Tài liệu bồi dưỡng môn Toán - Phương pháp giải một số bài toán điển hình

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LOẠI TOÁN ĐIỂN HÌNH
I. Toán giải bằng đơn vị qui ước:
	a. Nội dung: Là loại toán dùng một đại lượng nào đó làm đơn vị qui ước như đoạn thẳng, dung tích, khối lượng công việc.v.v. để tiện cho việc giải. 
	b. Ví dụ:
	1. Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau 10 giờ sẽ đầy bể. Người ta cho 2 vòi cùng chảy vào bể trong 4 giờ sau đó khóa vòi 1 lại. Một mình vòi 2 chảy thêm 18 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi một mình mỗi vòi chảy trong bao lâu mới đầy bể.
	Giải:
	* Giả sử ta qui ước dung tích bể là một đơn vị, như vậy hai vòi chảy trong 1 giờ được 1/10 bể. Vì thế cả hai vòi chảy trong 4 giờ được .
	* Vòi 2 chảy trong 18 giờ được . Như vậy 1 giờ vòi 2 chảy được .
Trong 1 giờ vòi 1 chảy được: .
	Vậy: 	Vòi 1 chảy một mình trong 
	Vòi 2 chảy một mình trong 1 : 
.......................................................
	2. Trong ngày hội toán một khối học sinh chia làm 3 tốp. Nếu lấy 2/5 số học sinh tốp 1 chia đều cho 2 tốp kia thì số học sinh 3 tốp lúc này bằng nhau nhưng bớt ở tốp 1 đi 3 học sinh thì lúc này số học sinh tốp 1 bằng tổng học sinh 2 tốp kia. Hỏi mỗi tốp có bao nhiêu học sinh?
	Giải:
	* Theo bài ra tốp 1 có thể chia làm 5 phần ta qui ước một đoạn thẳng. 1 em ứng với 1 phần của tốp 1. Ta có hình sau:
	* Theo bài ra ta thấy lúc đầu
số học sinh của hai tốp 2 và 3 bằng
nhau. Khi bớt cho 1 tốp một phần
của mình thì lúc này 3 tốp này bằng 
nhau. Hay 1 tốp chiếm 3/5 tốp 1.
	Sau khi bớt 3 học sinh thì tốp 1 bằng tổng học sinh 2 tốp kia, ta lại có hình sau:
Căn cứ vào hình vẽ ta thấy:
	3 học sinh của tốp 1 chiếm 1/5 
số học sinh. Vậy số học sinh tốp 1 là:
	3.5 = 15 (em)
Số học sinh của tốp 2 là: 3.2 = 6 (em)
Khi đó số học sinh của tốp 3 cũng là 6 em. 
...........................................................
	3. Một anh bộ đội khi lên đường đánh Mỹ nhận thấy số tuổi của mình bằng 1/5 tổng số tuổi của các người thân trong gia đình. Đến nay được nghỉ phép về thăm gia đình, anh lại gặp tất cả các người thân và chợt thấy số tuổi của mình bây giờ vẫn bằng 1/5 tổng số tuổi của các người thân trong gia đình. Hỏi gia đình anh bộ đội có bao nhiêu người?
Giải:
Ta minh họa bài toán bằng hình vẽ sau: 
	Căn cư vào hình vẽ ta thấy: Trước đây tuổi anh bộ đội bằng 1/5 tổng số tuổi người thân trong gia đình, nay anh được tăng thêm một số tuổi, thì số tuổi anh cũng tăng gấp 5 lần. Vì số năm đó 1 người đều tăng tuổi như nhau nên muốn gấp 5 lần số tuổi tăng trong khoảng thời gian đó gia đình anh bbộ đội phải có 5 người. Kể cả anh bộ đội nữa là 6.
.........................................................
4. Hai xe ô tô cùng khởi hành lúc 7 giờ, xe thứ nhất đi từ A và đến B lúc 9 giờ, xe thứ hai đi từ B và đến A lúc 10 giờ. Hai xe gặp nhau trên đường lúc máy giờ?
	Giải:
	Để tìm thời gian gặp nhau trong chuyển động ngược chiều, ta lấy quãng đường chia cho tổng vận tốc. Ta chưa biết quãng đường nên cũng chưa biết vận tốc mỗi xe, nhưng có thể biểu thị được vận tốc của mỗi xe theo quãng đường AB mà ta chọ là đơn vị qui ước.
