Tài liệu bồi dưỡng môn Toán Lớp 6 - Một số dạng toán về lũy thừa

Một số dạng toán về luỹ thừa trong chương trình toán 6
I- kiến thức cần nhớ: 
1) Định nghĩa luỹ thừa. 
2) Các phép tính về luỹ thừa 
3) Chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 
4) Khi nào thì hai luỹ thừa bằng nhau ? 
5) Tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức. 
6) Tính chất chia hết. 
7) Tính chất của những dãy toán có quy luật. 
8) Hệ thống ghi số. 
II- Bài tập: 
1. Viết biểu thức dưới dạng một luỹ thừa:
 a) Phân tích các cơ số ra thừa số nguyên tố.
Bài 1: Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa (bằng nhiều cách nếu có). 
a) 410 . 815 b) 82 . 253
Bài giải: a) 410. 815 = (22)10 . (23)15 = 220 . 245 = 265 Ta thấy 265 = (25)13 = 3213 265 = (213)5 = 81925
Vậy ta có 3 cách viết là: 	410 . 815 = 265	410 . 815 = 3213	410 . 815 = 81925
b) 	82 . 253 = (23)2 . (52)3 = 26. 56 = 106 Ta thấy 106 = (102)3 = 1003 106 = (103)2 = 10002
Vậy ta có 3 cách viết là: 82 . 253 	= 106 ; 82 . 253 	= 1003 ; 82 . 253 	= 10002
b) Nhóm các thừa số một cách thích hợp.
Bài 2 Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa. 	( 2a3x2y) . ( 8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) 
Bài giải: (2a3.x3y). (8a2x3y4).(16a3x3y3) = (2.8.16) (a3. a2. a3) ( x2x3 x3) . (y.y4.y3) = 28.a8.x8.y8 = (2axy)8
Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi tổng ( hiệu) sau đây là một số chính phương. 
	a) 32 + 42	 b) 132 - 52 	 c) 13 + 23 + 33 + 43
Bài giải:	 a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52	b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122
	c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102
2- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
* Luỹ thừa có cơ số tận cùng đặc biệt ( x, y, ẻN) = (n ẻN *)
	 = = 	(n ẻ N *) 	(n ẻ N *)
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau:
	a) 42k ; 42k + 1. b) 92k ; 92k + 1 ( k ẻ N*)
 Bài giải:	a) Ta có: 42k = (42)k = 	42k + 1 = (42)k .4 = 
	b) Tương tự ta có: 	92k = 	92k + 1 = 
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau.	a) 22005; 32006 	b) 72007 ; 82007 
Bài giải: a) Ta có: 22005 = (24)501 . 2 = 	32006 = (34)501 . 32 = 
	b) Ta có: 72007 = (74)501 . 73 = ()501.3 = 	82007 = (84)501 . 83 = (501 . 2 = 
3. Tính giá trị biểu thức:
	 a) Tính theo quy tắc thực hiện phép tính:
 Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau. 	33 . 9 - 34 . 3 + 58. 50 - 512 : 252 
Bài giải:	 33 . 9 - 34. 3 + 58 . 50 - 512 : 252	= 35 - 35 + 58- 58 = 0 
	b) Sử dụng tính chất phép tính.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lý nhất.
A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 	B = 9 ! - 8 ! - 7 ! . 82
Bài giải: A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 = ( 25: 5 )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 6 = 56 + 36 - 26
	= 15625 + 729 - 64 = 16290 
 B = 9 ! -8 ! - 7! .82 = 8 ! ( 9-1) - 8 ! 8 	= 8 ! . 8 - 8! .8 = 0 
	c) Biểu thức có tính quy luật.
Bài 1: Tính tổng. 	A = 1 + 2 + 22+...+ 2100 	B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100
Bài giải:	 A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100 	=> 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101 
	=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) Vậy	A = 2101 - 1 
	B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100	=> 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101 
B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101) 4B = 3 - 3101 .VậyB = ( 3- 3101) : 4
Bài 2: Tính tổng 	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 	b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301 
Bài giải: 	a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200	25 A = 52 + 54+ ...+ 5202 ; 25 A - A = 5202 - 1 
Vậy	A = ( 5202 -1) : 24
	b) Tương tự	B = 
Bài 3: Tính 	A = + + + ... + 	B = + - + ...+ 
Bài giải:A = 	 + + + ... + 7A = 1 + + + ... + 
=> 7A - A = 1 - 	 A = : 6
B = + - + ...+ 5B = - 4 + + +...+ 
B + 5B = - 4 + B = : 6
Bài 4: Tính A = 
Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1 =
= (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252) =
= (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1) = (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252) 
Vậy A = = 
d) Sử dụng hệ thống ghi sổ - cơ số g. 
