Tài liệu bồi dưỡng môn Toán Lớp 6 - Nguyễn Hồng Quang

 Chuyên đề 1 
 điền chữ số
1.tìm số tự nhiên có 5 chữ số ,biết nếu thêm chữ số 2vào đằng sau thì được số gấp 3 lần số có được bằng cách viết thêm bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số đó
giải
cách 1. gọi số cần tìm là abcde ta có 2abcde
 3
 abcde2 
3e tận cùng 2 nên e=4 ta có 3.4 =12 nhớ 1 sang hàng chục 
3d +1 tận cùng 4 nên d = 1
3c tận cùng 1 nên c=7 . ta có 3.7=21 nhớ 2 sang hàng nghìn 
3b tận cùng 7 nên b=5 ,ta có 3.5=15 nhớ 1 sang chục nghìn 
3a+1 tận cùng là 5 nên a =8 , ta có 3.8 =24 nhớ 2sang tram nghìn 
3.2 +2 =8 ta được số cần tìm 85714
Cách 2 
 Đặt = x, ta có = 3.
 Hay 10x +2 = 3. (200000 +x )
 10x +2 = 600000+3x 
 7x = 599998 
 X = 85714 
Số phải tìm là : 85741
**khai thác c1 
Tìm số TN nhỏ nhất có chữ số đầu tiên là 2,khi chuyển chữ số 2 này xuống cuối cùng thì được số gấp 3lần 
**khai thác c2
Tìm số TN có 5chữ số biết khi viết thêm một chữ số vào đằng sauchữ số đó thì được số gấp 3 lần số có được khi viết thêm số ấy vào trước
**ví dụ
Tìm số tn có 3 chữ số biết rằng trong 2 cách viết : viết thêm chữ số 5vào đằng sau hoặc viết thêm chữ số 1 vào trước thì cách viết thứ nhất chóos gấp 5 lần so với cách viết thứ 2
(giảI theo cách 2 )
2. thay các chữ bởi các chữ số thích hợp a b c
 + a c b
 b c a
giải
cọt đơn vị và cột hàng chục thấy c + b có nhớ 
 b+c+1(nhớ )=10+c nên b = 9
ở cột hàng trăm a+a+1(nhớ) = 9 nên a=4 
ở cột hàng đơn vị c+9=14 nên c=5 
 (vậy các chữ số được điền như sau)
3. tìm các chữ số a,b,c biết tổng a+b+c=tổng của 4 số chẵn liên tiếp và các chữ số a,b,c thoả mãn cả 2 phép trừ a b c b a c
 - c b a - a b c
 99 270
Giải
xét phép trừ thứ nhất ở cột thứ nhất ac nên phép trừ ở hàng đơn vị và hàng chục có nhớ . do đó ở cột hàng trăm a-c -1(nhớ) =0 nên c=a-1 (1)
xét phép trừ thứ 2 ở cột trăm ta có b>a nên phép trừ ở hàng chục có nhớ do đó ở cột hàng trăm b-a -1(nhớ) =2 nên a = b – 3 (2)
 từ 1 và 2 suy ra c = b – 4 (3) 
 từ 2 và 3 suy ra a +b+c =b-3 +b +b-4 =3b-7 20
 số không quá 20 và là tổng của 4 số chẵn liên tiếp có thể bằng 0+2+4+6 hoặc 2+4+6+8
 trường hợp 3b-7=12 (loại) (vì b không là số TN)
 trường hợp 3b-7 =20 cho ta b=9
 thay vào 3 và 4 ta được a=6,c=5 
4. thay các dấu * bằng các số thích hợp 
 * * * * * * * 
 A * * * * * 8
 B 0 0 0 * *
 C * *
 0 0
 GiảI 
Gọi thương là a b 8 ,ta thấy a nhân với số chia được tích riêng A có 3 chữ số , còn 8 nhân với số chia được tích riêng C có 2 chữ số do đó a >8 vậy a=9
ậ dòng B ta hạ liền 2 chữ số bị chia xuống do đó b=0
Số chia nhân với 9được tích riêng có 3 chữ số nên số chia lớn hơn 11 
Số chia nhân với 8được tích riêng có 2 chữ số nên số chia nhỏ hơn 13
Vậy số chia = 12 
Số bị chia = 908. 12= 10896
5. thay số __ __ ___ ______
 ab cc abc abcabc
giảI ta biến đổi __ ______ ____
 ab (10c+c) = abcabc : abc
 ab.c =1001 : 11 =91
phân tích 91 = 13.7 hoặc 91.1
c=1 loại vì b=c
c=7 thì a=1 , b=3 
 ____________________________
6.Thaycac chữ số bởi cac số 
a. 