	Xe thứ nhất đi cả quãng đường AB trong: 9 – 7 = 2 (giờ).
	Xe thứ hai đi cả quãng đường BA trong: 10 – 7 = 3 (giờ).
	Trong 1 giờ, xe thứ nhất đi được ½ quãng đường, xe thứ hai đi được 1/3 quãng đường, chúng gần nhau thêm: .
	Hai xe gặp nhau sau 1 : 
	Lúc hai xe gặp nhau là 8 giờ 12 phút.
..
	2. Toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối.
	a. Nội dung: Phương pháp tính ngược từ cuối thường áp dụng giải những bài toán số học mà việc giải bằng đại số sx dẫn đến một phương trình bậc nhất 1 ẩn số có dạng x + a b = c hay ax b = c (trong đó a, b, c là số nguyên hay phân số) và thường được tính ngược từ cuối bằng các hình vẽ minh họa hay dùng trong phương pháp « đơn vị qui ước ».
	b. Ví dụ:
	1. Tổng của hai số là 444. Lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 4 và số dư là 24. Tìm hai số đó.
	Giải:
	* Bằng số học:
Ta minh họa bài toán ở hình vẽ bên: 
Như vậy ta thấy 5 lần số nhỏ
Sẽ bằng 444 – 24, do đó một
Lần số nhỏ bằng : 
Số lớn là : 444 - 84	 = 360	
	* Bằng đại số:
	Gọi x là số nhỏ (24 < x < 444) , ta có :
	x + 4x + 24 = 444
	 5x + 24 = 444
	 5x = 420
	 x = 84
	Số lớn là : 4x + 24 = 4. 84 + 24 = 360.
2. Một cửa hàng mậu dịch, trong tuầm lễ thứ nhất bán được một nửa số tấm vải cộng thêm ½ tấm. Tuần lễ thứ hai bán được 1/3 số vải còn lại cộng thêm 1/3 tấm. Tuần lễ thứ ba bán ¼ số vải còn lại sau lần 2 cộng thêm ¾ tấm. Tuần lễ thứ tư bán 1/5 số vải còn lại cộng thêm 1/5 tấm. Tuần 5 bán hết 19 tấm còn lại. Hỏi cửa hàng lúc đó có bao nhiêu tấm vải ?
	Giải:
	* Ta thấy số vải còn lại sau lần bán thứ tư là 19 tấm. Nếu tuần thứ tư không bán thêm 1/5 tấm thì số vải còn lại là 4/5 số vải. Nghĩa là (19 +1/5) tấm chính là số vải còn lại sau lần 3 và bằng : (19 + 1/5) : 4/5 = 24 (tấm).
	* 24 tấm cộng với ¾ tấm chính là ¾ vải còn lại sau tuần 2 tức bằng : 
 (24 + 3/4) : 3/4 = 33 (tấm).
	* 33 tấm cộng 1/3 tấm chính là số vải còn lại sau lần 1, tức bằng :
	 (33 + 1/3) : 2/3 = 50 (tấm)
	* 50 tấm cộng ½ tấm chính là 1/2 số vải ban đầu của cửa hàng và bằng :
	 (50 + 1/2) : 1/2 = 101 (tấm).
..
3. Một người bán khoai cho ba người : Người thứ nhất mua ¼ số khoai và 10 kg. Người thứ 2 mua 5/11 số khoai còn lại và 10 kg. Người thứ ba mua 50 kg khoai còn lại. Hỏi số lượng khoai đã được bán là bao nhiêu ?
	Giải:
	* Số khoai còn lại sau khi người thứ hai mua là 6/11 số khoai còn lại khi người thứ nhất mua (kể cả 10 kg của người thứ 2 mua). Số khoai đó là : 
50 kg + 10 kg = 60 kg. 
* Số khoai còn lại sau khi người thứ nhất mua là : 60 : 6/11 = 110 (kg)
* Số lượng khoai đã bán là : (110 + 10) : ¾ = 160 (kg).
.
4. Một người ra chợ bán cam. Lần thứ nhất bán 1/2 số cam cộng thêm 1/2 quả. Lần thứ 2 bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 quả. Lần thứ 3 bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 qủa. Lần thứ 4 bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 qủa thì vừa hết. Tính số cam của người đó đem bán ?
