Tài liệu bồi dưỡng Số học Lớp 6 - Chuyên đề chia hết

Tính chất chia hết của một tổng , một hiệu , một tích.
A. Lý thuyết.	
I. Kiến thức cơ bản.
Tính chất 1: a m; b m; c m => (a + b + c) m (a; b ; c N; m )
	 (a – b – c) m
Tính chất 2 : a m; b m; c m =>(a + b + c) m (a; b ; c N; m )
 Tính chất 3 : a m => a . k m 
Tính chất 4 : a m ; b m => a . b m . n 
 5. Một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích 2 số nguyên tố cùng nhau đó
 6. Nếu tích a.b chia hết cho m ,trong đó b và m nguyên tố cùng nhau
 Thì a chia hết cho m
II. Kiến thức mở rộng .
Nếu a b = > an bn .
Nếu a m ; b m => (a . k1 + b . k2) m
Nếu a m ; b m ; (a + b + c) m => c m 
Nếu a m ; b m ; (a + b + c) m => c m 
Nếu a m ; m c => a c .
B . Bài tập.
Bài 1. Không tính tổng hoặc hiệu sau, hãy xét xem tổng (hiệu) sau có chia hết cho 7 không?
49 + 28 + 14 + 35
350 – 14 + 77
63 + 56 + 70
490 + 84 + 490 000
Giải
a) 49 + 28 + 14 + 35
Ta thấy 49 = 7 . 7 49 7
 28 = 7 . 4 28 7 49 + 28 + 14 + 35 7
 14 = 7 .2 14 7
 35 = 7 . 5 35 7
Vậy 49 + 28 + 14 + 35 7
b) 350 – 14 + 77
Ta thấy : 350 = 7 . 50 350 7
= 7 . 2 14 7 350 – 14 + 777
= 7 . 11 77 7
	Vậy 350 – 14 + 777
c) 63 + 56 + 70
Ta thấy: 63 = 7 . 9 63 7
 56 = 7 . 8 56 7 63 + 56 + 70 7
 70 = 7. 10 70 7
	Vậy 63 + 56 + 70 7
d) 490 + 84 + 490 000
Ta thấy 490 = 7 .70 490 7	
= 7 . 12 84 7 490 + 84 + 490 000 7
490 000 = 7 70 000 490 000 7 
	Vậy 490 + 72 + 490 000 7
Bài 2. 
a) Chứng minh rằng với mọi n N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
b) Chứng minh rằng với mọi n N thì 50n + 25 chia hết cho 25 nhưng không chia hết cho 50.
Giải.
a) Ta có 60 15 60n 15 ; 45 15 60n + 45 15 (Tính chất 1)
Ta có 60 30 60n 30 ; 45 30 60n + 45 30 (Tính chất 2)
b) Ta có 50 25 50n 25 ; 25 25 50n + 25 25 (Tính chất 1)
Ta có 50 50 50n 50 ; 25 50 50n + 25 50 (Tính chất 2)
Bài 3. Cho A = 2 . 4 . 6. 8 . 10 . 12 + 40 . Hỏi A có chia hết cho 6, cho 8 , cho 5 không? 
 Giải
 Cho A = 2 . 4 . 6. 8 . 10 . 12 + 40
Ta có 6 6 2 .4 . 6. 8 . 10 . 12 6 A 6
 40	 6	
Ta có 8 8 2 . 4 . 6. 8 . 10 . 12 8 A 8
 40	 8	
Ta có 10 5 2 . 4 . 6. 8 . 10 . 12 5 A 5
 40	 5
Bài 4 . Cho B = 23! + 19! – 15!. Chứng minh rằng : 
a) B 11
	 b) B 110 
Giải
B = 23! + 19! – 15! = 1.2.310.1123 + 1.2.310.1119 – 1.2.310.1115	
a) vì 11 11 1.2.310.1123 11
 1.2.310.1119 11 B 11
 1.2.310.1115 11
b) vì 11.10 =110 110 1.2.310.1123 110
 1.2.310.1119 110 B 110
 1.2.310.1115 110
Bài 5. Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
Giải
* Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là : n ; n + 1; n + 2 ( n N)
Ta có A = n + n + 1 + n + 2 = n +n + n + 1 + 2 = 3n + 3 
Vì 3n 3; 3 3 3n +3 3 A 3
* Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là : n ; n + 1; n + 2; n + 3 ( n N)
Ta có B = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = n +n + n +n+ 1 + 2 + 3 = 4n + 6 
 Vì 4n 4
 4n + 6 4 B 6
 6 4 
 Vậy tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
Bài 6 . Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia hết cho 10 dư 5.
