Sáng kiến kinh nghiệm môn Tiếng Anh - “Số nguyên tố” trong trường trung học cơ sở với đối tượng là học sinh khá và giỏi

Lời nói đầu
	Toán học là một trong những môn học có vị trí quan trọng trong nhà trường. Dạy toán là dạy phương pháp suy luận khoa học. Học toán là rèn luyện khả năng tư duy lôgic, còn giải toán là một phương tiện rất tốt trong việc nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Toán học là một công cụ vĩ đại làm giảm nhẹ công việc trong các lĩnh vực khác nhau. Toán học không phải là sự thông minh sách vở khô khan, nhằm chọc tức những người ít quan tâm cũng không phải là những tính toán ngốc nghếch chỉ đem lại kết quả là thuộc lòng một tóm tắt, công thức. Trong thư của Thủ tướng Phạm Văn Đồng gửi các bạn trẻ yêu Toán viết: “ Trong các môn khoa học kỹ thuật, toán học giữ một vị trí đặc biệt, nó có tác dụng lớn đối với sản xuất và chiến đấu”.
	Trong Toán học, Phân môn Số học là phân môn môn có từ lâu đời nhất và có nhiều sự hấp dẫn. Các bài toán số học đã cuốn hút và làm say mê lòng người: Từ các nhà toán học lỗi lạc của mọi thời đại đến đông đảo các bạn trẻ yêu toán. Thế giới các con số quen thuộc đối với chúng ta trong cuộc sống hàng ngày, nhưng nó cũng là một thế giới hết sức kỳ lạ và đầy bí ẩn. Loài người đã phát hiện trong đó biết bao tính chất, bao quy luật đồng thỡi cũng đau đầu chưa thể chứng minh được một số những dự kiến, dự đoán toán học. Một điều lý thú là có nhiều mệnh đề khó của số học lại được phát biểu rất đơn giản, rất dễ hiểu. Nhiều bài toán số học khó nhưng lại có thể giải quyết sáng tạo với những kiến thức số học rất phổ thông. Trong số học, chúng ta còn có những vấn đề mới đầy bí ẩn đang chờ đón. Chính vì lẽ đó mà các bài toán số học luôn có mặt trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán ở tất cả các cấp học và đối với hầu hết các nước trên thế giới.
	Là một bộ phận của Số học, Số nguyên tố cũng tựu chung đầy đủ các yếu tố trên, làm quen đối với số nguyên tố và yêu thích số nguyên tố, chúng ta càng thấy rõ chân lý: “Toán học là môn thể dục của trí tuệ” . Nó giúp rèn luyện được
tính kiên trì vượt khó, tư duy lôgic và tính sáng tạo.
	Về số nguyên tố trong chương trình học ,giáo viên mới dừng ở mức độ giúp học sinh có được hiểu biết sơ đẳng nhất về số nguyên tố như: định nghĩa số nguyên tố, những tính chất cơ bản của số nguyên tố và các bài tập áp dụng lý thuyết đơn thuần. Vì vậy khi gặp những bài toán về số nguyên tố ở dạng tổng quát và phức tạp, học sinh thường hay lúng túng và bế tắc.
	Là giáo viên, tôi thấy việc giúp đỡ các em học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi tìm hiểu sâu sắc hơn về số nguyên tố là một việc làm rất cần thiết. Với những lý do đó, cùng với sự trăn trở, say mê nghiên cứu, tìm tòi học hỏi, tôi mạnh dạn trình bày một số quan điểm khi giảng dạy chuyên đề “Số nguyên tố” trong trường trung học cơ sở với đối tượng là học sinh khá và giỏi.
	Trong phạm vi chuyên đề này, tôi trình bày những nội dung sau:
	Phần thứ nhất: Một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố. Phần này tôi nhằm hệ thống lại các kiến thức cơ bản về số nguyên tố mà chúng ta sẽ sử dụng giải bài tập.
