Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Số học Lớp 6

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chớnh phương là số bằng bỡnh phương đỳng của một số nguyờn.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chớnh phương chỉ cú thể cú chữ số tận cựng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khụng thể cú chữ số tận cựng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số chớnh phương chỉ chứa cỏc thừa số nguyờn tố với số mũ chẵn.
3. Số chớnh phương chỉ cú thể cú một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4. Số chớnh phương chỉ cú thể cú một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 3n + 2 (n N).
5. Số chớnh phương tận cựng bằng 1 hoặc 9 thỡ chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chớnh phương tận cựng bằng 5 thỡ chữ số hàng chục là 2
Số chớnh phương tận cựng bằng 4 thỡ chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chớnh phương tận cựng bằng 6 thỡ chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chớnh phương chia hết cho 2 thỡ chia hết cho 4.
 Số chớnh phương chia hết cho 3 thỡ chia hết cho 9.
 Số chớnh phương chia hết cho 5 thỡ chia hết cho 25.
 Số chớnh phương chia hết cho 8 thỡ chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyờn x, y thỡ 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chớnh phương.
Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ
 A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chớnh phương.
Bài 2: Chứng minh tớch của 4 số tự nhiờn liờn tiếp cộng 1 luụn là số chớnh phương.
Gọi 4 số tự nhiờn, liờn tiờp đú là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta cú
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 
 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thỡ (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 
 = (n2 + 3n + 1)2
Vỡ n N nờn n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chớnh phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
 Chứng minh rằng 4S + 1 là số chớnh phương .
Ta cú k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1)
S =.1.2.3.4 -.0.1.2.3 + .2.3.4.5 -.1.2.3.4 ++ k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chớnh ph ương.
Bài 4: Cho dóy số 49; 4489; 444889; 44448889; 
 Dóy số trờn được xõy dựng bằng cỏch thờm số 48 vào giữa số đứng trước nú. Chứng minh rằng tất cả cỏc số của dóy trờn đều là số chớnh phương.
Ta cú 4448889 = 44488..8 + 1 = 444 . 10n + 8 . 111 + 1
 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
 = 4. . 10n + 8. + 1
2
 = = 
 = 
Ta thấy 2.10n +1=20001 cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3 nờn nú chia hết cho 3 
2
 n-1 chữ số 0 
 Z hay cỏc số cú dạng 4448889 là số chớnh phương.
Bài 5: Chứng minh rằng cỏc số sau đõy là số chớnh phương:
 A = 111 + 444 + 1 
 2n chữ số 1 n chữ số 4
 B = 111 + 111 + 666 + 8
 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
 C = 444 + 222 + 888 + 7 
 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
2
2
2
Kết quả: A = ; B = ; C = 
Bài 6: Chứng minh rằng cỏc số sau là số chớnh phương:
 a. A = 22499910009
	n-2 chữ số 9 n chữ số 0
 b. B = 1115556
 n chữ số 1 n-1 chữ số 5
A = 224.102n + 999.10n+2 + 10n+1 + 9
 = 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9
 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9
 = 225.102n – 90.10n + 9
 = ( 15.10n – 3 ) 2
 A là số chớnh phương
b. B = 11115555 + 1 = 111.10n + 5.111 + 1 
 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1
 = . 10n + 5. + 1 = 
2
 = = là số chớnh phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh rằng tổng cỏc bỡnh phương của 5 số tự nhiờn liờn tiếp khụng thể là một số chớnh phương
Gọi 5 số tự nhiờn liờn tiếp đú là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ).
Ta cú ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vỡ n2 khụng thể tận cựng bởi 3 hoặc 8 do đú n2+2 khụng thẻ chia hết cho 5
 5.( n2+2) khụng là số chớnh phương hay A khụng là số chớnh phương
Bài 8: Chứng minh rằng số cú dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đú nN và n>1 khụng phải là số chớnh phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] 
 = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
	= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với nN, n >1 thỡ n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 khụng phải là một số chớnh phương.
