Sáng kiến kinh nghiệm - Một số bài toán tính tổng liên quan đến các biểu thức trung gian - Năm học 2007-2008

Đặt Vấn Đề:
Trong chương trình Toán lớp 6 sau khi học các phép tính về luỹ thừa với số mũ tự nhiên các em được làm quen với nhiều bài toán tính tổng của các dãy số theo quy luật mà nếu tính toán trực tiếp là không đơn giản. Khi gặp những loại bài tập này học sinh thường lúng túng chưa xác định được phương pháp giải.
Để giải được những bài toán đó chủ yếu phải dùng đến cách tính gián tiếp qua các biểu thức trung gian.
Được phân công dạy bồi dưỡng Toán 6 khi dạy về các bài toán dạng này tôi đã hướng dẫn học sinh đi từ các bài toán cụ thể để nêu thành các bài toán tổng quát và phân tích cách định hướng cho học sinh giải các bài tập dạng này.
B. Giải quyết vấn đề:
Bài toán 1:
 Tính tổng: A= 3 + 32 + 33 + 34..+32008
Lời giải: 
 3A = 32 + 33 + 34 +35..+32009
2A = 3A – A = (32 + 33 + 34 +35..+32009) – (3 + 32 + 33 + 34..+32008)
 = 32009 – 3
 A= 
Ta có thể tổng quát bài toán 1 thành bài toán sau:
Tính tổng: 
 A= a + a2 + a3 + a4+an (với mọi a và n là số nguyên dương a 1)
Lời giải: 
 aA = a2 + a3 + a4 +a5..+an
(a-1)A = aA – A = (a2 + a3 + a4 +a5..+an+1) –( a + a2 + a3 + a4..+an)
 = an+1 – a
 A= 
Bài toán 2:
Tính tổng
 B = 
Ta có thể tính tổng B theo bài toán 1 bằng cách đặt thì 
 B = a + a2 + a3 + a4+a2008
 Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
 5.B =
 4B =5B –B = () –()
 = 1-=
 B = 
Ta có thể tổng quát bài toán 2 thành bài toán sau:
Tính tổng
 B = (với mọi a và n là số nguyên dương a 1)
Bài giải:
 a.B = 
(a-1)B = aB – B = () – ()
 =1- =
 B = 
Từ kết quả của bài toán 2 ta có thể khai thác dưới một dạng khác như sau:
Bài toán 3: 
a. Chứng minh rằng: 
 B = < 
Từ bài toán 2 ta có: 
 4.B = 1- < 1 B < 
b. Chứng minh rằng:
 C=< 
Đây là một bài toán khó hơn với lời giải như sau:
 3C= 
 2C = 3C – C = () – ()
 = 
 2C < ( *)
 Đặt: D =
Ta có: 3D = 
2D = 3D – D = () – ()
 =< 1
 D <
Từ (*) ta có: 2C< 1+D < 1+ =
 C <
Ta có thể dễ dàng chứng minh được các bài toán tổng quát sau:
Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dương a 1 thì:
 a. <
 b. <
Bài toán 4: 
Tính tổng: S = 1.2 +2.3 + 3.4 + + 99.100.
3S = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + + 99.100( 101 -98)
= 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ..+ 99.100.101 – 98.99.100
= 99.100.101.
 S =
Hướng dẫn: 3n(n+1) = n(n+1)=n(n+1)(n+2) – (n-1) n (n+1)
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Tính tổng: 
 S’ = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1). Với n là số nguyên dương.
Với cách làm tương tự ta có:
3S’=1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +..+ n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1)
 =n(n+1)(n+2).
 S’=
Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:
 12 + 22 + 32 + + n2
 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3)
Lời giải:
Câu a:
 Nhận xét: n2 = n(n+1) – n
 12+ 22 + 32 + +n2 =
 =1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 ++ n(n+1) – n
 = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) – ( 1 +2 +3 ++n)
= 
=
Câu b: 
 Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n
1.4 +2.5 +3.6 ++ n(n+3) =
=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+..n(n+1) +2n
=(1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1)) + 2( 1 +2 +3 ++n)
=+
= 
C .kết luận .
	 Bằng cách hệ thống, phân loại và nêu dạng tổng quát từ những ví dụ cụ thể học sinh đã dễ dàng tiếp thu một cách tích cực sáng tạo, gây được sự hứng thú cho học sinh. 
 Với các định hướng trên trong khi giải các bài tập thì trong các buổi luyện tập, ôn tập các vấn đề nêu trên hoặc làm các bài thi tương tự tôi thấy học sinh định dạng và giải các bài tập tốt hơn.
 Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong khi giảng dạy về các bài toán tính tổng nhờ vào biểu thức trung gian.
 Rất mong được sự trao đổi, góp ý của đồng nghiệp.
 Xin chân thành cảm ơn.
 Ngày 23 tháng 4 năm 2008