Tài liệu bồi dưỡng Số học Lớp 6 (Sưu tầm)

chuyên đề: số tự nhiên - áp dụng.
**********
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.
	a) b) 
	c) d) 
	e) 2+5+8++2006 g) 1+5+9+.+2001
Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: 
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
	 b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
	 b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 
	 c) Chứng minh rằng: không chia hết cho 10 
Bài toán 5: a) Tính nhanh 
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh 
c) Tính nhanh : 
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trường hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
	a) b) c) 	d) e) g) 
Bài toán 7: Cho dãy số 
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho . Tính .
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a) b) c) 
* Các bài toán về tập hợp.
Bài toán 10: Cho a) ; b) ; 
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B. 
Bài toán 11: Cho a) b) 
Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài toán 12: Cho 
a) Viết tập hợp P các chữ số trong C và tập hợp Q các chữ số trong D bằng cách liệt kê phần tử.
b) Bằng cách liệt kê phần tử hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó 2 phần tử thuộc P và một phần tử thuộc Q.
Bài toán 13: Cho a) b) 
 c) 
Xác định các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài toán 14: Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng.
a) b) 
chuyên đề: tập hợp , tập hợp con - áp dụng.
**********
Bài toán 1: Cho tập hợp .
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường hợp sau.
a) ; b) ; 
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp 
Bài toán 4: Cho các tập hợp ; 
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp . 
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Chứng minh rằng nếu thì 
Bài toán 7: Có thể kết luận gì về hai tập hợp A, B nếu biết:
a) thì b) thì , thì 
Bài toán 8: Cho tập hợp . Viết các tập hợp con của tập hợp K sao cho các phần tử của nó có ít nhất một số lẻ, một số chẵn.
Bài toán 9: Cho H là tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.
a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b) CMR: 
c) Tập hợp M có số phần tử sao cho .
+ Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử ? nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?
+ Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mãn điều kiện trên.
Bài toán 10: Cho tập hợp . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:
a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho ; 
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 12: Cho , .
Hãy xác định tập hợp 
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: 
b) Viết tập hợp M sao cho . Có bao nhiêu tập hợp M như vậy.
Bài toán 14: Cho . 
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho . Tìm biết 
chuyên đề: các phép toán về số tự nhiên - áp dụng .
**********
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
	a) Viết tập hợp A. b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài toán 3: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp để được kết quả đúng.
	a) b) 
	c) d) (2 thừa số ở vế trái chẵn và tích là số có ba chữ số như nhau)
Bài toán 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0. Lập số lớn nhất và số nhỏ nhất có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. Tổng của hai số này bằng 11330. Tính tổng: 
Bài toán 5: a) Có hay không một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho nó cộng với số gồm 4 chữ số ấy viết theo thứ tự khác được tổng bằng 999.
b) Tồn tại hay không một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự khác được tổng bằng 999 ?.
Bài toán 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số của số đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
Bài toán 7: Tìm kết quả của các phép nhân
	a) b) 
Bài toán 8: Tổng của hai số có ba chữ số là 836. Chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5, của số thứ hai là 3. Nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp hai lần số kia. Tìm hai số đó.
Bài toán 9: Chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau ta được thương là 2, còn dư. Nếu xoá một chữ số ở số bị chia và xoá một chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhương số dư giảm hơn trước là 100. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu.
 Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với 
Bài toán 11: Người ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,. Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho 
a) Tính số số hạng của tổng trên.
b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng.
c) Tính tổng S
Bài toán 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị. Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2. Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cùng là 1.
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 100 chữ số 6. Hãy tính tích A.B
chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng.
**********
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau
	a) b) c) d) 
Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) b) b) d) 
Bài toán 3: Viết tích sau dưới dạng một luỹ thừa
a) b) c) d) 
Bài toán 4: Viết mỗi thương sau dưới dạng một luỹ thừa
	a) ; ; ; ; ; 
	b) ; ; ; ; ; 
Bài toán 5: Tính giá trị của các biểu thức 
	a) b) 
Bài toán 6: Viết các tổng sau thành một bình phương.
	a) b) c) d) 
Bài toán 7: Viết các số sau dươi dạng tổng các luỹ thừa của 10.