	Phần thứ hai: Một số bài toán cơ bản về số nguyên tố lớp 6. Các bài tập trong phần này được đưa vào theo các dạng và có trình bày lời giải.
Phần I
Tóm tắt
Một số kiến thức cơ bản
Về số nguyên tố
I/ Định nghĩa
1) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....
2) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước
Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số.
3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số
4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
II/ Một số định lý cơ bản
1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn
Chứng minh:
Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1; p2; p3; ....pn. trong đó pn là số lớn nhất trong các nguyên tố. Xét số N = p1 p2 ...pn +1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố pi (1 [ i [ n) đều dư 1	(1)
Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là pn) do đó N phải có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số pi 
(1 [ i [ n).	(2)
Ta thấy (2) mâu thuẫn (1).
Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố.
2/ Định lý 2:
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).
Chứng minh:
* Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố:
Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 
 1< m < n ta chứng minh điều đó đúng với mọi n.
Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh.
Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n)
Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cả các thừa số nguyên tố.
* Sự phân tích là duy nhất:
Giả sử mọi số m < n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất, ta chứng minh điều đó đúng với n:
Nếu n là số nguyên tố thì ta được điều phải chứng minh.
Nếu n là hợp số: Giả sử có 2 cách phân tích n ra thừa số nguyên tố khác nhau:
n = p.q.r....
n = p’.q’.r’....
Trong đó p, q, r ..... và p’, q’, r’.... là các số nguyên tố và không có số nguyên tố nào cũng có mặt trong cả hai phân tích đó (vì nếu có số thoả mãn điều kiện như trên, ta có thể chia n cho số đó lúc đó thường sẽ nhỏ hơn n, thương này có hai cách phân tích ra thừa số nguyên tố khác nhau, trái với giả thiết của quy nạp).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết p và p’ lần lượt là các số nguyên tố nhỏ nhất trong phân tích thứ nhất và thứ hai.
Vì n là hợp số nên n’ > p2 và n > p’2
Do p = p’ => n > p.p’
Xét m = n - pp’ < n được phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất ta thấy:
p \ n => p \ n – pp’ hay p \ m
p’ \ n => p’ \ n – pp’ hay p’ \ m
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ta có: 
m = n - pp’ = pp’ . P.Q ... với P, Q e P ( P là tập các số nguyên tố) 
pp’ \ n = pp’ \ p.q.r ... => p’ \ q.r ... => p’ là ước nguyên tố của q.r ...
Mà p’ không trùng với một thừa số nào trong q,r ... (điều này trái với gỉa thiết quy nạp là một số nhỏ hơn n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất).
Vậy, điều giả sử không đúng, n không thể là hợp số mà n phải là số nguyên tố (Định lý được chứng minh).
III/ Cách nhận biết một số nguyên tố
Cách 1
Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7...
Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố.
Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố.
Cách 2:
Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố
Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương pháp thứ nhất (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản:
Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số A là một số khôngvượt quá ăA.
Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không.
+ Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số.
+Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố.
Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì học sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không.
Hệ quả:
Nếu có số A > 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến ăA thì A là một nguyên tố.
(Do học sinh lớp 6 chưa học khái niệm căn bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng minh định lý này, chỉ giới thiệu để học sinh tham khảo.).
IV/ Số các ước số và tổng các ước số của 1 số:
Giả sử: A = p1X1 . p2X2 ......pnXn	
Trong đó: pi e P ; xie N ; i = I, n 	 
a) Số các ước số của A tính bằng công thức:
T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)
Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
Thật vậy: 	Ư(30) ={ 1;2;3;5;6;10;15;30}
	Ư(30) có 8 phân tử
ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ước thông qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố.
3100 có (100 + 1) = 101 ước
1000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước
	ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa.
	b) Tổng các ước một số của A tính bằng công thức:
	 p1X1 + 1 - 1	p2X2 + 1 	 - 1	pnXn + 1 - 1
	(A) = p1 - 1	 p2 - 1	 pn - 1 
	V/ Hai số nguyên tố cùng nhau:
	1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
	a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1	a,b e N
	2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
	3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
	4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) = 1
	5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
	 a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1
	VI/ Một số định lý đặc biệt
	1) Định lý Đirichlet
	Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
	p = ax + b 	(x ẻ N, a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau).
