Sáng kiến kinh nghiệm - Một số dạng toán thường gặp về ƯCLN và BCNN

Một số dạng toán thường gặp về ƯCLN và BCNN 
A đặt vấn đề
Trong chương trình toán lớp 6 học sinh đã được học các khái niệm ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất(BCNN). Khi luyện tập về các khái niệm này học sinh sẽ gặp nhiều bài tập liên quan trong đó có dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số điều kiện liên quan đến ƯCLN và BCNN.
Khi gặp những loại bài tập này học sinh thường lúng túng chưa xác định được phương pháp giải.
Trong quá trình giảng dạy nhiều năm ở lớp 6 bản thân rút ra được cần xác định phương pháp chung để từ đó phân loại toán cụ thể thì khi giải dạng bài tâp này học sinh sẽ dễ dàng hơn.
B giải quyết vấn đề
I. Phương pháp chung:
1. Dựa vào định nghĩa UCLN và BCNN để biểu diễn 2 số phải tìm sau đó lập mối liên hệ để tìm ra kết quả.
ƯCLN của hai số a,b là d . Kí hiệu là:(a,b)=d. m,nN. Sao cho: a=dm; b =dn với (m,n)=1.
BCNNcủa hai số a,b là m . Kí hiệu =m x,yN. Sao cho: m=a x; n=by.với (x,y)=1.
2.Sử dụng mối liên hệ: a.b=(a,b).
Thật vậy: Gọi d=(a,b). a=m.d; b=n.d với m,nZ+ .(m,n)=1.
a.b=m.n.d2;[a,b]=m.n.d (a,b).[a,b]=d.(mnd)=d2mn.
Từ đó suy ra: a.b = (a,b).[a,b].
II. Các dạng toán cụ thể:
Loại toán tìm hai số khi biết tổng hoặc hiệu và ƯCLN của chúng:
Ví dụ1: Tìm hai số tự nhiên a,b biết: 
 a+b =84;(a,b)=6
Bài giải:
 Không mất tính tổng tính tổng quát giả sử ab.Từ (a,b)=6 nên 
 a=6m;b=6n m n m,nZ+ ;(m,n)=1.
Do a+b = 84. nên 6m +6n =84 suy ra m+n =14
Chọn cặp số m,n nguyên tố cùng nhau và có tổng bằng 14 (m n) ta được: suy ra : 
2.Loại toán tìm hai số khi biết ƯCLN và BCNN của chúng:
Ví dụ 1:Tìm hai số tự nhiên a,b biết :
 (a,b)=12; [a,b] =72
Bài giải:
Do vai trò của hai số a,b là như nhau nên ta giả sử ab 
Do (a,b)=12 nên a= 12m, b =12n.
Với m n; m,nZ+ ;(m,n)=1
Theo định nghĩa BCNN ta có: [a,b] =m.n.d =m.n.12=72 suy ra m.n=6
3.Loại toán tìm hai số khi biết tổng hoặc hiệu hai số và BCNN:
Ví dụ : Tìm hai số tự nhiên a,b biết:
 	a-b=7;và [a,b]=140.
Bài giải:
Gọi d=(a,b) a=m.d; b=n.d với m,nZ+ .(m,n)=1.
Do đó: a-b=d.(m-n)=7
 [a,b]=d.m.n = 140
Suy ra: d là ước chung của 7 và 140
 d=1 hoặc d=7.
 Với d=1 không có m,n nào thỏa mãn.
 Với d=7 
4. Loại toán tìm hai số khi biết tích hai số và ƯCLN hoặc BCNN của chúng:
Ví dụ:Tìm hai số tự nhiên a,b biết: 
 ab= 360; [a,b] =60
Giải:
Từ a.b = (a,b).[a,b]. (ab)===6
Ta đưa được về dạng toán 2 với (a,b)=6; [a,b]=60
 Giải ra ta được:a=6;b=60.
 hoặc a=12;b=30
5. Loại toán tìm hai số khi biết tỉ số và ƯCLN hoặc BCNN của chúng.
Ví dụ 1:
 Tìm hai số tự nhiên a,b sao cho:
 =; [a,b]=140
Giải:
 Đặt (a,b)=d. vì =mà (4,5)=1
a=4d ;b=5d mà [a,b]=4.5 .d =20.d=140. d=7
Ví dụ 2: Tìm hai số a,b biết =2,6 và(a,b)=5
Giải:
Vì (a,b)=5a=5m;b=5n với m,nZ+ (m,n=1)
 Suy ra: = = 2,6 = 
6. Loại toán tìm hai số tự nhiên khi biết tổng của ƯCLN và BCNN.
Ví dụ:
Tìm hai số tự nhiên a,b sao cho:
 [a,b]+ (a,b) = 19.
Giải
 Đặt (a,b)=dm,nZ+
 [a,b]= ==dmn
 Theo đề bài [a,b]+ (a,b)=19d +dmn =19
 => d(mn+1)=19
 Do đó mn+1 là ước của 19 và 2 mn +12
 Giả sử ab thì mn ta được:
 d=1 mn+1=19
 mn=18
	 Với sự phân loại và cách giải cụ thể các loại toán như trên học sinh sẽ dễ dàng giải được các bài toán tương tự sau:
 1.Tìm hai số a,b biết 7a=11b và (a,b)=45
 2. Tìm các số tự nhiên a,b sao cho:
 a.b=720; (a,b)=6.
 (a,b)=6;=180.
: [a,b]- (a,b)=5.
C .kết luận .
	 Với các định hướng trên trong khi giải các bài tập thì trong các buổi luyện tập, ôn tập các vấn đề nêu trên hoặc làm các bài thi tương tự tôi thấy học sinh định dạng và giải các bài tập tốt hơn.
 Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong khi giảng dạy luyện tập về các khái niệm ƯCLN và BCNN của lớp 6.
 Rất mong được sự trao đổi, góp ý của đồng nghiệp.
 Xin chân thành cảm ơn.
 Ngày 20 tháng 4 năm 2007