Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Số học Lớp 6 - Chủ đề 3: Tìm chữ số tận cùng của một tích, một lũy thừa

CHUYấN ĐỀ 3: TèM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH, 
MỘT LŨY THỪA
I.MỤC TIấU
-HS biết cỏch tỡm chữ số tận cựng của một tớch , một lũy thừa cú bậc cao
-HS cú được cỏc PP tỡm hai , ba chữ số tận cựng của một lũy thừa bậc cao	
II.TểM TẮT KIẾN THỨC
1/Tìm một chữ số tận cùng.
Nhận xét:Để tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa,ta chú ý rằng:
-Các số có tận cùng bằng 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0)cũng tận cùng bằng 0;1;5;6
 -Các số có tận cùng bằng 2 ;4 ;8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 6
-Các số có tận cùng bằng 3 ;7;9 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 1
 (Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9,nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó;nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1)
-Một số chớnh phương thỡ khụng cú tận cựng bằng 2; 3; 7; 8
2/Tìm hai chữ số tận cùng
 Nhận xét: Để tìm hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa , cần chú ý đến những số đặc biệt:
-Các số có tận cùng bằng 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0)cũng cú tận cùng bằng 01 ; 25 ; 76
-Các số 320 ( hoặc 815) ,74 ,512 ,992 có tận cùng bằng 01
-Các số 220 ,65 ,184 ,242 ,684 ,742 có tận cùng bằng 76
-Số 26n(n>1) có tận cùng bằng 76
3/Tìm ba chữ số tận cùng trở lên.
Nhận xét : Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa ,cần chú ý rằng:
-Các số có tận cùng bằng 001 ,376 ,625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 001 ,376 ,625 
 -Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625.
4.Tỡm chữ số tận cựng của một tớch
Chỳ ý:
-Tớch cỏc số lẻ là một số lẻ
-Tớch của một số lẻ cú tận cựng bằng 5 với bất kỡ số lẻ nào cũng cú chữ số tận cựng là 5
-Tớch của một số chẵn với bất kỡ một số tự nhiờn nào cũng là một số chẵn
-Tớch của một số chẵn cú tận cựng bằng 9 với bất kỡ số tự nhiờn nào cũng cú chữ số tận cựng là 0
III.BÀI TẬP
VD1: Tìm chữ số tận cùng của 187324
Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1.Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 1.
Do đó : 187324= (1874)81 =(.1)81 =(1)
Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1
Ví dụ2:Chứng minh rằng 8102- 2102chia hêt cho 10
Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tân cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa 
nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6 .Do đó ta biến đổi như sau:
 8102 =(84)25.82 = (.6)25.64=(.6).64 = 4
 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(6).4 = 4
Vậy 8102 -2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
Ví dụ 3:Tìm hai chữ số tận cùng của 71991
Ta thấy : 74 = 2401 ,số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng bằng 01.
Do đó :
 71991 = 71988.73 = (74)497.343 = (01)497.343
 = (.01).343 =.43
 Vậy 71991 có hai chữ số tân cùng bằng 43
Ví dụ 4:Tìm hai chữ số tận cùng của 2100
Chú ý rằng : 210=1024 ,bình phương của số có tận cùng bằng 24 luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76. Do đó
 ( 2)100 = (210)10 = (1024)10 = (10242)5 = (.76)5 =.76 
(Số cú tận cựng là 76 khi nõng lờn lũy thừa bất kỡ cũng cú tận cựng là 76) 
Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76
Ví dụ 5:Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992
Ta cú :
51992 =(54)498 = 625498 = 0625498 = (...0625)
Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng 261570 chia hết cho 8
Ta thấy :265= 11881376 ,số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) cũng có tận cùng bằng 376.Do đó:
 261570= (265)314 = (376)314 = (376)
Mà 376 chia hết cho 8
Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8
Vậy 261570 chia hết cho 8
Bài 1: Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau:
7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335
Bài 2: Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau:
a) ; b) 
Bài 3 :Chứng tỏ rằng 175+244-1321 chia hết cho 10
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của 5n (n>1)
Bài 5: Chứng tỏ rằng cỏc tổng , hiệu sau khụng chia hết cho 10
A = 51n + 47102 (n ẻ N)
B = 405n + 2405 + m2 ( m,n ẻ N và n khỏc 0)
C = 98.96.94.92 – 91.95.95.97
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau:
 a/ 132001 - 82001
 b/7552 - 218
 c/12591 + 12692
 d/116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166
Bài 7: Chứng tỏ rằng với mọi n ẻN* (n > 1) thì (22)n + 1 có chữ số tận cùng là 7
Bài 8: Chứng tỏ rằng vói mọi số tự nhiên n:
 a/ 74n - 1 chia hết cho 5
 b/ 34n+1 + 2 chia hết cho 5
 c/ 24n+1 + 3 chia hết cho 5
 d/ 24n+2 + 1 chia hết cho 5
 e/ 92n+1 + 1 chia hết cho 10
Bài 9:Tìm hai chữ số tận cùng của cỏc số sau: 
 a/ 5151 
 b/ (9999)99
 c/ 6666
 d/ 14101 .16101
Bài 10:Tớch A = 2.22.23. 210 x 52.54.56.514 tận cựng cú bao nhiờu chữ số 0?