 	Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt.
	Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5.....
	2) Định lý Tchebycheff
	Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n ỏ 2).
	3) Định lý Vinogradow
	Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố.
	Các định lý 2 và định lý 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng để giải một số bài tập. 
Phần II
Một số bài toán cơ bản
Về số nguyên tố lớp 6
Dạng 1:
Có bao nhiêu số nguyên tố dạng ax + b (với x ẻN và (a,b) = 1)
Bài tập số 1:
Chứng minh rằng: có vô số số nguyên tố có dạng: 3x – 1 (xỏ1)
Giải:
Giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinh để học sinh tự rút ra nhận xét:
Mọi số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng: 3x; 3x + 1; hoặc 3x - 1
+) Những số có dạng 3x (với x>1) là hợp số
+) Xét 2 số có dạng 3x + 1: đó là số (3m + 1) và số (3n + 1)
Xét tích (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 = 3x + 1
Tích trên có dạng: 3x + 1
+) Lấy một số nguyên tố p có dạng 3x – 1 (với p bất kỳ e p) ta lập tích của p với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p rồi trừ đi ta có:
M = 2.3.5.7....p – 1 = 3(2.5.7....p) – 1 
M có dạng: 3x – 1
Có 2 khả năng xảy ra:
* Khả năng 1: M là số nguyên tố, đó là số nguyên tố có dạng (3x – 1) > p, bài toán được chứng minh.
* Khả năng 2: M là hợp số: Ta chia M cho 2, 3, 5,....,p đều tồn tại một số dư khác 0 nên các ước nguyên tố của M đều lớn hơn p, trong các ước này không có số nào có dạng 3x + 1 (đã chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên tố của M phải có dạng 3x (hợp số) hoặc 3x + 1....
Vì nếu tất ... ạng 3k – 1
* Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) M 3
* Nếu p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 = 3(k + 3) M 3
Vậy nếu p ạ 3 thì hoặc p + 10 hoặc p + 14 là hợp số. 
=> không thỏa mãn bài ra
Do đó: giá trị duy nhất cần tìm là p = 3
Bài tập số 2:
Tìm số nguyên tố p để p + 2; p + 6; p + 18 	đều là số nguyên tố.
Giải:
Bằng cách giải tương tự bài tập số 1, học sinh dễ dàng tìm được p = 5 thoả mãn bài ra. Xong không chứng minh được p = 5 là giá trị duy nhất vì dễ dàng thấy p = 11 cũng thoả mãn bài ra.
Vậy với bài tập này, học sinh chỉ cần chỉ ra một vài giá trị của p thoả mãn là đủ.
Bài tập số 3:
Tìm k để trong 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3;....k +10 có nhiều số nguyên tố nhất.
Giải:
Giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có 5 số chẵn và 5 số lẻ (trong 5 số chẵn, có nhiều nhất là 1 số nguyên tố chẵn là 2). 
Vậy: trong 10 số đó có không quá 6 số nguyên tố
+) Nếu k = 0, từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7
+) Nếu k = 1 từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11
+) Nếu k > 1 từ 3 trở đi không có số chẵn nào là số nguyên tố. Trong 5 số lẻ liên tiếp, ít nhất có 1 số là bội số của 3 do đó, dãy sẽ có ít hơn 5 số nguyên tố.
Vậy với k = 1, dãy tương ứng: k + 1; k + 2, ..... k + 10 có chứa nhiều số nguyên tố nhất (5 số nguyên tố).