b. 
c. 
d. biết a là chữ số lẻ
e. 
f. 
giải 
a. cùng bớt ta được 
 11a +10c+b = 100a
 10c+b = 89a (cùng bớt 11a)
 =89a
 a=1(vì là số có 2 chữ số)
nên =89 suy ra b=8 , c=9
 b. đổi chỗ các chữ ở cùng cột ta được
 a b c a a a
 a b b b
 a c
 8 7 4 8 7 4 
Do +c <110(số có 2 cs cộng với số có 2 cs) nên
 874> >874-110 = 764 nên =777
 Suy ra +c =874 -777 =97
 Ta có 97 >97-10 = 87 nên =88
 Do đó c=97-88=9
Vậy các số cần tìm là 789+78+7=874
C,Viết đảng thức hành : + + = 1037 rồi lần lượt tìm a = 9,b , b=3 , c = 5 
D. a là chữ số lẻ nên b và c cũng lẻ. Ta lại có b và c khác 1 và 5 để vậy b,c 
Lần lượt xét b bằng 9;7;3 và chú ý rằng a,b,c lẻ, khác nhau 
 Đáp số :177. 3 = 513 
E. . = .
Thực hiện phép tính chia cho được 10. vậy c = 0 , a = 1
Đáp số : 10 . 10 = 100 
F. Xét chữ số đầu tiên bên trái của các thừa số và tính , ta có a.a a nên a=1.
 Ta có : . = 
Ta thấy b 4 vì nếu b5 thì .15.15=225> xét các tích 10.10,11.11,12.12,13.13,14.14, ta có đáp số 12.12=144
7. 
a. .2 =
b. =9.b
c - =-
d. +=3576
Giải
làm tương tự bài 1 cách 2 
ta có 9b=10b-b
nên =- b
đặt phép tính theo cột dọc ta thấy 
10-b =b nên b=5 , a=4
 c. vế phải<100 nên vế trái cũng <100 hay- <100 do đó a=1 ta có 
 ==- *
 xét vế p của * c>1 ,phép trừ ở cột đơn vị 11-c 
 xét vế t phép trừ ở cột đơn vị c-1 
 do đó 11-c=c-1 suy ra c=6 thay vào * ta tính được b = 0
d . thêm chữ số d vào cuối số bị rtừ -=
 =11 
Chia cho 11 ,ta tìm được d=1 =325
8.điền vào dấu *
a. * * * b. * * * * * * * c. * * * * * * * * *
 8 0 9 * * * * 2 * * * * * 8 * *
 * * * 9 * * * 0 0 0 * *
 * * * * * * * *
 * * * * * 0 * * *
 * * *
 0
Giải
Gọi số bị nhân là . Để tích riêng thứ 1 tận cùng bằng 9 thì c = 1 .Để tích riêng thứ 2 có ba chữ số thì a = 1.
số bị nhân là . chú ý rằng . 9 được số có 4 chữ số nên b > 1 , còn . 8 được số có 3 chữ số nên b<3 do đó b=2 
b.10098:99=102
c. 1089708 : 12 =90809
 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
 Chuyên đề 2 
phép chia có dư
Chú ý : a: b được thương là q ,số dư là r thì a=b.q +r
Bài tập 
1.tìm số bị chia và số chia biết :thương =6 ,số dư =49, tổngcủa số bị chia ,số chia và số dư = 595
Giải
Gọi số b/c là a,số chia là b
Ta có a=b . 6 +49 (1)
 a+b+49= 595 (2) 