Bài 11:Cho S = 1 + 31 + 32 + 33 +  + 330
Tỡm chữ số tận cựng của S, từ đú suy ra S khụng phải số chớnh phương
Bài 12:Cho A = 2 + 22 + 23 +  + 220. Tỡm chữ số tận cựng của A
Bài 13:Cỏc tớch sau cú bao nhiờu chữ số 0 ở tận cựng :
a)A = 10.11.12..19.20 ( ĐS: cú 3 chữ số 0 ở tận cựng) 
b)B=1.2.319.20 ( ĐS: cú 4 chữ số 0 ở tận cựng) 
Bài 14:Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau:
a)11! ( ĐS: tận cựng là chữ số 0)
b)17! ( ĐS: tận cựng là chữ số 0)
c)(2.4.698) + (1.3.599) ( ĐS: tận cựng là chữ số 5)
Bài 15: Tỡm n ẻN để 1! + 2! + 3! +  + n! là số chớnh phương
Với n ≥ 5 thỡ n! cú tận cựng là 0. do đú 1! + 2! + 3! +  + n! cú tận cựng bằng 3 nờn A khụng là số chớnh phương 
Thử lại với n < 5 ị n = 1 thỡ A = 1 = 11 
 N = 3 thỡ A = 9 = 32 
Bài 16:Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số sau :
a)21000 	b)31993	c)4161
HD:
a)21000 = (24)250 = 16250 = .6 
b)31993 = (34)498 . 3 = 81998. 3 = 1 . 3 = ..3
c)4161 (42)80.4 = 1680 . 4 = 6 . 4 = .4
Bài 17: Tỡm tất cả những số tự nhiờn cú hai chữ số sao cho số đú cộng với số viết theo thứ tự ngược lại cho ta một số chớnh phương 
HD: 
Vậy cỏc số cần tỡm là : 29; 38; 47; 56; 92; 83; 74; 65
Bài 18: Cho 4 chữ số 0; 2; 3; 4 . Tỡm số chớnh phương cú 4 chữ số gồm cả 4 chữ số trờn
HD: Số chớnh phương khụng cú tận cựng bằng 2 ; hặc 3. 
Nếu số chớnh phương cú tận cựng bằng 0 thỡ phải cú tận cựng là 2 chữ số 0 , suy ra số cần tỡm phải cú tận cựng bằng 4 nờn phải cú tận cựng bằng 04 hoặc 24 
Xột cỏc số 2304; 3204; 3024 thỡ suy ra số 2304 là số chớnh phương cần tỡm
Bài 19: Tìm chữ số cuối cùng của số: 
HD: Số dư khi chia cho 10 là 2 . Vậy chữ số cuối cùng của số là 2 
Bài 20 : Tìm hai chữ số cuối cùng của số: A = 21999 + 22000 + 22001
HD: Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 = 7 x 29 x 210 x (220)99
 Ta có : 29 = 512 ; 210 = 1024 ; 220 = 1048576
Nhận xét: số có 2 chữ số tận cùng là 76, luỹ thừa bậc bất kỳ cũng có 2 chữ số tận cùng là 76. Vậy (220)99 cũng có 2 số tận cùng là 76.
ị 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = .....16.
Vậy 2 chữ số cuối cùng của A là 16
Bài 21 : Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994 
HD:
- Ta có: 54 = 625
- Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625
- Do đó: 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625.
Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625.
Bài 22: a)Tìm ba chữ số tận cùng của 2100.
b)Tìm ba chữ số tận cùng của 3100.
HD: b)Ta phân tích như sau: 
 = BS 1000 + ...500 - 500 + 1 = BS 1000 + 1.
Vậy 3100 tận cùng là 001.
Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n100 là 001.
Bài 23: Tỡm 2 chữ số tận cựng của số