Bài 1: Tính A = 6 107 + 5.105 + 4.103+ 2.10 B = 12. 108 + 17.107 + 5.104 + 3 
Bài giải: A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10
 = 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100 = 60504020
B = 12.108 + 17 .107 + 5.104 + 3 = (10+2) .108+ ( 10 +7).107+5.104 + 3 
= 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 + 3 = 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100 = 1370050003. 
4. Tìm x
a) Đưa về cùng cơ số ( số mũ)
Bài1: Tìm xN biết a) 4x = 2x+1 b) 16 = (x -1)4
Bài giải: a) 4x = 2x + 1 (22)x = 2 x + 1 22x = 2x+ 1 2x = x +1 2x- x = 1 x = 1 
b) 16 = ( x - 1)4 24 = (x -1)4 2 = x - 1 x = 2+1 x = 3 
Bài 2: Tìm xN biết 	a) x10 = 1x 	 b) x10 = x 	 c) (2x - 15)5 = ( 2x -15)3	 d) x2 < 5
Bài giải: 	a) x10 = 1x x10 = 110 x = 1 
	b) x10 = x x10 - x = 0 	x.( x9 - 1) = 0 
	Ta có: x = 0 hoặc x9 - 1 = 0 Mà x9 - 1 = 0 x9 = 19 x = 1 
	Vậy x = 0 hoặc x =1 
c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 Vì hai luỹ thừa bằng nhau, có cơ số bằng nhau, số mũ khác nhau ( ạ 0) 
	Suy ra 2x - 15 = 0 hoặc 2x - 15 = 1 
	+ Nếu 2x - 15 = 0 thì x = 15 : 2 N ( loại) 
	+ Nếu 2x - 15 = 1 thì	2x = 15 + 1 x = 8 
	d) Ta có x2 x2 ẻ 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 
	Mặt khác x2 là số chính phương nên x2 ẻ 0 ; 1; 4 hay x2 ẻ 02 ; 12 ; 22 
	x ẻ 0; 1 ; 2 
Bài 4: Tìm x ẻ N biết a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2 b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x - 2)2
Bài giải: a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2 (1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2
 552 = ( x +1) 2 55 = x +1 x = 55 - 1 x = 54 
b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x - 2)2 = ( x - 2)2 502 = ( x - 2 )2 50 = x -2 
 x = 50 + 2 x = 52 (Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2) 
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y ẻ N thoả mãn 	73 = x2 - y2
	Ta thấy: 	73 = x2 - y2 (13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2 
(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2
	Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: 	x = 28; y = 21 
	b) Sử dụng chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
Bài 1: Tìm x ; y ẻ N* biết. 	x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + ...+ y! 
Bài giải:	Ta thấy x2 là một số chính phương .Có chữ số tận cùng là 1 trong các chữ số 0; 1 ; 4; 5 ; 6; 9 
	Mà: 	+ Nếu y = 1 	Ta có x = 1 ! = 12 ( TM) 
	+ Nếu y = 2 	Ta có: x2 = 1 ! + 2! = 3 ( Loại) 
	+ Nếu y = 3 	Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! = 9 = 32 ( TM) 	x = 3 
	+ Nếu y = 4 	Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! = 33 ( loại ) 
	+ Nếu y ³ 5 Ta có: x2 = (1! + 2 ! + 3 ! + 4 !) + (5! + 6! + ...y!) = + = ( loại) 
Vậy x = 1 và y = 1 ; x = 3 và y = 3
Bài 2: Tìm x ẻ N* biết. A = 111....1 	 -	 777 ...7 là số chính phương 
	 2 x chữ số 1 x chữ số 7 
Bài giải: + Nếu x = 1 Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM) 
+ Nếu x > 1 Ta có A = 111...1 	- 777...7 	= M 2 
	 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà M 4	
	Suy ra A không phải là số chính phương ( loại) Vậy x = 1 
	c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y ẻN biết: 35x + 9 = 2. 5y
	*)Nếu x = 0 ta có: 350 + 9 = 2.5y 10 = 2.5y 5y = 5 y =1 
*) Nếu x >0 + Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50 35x + 9 = 2 ( vô lý) 
	+ Nếu y > 0 ta thấy: 35x + 9 M 5 vì ( 35x M 5 ; 9 M 5 ) 
	Mà 2. 5y M 5 	( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y) Vậy x = 0 và y = 1 
Bài 2: Tìm a; b ẻ Z biết. (2a + 5b + 1 ) (2ụaụ + a2 + a + b ) = 105 
Bài giải: * Nếu a = 0 ta có: (2.0 + 5b + 1) . (2101 + 02 + 0 + b) = 105 (5b + 1) (b + 1) = 105 
	Suy ra 5b + 1 ; b + 1 ẻ Ư (105) mà ( 5b + 1) M 5 dư 1 
	Ta được 5b + 1 = 21 b = 4 ( TM) 
	* Nếu a ạ 0 Ta thấy ( 2a + 5b + 1) . (2ẵaẵ + a2 + a + b) = 105 là lẻ 
	Suy ra 2a + 5b + 1 và 2ẵaẵ + a2 + a + b đều lẻ (*) 
	 + Nếu a chẵn ( a ạ0 ) và 2ẵaẵ + a2 +a + b lẻ Suy ra b lẻ.Ta có: 2a + 5b + 1 chẵn ( vô lý) 
