Sáng kiến kinh nghiệm - Một số bài toán về hàm số và đồ thị

Phần I:Đặt vấn đề
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.
Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số đó là “Số” và “Hàm số”. Khái niệm ”Hàm số” xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổ thông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thời gian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu về tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính vì vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy: “Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị”. Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác , có nhiều nội dun ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau đây là nội dung đề tài.
Phần II:Nội dung đề tài
Một số vấn đề Lý thuyết cơ bản
I/ Các hàm số trong chương trình THCS:
Hàm số bậc nhất:
Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số xác định a 0, x 
Tính chất:
+ Tập xác định: 
+ Tính biến thiên;
a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R
Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0, x ) là đường thẳng đi qua điểm A(0,b) và điểm B(; 0)
+ Khi b = 0 thì đồ thị hàm số y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm E(1; a).
Hàm số bậc hai:
Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức
y = ax2 + bx + c với a, b, c là các hằng số (a 0, x )
Tính chất:
Tập xác đinh R
Tính biến thiên:
+ a > 0 Hàm số đồng biến trong (; ) và nghịch biến trong (;)
+ a < 0 Hàm số nghịch biến trong (; ) và đồng biến trong (;)
Đồ thị: 
Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0, x ) là Parabol (P) có đỉnh là D(; ) nhận đường thẳng x = là trực đối xứng.
Một số dạng bài tập
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
1/ Đinh nghĩa: 
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa.
Vì vậy :
Nếu f(x) là đa thức thì hàm số có tập xác định x R
Nếu f(x) có dạng phân thức thì hàm số có tập xác định: 
 ớ x R biểu thức trong căn 0ý
2/ Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x – 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y = có TXĐ 
+ Ví dụ 3: Hàm số y = có TXĐ: 
3/ Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:
a) y = b) y = c) y = 
Dạng II: Tìm tập giá trị của hàm số
+ Tập giá trị của hàm số : y = f(x)
là tập giá trị của y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm x X
1/ Cách giải: 
+ Cách 1: có thể dựa vào tính chất thứ tự trong Q để đánh giá các giá trị của y.
+ Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm trong tập xác định.
2/ Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x 
Giải
Ta có x 
Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x là y 
+ Ví dụ 2: tìm miền giá trị của hàm số y = 
Giải
áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:
Vậy miền giá trị của hàm số y = với x R là y R, y1.
+ Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x 
Giải
Hàm số y = x2 – 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x1
Vậy với x ta có y(2) y(3) 
Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 – 2x + 3 với x là 
+ Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 –4
Giải 
TXĐ của hàm số là R
Xét phương trình x2 - 4 + 3 = y 
 Phương trình có nghiệm y+1 0 y -1
3/ứng dụng:
ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cảu hàm số;
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2x – x2 – 4
Giải
Ta có y = 2x - x2 – 4
	= - (x2 – 2x + 1) – 3
	= - (x – 1)2 – 3 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x =1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = (1)
Giải
Hàm số có tập xác định : R vì x2 + x + 2 = (x + )2 + 
Giả sử y là một giá trị của hàm số Phương trình = y có nghiệm (y - 1)x2 + (y – 1)x + 2y – 6 = 0 (2) Có nghiệm
+ Xét y = 1 phương trình (2) vô nghiệm
+ Xét y 1 Phương trình (2) có nghiệm 
	(y –1)2 – 4(y – 1)(2y – 6) 0
	(y – 1)(23 – 7y) 0
Vậy giá trị của hàm số là 
+ Với y = ta có x = vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 
Max y = tại x = 
+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dưới dạng; Tìm x R để hàm số 
y = nhận giá trị nguyên y = 1 + 
Khi đó học sinh hay chọn cách giải: nên y Z x2 + x + 2 nhận giá trị là ước nguyên của 4.
Sai lầm trong lời giải ở chỗ x R nên x2 + x + 2 có thể nhận giá trị không nguyên. Vì vậy lời giải trên làm mất nghiệm của bài toán.