 Bài 9: Cho 5 số chớnh phương bất kỡ cú chữ số hàng chục khỏc nhau cũn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng cỏc chữ số hàng chục của 5 số chớnh phương đú là một số chớnh phương
 Cỏch 1: Ta biết một số chớnh phương cú chữ số hàng đơn vị là 6 thỡ chữ số hàng chục của nú là số lẻ. Vỡ vậy chữ số hàng chục của 5 số chớnh phương đó cho là 1,3,5,7,9 khi đú tổng của chỳng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chớnh phương 
 Cỏch 2: Nếu một số chớnh phương M = a2 cú chữ số hàng đơn vị là 6 thỡ chữ số tận cựng của a là 4 hoặc 6 a2 a2 4 
 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thỡ hai chữ số tận cựng của M chỉ cú thể là 16, 36, 56, 76, 96 Ta cú: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chớnh phương.
Bài 10: Chứng minh rằng tổng bỡnh phương của hai số lẻ bất kỳ khụng phải là một số chớnh phương.
a và b lẻ nờn a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)
 a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t N)
Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 4t + 2 (t N) do đú a2 + b2 khụng thể là số chớnh phương.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p-1 và p+1 khụng thể là cỏc số chớnh phương.
Vỡ p là tớch của n số nguyờn tố đầu tiờn nờn p2 và p khụng chia hết cho 4 (1)
a. Giả sử p+1 là số chớnh phương . Đặt p+1 = m2 (m N)
Vỡ p chẵn nờn p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k N). Ta cú m2 = 4k2 + 4k + 1 p+1 = 4k2 + 4k + 1
 p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) 4 mõu thuẫn với (1)
 p+1 là số chớnh phương
p = 2.3.5 là số chia hết cho 3 p-1 cú dạng 3k+2.
Khụng cú số chớnh phương nào cú dạng 3k+2 p-1 khụng là số chớnh phương .
Vậy nếu p là tớch n số nguyờn tố đầu tiờn thỡ p-1 và p+1 khụng là số chớnh phương
Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.72007.
Chứng minh rằng trong 3 số nguyờn liờn tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 khụng cú số nào là số chớnh phương.
2N-1 = 2.1.3.5.72007 – 1
Cú 2N 3 2N-1 khụng chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N)
 2N-1 khụng là số chớnh phương.
2N = 2.1.3.5.72007
Vỡ N lẻ N khụng chia hết cho 2 và 2N 2 nhưng 2N khụng chia hết cho 4.
2N chẵn nờn 2N khụng chia cho 4 dư 1 2N khụng là số chớnh phương.
2N+1 = 2.1.3.5.72007 + 1
 2N+1 lẻ nờn 2N+1 khụng chia hết cho 4
 2N khụng chia hết cho 4 nờn 2N+1 khụng chia cho 4 dư 1
 2N+1 khụng là số chớnh phương.
Bài 13: Cho a = 111 ; b = 10005
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
 Chứng minh là số tự nhiờn.
Cỏch 1: Ta cú a = 111 = ; b = 10005 = 1000 + 5 = 102008 + 5
2
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0
 ab+1 = + 1 = = 
2
 = = 
Ta thấy 102008 + 2 = 10002 3 nờn N hay là số tự nhiờn.
 2007 chữ số 0 
Cỏch 2: b = 10005 = 1000 – 1 + 6 = 999 + 6 = 9a +6
 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9
 ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2
 = = 3a + 1 N
DẠNG 2: TèM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tỡm số tự nhiờn n sao cho cỏc số sau là số chớnh phương:
a. n2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) 
c. 13n + 3 d. n2 + n + 1589
Giải
a. Vỡ n2 + 2n + 12 là số chớnh phương nờn đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xột thấy k+n+1 > k-n-1 và chỳng là những số nguyờn dương, nờn ta cú thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6
 k – n - 1 = 1 n = 4
b. Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
 (2n + 3)- 4a2 = 9
 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xột thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chỳng là những số nguyờn dương, nờn ta cú thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1
 2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c. Đặt 13n + 3 = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16
 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
 (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyờn tố nờn y + 4 13 hoặc y – 4 13
 y = 13k 4 (Với k N)
 13(n – 1) = (13k 4 )2 – 16 = 13k.(13k 8)
 n = 13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + 1 (Với k N) thỡ 13n + 3 là số chớnh phương.
Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xột thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chỳng là những số lẻ, nờn ta cú thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n cú thể cú cỏc giỏ trị sau: 1588; 316; 43; 28.
Bài 2: Tỡm a để cỏc số sau là những số chớnh phương:
a2 + a + 43 
a2 + 81
a2 + 31a + 1984 
Kết quả: a. 2; 42; 13
 b. 0; 12; 40
 c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 
Bài 3: Tỡm số tự nhiờn n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chớnh phương .
Với n = 1 thỡ 1! = 1 = 12 là số chớnh phương .
Với n = 2 thỡ 1! + 2! = 3 khụng là số chớnh phương 
Với n = 3 thỡ 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chớnh phương 
Với n ≥ 4 ta cú 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 cũn 5!; 6!; ; n! đều tận cựng bởi 0 do đú 1! + 2! + 3! +  + n! cú tận cựng bởi chữ số 3 nờn nú khụng phải là số chớnh phương .
Vậy cú 2 số tự nhiờn n thỏa món đề bài là n = 1; n = 3.
Bài 4: Tỡm n N để cỏc số sau là số chớnh phương: 
n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)
(23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
n2 + 4n + 97 
2n + 15
Bài 5: Cú hay khụng số tự nhiờn n để 2006 + n2 là số chớnh phương. 
Giả sử 2006 + n2 là số chớnh phương thỡ 2006 + n2 = m2 (m N)
Từ đú suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 
Như vậy trong 2 số m và n phải cú ớt nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khỏc m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cựng tớnh chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn
 (m + n)(m - n) 4 Nhưng 2006 khụng chia hết cho 4
 Điều giả sử sai. 
Vậy khụng tồn tại số tự nhiờn n để 2006 + n2 là số chớnh phương.
2
Bài 6: Biết x N và x>2. Tỡm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) 
Đẳng thức đó cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trỏi là một số chớnh phương nờn vế phải cũng là một số chớnh phương .
Một số chớnh phương chỉ cú thể tận cựng bởi 1 trong cỏc chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nờn x chỉ cú thể tận cựng bởi 1 trong cỏc chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nờn x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta cú x N và 2 < x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) x chỉ cú thể nhận 1 trong cỏc giỏ trị 5; 6; 7.
Bằng phộp thử ta thấy chỉ cú x = 7 thỏa món đề bài, khi đú 762 = 5776
Bài  ... 2 ; 
	+ A cú hai chữ số tận cựng là lẻ. 
Bài 14: Cho n ẻ N và n − 1 khụng chia hết cho 4. CMR: 7n + 2 khụng thể là số chớnh phương. 
Giải: Do n − 1 khụng chia hết cho 4 nờn n = 4k + r (r ẻ {0, 2, 3}). Ta cú 74 − 1 = 2400 100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k − 1) + 7r + 2. Vậy hai chữ số tận cựng của 7n + 2 cũng chớnh là hai chữ số tận cựng của 7r + 2 (r = 0, 2, 3) nờn chỉ cú thể là 03, 51, 45. Theo tớnh chất 5 thỡ rừ ràng 7n + 2 khụng thể là số chớnh phương khi n khụng chia hết cho 4.
III. Tỡm ba chữ số tận cựng 
Nhận xột: Tương tự như trường hợp tỡm hai chữ số tận cựng, việc tỡm ba chữ số tận cựng của số tự nhiờn x chớnh là việc tỡm số dư của phộp chia x cho 1000. 
	Nếu x = 1000k + y, trong đú k ; y ẻ N thỡ ba chữ số tận cựng của x cũng chớnh là ba chữ số tận cựng của y (y ≤ x). 
	Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nờn ta đề xuất phương phỏp tỡm ba chữ số tận cựng của số tự nhiờn x = am như sau: 
Trường hợp 1: Nếu a chẵn thỡ x = am chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiờn sao cho an − 1 chia hết cho 125. 
	Viết m = pn + q (p ; q ẻ N), trong đú q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta cú: 
x = am = aq(apn − 1) + aq. 