	 + Nếu a lẻ Tương tự ta thấy vô lý
Vậy a = 0 và b = 4
5. So sánh các số.
	a) Tính: 
Bài 1: So sánh 2 luỹ thừa sau: 27 và 72
Bài giải: Ta có: 	 27 = 128 ; 72 = 49 Vì 128 > 49 nên 27 > 72 
 b) Đưa về cùng cơ số ( hoặc số mũ) 
Bài 1: So sánh các luỹ thừa sau. a) 95 và 273 b) 3200 và 2300
Bài giải: a) Ta có: 	95 = (32)5 = 310 273 = (33 )3 = 39
	Vì 310 > 39 nên 95 > 273
	b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23) 100 = 8100
	Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300
	c) Dùng số trung gian. 
Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 và 1714
Bài giải: Ta thấy 3111 1614 = (24 )14 = 256 (2) 
	Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714
Bài 2: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân 
Bài giải:
Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 và 1031. 
	 * So sánh 2100 với 1030
	Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10; 1030 = (103)10 = 100010 
	Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) 
	* So sánh 2100 với 1031
	Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26 = 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 
	1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53 = 231 . 6257. 53 (2) 
	Từ (1) và (2) ta có: 231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 5 Hay 2100 < 1031 ( **) 
Từ (*), (**) ta có: 1031 	< 	2100 	 	< 1031
 	 Số có 31 chữ số nhỏ nhất 	 Số có 32 chữ số nhỏ nhất 
Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân. 
Bài 3: So sánh A và B biết. a) A = ; 	B = 
b) ; B = c) A = ; B = 
Bài giải: A = Nên 19A = = = 1 + 
B = nên 19B = = = 1 + 
Vì > Suy ra 1 + > 1 + Hay 19A > 19B nên A > B 
b) A = nên 22 . A = = = 1 - 
B = nên 22.B = = = 1- 
Vì > Suy ra 1 - < 1- Hay 22 A < 22 B nên A < B 
c) Ta có: A = = 
Tương tự B = 
Từ (1) và (2) ta có A = + 5 > 5 > 4 > + 3 = B nên A > B 
6. Chứng minh:
a) Nhóm các số một cách thích hợp.
Bài 1: Cho A = 1 + 3 +32 +...+311 Chứng minh: a) A ∶ 13 b) A ∶ 40
Bài giải: a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 = 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + ...+ (39+ 310+ 311) 
= ( 1+ 3 +32) + 33 . (1 +3 + 32) + ...+39. (1 + 3 + 32) = 13 + 33 . 13 + ...+ 39 . 13 
= 13. ( 1+ 33 + ... + 39 ) ∶ 13 Hay A ∶ 13 
b) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) = 40 + 34 . 40 + 38 . 40 
= 40 . ( 1 + 34 + 38) ∶ 40 Hay A ∶ 40 
b) Thêm bớt một lượng thích hợp.
 Bài 1: Cho 10k - 1 ∶ 19 ( k ẻ N) Chứng minh: a) 102k - 1 ∶ 19 b) 103k - 1 ∶ 19 
Bài giải: a) Ta có: 102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1) = 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1) 
= (10k - 1). ( 10k + 1) ∶ 19 vì 10k -1 ∶ 19
 b) 103k - 1 = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) Vì 10k - 1 ∶ 19 102k - 1 ∶ 19 ( theo câu a ) 
c) Dùng chữ số tận cùng của luỹ thừa đặc biệt: 
Bài 1: Cho n ẻN ; n > 1 Chứng minh: 	 + 1 có tận cùng là 7 
Bài giải: Vì n > 1 nên 2n ∶ 4 Suy ra 2n = 4k ( k ẻN *) 
Ta có: + 1 = 24k + 1 = (24)k + 1 = 16 k + 1 = + 1 = 
Vì 16k = ( k ẻN (*))