thay 1 vào 2 ta được 
 6.b +49 +b+49 = 595
 7b = 595 -49 .2
 7b = 497
 b= 497:7 
 b= 71 
 thay vào 1 suy ra a= 495
2. Một phép chia có thương = 4 , số dư = 25 . tổng của số bị chia , số chia và số dư = 210. Tìm số bị chia và số chia . 
( tương tự bài 1 )
3.tìm thương của 1 phép chia , biết nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư không đổi
 Giải
Gọi SBC là a ,SC là b , thương là q , số dư là r 
 Ta có : a=b.q +r (1)
( a+15) = (b +5) . q +r nên a+15 = bq +5q +r
 a=bq +5q+r -15 (2) lấy (2) – (1) được 5q =15 hay q=3
4. tim thương của 1 phép chia biết nếu tăng số BC lên 90 đơn vị tăng số chia 6 đơn vị thì thương và số dư không đổi (tương tự 3 )
5 . . tim thương của 1 phép chia biết nếu tăng số BC lên 73 đơn vị tăng số chia 4 đơn vị thì thương không đổi, số dư tăng 5 đơn vị
Giải
Gọi SBC là a ,SC là b , thương là q , số dư là r 
Ta có : a=b.q +r (1)
( a+73) = (b +4) . q +(r +5) nên a+73 = bq +4q +r +5
 a=bq +4q+r +5-73 (2) lấy (2) – (1) được a=bq +4q+r +5-73 
 a=b.q +r 
 0= 4q +5 - 73 
 4q = 0 + 73 – 5
 4q = 68
 q = 17 
6 . xác định phép chia biết số bị chia ,số chia ,thương và số dư là 4 trong các số sau 
 a. 3,4,16,64,256,772
 b. 2,3,9,27,81,243,567
 Giải
lần lượt đi thử số chia là 3,4 SC = 256 thì SBC=772 thương và số dư bằng 3 dư=4
tương tự 567=243.2+81 
 7. khi chia một số tự nhiên gồm 3chữ số như nhau cho một số tnhiên gồm 3 chữ số như nhau ta được thương là 2và còn dưnếu xoá 1 chữ sổơ số bị chiavà 1 chữ số ở số chiathì thương của phép chia vẫn là 2nhưng số dư giảm hơn trước là 100.tìm số chia và số bị chia lúc đầu 
Giải
Gọi số bị chia lúc đầu là ,số chia lúc đầu là ,số dư là r
Ta có : = 2. +r (1)
 = 2. +r - 100 (2)
Từ 1và 2 suy ra
 - = 2 .( - ) + 100
 = 2. + 100
 A = 2.b +1
Ta có
b	b
1
2
3
4
a
3
5
7
9
 Thử từng trường hợp ,ta được ba đáp số 
 555 và 222 , 777 và 333 , 999 và 444 
 8. trong phép chia có dư số b/c gồm 4 chữ số như nhau ,số chia gồm 3 chữ số như nhau ,thương = 13 và còn dư . nếu xoá 1 chữ số ở số b/c và 1 chữ số ở số chia thì thương không đổi còn số dưgiảm hơn trước 100 đơn vị .tìm số chia và số b/c lúc đầu.
 Giải 
Gọi số b/c lúc đầu là , số chia lúc đầu là , số dư là r
Ta có = 13. + r (1)
 =13.+ r (2)
 Từ 1 và 2 suy ra
Như vậy 13b tận cùng =9 (do 13b +1 có tận cùng = 0) nên b=3 do đó = 40 
 Số bị chia và số chia là 4444 và 333 . 
Bài 4 tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên
I.lý thuyết 
1.định nghĩa
 a,b là số TN b khác 0 . tanói a chia hết b nếu tồn tại số TN qsao cho a=b.q
 2. tính chất chung
 với mọi a khác 0
 với mọi b khác 0
 Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
3. tính chất chia hết của tổng , hiệu
 a,b cùng chia hết cho m thì a+b chia hết cho m, a-b chia hết cho m
 tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m
nếu 1 trong 2 số a,bchia hết cho m số kia khong chia hết cho m thì tổng ,hiệu của chúng không chia hết cho m
4. tính chất chia hết của 1 tích
Nếu một thừa số của tích chia hết cho mthì tích chia hết cho m
Nếu a chia hết cho m,b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
Nếu a chia hết cho b thì 
II bài tập
chứng minh rằng
a) chia hết cho 11
b) chia hết cho 9 với a > b
giải : a) ,chia hết cho 11.
 b) , chia hết cho 9.
 2.Quan sát các VD :
 14+19 = 33 chia hết cho 11, 1419 chia hết cho11; 6 + 49 = 55 chia hết cho 11,649 chia hết cho 11.
 Hãy rút ra nhận xét và chứng minh nhận xét ấy.