Bài tập số 4:
Tìm tất cả các số nguyên tố p để: 2p + p2 cũng là số nguyên tố
Giải:
Xét hai trường hợp:
+) 	p Ê 3 p = 2 hoặc p = 3
* Nếu p = 2 => 2p + p2 = 22 + 22 = 8 ẽP
* Nếu p = 3 => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 ẻP
	+) 	p > 3 ta có 2p + p2=(p2 – 1) + (2p + 1)
	vì p lẻ =>	(2p + 1) M 3
	và p2 – 1 = (p + 1)(p – 1) M 3 => 2p + p2 ẽP 
	Vậy: Có duy nhất 1 giá trị p = 3 thoả mãn bài ra.
	Bài tập số 6:
	Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho:
	p | 2p + 1
	Giải:
	Vì p eP 	,p | 2p + 1 => p ạ 2
	Ta thấy: 2/p vì p ạ 2
	Theo định lý Fermatm ta có: p | 2p-1 – 1
Mà p | 2p + 1 (giả thiết) 	=> p | 2.2p-1 – 2 + 3
	=> p | 2(2p-1 – 1) + 3
	=> p | 3 [vì p | 2(2p-1 – 1)]
Vì p ẻP 	p | 3 => p = 3
Vậy: p = 3 là số nguyên tố thoả mãn tính chất p | 2p + 1
Tóm lại:
Các bài toán thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn các điều kiện cho trước là loại toán không khó trong các loại bài toán về số nguyên tố. Qua loại toán này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số nguyên tố. Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất của tập số nguyên tố.
Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = 1. Rèn kỹ năng xét các trường hợp có thể xảy ra, phương pháp loại trừ các trường hợp dẫn đến điều vô lý.
Qua dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, tư duy sáng tạo, tính tích cực chủ động khi làm bài.
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p+q ;pq +11 cũng là các số nguyên tố.
Bài 2 : Tìm n thuộc N để với p là số nguyên tố thì
pn là số nguyên tố
pn +p là số nguyên tố
Bài 3: Tìm các số nguyên tố a,b,c biết:
abc < ab+ bc + ca
Bài 4 : Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c, biết
 a(a+1) + b( b+1) = c(c+1)
Bài 5 :a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của p để tích của p số tự nhiên đầu tiênbắt đầu từ 1 , cộng thêm 1 không phải là số nguyên tố.
 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên tố p để tích của các số nguyên tố từ 2 đến p , cộng thêm 1 không phải là số nguyên tố.
Bài 6 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số 
Bài 7 : Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q ,r sao cho p2, q2,r2 cũng là số nguyên tố.
Bài 8 : Tìm số nguyên tố p sao cho
a/2p+1 là lập phương của một số tự nhiên
b/13p +1 làlập phương của một số tự nhiên
Bài 9 : Tìm tất cả các giá trị số nhuyên tố p thoả mãn
P+6,p+8 ,p+12,p+14 đều là các số nguyên tố
Dạng 4
Nhận biết số nguyên tố
Sự phân bố số nguyên tố trong n
Bài tập số 1:
Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số ?
Giải:
+) Nếu p = 2 => 8p +1 = 17 ẻP , 8p – 1 = 15 ẽP
+) Nếu p = 3 => 8p – 1 = 23 ẻP , 8p – 1 = 25 ẽP
+) Nếu p khác 3, xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 8p – 1; 8p và 8p + 1. Trong 3 số này ắt có 1 số chia hết cho 3. Nên một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 chia hết cho 3.
Kết luận: Nếu p ẻP và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p – 1 ẻP thì số còn lại phải là hợp số.
Bài tập số 2:
Nếu p ỏ 5 và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số 
Giải:
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 4p; 4p + 1; 4p + 2
Trong 3 số ắt có một số là bội của 3
Mà p ỏ 5, p ẻP nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+) Nếu p = 3k + 1 thì 4p = 4(3k + 1) 3Q + 1 = p
và 4p + 2 = 4(3k + 1) + 2 p = 3.Q M 3
Mặt khác: 4p + 2 = 2(2p +1) = 3Q nên 3Q M 3
=> 2(2p + 1) M 3;	(2;3) = 1 nên (2p + 1) M 3 (trái với giả thiết)
+) Nếu p có dạng 3k + 2
Khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 = 3M : 3
=> 4p + 1 là hợp số
Vậy trong 3 số ắt có một số là bội của 3.