+ Cách giải từ việc có miền giá trị ta chỉ ra y Z y = 2 hoặc y = 3
Giải phương trình = 2 x2 + x - 2 = 0 x = 1; x = -2
 = 3 2x2 + 2x = 0 x = 0; x = -1
Vậy x thì y Z
ứng dụng 2: Gải phương trình f(x) = g(x) (1)
Nhiều phương trình phức tạp có thể giải đơn giản hơn bằng cách căn cứ vào miền giá trị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên tập xácc định D chung của chúng:
Nếu với x D thì f(x) = g(x) (2)
Nếu x0 D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x2 – 2 = (1)
+ Tập xác định : R
+ ta có VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x – 3) 2 7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=3
VP = 7 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 
+ Vậy phương trình (1) x = 3
Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2: 
Giải phương trình –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x - ) = 0 (3)
Ta có VT = –16x4 + 72x3 – 81x2 + 28 – 16
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 
Đặt = t 0 =>x = t2 + 2 ta có VP = 16(t2 – t + 2)
	= 16
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t = 
Vậy phương trình (3) 
Kết luận nghiệm của phương trình là 
4/ Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất ( nếu có) của hàm số y = x2 – 3x + 1 trên đoạn:
a. b. 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Bài 3: Gọi x, y là nghiệm của hệ phương trình 
Tìm a để xy có gia trị lớn nhất.
Bài 4: Giải phương trình
a. b. 
Dạng III: Xác định công thức hàm số
1/ Khi biết tính chất đồ thị hàm số
Ta đã biết giữa hàm số và đồ thị có tương ứng 1-1 nên ta sẽ xác định được công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tương ứng.
Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d có tính chất:
+ Đi qua điểm A(x1; y1) và điểm B(x2; y2)
Giải
Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1
B(x2; y2) d nên ax2 + b = y2 
Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1, B(x2; y2) d nên ax2 + b = y2
Ta có hệ phương trình: gải hệ phương trình đó ta có a, b
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1) và điểm B(-1; 2)
Giải
Vì A(1; 1) d nên a1 + b = 1, B(-1; 2) d nên a(-1) + b = 2
Ta có hệ phương trình: 
Kết luận hàm số cần tìm là y = - 
b. Đồ thị đi qua điểm A(x1; y1) và song song với đường thẳng d’ có phương trình y = a1x + b1 (a 0)
Giải
Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1
Vì d song song với d’ nên a = a1 => b = y1 – ax1
Kết luận hàm số cần tìm là y = a1x + y1 – ax1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; ) và song song với đường thẳng d’ có phương trình y = 2x - 
Giải
Vì A(1; ) d nên a + b = 
Vì d song song với d’ nên a = 2 => b = -
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x - 
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1; y1) và vuông góc với đường thẳng d’ có phương trình y = a1x + b1 (a 0)
Giải
Vì A(x1; y1) d nên ax1 + b = y1
Vì d vuông góc với d’ nên aa1 = -1 a = b = y1 + x1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1; 1) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình y = -x + 
Giải
Vì A(1; 1) d nên a + b = 1
Vì d vuông góc với d’ nên aa1 = -1 a = 2 b = -1
Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x – 1
d. Đồ thị qua điểm A(x1; y1) và tiếp xúc với
 Parabol (P): y = a’x2 + b’x + c’ (a’ 0)
Giải
Vì A(1; 1) d nên ax1 + b = y1 (1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a’x2 + b’x+c’ nên phương trình hoành độ giao điểm : ax + b = a’x2 + b’x+c’ có nghiệm kép
ú a’x2 + (b’ – a)x = c’ – b = 0 có nghiệm kép
ú = (b’ – a)2 – 4a’(c’ – b) = 0 (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1;2) d nên –a + b = 2 (1)
Vì d tiếp xúc với Para bol (P): y=x2+1 nên phương trình hoành độ giao điểm : ax+b=x2+1 có nghiệm kép
 x2-ax+1-b=0 có nghiệm kép
 =(b’-a)2 – 4a’(c’-b)=0 (2)
Ta có hệ phương trình:
Vậy hàm số cần tìm là y=-2x
III/1.2 Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P)
Đi qua 3 điểm phân biệt A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)
Lời giải
Vì A(x1,y1) (P) nên ax12 + bx1 + c = y1 (1)
Vì B(x2,y2) (P) nên ax22+ bx2 + c = y2 (2)
Vì C(x3,y3) (P) nên ax32+ bx3 + c = y2 (3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua 3 điểm phận biệt A(-1;6), B(0;3), C(3;6).