	Vỡ an − 1 chia hết cho 125 => apn − 1 chia hết cho 125. Mặt khỏc, do (8, 125) = 1 nờn aq(apn − 1) chia hết cho 1000. 
	Vậy ba chữ số tận cựng của am cũng chớnh là ba chữ số tận cựng của aq. Tiếp theo, ta tỡm ba chữ số tận cựng của aq. 
Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiờn sao cho an − 1 chia hết cho 1000. 
	Viết m = un + v (u ; v ẻ N, 0 ≤ v < n) ta cú: x = am = av(aun − 1) + av. 
	Vỡ an − 1 chia hết cho 1000 => aun − 1 chia hết cho 1000. 
	Vậy ba chữ số tận cựng của am cũng chớnh là ba chữ số tận cựng của av. Tiếp theo, ta tỡm ba chữ số tận cựng của av. Tớnh chất sau được suy ra từ tớnh chất 4. 
Tớnh chất 6: Nếu a ẻ N và (a, 5) = 1 thỡ a100 − 1 chia hết cho 125. 
Chứng minh: Do a20 − 1 25 nờn a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 cú cựng số dư là 1 
	ị a20 + a40 + a60 + a80 + 1 5. Vậy a100 − 1 = (a20 − 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) 125. 
Bài 15: Tỡm ba chữ số tận cựng của 123101. 
Giải: Theo tớnh chất 6, do (123, 5) = 1 ị 123100 − 1 125   (1). 
	Mặt khỏc: 123100 − 1 = (12325 − 1)(12325 + 1)(12350 + 1) ị 123100 − 1 8   (2). 
	Vỡ (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 123100 − 1 1000 
ị 123101 = 123(123100 − 1) + 123 = 1000k + 123 (k ẻ N). Vậy 123101 cú ba chữ số tận cựng là 123. 
Bài 12: Tỡm ba chữ số tận cựng của 3399...98. 
Giải: Theo tớnh chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 − 1 chi hết cho 125   (1). 
	Tương tự bài 11, ta cú 9100 − 1 chia hết cho 8   (2). 
	Vỡ (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra: 9100 − 1 chia hết cho 1000 ị 3399...98 = 9199...9 = 9100p + 99 = 999(9100p − 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q ẻ N). 
	Vậy ba chữ số tận cựng của 3399...98 cũng chớnh là ba chữ số tận cựng của 999. Lại vỡ 9100 − 1 chia hết cho 1000 ị ba chữ số tận cựng của 9100 là 001 mà 999 = 9100: 9 ị ba chữ số tận cựng của 999 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cựng của 999 là 9, sau đú dựa vào phộp nhõn để xỏc định ). Vậy ba chữ số tận cựng của 3399...98 là 889. 
	Nếu số đó cho chia hết cho 8 thỡ ta cũng cú thể tỡm ba chữ số tận cựng một cỏch giỏn tiếp theo cỏc bước: Tỡm dư của phộp chia số đú cho 125, từ đú suy ra cỏc khả năng của ba chữ số tận cựng, cuối cựng kiểm tra điều kiện chia hết cho 8 để chọn giỏ trị đỳng. 
Bài 16: Tỡm ba chữ số tận cựng của 2004200. 
Giải: do (2004, 5) = 1 (tớnh chất 6) ị 2004100 chia cho 125 dư 1 ị 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1 ị 2004200 chỉ cú thể tận cựng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004200 8 nờn chỉ cú thể tận cựng là 376. 
Bài tập vận dụng: 
Bài 17: Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi n khụng chia hết cho 4. 
Bài 18: Chứng minh 920002003, 720002003 cú chữ số tận cựng giống nhau. 
Bài 19: Tỡm hai chữ số tận cựng của: 
a) 3999    b) 111213 
Bài 20: Tỡm hai chữ số tận cựng của: 
S = 23 + 223 + ... + 240023 
Bài 21: Tỡm ba chữ số tận cựng của: 
S = 12004 + 22004 + ... + 20032004 
Bài 22: Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cựng của a101 cũng bằng ba chữ số tận cựng của a. 