Bài tập số 3:
Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ?
Giải:
Chọn dãy số:
a1 = 1998! + 2	a1 M 2
a2 = 1998! + 3	a2 M 3
a3 = 1998! + 4 	a3 M 4
....................	...........
a1997 = 1998! + 1998	a1997 M 1998
Như vậy: Dãy số a1; a2; a3; ..... a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.
Bài tập số 4: (Tổng quát bài số 3)
Chứng minh rằng có thể tìm được 1 dãy số gồm n số tự nhiên liên tiếp (nỏ1) không có số nào là số nguyên tố ?
Giải:
Ta chọn dãy số sau:
a1 = (n+1)! + 2	a1:2	a1>2 nên a1 là hợp số
a2 = (n+1)! + 3	a2:3	a2>3 nên a2 là hợp số
.......................	.......................
an = (n+1)! + (n+1)	an:(n+1)	an > (n+1) nên an là hợp số
Dãy a1; a2; a3; .....an ở trên sẽ gồm có n số tự nhiên liên tiếp trong đó không có số nào là số nguyên tố cả.
Tóm lại:
Qua các bài toán dạng: Nhận biết số nguyên tố, sự phân biệt số nguyên tố trong N, giáo viên cần giúp cho học sinh hướng suy nghĩ để chứng minh hoặc xem xét 1 số có phải là số nguyên tố hay không? Thông qua việc phân tích và xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết và các định lý, hệ quả đã học để loại bỏ các trường hợp mâu thuẫn. Bài tập số 3 là bài tập tổng quát về sự phân bố số nguyên tố trong N. Qua đó giáo viên cho học sinh thấy được sự phân bố số nguyên tố “càng về sau càng rời rạc”. Từ bài toán này có thể phát triển thành bài toán khác giúp học sinh rèn luyện kỹ xảo chứng minh.
Bài tập đề nghị:
Bài 1 : Tìm hai số tự nhiên liên tiếp đồng thời là số nguyên tố
Bài 2 : Nếu p và 8p2+1 là các số nguyên tố thì 8p2-1 và 8p2+2p+1 là các số nguyên tố hay hợp số.
Bài 3 : Hai số 2n+1 và 2n-1 (n>2)có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số được không?
Bài 4 : Cho m và m2 + 2 là hai số nguyên tố. Chứng minh rằng m3 +2 cũng là số nguyên tố
Bài 5 : Tìm các số tự nhiên n để n1988 + n1987 +1 là số nguyên tố
Dạng 5
Các bài toán
Liên quan đến số nguyên tố
Bài tập số 1:
Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
Giải:
Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có:
a.b.c = 5(a+b+c) => abcM5
Vì a, b, c có vai trò bình đẳng
Giả sử: 	aM5, vì a ẻ P => a = 5
Khi đó: 	5bc = 5(5+b+c) 	 5+b+c = bc bc-b-c +1 = 6
 b(c-1) – (c-1) = 6
(c-1)(b-1) = 6
Do vậy: 	b-1 = 1	=>	b = 2
	Và	c-1 = 6	và	c = 7	
	b-1 = 2	=>	b = 3 	(loại vì c = 4 ẽP )
và 	c-1 = 3	và	c = 4
	Vai trò a, b, c, bình đẳng
Vậy bộ số (a,b,c) cần tìm là (2.5.7)
Bài tập số 2:
Tìm p, q ẻP sao cho p2 = 8q + 1
Giải:
Ta có: p2 = 8q + 1 => 8q=p2 – 1 8q = (p+1)(p-1)	(1)
Do 8q + 1 lẻ => p2 lẻ
Đặt p = 2k + 1	(2)
Thay (2) vào (1) ta có:	8q = 2k(2k + 2)
2q = k(k + 1)	(3)
Nếu q = 2 => 4 = k(k+1) => không tìm được k
Vậy q ạ 2, vì q ẻ P , q ạ 2 => (2,q) = 1
Từ (3) ta có:	k = 2	và	 q = k + 1 => k = 2 và q = 3
Thay kết quả trên vào (2) ta có:
p = 2.2 + 1 = 5
Hoặc
q = k và 2 = k + 1	
 ị q = 1, k = 1 ( không thoả mãn )
 Vậy cặp số q,p là (5,3) là cặp số cần tìm.