Lời giải
Vì A(-1;6) (P) nên a-b+c=6 (1)
Vì B(0;3) (P) nên c = 3 (2)
Vì C(3;6) (P) nên 9a+3b+c = 6 (3)
Ta có hệ phương trình 
Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = x2 – 2x + 3
(P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x0, y0) và đi qua điểm A(x1, y1)
Lời giải
Vì A(x1, y1) (P) nên ax12 + bx1 + c = y1 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(x0, y0) nên
 (2); (3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số.
Ví dụ: xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1; 2).
Lời giải:
Vì A(1; 2) (P) nên a+ b+ c = 2 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
 (2); (3)
Ta có hệ phương trình 
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 – 2x – 1
 ... qua một điểm chung .
	(m + 6)2 – 64(m - 1) 0
	m2 – 52m + 100 0
 m 1
Vậy (P) và (P’) có không quá một điểm chung .
3: ứng dụng:
Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1)
Cơ sở lý thuyết:
Giả sử phương trình (1) có nghiệm x = x0 khi đó giá trị tương ứng của các vế là f(x0) = g(x0) = y0.
Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0; y0).
Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳngtoạ độ thì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1).
Cách giải bài toán:
- Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp đồ thị.
- Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C’) trên cùng mặt phẳng toạ độ.
- Biện luận số nghiệm chung của â và (C’) => số nghiệm của phương trình.
Ví dụ:
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Giải 
3
2
1
0
 1 2 3
x
y
y = m
+ Vẽ đồ thị hàm số y = và y = m trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
 + Theo đồ thị ta có 
m < 1 phương trình (1) vô nghiệm.
m = 1 phương trình (1) có vô số nghiệm : 
m > 1 phương trình (1) cóa hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất
 (1)
Giải
Phương trình (1) 
Xét hai hàm sốy = và y = 
y
x
 2
-1
 -4 -3 -2 -1 0 1 a
y=
y=
Đồ thị hàm số có dạng
Từ đồ thị ta có:
- Nếu thì đồ thị cắt nhau tại hai điểm phận biệt nên phương trình (1) có 2 nghiệm phận biệt.
- Nếu thì hai đồ thị không có điểm chung nên phương trình (1) vô nghiệm.
- Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất hai đồ thị có một điểm chung duy nhất 
Ví dụ 3:
-2 -1 0 1 2
-1
y=2k
5
y
Tìm tất cả giá trị thực của k để phương trình : (x-1)2 = 2 có bốn nghiệm phận biệt.
Giải
Ta có (x-1)2 = 2 
x
	x-k = 
 -x2 + 4 – 1 = 2k (1)
 x2 – 1 = 2k (2)
Ta sẽ sử dụng phương pháp tương giao đồ thị để giải phương trình
a. Ta xét hai hàm số y= -x2 + 4x – 1 và y = 2k
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ
* y= -x2 + 4x – 1 là Parabol (P1) có giao với trục tung là (0; - 1) nhận S(2;3) là đỉnh.
* y = 2k là đường thẳng (d) song song với Ox.
Xét hàm số y = x2 + 1 và y = 2k
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ
* y = x2 + 1 là Parabol (P2) có đỉnh là S’(0;1)
* y = 2k là đường thẳng song song vơi Ox.
Khi đó phương trình (x-1)2 = 2 có 4 nghiệm phận biệt (d) cắt (P1) và (P2) tại 4 điểm phận biệt 
4/ Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm.
a. (P): y = x2 và (D): y = 4x –4
b. (C): y = x2 – 2x – 3 và (C’) y = 2x2 + 2x + 1
Bài 2: Chứng minh (P) : y = mx2 – 2mx + (m – 1) tiếp xúc với mọi đường thẳng cố đinh với mọi m0.
Hướng dẫn: Các đường thẳng x = a luôn cắt (P) tại một điểm với mọi a. Nên đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) nếu có sẽ có dạng y=ax+b
Vậy đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) với mọi m0
(2m+a)2 –4m(m-1-b) = 0 
4m(a+1+b) + a2 = 0 
Vậy đường thẳng y = -1 luôn tiếp xúc với (P): y = mx2 – 2mx+ (m-1) .
Dạng VI: Điểm cố định ( Chùm đường thẳng, chùm Parabol )
Cơ sở lý thuyết:
+ Điểm M(x0; y0) đồ thị hàm số y = f(x) y0 = f(x0)
+ Hàm ssố y = f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) luôn đi qua điểm M(x0; y0) y0 = f(x0) với mọi m.
+ Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nhiều hơn hai nghiệm 
1/ Cách giải:
Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) ( có phụ thuộc vào tham số m) đi qua với mọi m.
