
 ta có : Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]
 = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) 
Sn = ( theo (I) – 3 )=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 
= (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 ) 
Cơ sở lý thuyết :
 + để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: 
 Số số hạng = ( số cuối – số đầu 0) : ( khoảng cách ) + 1 
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = ( số đầu – số cuối ) .( số số hạng ) :2 
Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132 
Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
 A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 
Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 
 số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 
 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm toán 
Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) 
Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1) 
Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) 
	 = k (k+1) .3 = 3k(k+1) 
Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1). = 	 *
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 
 => 1.2 = 
S = 
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) 
 từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2) 
Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) = k( k+1) ( k +2 ) .4
Rút ra : k(k+1) (k+2) = 
áp dụng : 1.2.3 = 
 2.3.4 = 
 ..........................................................
 n(n+1) (n+2) = 
Cộng vế với vế ta được S = 
* Bài tập đề nghị : Tính các tổng sau 
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 
2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 
 b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100 
 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 
3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 
5, S = 
6, S = 
7, A = 
8, M = 
9, Sn = 
10, Sn = 
11, Sn = 
12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
	 50 chữ số 9 
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 
 Tính S100 =? 
 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 
 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 
 c, 1 + 
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 
15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 là luỹ thừa của 2 
 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60 3 ; 7; 15
 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991 13 ; 41
 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1 5 
Chuyên đề 1: dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật
(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát 
- - - Chứng minh - - -
@*Bài 1.1: Tính
a) 	b) 
c) 	d) 
*Bài 1.2: Tính:
a) 	b) 
c) 
*Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a) 	b) 
c) 
*Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) 
b) 
*Bài 1.5: Chứng minh rằng với mọi ta có:
*Bài 1.6: Cho chứng minh: 	
*Bài 1.7: 	Cho dãy số : 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
*Bài 1.8: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.9: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.10: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.11: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.12: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.13: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.14:	 Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.15: 	Cho . Tìm phần nguyên của B.
*Bài 1.16: 	Cho . Chứng minh C > 48
*Bài 1.17: 	Cho . Chứng minh 
*Bài1.18: 	Cho . Chứng minh 97 < N < 98.
Mở rộng với tích nhiều thừa số: 
Chứng minh:
*Bài 1.19: 	Tính 
*Bài 1.20: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.21: 	Cho . Chứng minh B < 3
*Bài 1.22: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.23: 	Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có:
*Bài 1.24:	 Tính 
*Bài 1.25: 	Tính 
Bài 1.26: 	Tính: 
Bài 1. 27: 	Tính: 
Bài 1.28: Cho 
So sánh S với 
v Hướng dẫn:
 Áp dụng vào bài toỏn với m ẻ {2; 2 , ., 2 } và 
k ẻ { 2005, 2005 , } ta cú:
..
(2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính : 
Bài 2.2: Tính: 
Bài 2.3: Tính: 
Bài 2.4: Tính: 
Bài 2.5: Cho . Chứng minh 
Bài 2.6: Cho . Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.8: Cho . Chứng minh: D < 1.
Bài 2.9: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.10: Cho với n N*. Chứng minh: 
Bài 2.11: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.12: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.13: Cho . Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.15: Cho . Chứng minh: L < 4,5.
(3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: 	Tính: .
Bài 3.2:	 Cho dãy số: 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính: .
Bài 3.4: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.5: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.6: Tính: 
Bài 3.7: Tính: .
Bài 3.8: Tính: .
Bài 3.9: Tính: .
Bài 3.10: Tính: 
Bài 3.11: Cho . So sánh K với 
Bài 3.12: So sánh với 
Bài 3.13: So sánh với 
Bài 3.14: Tính: 
Bài 3.15: Tính .
Bài 3.16: Tính: 
Bài 3.17: Tính: 
Bài 3.18: So sánh: và 
Bài 3.19: Cho . Chứng minh V < 2.
Bài 3.20: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.21: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.22: Tính: 
Bài 3.23: Tính: 
Bài 3.24: Tính: , với n N, 
Bài 3.25: Cho 
và với n N*. Tính 
Bài 3.26: Cho và . Tính: G + H.
Bài 3.27: Cho với n N.
Chứng minh: 
Bài 3.28: Cho dãy số: 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của 
Bài 3.29: Cho và với n N
a) Chứng minh : là số tự nhiên ; b) Tìm n để M là số nguyên tố.
Bài 3.30: Cho 
 với n N
a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên.
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45.
Bài 3.31: Cho .( với n N ) Chứng minh: A < 3.
(4). Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:
Bài 4.1: 	Tính:
Bài 4.2: 	Tính: 
Bài 4.3: 	Tính: 
Bài 4.4: 	Tính: 
Bài 4.5: 	Tính: 
Bài 4.6: 	Tính 
Bài 4.7: 	Tính 
Bài 4.8: 	Tính 
Bài 4.9: 	Tính 
Bài 4.10: 	Tính 
Bài 4.11: 	Tính 
Bài 4.12: 	Tính 
Bài 4.13: 	Tính 
Bài 4.14: 	Tính 
Bài 4.15:	 Tính 
Bài 4.16: 	Tính