Tóm lại:
Ngoài các dạng bài tập cơ bản về số nguyên tố. Phần số nguyên tố còn có nhiều bài tập ở các dạng khác mà khi giải chúng học sinh cần phải vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết và vẫn phải lần lượt xét các khả năng có thể xẩy ra. Khi giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh giải quyết theo từng dạng bài để củng cố và khắc sâu kỹ năng giải từng loại bài.
Bài tập đề nghị:
Bài 1 : Tìm 1 số A gồm có các thừa số 2,5,7, biết rằng 5A có hơn A là 8 đơn vị và 8A có hơn A là 18 ước số.
 Bài 2 : Tìm số nhỏ nhất có 9 ước số, có 15 ước số.
 Bài 3 : Tìm số a biết a có 2 ước nguyên tố khác nhau , có 6 ước và tổng các ước số bằng 28.
 Bài 4 : Cho a =	 với nẻN*
 Bài 5 : Cho a+b=p, pẻ P .Chứng minh rằng (a,b)=1.
Bài 6 : Cho p là số nguyên tố, chứng minh rằmg tồn tại một số viết chỉ bằng chữ số 1 chia hết cho p (p>5, pẻ P ).
Lời Kết
Thông qua đề tài này, chúng ta có thể khẳng định rằng: Toán học có mặt trong mọi công việc, mọi lĩnh vực của cuộc sống quanh ta, nó không thể tách rời và lãng quên được, nên chúng ta phải hiểu biết và nắm bắt được nó một cách tự giác và hiệu quả.
Trong chương trình toán học cơ sở, với đối tượng học sinh còn nhỏ, khả năng tư duy còn nhiều hạn chế nên tôi chỉ chọn những bài tập mang tính chất hệ thống không khó lắm.
Mục đích của đề tài này là trang bị những kiến thức cơ bản có đào sâu có nâng cao và rèn luyện tư duy toán học cho học sinh, tạo ra nền tảng tin cậy để các em có vốn kiến thức nhất định làm hành trang cho những năm học tiếp theo.
Với điều kiện có nhiều hạn chế về thời gian, về năng lực trình độ nên trong khuôn khổ đề tài này phân chia dạng toán, loại toán chỉ có tính tương đối. Đồng thời cũng mới chỉ đưa ra lời giải chứ chưa có phương pháp, thuật làm rõ ràng.
Tuy đã có cố gắng nhiều nhưng tôi tự thấy trong đề tài này còn nhiều hạn chế. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo cùng bạn đọc để toán học thật sự có ý nghĩa cao đẹp như câu ngạn ngữ Pháp đã viết: “Toán học là Vua của các khoa học” và “Số học là Nữ hoàng”.
Xin chân thành cảm ơn !
Người thực hiện
Mục lục
Lời nói đầu	
Trang 1
Phần I: Tóm tắt một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố
Trang 4
Phần II: Một số bài toán cơ bản về số
nguyên tố lớp 6
Trang 9
Dạng 1
Trang 9
Dạng 2
Trang 12
Dạng 3
Trang 14
Dạng 4
Trang 17
Dạng 5
Trang 20
Phòng giáo dục & đào tạo huyện kim thành
Trường trung học cơ sở cổ dũng 
Chuyên đề
số nguyên tố
trong chương trình số học bậc thcs
(Dành cho học sinh khá, giỏi)
Người viết : Nguyễn Xuân Hiếu
 Tổ : Tự nhiên
Năm học 2004 - 2005