Kế hoạch Báo cáo Chuyên đề "Sử dụng định lý Vi-Ét để giải một số bài toán về hàm số y=ax( a 0)" - Trần Thành Vinh

Trường THCS Sơn Hải
Tổ : KHTN
kế hoạch báo cáo chuyên đề 
“sử dụng định lý vi-ét để giải một số bài toán về hàm số y= ax2 (a 0 )”
***************************
Người thực hiện: trần thành vinh
Đơn vị : tổ khtn – Trường thcs sơn hải
I. Lý do chọn đề tài chuyên đề: 
Qua thực tiễn giảng dạy chương trình toán 9 – THCS , khi dạy phần đồ thị hàm số có một số bài tập có liên quan đến giao điểm của đường thẳng (d): y = ax+b và parabol (P) : y =ax2 ( a 0 ). Nếu khéo léo sử dụng hệ thức Vi-ét thì bài giải sẽ đơn giản hơn. Trong quá trình giảng dạy, kết hợp với nghiên cứu các tài liệu tham khảo , bản thân tôi đã sưu tầm và tổng hợp các ví dụ cơ bản sau đây.
II. Các ví dụ cơ bản:
VD1: cho parabol (P): : y =x2 và đường thẳng(d) : y = 2mx- m+1( m0 ) Tìm m sao cho(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B có hoành độ x1, x2 thỏa mãn =2
Giải: PTrình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 
x2 = 2mx- m+1 x2 - 2mx + m – 1 = 0 (*)
Ta có : | = ( m - )2 + > 0, m 
Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 , hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B . Theo hệ thức Vi-ét , ta có :
x1 + x2 = 2m , x1 x2 = m – 1.
 =2 ( x1 + x2 )2 – 4 x1 x2 = 4 4m2 – 4(m-1) = 4 
 m = 1 ( do m0)
VD2: cho parabol (P): : y =ax2 (a > 0) và đường thẳng(d) : y = 2x- y- a2 
Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B
Gọi xA, xB là hoành độ của hai điểm A,B . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 T = 
Giải: a) PTrình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 
ax2 = 2x- a2 ax2 - 2x + a2 = 0 (1)
Điều kiện cần và đủ để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B là pt (1) có hai nghiệm phân biệt xA, xB | = 1 – a3 > 0 0 0) .
áp dụng hệ thức Vi- ét cho pt (1) ta có : 
 xA+ xB = ; xA. xB = a 
Thay vào T , ta được: T = = 2a + 
áp dụng BĐT Cô- Si cho 2 số dương 2a và , ta có : T 2 = 2
Đẳng thức xảy ra khi 2a = a = . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 đạt được khi a = 
VD3: Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm I ( 0;1)và cắt parabol ( P) : y = x2 tại 2 điểm phân biệt M ,M sao cho độ dài đoạn thẳng MN = 2
Giải: vì đường thẳng x = 0 đi qua điểm I ( 0;1) tiếp xúc với parabol ( P) : y = x2 tại điểm O ( 0;0) nên pt các đường thẳng thỏa mãn đề bài là : 
d = ax + 1 . Pt hoành độ giao điểm giữa (d) và (P) là x2 – ax – 1 = 0 (*).
Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi(*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 = a2 +4 > 0( luôn đúng) . Khi đó tọa độ các giao điểm là M( x1 ; x22 ) , N ( x2; x22) .
Ta có : MN = 2 
[ ( x1 + x2)2 – 4x1x2 ] [ 1 + ( x1 + x2)2 ] = 40 (1)
áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (*) , ta được: x1 + x2 = a ; x1x2 = - 1
Thay vào (1) ta được: ( a2 + 4 )(1+a2) = 40 a4 +5a2 - 36 =0 a =2
Vậy pt các đường thẳng cần lập là : y=2x+1 và y=-2x+1
VD4:Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) : y=-; điểm I(0;-2)và điểm M(m;0) ( với m là tham số, m0) . Viết pt đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, I . Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B với độ dài đoạn thẳng AB > 4.
Giải: Pt đường thẳng (d) đi qua hai điểm I(0;-2)và M(m;0) là :
y = . Pt hoành độ giao điểm giữa (d) và (P) là: - = 
mx2 +4x – 4m = 0 (*) 
Có | = 4 + 4m2 > 0 ( ) . Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A , B . Khi đó tọa độ các giao điểm A, B là A(x1; -) ; B ( x2; - ) . Từ đó:
AB2=( x2 – x1 )2 +=[( x1 + x2)2- 4x1x2 ][1+] (1) 
áp dụng hệ thức Vi- ét cho pt (*) , ta có : x1 + x2 = - ; x1x2 = - 4 
Thay vào (1) ta được: AB2 =[( -) – 4.(- 4 ) ] [ 1 + ] 
 = ( + 16 ) ( 1 + ) > 16 ( ) 
Suy ra: AB > 4 (đpcm)
VD5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) : y = -. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm I (0;-2) và có hệ số góc k 
Viết pt đường thẳng (d) . Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi k thay đổi . .
Gọi H , K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,B lên trục hoành . Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I.
Giải: a) Pt đường thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua điểm I (0;-2) là : y =kx – 2 
Pt hoành độ giao điểm giữa (d) và (P) là:-= kx - 2x2+2kx- 4 = 0 (*)
Có | =k2 +4 > 0 () . Vậy pt (*)luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A , B .
Theo hệ thức Vi- ét , ta có : x1x2 = - 4 . Giả sử tọa độ các điểm A,B là: A(x1; y1) , B(x2;y2). Vì H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,B lên trục hoành nên tọa độ các điểm H, K là H(x1; 0) , K(x2;0).
Do đó IH2 = x12+4 ; IK2 = x22+4 ; HK2 = (x1 – x2)2 . Suy ra :
IH2 + IK2 = x12+ x22 +8 = x12+ x22 - 2 x1x2 = (x1 – x2)2 = HK2 , chứng tỏ tam giác IKH vuông tại I (Theo định lý Pytago đảo).
III. Bài tập tự luyện: 
Cho parabol (P) : y =3x2 và đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 (m0) . Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn =5
Cho parabol (P) : y =x2 đường thẳng (d) : y = mx + 4 ( m là tham số).
Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi giá trị của m.
Tìm các giá trị của m để đoạn thẳng AB có độ dài ngắn nhất.
Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm I ( 0;- 4) và cắt parabol ( P) : y = x2 tại 2 điểm phân biệt M ,M sao cho độ dài đoạn thẳng MN = 3 .
Cho parabol (P) : y =x2 đường thẳng (d) : y = 2x + m ( m là tham số).
Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B .
Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB theo tham số m.
IV. thời gian thực hiện chuyên đề:
1/ Báo cáo chuyên đề trước tổ: 
Trong khoảng tháng 11/2011 đến tháng 12/2011
2/ Tổ chức dạy cho HS : Thời gian sau khi đã dạy xong nội dung về hàm số y= a( a0)
V. các tài liệu và thiết bị cho báo cáo chuyên đề:
 - Bảng nhóm, bảng phụ, phấn màu, bút dạ
 - SGK, SBT toán 9 và các tài liệu chuyên môn khác về phân môn Đại số 9.
 Sơn Hải , 15/9/2011
 GV:
 Trần Thành Vinh