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) đi qua với mọi m.
Ta có : y0 = f(x0) (1) đúng với mọi m.
+ Biến đổi (1) về phương trình chính tắc ẩn m ( coi x0 ; y0 là tham số) có nghiệm với mọi m suy ra các hệ số của phương trình băng 0 (2)
Giải hệ điều kiện (2) tìm x0 ; y0
+ (Thử lại) kết luận điểm cố định.
2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 đi qua với mọi m.
Giải
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với .
	y0 = (2m+1)x0-3m+2 đúng với 
	2mx0 – 3m + x0 – y0 + 2 = 0 đúng với 
(2x0 – 3)m + (x0 – y0 + 2) = 0 đúng với 
Vậy đường thẳng đi qua điểm M() với .
Ví dụ 2: 
Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): (-m2+m-2)y=(m2+m-3)x+2m-5 đi qua với 
Giải
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với .
	(-m2+m-2)y0=(m2+m-3)x0+2m-5 đúng với 
	(x0+y0)m2 + (x0+y0+2)m-3x0+2y0 –5 = 0 đúng với 
Vậy đường thẳng đi qua điểm M(-1;1) với .
Ví dụ3: Tìm điểm cố định mà Parabol (P): y=(m2 – m+2)x2+(2m+3)x-4m2+1 đi qua với mọi m.
Giải
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố dịnh mà (P) đi qua với mọi m.
	y0 = (m2 – m+2) x20+(2m+3)x0-4m2+1 đúng với 
(x20-4)m2-(x02-2x0)m+2x02+3x0+1-y0 = 0 đúng với 
Vậy (P) đi qua điểm M(2;15) với mọi m.
Bài Tập
Bài 1: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng đi qua với mọi giá trị của tham số
(d): y = (2m+ 1)x - 3m + 2
(b): (a - 1)x + (2a + 1)y = 3
(a): (2m + 1)x + (3m - 1)y = 4
Bài 2: Tìm m để các đường thẳng đồng quy
(d1): 2x - 3y = -1
(d2): (m - 1)y = (m + 1)x – 2
(d3): (2m + 1)x + (3m –1)y = 4
Dạng VII: Quỹ tích đại số
Cơ sở lý thuyết
+ Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM = f(xM) thì M thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
+ Hàm số và đồ thị của nó tương ứng là 1-1.
1/ Cách giải bài toán:
Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m.
Giải
+ Biểu diễn tạo độ của M theo tham số
+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m , biểu diễn yM = f(xM).
+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số y = f(x)
Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra điều kiện của x để giới hạn quỹ tích.
2/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm tập hợp giáo điểm nếu có của hai đường thẳng
(d1): (m-1)x + 2y = 3
(d2); mx + y = - 4
Giải
+ Toạ độ điểm chung M của (d1), (d2) là nghiệm của hệ:
 ( m1)
Ta có => yM- xM = 7 => yM = xM + 7
Vậy tập hợp giao điểm M của (d1) và (d2) là đường thẳng y = x + 7 với m1
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d): y = mx - cắt Parabol (P): y = x2 tại hai điểm phận biệt A và B . Tìm tập hợp trung điểm I của AB.
Giải
(1)
(2)
Toạ độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của hệ 
Phương trình hoành độ x2 = mx - 4x2 – 4x + 1 = 0 (3)
(P) cắt (d) cắt nhau tai hai điểm phận biệt phương trình (3) có hai nghiệm phận biệt 
Với (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phận biệt A và B có hoành độ xA, xB là nghiệm của phương trình (3) nên xA + xB = m
Khi đó I là trung điểm của AB 
Với ta có x1< 
Vậy tập hợp điểm I là hai nhánh Parabol với x1< 
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng xOy cho điểm F() và đươnừg thẳng d có phương trình y = -1. Tìm tập hợp điểm M(x;y) cách đều F và d
Giải
Hạ MH ^ d ta có H(x;-1) 
Vậy MF = MH MF2 = MH2
	y =
 Vậy tập hợp điểm M là Parabol 	y =
3/ Bài tập
Bài 1: Cho Parabol (P) y = x2 . Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng y = 2x + m với (P). Tìm quỹ tích trung điểm của AB khi m thay đổi.
Bài 2: Cho Parabol (P) y = x2. Tìm tập hợp những điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến (P).