Giải
* Gọi 5 số chẵn liên tiếp là 2n ; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 ( n N)
	Ta có A = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8
	A= 2n + 2n + 2n + 2n + 2n + 2 + 4 + 6 + 8
	A = 10n + 20
 Vì 10n 5
 10n + 20 5 B 5
 20 5 
* Gọi 5 số lẻ liên tiếp là 2n + 1 ; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 ( n N)
	Ta có B = 2n + 1+ 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9
	B= 2n + 2n + 2n + 2n + 2n + 1 + 3 + 5 + 7 + 9
	B = 10n + 25
 Vì 10n 10
 10n + 25 10 dư 5 B 10 dư 5.
: 10 dư 5 
Vậy tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia hết cho 10 dư 5.
Bài 7 . Cho 4 số tự nhiên không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được những số dư khác nhau . Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5 .
Giải
Gọi a; b ; c; d là 4 số tự nhiên . 
a; b; c; d khi chia cho 5 được những số dư khác nhau nên số dư bé hơn ,5 số dư có thể là 1; 2; 3; 4.
Gọi q1; q2; q3; q4 lần lượt là thương của phép chia a; b; c; d cho 5 dư 1; 2; 3; 4.
Ta có: 
 a = 5q1 + 1; b = 5q2 + 2; c = 5q3 + 3; d = 5q4 + 4
Tổng 4 số tự nhiên trên là: 
A = a + b + c + d = 5q1 + 1 + 5q2 + 2 + 5q3 + 3 + 5q4 + 4 
 = 5q1 + 5q2 + 5q3 + 5q4 + 1 +2 +3 + 4 = 5(q1 + q2 + q3 + q4) + 10
Vì 5(q1 + q2 + q3 + q4) 5
	 5(q1 + q2 + q3 + q4) + 10 10 A 10 
 10 5
Vậy 4 số tự nhiên không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được những số dư khác nhau . Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5 .
Bài 8 . Cho C = 1 + 3 + 32 + 33 +  + 311. Chứng minh rằng :
	a) C 13;	b) C 40
Giải
C = (1 + 3 + 32 ) + (33 + 34 + 35) +  + (39 + 310 + 311 )
 C = (1 + 3 + 32 ) + (33.1+ 33 .3 + 33.32) +  + (39.1+ 39 . 3 + 39. 32 )
 C = (1 + 3 + 32 ) + 33 (1 + 3 + 32) +  + 39 (1 + 3 + 32 )
 C = (1 + 3 + 32 )(1 + 33 + + 39) = 13. (1 + 33 + + 39).
Vì 13 13 nên 13. (1 + 33 + + 39) 13 C 13
 b) C = (1 + 3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36+ 37) + (38 + 39 + 310 + 311 )
 C = (1 + 3 + 32 + 33) +(34.1+34 .3 +34.32+34.33) + (38.1+38.3 + 38. 32 +38. 33)
 C = (1 + 3 + 32 + 33) +34(1+3 +32+33) + 38(1+3 + 32 + 33)
 C = (1 + 3 + 32 + 33)(1 + 34 + 38)
 C = 40. (1 + 34 + 38)
Vì 40 40 nên 40. (1 + 34 + 38) 40 C 40
Bài 9 . Chứng minh rằng:
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2.
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
Giải
a) Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là : a ; a + 1.