Giải : Nxét: Nếu thì thật vậy 
3.cho chứng minh 
GiảI 
4. chứng minh rằng không tồn tại các số TN a,b,c nào mà a.b.c+a=333, a.b.c+b=335
 a.b.c+c=341
giải
từ a.b.c+a=333 suy ra a là số lẻ
tương tự b,c cũng là các số lẻ
a,b,c là các số lẻ nên a.b.c+a là số chẵn (vô lí vì a.b.c+a=333là số lẻ )
5. a.chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số TN có 2 chữ số gồm chính 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được 1 số chia hết cho 11
b.cũng chứng minh như trên đối với số TN có 3 chữ số 
giải
gọi số TN có 3 chữ số là khi viết thêm ta được số 
ta có =100000a+10000b+1000c+100c+10b+a
 =100001.a+10010.b+1100c chia hết cho 11
(Phần 2 chữ số làm tương tự )
6, chứng minh nếu thì 
Giải
Chia hết cho 67
7. chứng minh rằng 
a) chia hết cho 7 , 11 , và 13
b) chia hết cho 23 và 29 , biết rằng 
(tương tự bài 5 và bài 6 )
8. chứng minh rằng chia hết cho 11 thì chia hết cho 11
5 Cấc dấu hiệu chia hết
I .lý thuyết : 
Gọi A = ta có
II. Bài tập :
Tìm STN có 4 chữ số,chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng 2 chữ số giữa của số đó là 9
Giải :
 Gọi n là SCT , n phảI có tận cùng là 0hoặc 5và n phải chia hết cho 9 . 
xét n = nên * = 6 . Thử lại :không chia hết cho 27.
xét n = nên * = 2 . Thử lại :SCT là 2970.
hai số TN a và 2a đều có tổng các chữ số = k . chứng minh rằng a chia hết cho 9. 
Giải : 
Ta biết rằng 1 số và tổng các chữ số có cùng số dư trong phép chia hết cho 9 ,do đó hiệu cuả chúng chia hết cho 9 .
Như vậy : 2a – k 9
Và a k 9
Suy ra : (2a – k)(a k ) 9
Do đó a 9
chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27.
giải :
 gọi A là số gồm 27 chữ số 1 , B là số gồm 9 chữ số 1 . Lấy A chia cho B ta được thương là
C = 1. Như vậy A = B .C trong đó B chia hết cho 9, còn C chia hết 
 8 chữ số 8 chữ số
 cho 3. Vậy A chia hết cho 27.
cho số tự nhiên = 3 lần tích các chữ số của nó.
a)chứng minh rằng b chia hết cho a.
b) giả sử b = ka (kN) ,chứng minh rằng k là ước của 10.
c)tìm các số nói trên
Giải : a) Theo đề bài : = 3ab
 (1)
 10a + b a
 b a
 b) Do b= ka nên k <10 . Thay b= ka vào (1) :
10k + ka = 3a. ka
 (2)
c)Do k<10 nên k.
với k=1 thay vào (2) 11=3a loại
với k=2 thay vào (2) 12 = 6a nên a=2
b=ka = 2.2 = 4 ta có số ab = 24 = 3.2.4
với k=5 thay vào (2) 15 =15a nên a=1
b=ka = 5.1 =5 ta có số ab= 15 =3.1.5
chú ý 
=3ab
10a+b=3ab
10a=3ab-b
Nên 10a=b(3a-1)
Ta thấy 10a chia hết 3a-1, mà a và 3a-1 nguyên tố cùng nhau (thật vậynếu a và 3a-1 cùng chia hết chod thì 3a-(3a-1)chia hết cho dtức là 1 chia hết cho dvậy d=1 ) nên 
10 chia hết cho 3a-1
3a-1
 1
2
5
10
3a
2
3
6
11
a
loại
1
2
loại
b
5
4
5)tìm số TN có 2 chữ số ,biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó
Giải
Gọi số phảI tìm là , ta có 10a+b chia hết cho a.b (1) 
Suy ra b chia hết cho a ,đặt b=ka thì k< 10
Suy ra 10a ka nên 10k , k=(1,2,5)
Nếu k=1 thì b=a thay vào 1 ta được 11a a.a nên 11a hay a=1
Nếu k=2 thì b=2a xét các số 12,24,36,48 ta có các số 12,24,36 thoả mãn đầu bài
K=5 thì b=5a ab=15 thoả mãn đề bài
Vậy có 5số thoả mãn đề bài là 11,12,15,24,36.