	Giải:
	Lần thứ tư bán 1/2 số còn lại cộng 1/2 quả thì vừa hết nên 1/2 quả chính là 1/2 số cam còn lại. Vậy số cam còn lại sau lần bán thứ ba là 1 quả.. Lần thứ ba bán 1/2 số còn lại cộng thên 1/2 quả thì còn 1 quả nên quả chính là 1/2 số cam còn lại. Vậy số cam còn lại sau lần bán thứ hai là (quả).
	Lần thứ 2 bán 1/2 số còn lại cộng thêm 1/2 quả thì cón 3 quả nên quả chính là 1/2 số còn lại. Vậy số cam còn lại sau lần thứ nhất là 7 quả.
	Lần thứ nhất bán 1/2 số cam cộng 1/2 quả thì còn 7 quả nên quả chính là 1/2 số cam. Vậy số cam lúc đầu có 15 quả.
.
5. Một công trường giao công việc sửa một đoạn đường cho các đội như sau : đội 1 nhận 150 m và 1/9 phần còn lại, đội 2 nhận 200 m và 1/9 phần còn lại, đội 3 nhận 250 m và 1/9 phần còn lại. Cứ chia như vậy cho đến đội cuối cùng thì vừa hết và phần đất của mỗi đội bằng nhau. Tính số đội tham gia sửa đường và chiều dài toàn bộ quãng đường cần sửa ?
	Giải:
	Xét hai đội cuối cùng là đội thứ n – 1 và đội thứ n. Đội thứ n – 1 nhận A mét công 1/9 số còn lại hay A + . Đội thứ n là đội cuối cùng nên nhận nốt , hay theo qui luật của bài toán, nhận A + 50 m (không còn số còn lại).
	Vì số mét đường của các đội bằng nhau nên: 
A + .
	Đội thø n nhận Đó cũng là số đất mỗi đội nhận. Do đó đoạn đường tổng cộng dài : 250 .9 + 150 = 2400 (m).
.
	3. Giải toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của nó:
	a. Nội dung:
	Loại toán khi biết tổng hai số và hiệu của chúng, ta phải tìm hai số. Ở các lớp dưới ta đã có phương pháp giải : tìm số lứo trước hoặc số nhỏ trước bằng cách cộng hay trừ từng vế của hai đẳng thức đã cho :
	 từ đó suy ra số kia. Nay ta có thêm phương pháp giải nữa đó là phương pháp : Thêm hoặc bớt hiệu của 2 số vào số nhỏ hoặc số lớn để được 2 số bằng nhau.
	b. Ví dụ minh họa:
1.Trong hai trận tiến công vào sân bay Biên Hòa và Plây Cu, quân giải phóng miền Nam đã giệt gọ 654 tên xâm lược Mỹ. Trận Plây Cu giệt hơn trận Biên Hòa 60 tên. Tính xem mỗi trận quân giải phóng giệt được bao nhiêu tên xâm lược Mỹ ?
	Giải:
	Cách 1: 
Nếu thêm 60 tên vào trận Biên Hòa thì số Mỹ bị giệt ở 2 sân bay bằng nhau và do đó số Mỹ bị giệt ở PlâyCu là : 
	(654 + 60) : 2 = 357 (tên).
	Số Mỹ bị giệt ở Biên Hòa là : 
	357 – 60 = 297 (tên)
	Cách 2:
	Bớt 60 tên xâm lược Mỹ ở trân PlâyCu thì số Mỹ bị giệt ở 2 trận bằng nhau, do đó số Mỹ bị giệt ở trận Biên Hòa là :
	(654 – 60) : 2 = 297 (tên)
	Số Mỹ bị giệt ở trận PlâyCu là :
	297 + 60 = 357 (tên)
.
2. Hai thúng khoai có . Nếu lấy ở thúng 1 bỏ vào thúng 2 thì thúng thứ nhất còn hơn thúng thứ 2 là . Tính xem lúc đầu mỗi thúng có bao nhiêu kg ?
	Giải:
	Ta giải bài toán này bằng cách tìm số lớn trong 2 số biết tổng của chúng là ,
 sau đó đem trừ đi 
sẽ được thúng thứ nhất.