	Ta có A = a(a + 1)
* Trường hợp a chẵn: a = 2n (n N*) thì : A = 2n(2n + 1)
Vì 2n 2 nên 2n(2n + 1) 2 A 2
*Trường hợp a lẻ : a = 2n + 1 (n N*) thì 
	A = (2n + 1)(2n +1 +1) = (2n + 1)(2n + 2) = 2n(2n + 2) + 1(2n + 2)
	 = 4n2 + 4n + 2n + 2 = 2( 2n2 + 2n + n + 1)
Vì 22 2( 2n2 + 2n + n + 1) 2 A 2
Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2.
b) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2
	Ta có B = a (a + 1)(a + 2)
* Trường hợp : a = 3n (n N*)thì :
	B = 3n(3n + 1)(3n + 2) = (9n + 3n)(3n + 2) = 9n(3n + 2) + 3n(3n + 2)
	 = 27n2 + 18n + 9n2 + 6n = 33n2 + 24n = 3(11n2 + 8n) 
Vì 3 3 nên 3(11n2 + 8n) 3 A 3
*Trường hợp : a = 3n + 1 (n N*)thì 
	B = (3n + 1)(3n +1 +1)(3n + 1 + 2) 
 = (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 3 (3n + 1)(3n + 2)(n + 1)
Vì 33 3 (3n + 1)(3n + 2)(n + 1) 3 B 3
* Trường hợp a = 3n + 2 (n N*)
 	B = (3n + 2)(3n +2 +1)(3n + 2 + 2) 
 = (3n + 2)(3n + 3)(3n + 4) = 3 (3n + 2)(n + 1)(3n + 4)
Vì 33 3 (3n + 2)(n + 1)(3n + 4) 3 B 3
Vậy tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
Bài 10. Tìm n N để : 
a) n + 4 n	b) 3n + 7 n	c) 27 - 5n n 
Giải
a) Ta có n + 4 n mà n n 4 n mà 4 chia hết cho 1; cho 2; cho 4 nên n 
b) Ta có 3n + 7 n mà n n 7 n mà 7 chia hết cho 1 và 7 nên n 
c)Ta có 27 - 5n n mà 5n n 27 n mà 27 chia hết cho 1; 3; 9 và 27 nhưng 5n < 27 n < 6 nên n 
Bài 11. Tìm n N sao cho : 
a) n + 6 n + 2;	 	b) 2n + 3 n – 2;	c) 3n + 1 11 – 2n
Giải
a) Ta có n + 6 n + 2 ; mà n + 2 n + 2 n + 6 – (n + 2) n + 2 n +6 – n – 2 n+2
 4 n + 2 mà 4 chia hết cho 1; 2; 4 nên n + 2 mà n + 2 > 1 do đó:
n + 2 = 2 n = 2 – 2 = 0
n + 2 = 4 n = 4 – 2 = 2
Vậy n thì n + 6 n + 2.
b) 2n + 3 n – 2 mà 2(n – 2) n – 2 2n + 3 – 2(n -2) n – 2 2n + 3 –2n + 4 n-2
 7 n – 2 mà 7 chia hết cho 1; 7 nên n – 2 do đó:
n – 2 = 1 n = 1 + 2 = 3
n – 2 = 7 n = 5 + 2 = 9
Vậy n thì 2n + 3 n - 2.
c) 3n + 1 11 – 2n
Ta có 2n < 11 n < 6 
Vì 11 – 2n 11 – 2n 3n + 1 + 11 – 2n 11 – 2n 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n
6n + 2 + 33 – 6n 11 – 2n 35 11 - 2n
Mà 35 chia hết cho 1; 5; 7; 35 . Do đó:
11- 2n = 1 2n = 11 – 1 2n = 10 n = 10 : 2 = 5 (TM n < 6)
11- 2n = 5 2n = 11 – 5 2n = 6 n = 6 : 2 = 3 (TM n < 6)
11- 2n = 7 2n = 11 – 7 2n = 4 n = 4 : 2 = 2 (TM n < 6)
11- 2n = 35 2n = 11 – 35 (loại vì n < 6)
Vậy n thì 3n + 1 11 - 2n 
Bài 12. Tìm n N sao cho:
n + 2 n – 1
2n + 7 n + 1
2n + 1 6 - n 
4n + 3 2n – 6
Giải
a) n + 2 n – 1
 Ta có n + 2 n - 1 ; mà n - 1 n - 1 n + 2 – (n - 1) n - 1 n +2 – n + 1 n-1
 3 n - 1 mà 3 chia hết cho 1; 3 nên n - 1 do đó:
n - 1 = 1 n = 1 + 1 = 0
n - 1 = 3 n = 3 + 1 = 4
Vậy n thì n + 2 n - 1.