	a) b) 421 c) 1256 d) 2006 e) g) 
 Bài toán 8 : Tìm biết 
	a) b) c) d) 
Bài toán 9 : Viết các tích sau dưới dạng một luỹ thừa
	a) b) c) d) 
Bài toán 10: Tìm x, y biết 
Bài toán 11: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý
	a) b) 
	c) d) 
Bài toán 12: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một luỹ thừa
	a) b) 
	c) d) 
	e) g) 
Bài toán 13: Tìm biết 
	a) b) c) 
	d) e) g) 
	h) i) k) 
	l) m) n) p) 
Bài toán 14: Tìm số dư khi chia A, B cho 2 biết
	a) 
	b) 
Bài toán 15: Tìm biết: a) b) 
chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)
**********
Bài toán 16: Tính giá trị của các biểu thức 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
Bài toán 17: Tìm biết
a) b) c) 
d) e) g) h) 
i) k) l) 
Bài toán 18: Tìm x biết
	a) b) 
	c) 	d) 
Bài toán 19: Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
	a) b) 
	c) d) 
Bài toán 20: 
	Cho . Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa.
Bài toán 21: 
	Cho . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài toán 22: 
	Cho . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài toán 23: Chứng minh rằng:
	a) b) c) 
	e) g) 
	h) i) k) 
Bài toán 24: a) Viết các tổng sau thành một tích: ; ; 
	 b) Chứng minh rằng: chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài toán 25: a) Viết tổng sau thành một tích 
	 b) Chứng minh rằng: 
Bài toán 26: Chứng minh rằng:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)
**********
* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.
I. Tóm tắt lý thuyết.
1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
+ Tích của các số lẻ là một số lẻ.
+ Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
+ (với ) + (với lẻ)
2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
+ (); + (); + (); + ()
+ (); + (); + (); + ()
+ (); + (); + (); + (); 
 * Chú ý: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
	- Một số chính phương có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không có tận cùng là 2; 3; 7; 8
II. Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
	 ; ; ; ; ; 
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 
Bài toán 3: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng như nhau.
	a) và () b) và (a là số chẵn)
Bài toán 4: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10
	a) b) c) 
	 d) e) g) 
Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số: và ; ; ; 
Bài toán 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng 
Bài toán 7: Chứng minh rằng số là một số tự nhiên.
Bài toán 8: Cho . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số chính phương.
Bài toán 9: Có hay không số tự nhiên n sao cho 
Bài toán 10: 
* Chú ý: + () + () + () 
	 + Các số có tận cùng bằng 01 
 + Các số: có tận cùng bằng 76
	 + Số có tận cùng bằng 76.
áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.
	 ; 
Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 
Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phương không ?
a) b) c) 
 chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)
===== @ & ? =====
* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
	a) ; ; ; ; 
	b) ; ; ; 
	c) ; ; ; 
	d) ; ; ; 
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
	a) ; ; ; ; ; 
	b) ; ; ; ; ; 
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau
	a) ; ; ; 
	b) ; ; 
	c) ; ; 
	d) ; ; 
Bài toán 4: 
	Cho 
Tìm chữ số tận cùng của A. Chứng tỏ rằng A không là số chính phương
Bài toán 5: 
	Cho 
	a) Chứng minh rằng 
	b) Tìm chữ số tận cùng của B
Bài toán 6: Cho 
	a) Chứng minh rằng 
	b) Chứng minh rằng 
	c) Tìm chữ số tận cùng của S
Bài toán 7: 
	Tìm chữ số tận cùng của các số sau
	a) b) c) 
Bài toán 8: 
	Các tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?
	a) b) c) 
Bài toán 9: Chứng minh rằng 
	a) b) c) 
Bài toán 10: 
	Chứng minh rằng: a) là một số tự nhiên
	 b) là một số tự nhiên
	 chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)
Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
===== @ & ? =====
* Tóm tắt lý thuyết: 
a) Nếu thì (a>1) b) Nếu thì (n>0)
c) Nếu a 0)
* Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
	a) và b) và 
	c) và 	 d) và 
B ... Hộp thứ nhất đựng 31 chiếc, hộp thứ hai đựng 20 chiếc, hộp thứ ba đựng 19 chiếc, hộp thứ tư đựng 18 chiếc, hộp thứ năm đựng 16 chiếc và hộp thứ sáu đựng 15 chiếc.Hai lớp 6A và 6B đã nhận 5 hộp và số bút máy mà lớp 6A nhận gấp 2 lần số bút máy của lớp 6B. Hỏi lớp 6C nhận được bao nhiêu bút máy ?