6)tìm số TN biết
a)chia cho 4 thì dư 1,chia cho 25 thì dư 3
b)chia cho 8 thì dư 3, chia cho 125 thì dư12
giảI 
a)các số chia hết cho 25 có tận cùng bằng 00,25,50,75nên các số chia cho 25 dư 3 có tận cùng = 03,28,53,78
các số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 nên các số chi cho 4 dư1có 2 số tận cùng tạo thành số chia cho 4 dư 1trong các số 03,28,53,78 chỉ có số 53chia cho 4 dư 1
vậy số cần tìm là các số có tận cùng =53
b) tương tự số có tận cùng là 387
7)tìm các chữ số a,b, sao cho
a) a-b=4 và
b) a-b=6 và 
giảI 
số nên 7+a+5+b 3 
 13+a+b 3 nên a+b chia cho 3 dư 2 (1)
 Ta có a-b =4 nên 
 Suy ra (2)
 Mặt khác a-b là số chẵn nên a+b là số chẵn (3)
 Từ 1,2,3 suy ra a+b = 8 hoặc 14
Với a+b=8, a-b=4 ta được a=6,b=2
 Với a+b=14,a-b=4 tađược a=9,b=5
b) nên 512 +10(a+b) 9
 504 +8+9(a+b)+a+b 9 nên a+b chia 9 dư 1
 =6 nên a+b=10
 Từ đó ta tìm được a=8,b=2
8)tìm số TN có 3 chữ số ,chia hết cho 5 và 9,biết chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia .
GiảI 
( 2 số a và b có số trung aình cộng là (a+b):2 )
Gọi số phảI tìm là vì số đó chia hết cho 9 nên a+b+c9
Chữ số hàng chục =tb cộng của chữ số trăm và đơn vị nên2.b=a+c
Thay vào trên 3.b9 suy ra b3 vậy b=0 (3,6,9) do số đó 5 nên c=0(5)
 xét với a=2b-0 ta được 630
 xét với a=2b-5 ta được 136 và 765
về nhà
điền vào dấu *8
9 chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng nhgìn là 2
6 Bồi dưỡng toán 6 
1)Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9 , biết rằng :
Tổng của chúng bằng và hiệu của chúng bằng ;
Tổng của chúng bằng và số lớn gấp đôi số nhỏ .
Giải : a) Tổng của chúng bằng 9657 và hiệu của chúng bằng 5391.
 Số bé là : ( 9657 – 5391) : 2 = 2133
 Số lớn là : 2133 + 5319 = 7524
Tổng của hai số phải tìm là số chia hết cho 9 nên có thể bằng 5130 hoặc 5139 .
 Nếu tổng hai số bằng 5130 thì số bé bằng : 5130 : 3 = 1710 , số lớn bằng 3240 , thoả mãn bài toán .
 Nếu tổng hai số bằng 5139 thì số bé bằng : 5139 : 3 = 1713 , loại vì không chia hết cho 9 .
Đáp số : 1710 và 3240.
2) Bạn An làm phép tính trừ trong đó số bị trừ là số có 3 chữ số chia hêt cho 9 , số trừ gồm chính ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại . An tính được hiệu bằng 188 . Hãy chứng tỏ rằng An tính sai ? 
 Giải : Chú ý rằng : Số bị trừ và số trừ cùng số dư trong phép chia cho 9 nên hiệu phảI chia hết cho 9 .
Chú ý : Bỏ từ “ ngược lại’’ trong đề bài , bài toán vẫn đúng.
3) tìm số TN có 3 chữ số chia hết cho 45, biết hiệu giữa số đó và số gồmchính 3 chữ số đóviết theo thứ tự ngược lại = 297
Bài giải 
Gọi số phảI tìm là 
Theo bài ta có 
100a+10b+c -100c-10b-a = 297
 99a-99c =297
 a-c=3
vì số đã cho chi hết cho 45 nên số đó chia hết cho 5,và 9 vậy c=0 hoặc=5
với c=o suy ra a=3 số đó chia hết cho 9 nên a+b+c cia hết cho 9 vậy b=6
với c=5a=8b=5
4) chứng minh rằng 
a.
b. 