Thúng thứ nhất có: 
Thúng thứ 2 có: 
	4. Toán giải bằng phương pháp giả thiết tạm:
	a. Nội dung:
	Loại toán này tương đối khó, nên để giải được loại toán này ta phải dùng phương pháp riêng gọi là phương pháp giả thiết tạm. Trong phương pháp giả thiết tạm, người ta đưa ra các giả định mới để chuyển bài toán về các bài toán đã biết cách giải.
b. Ví dụ minh họa:
1. Một đoàn 46 học sinh chèo thuyền qua sông, có hai loại thuyền, loại lớn chở 6 người, loại nhỏ chở 4 người. Các em xuống thuyền thì xếp vừa đủ 10 thuyền 2 loại. Hỏi mỗi loại có mấy chiếc.
	Giải:
	Giả sử cả 10 thuyền đều là loại lớn thì khi đó số người xếp đủ 10 thuyền là 6. 190 = 60 người.
	Như vậy so với tổng số người đã biết thì thừa 60 – 46 = 14 (ngừời). Số người này là do mỗi thuyền 4 chở thêm 2 người (6 – 4). Vậy số thuyền nhỏ là : 
	14 : 2 = 7 (thuyền)
Số thuyền lớn là : 10 – 7 = 3 (thuyền)
	(Ta cũng có thể giải bài toán này bằng giả sử 10 thuyền đề là loại nhỏ)
.
	2. Bạn Nam đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 10 km/h, rồi đi tiếp từ B đến C với vận tốc 15 km/h. Biết rằng quãng đường BC ngắn hơn quãng đường AB là 1 km và thời gian đi trên BC ít hơn thời gian đi trên AB là 16 phút. Tính quãng đường AB.
	Giải:
	Bạn Nam đi 1 km trên AB hết 60 : 10 = 6 (phút), đi 1 km trên BC hết
 60 : 15 = 4 (phút).
	Ta giả thiết rằng từ B bạn Nam đi quãng đường bằng AB thì phải đi thêm đoạn CE dài 1 km, tức là đi thêm 4 phút nữa, do đó thời gian đi trên BE ít hơn thời gian đi trên AB là 16 – 4 = 12 (phút).
	Chú ý rằng quãng đường AB và BE bằng nhau và thờ gian chênh lệch khi đi 1 km với 2 vận tốc Là : 6 – 4 = 2 (phút). Do đó quãng đường AB dài là : 12 : 2 = 6 (km).
.
3. Một công việc được giao cho một thợ bậc 1 làm trong một thời gian, rồi giao cho thợ bậc 2 làm tiếp cho xong. Tính xem mỗi người làm việc trong bao lâu biết rằng tổng cộng cả hai người làm trong 14 giờ và để hoàn thành công việc đó một mình, người thợ bậc 1 cần 15 giờ, người thợ bậc 2 cần 12 ...  lưu ý : + Vẽ hình minh họa.
	+ Nhớ kỹ một số kiến thức vật lý về chuyển động đều như :
	- Quãng đường = vận tốc . thời gian 	(S = v.t)
	- Vận tốc = quãng đường : thời gian.	(v = 
	- Thời gian = quãng đường : vận tốc	(t = )
	- Quãng đường đi được (đi cùng vận tốc) tỉ lệ thuận với thời gian.
- Quãng đường đi được (đi cùng thời gian) tỉ lệ thuận với vận tốc.
	- Vận tốc và thời gian (đi cùng quãng đường) tỉ lệ nghịch với nhau.	
- Vận tốc một động tử khi xuôi dòng = vận tốc thật + vận tốc dòng nước.	
- Vận tốc một động tử khi ngược dòng = vận tốc thật - vận tốc dòng nước.	
	b. Ví dụ minh họa :
* Toán về chuyển động đều:
1. Một người đi từ thị trấn Hồ xá về một xã ở Quảng Bình. Người đó khởi hành lúc 8 giờ sáng và đi xe đạp với vận tốc 10 km/h. Sau đó 1 giờ cũng có một người đi từ Hồ Xá về xã đó bằng ngựa với vận tốc 12 km/h. Hỏi người thứ 2 đuổi kịp người thứ nhất sau mấy giờ ? và gặp nhau cách Hồ Xá bao nhiêu km ?
	Giải:
	Cách 1: cách này dùng thông thường với loại toán về chuyển động cùng chiều (đuổi kịp nhau).
	Sau 1 giờ, người đi xe đạp đi được 10 km. Nghĩa là sau 1 gời ta coi như 2 người cùng bắt đầu đi, thì rõ ràng người đi ngựa đi thua người đi xe đạp 10 km. Nhưng mỗi giờ người đi ngựa đi hơn người đi xe đạp là 12 – 10 = 2 (km). Như vậy muốn đi thêm 10 km nữa cho kịp, người đó phải đi trong  10 : 2 = 5 (giờ). Chỗ gặp nhau cách thị trấn Hồ Xá 5.12 10.6 = 60 (km).