Bài 3: Cho Parabol (P) y = x2 + 7x + 6. Tìm điểm M trên trục tung sao cho Hai tiếp tuyến của (P) qua M cuông góc với nhau.
Hướng dẫn:
+ MOy nên M có toạ độ M(0;a)
+ Giả sử đường thẳng qua M có hệ số góc k: y = kx +a là tiếp tuyến của (P) Phương trình hoành độ x2 + (7 – k)x + (6 – a) = 0 (2) có nghiệm kép.
	 (3)
+ Hai tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau
	Phương trình (3) có hai nghiệm k1. k2 = -1
 	4a + 25 = -1
 a= -
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Trong cùng một phẳng toạ độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (d) là đồ thị hàm số y = - x + m
Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;1) và vẽ (P) với a vừa tìm được.
Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) vừa có , và tìm toạ độ tiếp điểm
Gọi B là giao điểm của (d) ở câu 2 với trục tung. C là điểm đối xứng của A qua trục tung. Chứng tỏ rằng:
+ C nằm trên (P)
+ Tam giác ABC vuông cân
Hướng dẫn:
(P): y = -
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 
Cho = 0 ta có m = 1 và tiếp điểm là A(2; - 1)
Xác định các điểm: A(2;-1); B(0;1); C(-2;-1)
+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân
Bài 2: Cho Parabol (P): y = x2 – 4x + 3
Chứng minh đường thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với Parabol (P)
Giải bằng đồ thị bất phương trình: x2 – 4x + 3 > 2x – 4
Bài 3: Cho Parabol (P); y = x2, điểm I(0;2) và điểm M(m;0) với m 0
a. Vẽ (P)
b. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I và M
c. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B với m 0
Họi H và K là hình chiếu của Avà B trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông cân.
Chứng minh độ dài đoạn AB > 4 với m 0.
Hướng dẫn;
2. Đường thẳng (d) (m 0)
3. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là mx2+4x-4m = 0 có >0.
4. Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác HIK vuông tại I.
5. Tính khoảng cách AB:
Bài 4: Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y = -x2 + 4x – 3 và đường thẳng (d): 2y + 4x – 17 = 0
Vẽ (P) và (d)
Tìm vị trí của điểm A (P) và điểm B (d) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Hướng dẫn:
2. AB ngắn nhất tương đương với tiếp tuyến với (P) tại điểm A song song với đường thẳng (d)
+ Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) và song song với (d) y = - 2x + 6 => A(3;0)
+ Viết phương trình đường thẳng (d’’) vuông góc với (d’) tại A. Xác định giao điểm của (d’’) với (d) để tìm B(4;)
+ Khoảng cách AB = là lớn nhất
Bài 5: Cho Parabol (P) y = x2 và hai điểm A; B thuộc B có hoành độ xA= -1; xB = 2. Tìm M thuộc Parabol có hoành độ x sao cho diện tích tam giác AMB lớn nhất.
Hướng dẫn:
+ Khoảng cách tam giác AMB lớn nhất tương đương với khoảng cách từ M đến AB lớn nhất.
+ Khoảng cách từ M đến AB lớn nhất tương đương với M là điểm tiếp xúc của đường thẳng song song với AB với (P).
Phần III 
Kết luận chung
Qua những năm trực tiếp giảng dạy môn toán ở bậc trung học cơ sở và qua nhiều năm nghiên cứu đề tài “ Một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị” tôi đã hiểu một cách sâu sắc hơn và hàm số và đồ thị. Xây dựng được hệ thống bài tập phong phú. Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng có phương pháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây được hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh không còn thấy sợ “Hàm số”. Chương trình cải cách giáo dục đã đưa tập hợp số thực vào chương trình lớp 7 nên học sinh lớp 7 tiếp thu khái niệm “Đồ thị hàm số” một cách tự nhiện, dễ hiểu hơn.
Đối với đối tượng học sinh khá giỏi nếu có thời gian cần tiếp thu phát triển các ứng dụng của từng dạng toán, nâng cao yêu cầu trong từng bài giúp các em phát huy được năng lực học môn toán.
Trên đây là nội dung đề tài mà tôi đào sâu đã tìm hiểu. Trong quá trình thực hiện và trình bày không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong được sự góp ý của thầy cô giáo cùng các bạn bè đồng nghiệp.
Giao Thuỷ, ngày 25 tháng 3 năm 2005
Người viết