bài giải 
a) 9 (có tổng các chữ số =9) 8(vì 3 chữ số tận cùng =008 ) nên 72
b)ta có 
5)chứng minh rằng 
a)
b)
bài làm
viết A dưới dạng
b)B có 996 số hạng
chia B thành từng nhóm , mỗi nhóm có nên B chia hết cho 13
chia B thành từng nhóm 4 số hạng mỗi nhóm có tổng=820 nên B chia hết cho 41
6)chứng minh rằng
a)2n+111.1111(n số 1)chia hết cho 3
b)
c)
7)chứng minh rằng
a)111.111(81 số 1) chia hết cho 81
b)số 101010.10(27 số 10) chia hết cho 27
8) cho 2 số TN a và bcó số dư trong phép chia cho 9theo thứ tự m,n chứng minh rằng mn và abcó cùng số dư trong phép chia cho 9
9) một số Tnchia hết cho 4 có 3 chữ số đều chẵn,khác nhau và khác 0chứng minh rằng tồn tậicchs đổi vị trí các chữ số để được một số mới chia hết cho 4
10)tìm sốbiết 
11) tìm số TN có 5 chữ số , biết rằng sốđó = 45 lần tích các chữ số của nó 
Bài giải
Bài 92 ,93,96 ,97, 98, 99 lời giảI trang 118,119 
Sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 1
 7 Số nguyên tố , hợp số
Điền các chữ số thích hợp trong phép phân tính ra thừa số nguyên tố :
 e
 n
	 c
	 ..
Giải: Ta có =e.n.
Suy ra n=2 , do đó e=5 ,c=3
.5= nên f=1
Vậy =231,.
tìm số nguyên tố p sao cho p +2 và p+4 cũng là số nguyên tố 
 (bài giảI trang 23)
3. một số nguyên tố p , chia cho 42 dư r là hợp số . tìm số dư r
 ( lời giảI trang 23,24 )
 4.tìm số nguyên tố có 3 chữ số ,biết rằng nếu số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của 1 số tự nhiên 
5. tìm số tự nhiên có 4 chữ số , chữ số hàng nghìn = chữ số hàng đơn vị , chữ số hàng trăm = chữ sốp hàng chục , và số đó viết được dưới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp
6.tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố ?
 a) p+2 và p+10
 b) p+10 và p+20
 c) p+2,p+6,p+8,p+12,p+14
7. hai số nguyên tố gọi là sinh đôI nếu chúng là 2 số nguyên tố lẻ liên tiếp . chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa 2 số nguyên tố sinh đôI thì chia hết cho 6
 8. cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 , biết p+2 là số nguyen tố 
 Chứng minh p+1 chia hết cho 6
9. cho p và p+4 là các số nguyên tố lớn hơn 3 
Chứng minh p+8 là hợp số 
cho p và 8p-1là các số nguyên tố 
chứng minh 8p+1 là hợp số
một số nguyên tố chia cho 30 dư r,tìm r biết rằng r không là số nguyên tố
(lời giảI : bài 109,110,111,114,115,116,117,119 trang 120,121sách nâng cao và phát triển toán 6)
ước và bội
1)tìm số chia và thương của 1 phép chia có số bị chia = 145 , số dư =12 và biết rằng thương khác 1(số chia và thương là các số tự nhiên )
GiảI 
Gọi x là số chia, a là thương 
Ta có 145=ã+12 (x>12) như vậy xlà ước của 145-12 = 133
 Có 133=7.19
Nếu số chia =19 thì thương = 7 , nếu số chia =133 thì thương =1(tráI với đầu bài )
Vậy số chia =19 , thương = 7
2)hãy viết số 108 dưới tổng các số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 0
Giải
Giả sử số 108 viết được dưới dạng tổng của k số tự nhiên liên tiếp là
n+1, n+2, n+3 , ..n+k
(2n+k+1).k=216
Bài toán đưa đến việc tìmước của 216
Phân tích số 216 =2.2.2.3.3.3 suy ra các ước của 216..
3)tìm các số tự nhiên x,y sao cho
a)(2x+1).(y-3)=10
b) (3x-2)(2y-3)=1
c( (x+1)(2y-1)=12
x+6 = y (x-1)
x- 3 =y(x+2)
4)một phép chia số tự nhiên có số bị chia =3193 tìm số chia và thương của phép chia đó biết rằng số chia có 2 chữ số
5)tìm số chia của 1 phép chia ,biết rằng số bị chia =236
Số dư =15
Số chia là số tự nhiên có 2 chữ số
6)tìm số tự nhiên n sao cho
a) n+4 chia hết cho n+1
b) +4 chia hết cho n+2
c) 13 n chia hết cho n-1
7) tìm số tự nhiên có 3 chữ số , biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chữ số của nó với n(nlà số tự nhiên , có thể gồm 1 hoặc nhiề chữ số)
( lời giảI 121,122,123,133,134/122,123 nâng cao toán 6 tập 1 )
bội chung nhỏ nhất
1)tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho chia a cho 3,cho5,cho7 được số dư theo thứ tự là 2,3,4
Giải