b) 2n + 7 n + 1 
Ta có 2n + 7 n + 1 mà n + 1 n + 1 2(n + 1) n + 1 2n + 7 – 2(n +1) n + 1 2n + 7 – 2n - 2 n + 1 5 n + 1
 mà 5 chia hết cho 1; 5 nên n + 1 do đó:
n + 1 = 1 n = 1 – 1 = 0
n + 1 = 5 n = 5 - 1 = 4
Vậy n thì 2n + 7 n + 1.
c) 2n + 1 6 - n
Ta có : 2n + 1 6 - n
Vì 6 – n 6 – n 2(6 – n) 6 – n 2n + 1 + 2(6 – n) 6 – n 
2n + 1 + 12 – 2n 6 – n 13 6 – n 
Mà 13 chia hết cho 1; 13 . Do đó:
6 - n = 1 n = 6 – 1 = 5 (TM n < 6)
6 - n = 13 n = 6 – 13 (loại)
Vậy n = 5 thì 2n + 1 6 – n
d) 4n + 3 2n – 6 
Ta có 4n + 3 2n – 6
 2n – 6 2n – 6 2(2n – 6) 2n – 6 4n + 3 – 2(2n - 6) 2n – 6
4n + 3 – 4n + 12 2n – 6 15 2n – 6 
Mà 15 chia hết cho 1; 3; 5; 15 2n – 6 . Do đó:
2n – 6 = 1 2n = 1 + 6 2n = 7 n = 7:2 loại vì 7 không 2 
2n – 6 = 3 2n = 3 + 6 2n = 9 n = 9:2 loại vì 9 không 2 
2n – 6 = 5 2n = 5 + 6 2n = 11 n = 11:2 loại vì 11 không 2 
2n – 6 = 15 2n = 15 + 6 2n = 21 n = 21:2 loại vì 21 không 2 
Vậy không có giá tri nào của n để 4n + 3 2n - 6
Bài 13*. Cho 10k – 1 19 với k > 1 . Chúng minh rằng :
102k – 1 19	b) 103k – 1 19 
Giả
a) Ta có 102k- 1 = 102k – 10k + 10k – 1 = (10k . 10k – 10k) + (10k – 1)
 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) .
Vì 10k – 1 19 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19 102k- 1 19 (ĐPCM)
b) Ta có 103k- 1 = 103k – 10k + 10k – 1 = (102k . 10k – 10k) + (10k – 1)
 = 10k(102k – 1) + (10k – 1) .
Vì 10k – 1 19
	 10k(102k – 1) + (10k – 1) 19 103k- 1 19(ĐPCM)
 102k- 1 19
*Các bài toán về chia hết mà để giải chúng cần phải sử dụng đến việc phân tích cấu tạo số
Ví dụ 1. Chứng minh rằng 
a) abc 7 
b) abc 7
Giải : a) ) abc = 100a +10b +c = 7 (14a +b ) + (2a+3b+c)
Do 7 ( 14a+b ) 7 abc 7
abc = 100a +10b +c =7 (14a +b) +7c+(2a+3b-6c) 
do 7 (14a +b) +7c 7 abc 7
 Ví dụ 2 . 
a . Chứng minh rằng nếu abc thì bca và cab cũng chia hết cho 37
b. Điều ngược lại có đúng không ?
Giải: 
a) abc +_ cab + bca =111 (a+b+c) =37 . 3 . (a+b+c).vì abc nên 
100a+10b+c = 37. K (K
 bca = 100b +10c +a = 10.(100a+10b+c)-999a= 370k-37.27a
 bca 37. kết hợp với (*) suy ra cab
b) abc + cab + bca =111 (a+b+c) =37 . 3 . (a+b+c) suy ra nếu bca và cab cùng 
chia hết cho 37 thì abc từ đó suy ra kết luận
 * Chú ý rằng đây chỉ là 2 ví dụ gợi ý về 2 dạng toán, bạn hoàn toàn có thể làm các đề tương tự