Bài toán 10: Chứng minh rằng số là số tự nhiên.
Bài toán 11: Tìm tất cả các số dạng biết rằng số đó chia hết cho 3; 4 và 5.
Bài toán 12: Tìm các chữ số x, y để: a) b) 
Bài toán 13: Giả sử là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp (). Chứng minh rằng số là một hợp số.
 ÔN TậP TổNG HợP CHUYÊN Đề Số Tự NHIÊN (Tiếp)
===== @ & ? =====
Bài toán 1: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 303. Tìm số lớn nhất trong ba số đó.
Bài toán 2: Tổng của bốn số lẻ liên tiếp là 216. Tìm bốn số đó.
Bài toán 3: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng: 
	a) Tổng của chúng bằng 266 và giữa chúng chỉ có ba số lẻ 
	b) Tổng của chúng bằng 310 và giữa chúng chỉ có 2 số chẵn.
Bài toán 4: Tổng của hai số a và b với hiệu của chúng bằng 58. Tính a và b.
Bài toán 5: Hiệu của hai số là 57. Nếu bỏ chữ số 3 ở hàng đơn vị của số bị trừ thì được số trừ. Hãy tìm số bị trừ và số trừ.
Bài toán 6: Bình nghĩ về một số. Lấy số đó cộng thêm 5 rồi chia tổng đó cho 3, nhân với 4, trừ đi 6, chia cho 7 được 2. Hỏi Bình nghĩ về số nào ?
Bài toán 7: Cho tích a.b.c
Nếu thêm b vào a thì tích tăng thêm là A. Nếu thêm c vào b thì tích tăng thêm là B. Nếu tăng a vào c thì tích tăng thêm là C. Chứng minh rằng: 
Bài toán 8: Rút gọn a) b) 
Bài toán 9: a) Tìm những số tự nhiên chẵn x<200 để khi chia cho một số tự nhiên n thì được thương là 4 và dư 30 
b) Trong một phép chia cho 45 ta được thương bằng số dư. Tính số bị chia.
Bài toán 10: Trong một phép chia, thương là 16, số bị chia lớn hơn số chia là 210. Tìm số chia.
Bài toán 11: Trong phép chia số tự nhiên a cho 45 ta được thương là và số dư là . Tính a
Bài toán 12: Tìm những số tự nhiên , biết rằng trong phép chia a cho b được thương là 4 và số dư là 35.
Bài toán 13: Tìm hai số có tổng gấp ba lần hiệu và bằng nửa tích của chúng.
Bài toán 14: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là 13 và hiệu giữa số đó với số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại bằng một số có chữ số hàng đơn vị là 7. Tìm số đó.
Bài toán 15: Tìm chữ số tận cùng của số trong đó 
Bài toán 16: Cho x, y, z là các số tự nhiên khác 0 thoả mãn 
Tìm chữ số tận cùng của số .
Bài toán 17: Chứng tỏ rằng: tổng một số chẵn các số hạng của các số tự nhiên khác 0 đầu tiên thì chia hết cho số tự nhiên đứng liền sau số hạng lớn nhất của tổng
Bài toán 18: Thay x, y bởi các chữ số thích hợp để 
Bài toán 19: Chứng minh rằng: 
Bài toán 20: Số chẵn hay lẻ ? Tìm số dư của phép chia số đó cho2, cho 5.
 nguyên lý ĐiRICHle - áp dụng
===== @ & ? =====
I. Tóm tắt lý thuyết:
	- Nguyên lý Đirichlê còn gọi là nguyên lý “ thỏ và lồng ” 
A Dạng phát biểu đơn giản: “ Nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì có ít nhất 1 lồng nhốt nhiều hơn 2 con thỏ ”
A Tổng quát: “Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà trong đó thì có ít nhất một một lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên ”
@ Chú ý: - Các bài toán áp dụng nguyên lý Đirichlê để giải thường là các bài toán chứng minh sự tồn tại một sự vật hay sự việc nào đó mà không cần phải chỉ ra một cách cụ thể sự vật hay sự việc đó. 