Cách 2: 
Trong cùng một thời gian, người đi ngựa đi được khoảng cách AC, với 
vận tốc 12 km/h. Người đi xe đạp đi
với vận tốc 10 km/h và đi được quãng
đường BC. Vì quãng đường tỉ lệ thuận 
với thời gian nên ta có: 
. Mặt khác AC – BC = 10 => AC = 10.6 = 60.
	Thời gian người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất là: 60 : 12 = 5 (giờ).
	Cách 3:
	Gọi t1 là thời gian để người đi xe đạp đi hết quãng đường AC; t2 là thời gian để người đi xe đạp đi hết quãng đường BC.
Ta biết thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc, tức là: .
Đến đây bài toán được đưa về dạng: Tìm hai số khi biết tỉ số của chúng và hiệu của 2 số.
	t1 = 1.6 = 6 (giờ)
	t2 = 5 (giờ).
Quãng đường cần tìm là 5.12 = 60 (km).
	*Toán về chuyển động ngược chiều:
2. Một xe đạp đi từ A đến B lúc 8 giờ sáng với vận tốc 20 km/h. Lúc 9 giờ một ô tô đi từ B đến A với vận tốc 35 km/h. Hỏi sau mấy giờ thì gặp nhau? Và chỗ gặp nhau cách B bao nhiêu km? Biết rằng A và B cách nhau 240 km.
	Giải:
Cách 1:
	Sau 1 giờ người đi xe đạp đi từ A đến A/ cách A 20 km, lúc đó ô tô bắt đầu đi từ B và cách người đi xe đạp 240 – 20 = 220 (km).
	- Mỗi giờ hai động tử đi được 20 + 35 = 55 (km).
	- Để đi được 220 km phải mất: 220 : 55 = 4 (giờ).
	- Chỗ gặp nhau cách B: 4. 35 = 140 (km).
	Cách 2:	
Từ 9 giờ đến lúc gặp nhau, trong cùng một thời gian người đi xe đạp đi được quãng đường x với vận tốc 20 km/h. Trong lúc đó ô tô đi được quãng đường y với vận tốc 35 km/h. Vì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc nên ta có: . Mặt khác x + y = 220 nên suy ra: 
=> => x = .
3. Một người cán bộ đã đi bộ liên tục từ làng A đến làng B với vận tốc 
v = 6 km/h rồi từ làng B đến làng C với vận tốc v = 4 km/h. sau một thời gian công tác ở C người cán bộ đó trở về A theo đường cũ và quyết định đi thế nào để cho thời gian đi quãng đường CA bằng thời gian đi quãng đường AC để kịp báo cáo. Muốn vậy người cán bộ tính toán phải đi đến trên đoạn CA với vận tốc v = 5 km/h. Thế nhưng khi đến B người cán bộ phải dừng 24 phút để giải quyết công tác và có thể về A đúng thời gian qui định, người cán bộ quyết định tăng tốc 6 km/h. Háy tính khoảng cách từ A đến B, từ B đến C ?
	Giải:
	a).	+ Gọi thời gian đi từ B đến C là t1, thời gian đi từ C đến B là t2. (t1 và t2 tỉ lệ nghịch với 4 và 5 nên ta có: .
	+ Đi từ B đến C thời gian lâu hơn đi từ C đến B 24 phút (vì thời gian từ A à B và từ B về A là như nhau (quãng đường như nhau, vận tốc như nhau). Chi nên chỉ còn chênh lệch thời gian ở quãng đường CB và BC).
=> t1 – t2 = 24.
	+ Vậy: 
=> Quãng đường BC bằng: 2.4 = 8 (km)
	b). Gọi t3 là thời gian đi từ A à B, t4 là thời gian đi từ B à A. Ta thấy:
. Nhưng đi từ B tới A lâu hơn từ A tới B 24 phút nên: 
	.
	Vậy quãng đường AB là:	6km/h. 2 h = 12 (km).
.
4. Một ô tô đi qua cột km lúc 7 giờ, qua cột km lúc 8 giờ và qua cột km lúc 9 giờ. Biết ô tô chuyển động thẳng đều. Tính vận tốc của ô tô.