Bài 23: Cho A là một số chẵn khụng chia hết cho 10. Hóy tỡm ba chữ số tận cựng của A200. 
Bài 24: Tỡm ba chữ số tận cựng của số: 
199319941995 ...2000 
Bài 25: Tỡm sỏu chữ số tận cựng của 521.
 Dãy số có qui luật
 I > Phương pháp dự đoán và quy nạp :
 Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn 
Sn = a1 + a2 + .... an (1) 
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được .
 Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 
 S2 = 1 + 3 =22 
 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 
 ... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2 
 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng 
giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k 2 (2)
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) 
 Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) 
vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2 
theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh 
 vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 
 Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + .... + n = 
2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 
3, 13+23 + ..... + n3 = 
4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 
II > Phương pháp khử liên tiếp :
 Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2 
 	a2 = b2 - b3 
 	.... .... .....
 	an = bn – bn+ 1 
khi đó ta có ngay :
 Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) 
 = b1 – bn + 1 
Ví dụ 2 : tính tổng :
 S = 
Ta có : , , 
Do đó : 
S = 
Dạng tổng quát 
 Sn = ( n > 1 ) 
 = 1- 
Ví dụ 3 : tính tổng 
 Sn = 
Ta có Sn = 
 Sn = 
 Sn = 
Ví dụ 4 : tính tổng 
 Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) 
Ta có : 1! = 2! -1! 
 2.2! = 3 ! -2! 
 3.3! = 4! -3! 
 	 ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! 
 = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng 
Sn = 
Ta có : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó Sn = ( 1- 
 = 1- 
III > Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: 
Ví dụ 6 : Tính tổng 
 S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) 
 ta viết lại S như sau :
 S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )
 S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) 
 => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
S = 2101-1
Ví dụ 7 : tính tổng 
 Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1) 
Ta viết lại Sn dưới dạng sau : 
Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )
Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) 
Sn = 1+p ( Sn –pn ) 
Sn = 1 +p.Sn –p n+1 
Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 
Sn = 
Ví dụ 8 : Tính tổng 
Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) 
Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 
 = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn- ( theo VD 7 )
 Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - 
Sn = 
IV > Phương pháp tính qua các tổng đã biết 
Các kí hiệu : 
Các tính chất : 
 1, 
 2, 
Ví dụ 9 : Tính tổng :
Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) 
Ta có : Sn = 
Vì :
 (Theo I )
cho nên : Sn = 
Ví dụ 10 : Tính tổng :
Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta có : Sn = 
 = 
Theo (I) ta có :
Sn = 
Ví dụ 11 . Tính tổng 
Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 
 ta có : 
Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]
 = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) 
Sn = ( theo (I) – 3 )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 
= (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 ) 
Cơ sở lý thuyết :
 + để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: 
 Số số hạng = ( số cuối – số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1 
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:
 Tổng = ( số đầu – số cuối ) .( số số hạng ) :2 
Ví dụ 12 : 
Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132 
Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
 A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 
Ví dụ 13 : Tính tổng 
 B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 
 số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 
 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm toán 
Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) 
Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1) 
Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) 
 = k( k+1) 
	 = k (k+1) .3 
	 = 3k(k+1) 
Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1). 	
	 = 	 *
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 
 => 1.2 = 
S = 
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng :
 k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) 
 từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2) 
Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) 
	= k( k+1) ( k +2 ) .4
Rút ra : k(k+1) (k+2) = 
áp dụng : 1.2.3 = 
 2.3.4 = 
 ..........................................................
 n(n+1) (n+2) = 
Cộng vế với vế ta được S = 
* Bài tập đề nghị :
Tính các tổng sau 
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 
2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 
 b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100 
 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 
3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 
5, S = 
6, S = 
7, A = 
8, M = 
9, Sn = 
10, Sn = 
11, Sn = 
12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
	 50 chữ số 9 
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 
 Tính S100 =? 
 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 
 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 
 c, 1 + 
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 
15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 là luỹ thừa của 2 
 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60 3 ; 7; 15
 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991 13 ; 41
 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1 5 
 14/12/2009
Bùi văn Phương (Lũng Vân-Tân Lạc-HB)