	 - Ta cần suy nghĩ để làm xuất hiện khái niệm “ Thỏ ” và “ Lồng ”, khái niệm “nhốt thỏ vào lồng “ nhưng khi trình bày lời giải cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thường.
II. Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: 
	Chứng minh rằng: trong 11 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất 2 số có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài toán 2: 
	Chứng minh rằng: trong 5 số tự nhiên bất kỳ bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 4.
Bài toán 3: 
	Chứng minh rằng: trong 101 số tự nhiên bất kỳ có thể tìm được hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau.
Bài toán 4: 
	Chứng minh rằng: trong n+1 số tự nhiên bất kỳ có thể tìm được hai số có hiệu của chúng chia hết cho n.
Bài toán 5:
	Một lớp học có 50 học sinh làm bài kiểm tra toán. Điểm bài kiểm tra là một số tự nhiên. Biết rằng không có học sinh nào bị điểm dưới 5 và có 2 điểm 10. Chứng minh rằng: có ít nhất 10 học sinh có cùng một loại điểm.
Bài toán 6: Một tổ 10 học sinh thảo luận về thi đua, có 1 học sinh phát biểu 5 lần, các học sinh khác đều phát biểu nhưng có số lần phát biểu ít hơn. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 3 học sinh có số lần phát biểu như nhau.
Bài toán 7:Có 62 quyển vở chia cho 12 học sinh. Chứng minh rằng:
a) ít nhất cũng có 1 học sinh được từ 6 quyển vở trở lên
b) Với mọi cách chia bao giờ cũng có ít nhất là hai học sinh được một số vở như nhau.
Bài toán 8:Có 12 mảnh giấy, trên mỗi mảnh ghi một trong các số 1, 2, 3. Chia đều 12 mảnh giấy đó cho 6 người. Mỗi người tình tổng các số ghi trên hai mảnh giấy. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 2 người có cùng một tổng.
Bài toán 9: 
	Một lớp học có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có cùng tháng sinh.
Bài toán 10: 
	Chứng minh rằng: tồn tại một bội của 1989 được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0.
nguyên lý ĐiRICHle - áp dụng (Tiếp theo).
===== @ & ? =====
Bài toán 11:
	Một trường có 1000 học sinh gồm 23 lớp. Chứng minh rằng phải có ít nhất một lớp có từ 44 học sinh trở lên.
Bài toán 12: 
	Một lớp học có 50 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau.
Bài toán 13:
	Một lớp học có 50 học sinh, có duy nhất một học sinh thiếu nhiều bài tập nhất là thiếu 3 bài tập. Chứng minh rằng tồn tại 17 học sinh thiếu bài tập như nhau (Trường hợp không thiếu bài tập coi như thiếu 0 bài)
Bài tập 14:
	Bốn lớp 6A, 6B, 6C, 6D có tất cả 44 học sinh giỏi, trong đó số học sinh giỏi của lớp 6D không quá 10 người. Chứng minh rằng ít nhất một tong ba lớp 6A, 6B, 6C có số học sinh giỏi từ 12 trở lên. 
Bài toán 15:
	Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng: ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên ) 
Bài toán 16: 
	Cho 12 số tự nhiên khác nhau có hai chữ số. Chứng minh rằng tồn tại hai số có hiệu là một số có hai chữ số như nhau.
Bài toán 17:
	Chứng minh rằng: tồn tại một bội số của 17
a) Được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0.
b) Được viết bởi toàn chữ số 1.
Bài toán 18:
	Chứng minh rằng: tồn tại một bội số của 23 được viết được viết bởi toàn chữ số 4.
Bài toán 19: 
	Chứng minh rằng : tồn tại một bội số của 17 có tận cùng là 219.
Bài toán 20:
	Chứng minh rằng: a) Tồn tại một bội số của 2003 có tận cùng là 2006.
	 b) Tồn tại một bội số của 2003 được viết bởi toàn chữ số 3.
Bài toán 21:
	Chứng minh rằng: a) Tồn tại một bội số của 89 được viết bởi toàn chữ số 5.
	 b) Tồn tại một bội số của 89 có tận cùng là 1234.
Bài toán 22:
a) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho có tận cùng là 001.
b) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho có tận cùng là 0001.
	 chuyên đề: số chính phương - áp dụng.