	Giải:	
	* Từ 7 giờ đến 8 giờ ô tô đi được 
	 Từ 8 giờ đến 9 giờ ô tô đi được 
	* Vì ô tô chuyển động đều nên : 
	=> hai chữ số bao giờ cũng bé hơn 200) do đó cũng phải bé hơn 200 và a không thể bằng 0 và a không thể lớn hơn 1 vì nếu a > 1 thì > 200. 
	Vậy a = 1.
Mặt khác tổng a + a và tổng c + c là các tổng của các chữ số thuộc hàng đơn vị của hai số bằng nhau nên phải có chữ số tận cùng bằng nhau. Mà ta đã có : a + a = 2a = 2.1 = 2.
	Vậy c + c = 2c cũng có tận cùng bằng 2. Tức là c = 6 (vì 1 c = 6).
	Ta có vận tốc của ô tô là : 61 – 16 = 45 (km/h).
..
5. Mai và Lan nhà ở cách nhau 1200 m đi về phía nhà bạn. mai đi lúc 9 giờ, Lan đi sau 5 phút. Dọc đường không thấy nhau, mỗi người cứ đến nhà bạn rồi quay lại ngay. Lần này thì hai bạn gặp nhau. Hỏi lúc gặp nhau là mấy giờ ? Biết rằng mỗi phút Mai đi 60m, Lan đi 90m.
	Giải:
	Trong 5 phút Mai đi được 5. 60 = 300 (m).
	Mai và Lan gặp nhau sau khi Lan đi được một thời gian là: 
	(1200 m – 300 m) : (60 m + 90 m) = 6 (phút).
	Mai và Lan gặp nhau lần 1 lúc (9 giờ 5 phút + 6 phút ) = 9 giờ 11 phút. Quãng đường mà Mai và Lan đi được cộng lại bằng 2 lần khoảng cách 1200 m trong một thời gian là : 1200.2 : (60 + 90) = 16 (phút).
	Thời gian gặp nhau lần 2 là : 9h11 ph + 16 ph = 9 h 27 ph..
..
6. Một xe lửa đi qua cầu dài 181 m mất tất cả 47 s, cũng với vận tốc đó xe lửa lướt qua người đi bộ đi ngược chiều với xe lửa. Tính chiều dài và vận tốc của xe lửa ? Biết rằng vận tốc cử người đi bộ là 1 m/s và xe lửa lướt qua người đó trong 9 s.
	Giải:
	Trong 47 s, xe lửa đi được một quãng đường là một cầu dài 181m và quãng đường bằng chiều dài đoàn tàu 	
Giả sử khi đầu tàu bắt đầu đến mố cầu B, sau khi tàu qua khỏi A thì hết thời gian 47 s. Chẳng hạn người đó gặp đuôi tàu ở A. Tức là trong 38 s, xe lửa đi được 181+ 9.1 = 190 (km) 	=> vận tốc xe lửa là: 
v = = 5 (m/s) = 18 (km/h).
	Chiều dài xe lửa là : 5.9 + 9 = 54 (m).
.
7. Hiện nay 3 giờ (giả thiết là các kim đồng hồ chạy đúng). Hãy tính xem bao nhiêu phút kim phút đuổi kịp kim giờ ?
	Giải:
	Cách 1: 
	Gọi S1 và S2 là số vòng mà kim phút và kim giờ đã quay được khi kim phút kịp kim giờ, như vậy thì : S1 – S2 = . Mặt khác khoảng cách tỷ lệ thuận với vận tốc, mà vận tốc kim phút quay gấp 12 lần vận tốc kim giờ nên => .
	Kim phút quay 1 vòng hết 60 phút nên muốn quay 3/11 vòng cần : 
	Vậy sau 16 phút thì kim phút đuổi kịp kim giờ.
Cách 2:
	Kim phút quay 1 vòng thì kim giờ quay được 1/12 vòng. Như vậy trong 60 phút kim phút quay nhiều hơn kim giờ 1 - . Muốn đuổi kịp kim giờ kim phút cần quay hơn kim giờ ¼ vòng và như vậy mất một thời gian : 
..
6. Giải toán bằng phương pháp lựa chọn:
	a. Nội dung: 
	Trong phương pháp này ta xét mọi trường hợp có thể xảy ra đối với một đối tượng. Sau đó chọ xem trường hợp nào đúng với các điều kiện của bài toán.
	b. Ví dụ:
	1. Tìm số có ba chữ số biết rằng bình phương chữ số hàng chục bằng tích hai chữ số kia và nếu đổi chỗ hai chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số ấy giảm đi 594 đơn vị.
	Giải:
	Gọi số phải tìm là 
Do a > c nên phép trừ ở cột đơn vị có nhớ, vì thế 10 + c – a, tức là a – c = 6.
Các số thỏa mãn điều kiện này là : Có hai trường hợp thỏa mãn bài toán :
	* b2 = 0, số phải tìm là 600
	8 b2 = 16, số phải tìm là 842.
2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 12 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số lớn hơn số ban đầu là 18.
	Giải:
	Gọi số phải tìm là . Do a + b = 12, a < b nên ta xét các số : 57, 48, 39 có tổng hai chữ số thỏa mãn đề bài. Tuy nhiên phải đối chiếu với điều kiện thư hai là  ta có :
	* 75 – 57 = 18
	* 84 – 48 = 36
	* 93 – 39 = 54
	Như vậy chỉ có số 57 là thỏa mãn
3. Tìm số có ba chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia và số đó chia hết cho 45.
	Giải:
	Gọi số phải tìm là Ta lại có a + b + c mà a + c = 2b nên 3b 9, do đó b 3, mà b 0 nên b bằng 3 hoặc 6 hoặc 9.
	* Với b = 3 ta có các số : 630, 135
	* Với b = 6 ta có số : 765
	* Với b = 9 thì không có số nào thỏa mãn.
	Vậy các số cần tìm là : 630, 135, 765.
7. Giải toán sử dụng nguyên lý ĐIRICHLÊ:
a. Nội dung: 
Nguyên lý này mang tên nhà bác học Đirichlê (1805-1859) : Không thể nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng mà mỗi lồng có không quá 2 con thỏ. Nói cách khác, nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì tồn tại một lồng có từ 3 con thỏ trở lên.
	b. Ví dụ:
	1. Một lớp học có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có tháng sinh giống nhau.
	Giải:
	Một năm có 12 tháng. Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng ấy. Nếu mỗi tháng có không quá 3 học sinh được sinh ra thì số học sinh không quá 3.12 = 36 (em) mà 36 < 40 vô lý.
	Vậy tồn tại một tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh (Trong bài này 40 thỏ ví như là 40 HS, 12 lồng ví như là 12 tên tháng).
	2. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 3k tận cùng bằng 001
	Giải:
	Trước hết ta chứng tỏ rằng tồn tại hai lũy thừa của 3 có cùng số dư khi chia cho 1000. Trong phép chia cho 1000, có 1000 số dư là 0, 1, 2,.., 999.
	Ta xét 1001 số là 3, 32, 33,.., 31001 thì tồn tại hai số có cùng số dư trong phép chia cho 1000. Gọi hai số đó là 3m và 3n (1 n < m 1000). Như vậy 3m – 3n chia hết cho 1000, do đó 3n.(3m – 1) chia hết cho 1000, suy ra 3m-1 chia hết cho 1000, tức là số 3m – n tận cùng bằng 001.
..
3. Người ta thả 130 viên xúc xắc vào một bàn cờ Quốc Tế có 64 ô vuông. Chứng minh rằng tồn tại 1 ô vuông trong bàn cờ chứa 3 viên xúc xắc.
	Giải:
	Giả sử mỗi ô chứa không quá 2 viên xúc xắc thì 64 ô chứa không quá 2.64 = 128 (viên).
	Mà 128 < 130. Nên có ít nhất 1 ô vuông trong bàn cờ chứa 3 viên xúc xắc.
4. Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kỳ, tìm được hai số có hiệu chia hết cho 5.
	Giải:
	 Một số khi chia cho 5 chỉ có 1 trong 5 số dư là 0, 1, 2, 3, 4. Ta lại có 6 số tự nhiên bất kỳ. Như vậy sẽ tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 5, hiệu của chúng sẽ chia hết cho 5.
5. Chững minh rằng tồn tại một bội số của 1989 được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0.
Giải:
	Xét 1990 số dạng 1, 11, 111,.., . Chia các số trên cho 1989, số dư chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4,,1988. Có 1990 số mà chỉ có 1989 số dư nên tồn tại hai số có cùng số dư, hiệu của chúng chia hết cho 1989. Hiệu này gồm toàn chữ số 1 và 0.