===== @ & ? =====
* Các bài toán về số lượng các ước của một số.
Bài toán 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước.
Bài toán 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 ước số
Bài toán 3: a) Ta gọi n là số hoàn chỉnh nếu tổng các ước số của n bằng 2n. Tìm số hoàn chỉnh trong các số sau: 6; 28; 32; 496
b) Tìm số hoàn chỉnh n biết n=p.q trong đó p, q là các số nguyên tố.
Bài toán 4: Tìm số tự nhiên A biết A chia hết cho 5, A chia hết cho 49 và A có 10 ước số.
Bài toán 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 15 ước, có 9 ước.
Bài toán 6: Cho số tự nhiên trong đó nguyên tố; .
Biết B2 có 15 ước. Hỏi B3 có bao nhiêu ước?
Bài toán 7: Biết rằng số tự nhiên n có đúng 1995 ước số trong đó có 1 ước nguyên tố chẵn. a) Chứng minh rằng: n là số chính phương.
	b) Chứng minh rằng n chia hết cho 4.
	c) n có nhiều nhất mấy ước nguyên tố.
Bài toán 8: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của ba số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng: n không thể có 17 ước số.
Bài toán 9: Cho a là một hợp số. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố a chỉ chứa 2 thừa số nguyên tố khác nhau là . Biết có tất cả 40 ước số. Hỏi có bao nhiêu ước ?
* Các bài toán về số chính phương 
Bài toán 10: Tìm số chính phương có bốn chữ số được viết bởi các chữ số 3,6,8,8
Bài toán 11: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 12 ta được số 
Số A có thể có 81 ước số không ? Tại sao ?
Bài toán 12: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nhân nó với 135 ta được một số chính phương.
Bài toán 13: Tìm số chính phương có bốn chữ số được viết bởi các chữ số 0,2,3,5
Bài toán 14: Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giông nhau.
Bài toán 15: Viết số tự nhiên từ 1 đến 101 thành một dãy số làm thành só A.
a) A có là hợp số không ?
b) A có là số chính phương không ?
c) A có thể có 35 ước không ?
Bài toán 16: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng: 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương.
Bài toán 17: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, một số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng: A-B là một số chính phương.
Bài toán 18: Tìm số tự nhiên n (n>0) sao cho tổng 
	 là một số chính phương.
	 ôn tập tổng hợp chuyên đề chia hết - số nguyên tố .
===== @ & ? =====
Bài toán 1: Cho chứng minh rằng: a) 
	 b) 
Bài toán 2: Một học sinh viết các số tự nhiên từ 1 đến phải viết tất cả m chữ số. 
Biết rằng . Tìm 
Bài toán 3: 
	Cho tổng 
xoá hai số bất kỳ thay bằng hiệu của chúng và cứ làm như vậy nhiều lần. Có cách nào làm cho kết quả cuối cùng bằng 0 được không ?
Bài toán 4: 
	Chứng minh rằng: không tồn tại các số tự nhiên a, b, c sao cho 
Bài toán 5:Chứng minh rằng: nếu thì 
Bài toán 6:Chứng minh rằng: nếu thì 
Bài toán 7: Chứng minh rằng: a) 
	 b) nếu 
Bài toán 8: 
	Chứng minh rằng nếu viết thêm đằng sau một số có hai chữ số số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
Bài toán 9:
	Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.
Bài toán 10:
	Chứng minh rằng số tự nhiên viết bởi 27 số 10 liên tiếp thì chia hết cho 27.
Bài toán 11:
	Tìm số nguyên tố p sao cho a) là số nguyên tố.
	 b) là số nguyên tố.
Bài toán 12:
a) Cho p và p+4 là các số nguyên tố (p>3). Chứng minh rằng p+8 là hợp số.
b) Cho p là số nguyên tố, 8p-1 là số nguyên tố. CMR: 8p+1 là hợp số
c) Cho p là số nguyên tố, 20p+1 cũng là số nguyên tố. CMR: 10p+1 là hợp số.
Bài toán 13:
	Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh rằng 
Bài toán 14: 	Cho . Biết 
	Chứng minh rằng: 
Bài toán 15: Cho . Biết 
	Chứng minh rằng: