Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề nâng cao

 Chủ đề tự chọn
 Môn toán lớp 6
chuyên đề nâng cao
Chủ đề 1: Dãy số tự nhiên viết theo quy luật
A. Kiến thức cơ bản.
- Nắm được khái niệm thế nào là dãy số viết theo quy luật ( các phần tử của dãy có mối liên hệ nào đó với nhau )
- Biết nhận dạng dãy số viết theo quy luật và phân tích để tìm ra quy luật đó 
B. dãy số viết theo quy luật thường gặp 
	I/ Dãy cộng.
	1. Định nghĩa: Dãy cộng là dãy mà mỗi phần tử kể từ phần tử thứ 2 đều lớn hơn phần tử liền trước đó cùng một số đơn vị.
a2 – a1 = a3 – a2 = a4 - a3 == an- an - 1
TQ: Dãy a1, a2, a3, a4,  an-1, an 
 l.à dãy cộng	 
	2. Ví dụ: Dãy số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4
	 Dãy các số chia 7 có cùng số dư là 3 : 3, 10, 17, 24, 31
	3. Các loại bài tập về dãy cộng:
VD: Xét dãy cộng: a1, a2, a3, a4,  an-1, an 
a) Tìm phần tử thứ n trong dãy:
 an = a1 + (n - 1) d
b) Tính tổng của dãy
 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 ++ an-1 + an = 
c) Số các số hạng của dãy: 
 n = +1 (Trong đó d là khoảng cách giữa hai phần tử liên tiếp)
Bài tập áp dụng: 
Cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13, (1)
	a./ Tìm phần tử thứ 102 của dãy?
	b./ Nếu viết dãy trên liên tiếp thành một số thì chữ số thứ 302 của số tạo thành là số mấy?
Giải:
	a./ Phần tử thứ 102 của dãy là a102 =1 + (102 - 1). 3 = 304
	b./ Phân tích: Dãy số trên khi viết liền thành 1 số được chia thành các dãy sau
 - Dãy các số có 1 chữ số chia 3 dư 1 là: 1, 4, 7 gồm 3 chữ số
 - Dãy các số có 2 chữ số chia 3 dư 1 là 10, 13, , 97 gồm số nên có 30 . 2 = 60 chữ số
- Để viết tiếp dãy trên đến chữ số thứ 102 ta phải dùng các số có 3 chữ số kể từ 100 đảm bảo chia 3 dư 1. Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số nữa hay 79 số có 3 chữ số kể từ 100 và 2 chữ số nữa của số thứ 80 (là 2 chữ số đầu trong trong số thứ 80 của dãy 100, 103, 106, ... ). Mà số thứ 80 của dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337
 Vậy chữ số thứ 302 của số tạo bởi dãy (1) là 3 ( hàng chục trong số 337)
 147101317334337340
 Chữ số thứ 302
Chú ý: Trong phần b./ khi chữ số thứ n phải tìm là số quá lớn ta tiếp tục phân tích thành dãy các số có 3, có 4  chữ số và tiếp tục làm tương tự
II/ Mở rộng 
1. VD: Cho các dãy sau:
 1, 3, 6, 10, 15	(1)
 2, 5, 10, 17, 26 	(2)
Tìm phần tử thứ 108 của các dãy trên?
Giải: 
- Dãy (1) chưa là dãy cộng nhưng có thể viết lại thành dãy sau:
Xét dãy các thừa số thứ nhất trong các tử số:
 1, 2, 3, 4, 	(1)’
đây là dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 của dãy (1)’ là 108. Từ đó suy ra phần tử thứ 108 của dãy (1) là 
- Dãy (2) viết thành dãy : 12 + 1, 22 +1, 32 + 1, 42+ 1, 52 +1 
Tương tự ta tính được phần tử thứ 108 của dãy (2) là 1082 + 1 = 11665
2. Dãy Fibonaci:
Dãy số Fibonaci là dãy bắt đầu bằng hai phần tử là 1, 1 và kể từ phần tử thứ 3 của dãy mỗi phần tử là tổng của hai phần tử liền trước phần tử đó
 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
Dãy số Fibonaci có nhiều tính chất thú vị ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếp theo
C. Các bài tập 
Bài 1: Cho các dãy sau: 
1, 3, 5, 7, 9	(1)
1, 10, 19, 28, 37, .	(2)
1, 3, 6, 10, 15,.	(3)
1, 7, 17, 31, 49, .	(4) 
1, 5, 11, 19, 29, .	(5)
a) Tìm phần tử thứ 123 của các dãy trên:
b) Giả sử dãy (1 ) có 500 phần tử, dãy (2) có 200 phần tử. Tìm dãy các phần tử giống nhau của hai dãy?
2008 số 2
Bài 2: Cho dãy : 2, 22, 222, 2222, , 22222
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 6, chia hết cho 13 trong dãy?
Bài 3: Cho các số a1, a2, a3, ., a2008. Biết rằng: 
Với mọi k = 1, 2, 3, ., 2008
Tính tổng a1 + a2 + a3 + . + a2008.
Bài 4: Cho S1 = 1+2
S2 = 3 + 4 + 5
S3 = 6 + 7 + 8 + 9
S4 = 10 + 11 + 12 + 13 +14
.
Tính S100 
Bài 5: Chia dãy số tự nhiên kể từ 1 thành từng nhóm (các số cùng nhóm được đặt trong ngoặc)
(1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), . 
a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100
b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 100 
Bài 6: Cho A = 1 + 7 + 72 + 73 + .+ 7200 và B = 7201 
Chứng minh rằng: A < 
D. Hướng dẫn giải
Bài 2: 
Nhận xét: Ta có 222 6 vì vậy các số trong dãy muốn chia hết cho 6 thì số các chữ số 2 của nó phải chia hết cho 3. Vậy ta lập dãy 3, 6, 9,  2007(là dãy thể hiện số các chữ số 2 trong dãy trên). Dãy này có số phần tử là 
2008 số 2
Do đó trong dãy 2, 22, 222, 2222, , 22222 có 669 số chia hết cho 6
Bài 3: 
Ta có: 
Do đó:
a1 + a2 + a3 + . + a2008
E. tài liệu tham khảo
1. Vũ Hữu Bình_Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002
2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 
 Chủ đề tự chọn
 Môn toán lớp 6
chuyên đề nâng cao
Chủ đề 2: chữ số tận cùng của một luỹ thừa
 đồng dư _ So sánh hai luỹ thừa
A. Kiến thức cơ bản.
- Nắm được cách tìm số tận cùng của một luỹ thừa với cơ số là số tự nhiên bất kỳ
- Hiểu thế nào là đồng dư, vận dụng tốt kiến thức của đồng dư thức vào làm các bài tập về tìm chữ số tận cùng hoặc chứng minh chia hết 
- Nắm được các phương pháp cơ bản dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên. Vận dụng tốt kiến thức để làm bài tập
B. Phương pháp tìm số tận cùng của một luỹ thừa 
 1. Chú ý: 
a./ Các số có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) thì đều có tận cùng là 0, 1, 5, 6 
b./ Các số có tận cùng 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 6
c./ Các số có tận cùng 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 1
d./ Số a và a4n+1 có chữ số tận cùng giống nhau ()
CM: d./ Dùng phương pháp quy nạp:
 Xét bài toán: CMR a4n+1 – a 10 ()
Với n = 1 ta dễ dàng chứng minh a5 – a 10
Giả sử bài toán đúng với n = k (a4k+1 – a 10 ())
Ta CM bài toán đúng với n = k + 1 a 4(k+1) +1 - a 10
Ta có: a 4(k+1) +1 – a = a4 . a4k+1 – a a4. a4k+1 – a5 (Vì a5 và a có cùng chữ số 
tận cùng). 
Mà a4. a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a) 10 a 4(k+1) +1 – a 10 Đpcm.
2./ Phương pháp
Để giải bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa ta tìm cách đưa cơ số của luỹ thừa về dạng đặc biệt hoặc đưa số mũ về dạng đặc biệt đã biết cách tính theo phần chú ý trên
VD1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 ; 5151 ; 21000 ; 
Giải: 
- Tận cùng của 6195 là 6
- Tận cùng của 5151 là 1
- Ta có 21000 = 23. 24 . 249 +1 mà 23 có tận cùng là 8 và 24 . 249 +1 có tận cùng là 2 
 ( Hoặc ) nên 21000 có tận cùng là 6 
- Ta có : = = 99. (.1) 49 có tận cùng là 9 nên = (..9)108 = [(..9)2]54 có tận cùng là 1
3./ Mở rộng 
3.1/ Đồng dư:
a/ Khái niệm: Trong chú ý d./ ở phần 1 ta có thể nói a đồng dư với a4n+1 theo modun 10 (là hai số có cùng số dư khi chia cho 10)
Tổng quát : Số tự nhiên a đồng dư với số tự nhiên b theo modun m (m 0) nếu a và b chia cho m có cùng một số dư. 
Ký hiệu với a, b, m N và m 0	(1)
Khi đó nếu a m ta có thể viết a 0 (mod m )
Hệ thức (1 ) được gọi là một đồng dư thức 
b/ Một số tính chất cơ bản của đồng dư thức
 Nếu và thì:
	1. và 
	2. 
3. 
Các tính chất này có thể được áp dụng cho nhiều đồng dư thức cùng modun
c/ Ví dụ: 
VD1. Tìm số dư của 3100 cho 13.
 Tìm số dư trong phép chia trên nghĩa là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13 và đồng dư với 3100 theo modun 13
Ta có 
Vì 33 = 27 = 13. 2 +1, nên 33 1(mod 13) do đó (33)33 133 (mod 13) 
 3. 399 3 . 1 (mod 13)
 hay 399 1(mod 13)
 và 3 3 (mod 13)	
nên 3100 3 (mod 13). Vậy 3100 chia cho 13 có số dư là 3
VD 2 .Chứng minh rằng 22008 – 8 chia hết cho 31
Để chứng minh 22008 – 8 chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 – 8 0 (mod 31)
Ta có : 22008 = 23. 22005 = 23. (25)401 mà 25 =32 1 (mod 31) 
nên ta có (25)401 1401(mod 31) 23. 22005 23 . 1(mod 31)
 22008 - 8 8 - 8 (mod 31)
 22008 8(mod 31)
 Mặt khác 8 8(mod 31)	
 Nên 22008 - 8 0 (mod 31). Vậy 22008 – 8 chia hết cho 31	Đpcm.
VD 3: CM rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133
Ta cú: 122n+1 =12.122n = 12 .144n
Vỡ 14411(mod133) nờn 144n 11n (mod 133)
suy ra 12 .144n 12 .11n (mod 133)	(1)
Mặt khỏc: 11n+2 = 121. 11n
 Mà 121 - 12 (mod 133) nờn 121. 11n - 12 . 11n (mod 133) 	(2)
Cộng vế (1) và (2) ta được 122n+1 + 11n+2 0 (mod 133)
Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133	Đpcm
VD 4: CM 
Ta cú 58 = 254 mà 25 1(mod 24) nờn 254 1(mod 24) 
cũn 23 23(mod 24)
Suy ra Vậy 	 Đpcm
3.2/ So sánh hai luỹ thừa
a/ Phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta dùng các tính chất sau:
- Trong hai luỹ thừa cùng cơ số luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn
- Trong hai luỹ thừa cùng số mũ luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn
- Dùng luỹ thừa trung gian 
b/ Ví dụ: So sánh
	1. 10200 và 99100	 	2. 648 và 1612	
	3. 6100 và 3170	
Giải: Xét VD 3: 
Ta có:
6100= 2100.3100 và 3170= 370.3100
 Để so sánh 6100 và 3170 ta chỉ cần so sánh 2100 và 370. 
Vì 23 < 32 nên (23)34 < (32)34 
hay 2102 < 368 mà 2100 < 2102 < 368 < 370
 2100 < 370
Vậy 6100 < 3170 
C. Các bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
a) 714n – 1 chia hết cho 5 
b) 124n + 1 + 34n +1 chia hết cho 5
c) 92001n + 1 chia hết cho 10
d) n2 +n + 12 5
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của 
a) 2008 2009	b)19216	 c) (123412)34	d) (195)1979
e) 	f) (3333)33	g) 357 735	h) (144)68
Bài 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + . + 220
 B = 31 + 32 + 33 + . + 3300
 a) Tìm chữ số tận cùng của A
b) Chứng minh rằng B chia hết cho 2
b) Chứng minh rằng B – A chia hết cho 5
Bài 4: Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) 3100 : 7	b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 d) (15325 – 1) : 9
Bài 5: Chứng minh rằng:
a) 301293 – 1 9	b) 2093n – 803n – 464n – 261n 271 
c) 62n + 3n+2 3n 11	d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 19 (với nN)
Bài 6: Ngày 1 tháng 1 năm 2010 bạn Nam sẽ kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 của mình. Biết rằng ngày 1 tháng 1 năm 2008 là ngày thứ 3
a) Hãy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày mấy
b) Bạn Nam sẽ tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy?
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 9 thỡ ớt nhất một trong cỏc hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9 
Bài 8: So sánh các số sau:
a) 3281 và 3190
b) 11022009 – 11022008 và 11022008 - 11022007 
c) A = (20082007 + 20072007)2008 và B = (20082008 + 20072008)2007
D. Hướng dẫn giải
Bài 7: Nhận xột: Khi chia số nguyờn tuỳ ý n cho 9 thỡ số dư nhận được sẽ là một trong cỏc số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bởi vậy
Nếu n 0 (mod 9) thỡ n2 0 (mod 9) 
Nếu n 1 (mod 9) thỡ n2 1 (mod 9)
Nếu n 2 (mod 9) thỡ n2 4 (mod 9)
Nếu n 3 (mod 9) thỡ n2 0 (mod 9)
Nếu n 4 (mod 9) thỡ n2 7 (mod 9)
Nếu n 5 (mod 9) thỡ n2 7 (mod 9)
Nếu n 6 (mod 9) thỡ n2 0 (mod 9)
Nếu n 7 (mod 9) thỡ n2 4 (mod 9)
Nếu n 8 (mod 9) thỡ n2 1 (mod 9)
Vậy dự với số nguyờn n nào đi chăng nữa thỡ số n2 chia cho 9 cũng cú số dư là một trong cỏc số 0, 1, 4, 7.
Gọi số dư khi chia a2, b2, c2 cho 9 lần lượt là r1, r2, r3
Ta cú: a2 + b2 + c2 r1 + r2 + r3 0 (mod 9) ( Vỡ a2 + b2 + c2 chia hết cho 9) 
Như vậy r1, r2, r3 chỉ cú thể nhận cỏc giỏ trị 0, 1, 4, 7 nờn r1 + r2 + r3 chỉ cú thể chia hết cho 9  ...  Tìm số nguyên tố p sao cho cả p + 4 và p + 8 đều là các số nguyên tố
Bài 7: Cho p, q , r là ba số nguyên tố lớn hơn 3
Chứng minh rằng: p2 + q2 + r2 là hợp số.
e. Hướng dẫn giải
Bài 7: CM “ Bình phương của một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 3 có số dư là 1.”
f. tài liệu tham khảo
1. Vũ Hữu Bình_Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002
2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 
3. Võ Đại Mau _ Toán nâng cao và phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 _ NXB Trẻ năm 2006. 	
 CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN
 MễN TOÁN LỚP 6
CHUYấN ĐỀ NÂNG CAO
Chủ đề 4 : SO SÁNH HAI PHÂN SỐ
KIẾN THỨC CƠ BẢN.
- Nắm được cỏc phương phỏp cơ bản để so sỏnh hai phõn số, hiểu cỏc thuật ngữ toỏn học như phần bự của 1, phần thừa của 1...
- Biết nhận dạng cỏc dạng bài tập từ đú cú định hướng đỳng để sử dụng cỏc phương phỏp so sỏnh hai phõn số một cỏch thớch hợp tỡm ra lời giải của bài toỏn
- Cú thể tự tạo ra bài tập mới bằng cỏc phương phỏp tương tự hoỏ, tổng quỏt hoỏ bài toỏn ban đầu ..
B. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản
- Để so sỏnh hai phõn số ta thường đưa chỳng về hai phõn số cú cựng mẫu số là số dương, phõn số nào cú tử số lớn hơn thỡ phõn số đú lớn hơn
Tổng quỏt: 
- Ngoài ra cũn một số phương phỏp khỏc như sau:
1/ Quy đồng đưa về hai phõn số cú cựng tử số là số dương: Phõn số nào cú mẫu lớn hơn thỡ phõn số đú lớn hơn
2/ Sử dụng phần bự hoặc phần thừa của 1
VD: So sỏnh và với a là số tự nhiờn khỏc 0
Lời giải:
C1: Quy đồng đưa về cựng mẫu số
C2: Ta cú: cũn 
Mà > 
Vậy: < 
3/ Dựng phõn số trung gian hoặc tớnh chất bắc cầu của bất đẳng thức
VD1: Cho hai phõn số và với 
Hóy so sỏnh A và B
Lời giải:
Nhận xột: - Nếu m = 1 thỡ A = B
	 - Với m > 1 ta so sỏnh mA và mB từ đú dễ dàng so sỏnh A và B
Ta cú: 
vỡ vậy A > B
Mở rộng: Bài toỏn vẫn đỳng khi được tổng quỏt hoỏ thành dạng 
 và với 
VD2:Một phõn số cú tử và mẫu đều là cỏc số nguyờn dương. Nếu cộng cả tử và mẫu của phõn số đú với cựng một số tự nhiờn thỡ phõn số đú thay đổi như thế nào?
Lời giải:
Gọi phõn số đú là . Ta xột ba trường hợp: a = b; a > b; a< b
- Trường hợp a = b ta cú:
==. Vậy giỏ trị của phõn số khụng thay đổi
- Trường hợp a > b ta cú:( >1)
Cũn 
Vỡ 
Vậy: Khi cộng cả tử và mẫu của một phõn số lớn hơn 1 (cả tử và mẫu đều là số dương) với cựng một số tự nhiờn khỏc 0 thỡ được một phõn số mới cú giỏ trị lớn hơn giỏ trị của phõn số ban đầu 
-Trường hợp a < b ta cú:( <1)
Cũn 
Vỡ Nờn 
Vậy: Khi cộng cả tử và mẫu của một phõn nhỏ hơn 1 (cả tử và mẫu đều là số dương) với cựng một số tự nhiờn khỏc 0 thỡ được một phõn số mới cú giỏ trị nhỏ hơn giỏ trị của phõn số ban đầu
VD3: Tỡm số tự nhiờn x sao cho 
Lời giải:
Ta cú: 
Hay 135 < 11x < 150
Vậy x = 13
Phương phỏp chung: Tỡm mẫu thức chung của phõn số từ đú xột tử số và tỡm cỏc giỏ trị của x thoả món bài toỏn
VD4: Chứng minh rằng: 
Lời giải: Xột vế trỏi ta cú
 Đpcm
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1: So sỏnh cỏc biểu thức A và B biết:
 với 
 với 
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Bài 3: Tỡm số tự nhiờn x biết:
Bài 4: Tỡm hai phõn số cú cựng mẫu là 17 mà tử số là cỏc số tự nhiờn liờn tiếp để phõn số nằm giữa hai phõn số đú
Bài 5: Tỡm hai phõn số cú tử là 1, mẫu là hai số tự nhiờn liờn tiếp sao cho phõn số nằm giữa hai phõn số đú
Bài 6: Tỡm hai phõn số cú mẫu là 21 và nằm giữa hai phõn số và 
Bài 7: Chứng minh rằng cú vụ số cỏc phõn số nằm giữa hai phõn số và với và 
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.b/: Xột hiệu A – B < 0 suy ra A < B
	c/ Dựng phần thừa của 1 
E. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Vũ Hữu Bỡnh_ Nõng cao và phỏt triển toỏn 6 tập 2_ NXB Giỏo dục năm 2005
2. Tạp chớ Toỏn tuổi thơ 1 _ NXB Giỏo dục
 CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN
 MễN TOÁN LỚP 6
CHUYấN ĐỀ NÂNG CAO
Chủ đề 5: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN.
- Nắm được cỏc phương phỏp cơ bản dựng trong giải toỏn số học.
- Biết nhận dạng cỏc dạng bài tập từ đú cú định hướng đỳng để sử dụng cỏc phương phỏp phự hợp tỡm ra lời giải của bài toỏn
- Cú thể tự tạo ra bài tập mới bằng cỏc phương phỏp tương tự hoỏ bài toỏn ban đầu ..
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
I/ Phương phỏp dựng sơ đồ đoạn thẳng
1/ Cỏc vớ dụ:
VD1: Tuổi anh hiện nay gấp 3 lần tuổi em trước kia, lỳc anh bằng tuổi em hiện nay. Khi anh bằng tuổi em hiện nay thỡ tổng số tuổi của hai người là 28. Tớnh số tuổi của mỗi người hiện nay
Lời giải:
Gọi độ dài đoạn thẳng AB là sự biểu thị số tuổi của em trước kia thỡ tuổi anh hiện nay được biểu thị bằng đoạn thẳng AC gấp 3 lần đoạn thảng AB ta cú mụ hỡnh quan hệ của bài toỏn như sau
Tuổi em trước kia 
Tuổi em hiện nay
(tuổi anh trước kia)
Tuổi em sau này
(tuổi anh hiện nay)
Tuổi anh sau này
28
Do anh luụn hơn em một số tuổi nhất định nờn nếu ta biểu thị tuổi anh trước kia ( tức tuổi em hiện nay ) là đoạn AD, tuổi anh sau này là đoạn AE thỡ BD = DC = CE chớnh là số tuổi anh hơn em. Từ sơ đồ ta tớnh được AB = 4
Vậy tuổi em hiện nay là 8 tuổi
Tuổi anh hiện nay là 12 tuổi
* Nhận xột: Với sơ đồ đoạn thẳng ta đó thể hiện trực quan cỏc đại lượng trong bài toỏn và cỏc quan hệ giữa chỳng và đẽ dàng tỡm ra đỏp ỏn của bài toỏn
VD2: Tỡm số tự nhiờn cú tận cựng bằng 7 biết rằng sau khi xoỏ số 7 ấy đi thỡ số tự nhiờn đú giảm đi 484 đơn vị
Lời giải:
Xoỏ số 7 ở tận cựng là trừ số đú đi 7 đơn vị sau đú chia cho 10.
Số ban đầu
Số cũn lại
484
7
Ta cú sơ đồ sau: 
Theo sơ đồ ta cú :
Số cũn lại là: (484 - 7): 9 = 53
Vậy số tự nhiờn ban đầu là 53. 10 + 7 = 537
2/ Một số bài tập:
Bài 1.1: Trờn hai ngăn của giỏ sỏch cú tổng cộng 118 cuốn. Nếu lấy đi 8 cuốn ở ngăn thứ nhất sau đú thờm vào ngăn thứ hai 10 cuốn sỏch thỡ số sỏch ở ngăn thứ gấp đoi số sỏch ở ngăn thứ nhất. Tớnh số sỏch trong mỗi ngăn lỳc ban đầu.
Bài 2.1: Mẹ hơn con 28 tuổi. Sau 5 năm nữa tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tớnh tuổi mẹ và tuổi con hiện nay?
Bài 3.1: Số dõn trước kia của hai huyện A và B tỉ lệ với 2 và 3. Hiện nay dõn số huyện A tăng thờm 8000 người, dõn số huyện B tăng thờm 4000 nờn dõn số huyện A gấp dõn số huyện B. Tớnh số dõn hiện nay của mỗi huyện
II/ Phương phỏp giải thiết tạm
1/ Cỏc vớ dụ:
VD1: Xột bài toỏn cổ: 	“Vừa gà vừa chú
	Bú lại cho trũn
	Ba mươi sỏu con
	Một trăm chõn chẵn”
Hỏi mỗi loài cú bao nhiờu con?
Lời giải:
Giả sử tất cả 36 con đều là chú khi đú tổng số chõn là: 36.4 = 144 chõn, thừa 44 chõn so với đầu bài chớnh là do cũn số chõn của gà
Vậy số gà là: 44: 2 = 22 con 
Số chú là 36 – 22 = 14 con
VD 2: Một đội búng thi đấu tất cả 25 trận chỉ thắng hoặc hoà. Biết mỗi trận thắng đội được 3 điểm, mỗi trận hoà được 1 điểm. Tổng số điểm đội đạt được là 59 điểm. Tớnh số trận thắng và trận hoà của đội búng đú.
Lời giải:
Giả sử tất cả cỏc trận đội đều hoà, khi đú số điểm đạt được là 25 điểm. Do tổng số điểm đội đạt được là 59 điểm thừa 34 điểm so với giả sử là do đội cũn cú cỏc trận thắng và mỗi trận thắng nhiều hơn cỏc trận hoà là 2 điểm.
Vậy số cỏc trận thắng của đội là 34 : 2 = 17 trận
Số trận hoà là: 25 – 17 = 8 trận 
Vậy đội thắng 17 trận, hoà 8 trận
2/ Một số bài tập:
Bài 1.2: Một nhà hàng cú 22 chiếc ghế gồm cỏc loại 3 chõn, 4 chõn và 6 chõn. Tớnh số ghế mỗi loại, biết số ghế 6 chõn gấp đụi số ghế 3 chõn và tổng số cú tất cả 100 chõn ghế
Bài 2.2: Một cuộc thi cú 20 cõu hỏi, mỗi đội dự thi phải trả lời đủ 20 cõu hỏi, mỗi cõu trả lời đỳng được cộng thờm 5 điểm, trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một đội dự thi và đạt 52 điểm. Tớnh xem đội đú trả lời đỳng mấy cõu, sai mấy cõu ?
Bài 3.2: Trờn đoạn đường AC dài 200 km cú điểm B cỏch A 10 km. Lỳc 7 giờ hai ụ tụ cựng xuất phỏt cựng chiều nhau xe thứ nhất đi từ A, xe thứ hai đi từ B và cựng tới C với vận tốc lần lượt là 50 km/h và 40 km/h. Hỏi lỳc mấy giờ thỡ khoảng cỏch đến C của xe thứ hai gấp đụi khoảng cỏch đến C của xe thứ nhất ?
 III/ Phương phỏp lựa chọn
Một số bài toỏn về số tự nhiờn cú thể giải bằng cỏch căn cứ vào cỏc dữ kiện của bài toỏn để tỡm ra một số giỏi trị thoả món điều kiện sau đú thử xem trường hợp nào thoả món đầu bài của bài toỏn và lựa chọn cỏc kết quả đỳng
1/ Cỏc vớ dụ:
VD1: Tỡm một số tự nhiờn cú 3 chữ số biết rằng số đú chia hết cho 18 và cỏc chữ số của nú sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thỡ tỉ lệ với 1: 2 : 3
Lời giải:
Vỡ cỏc số tỉ lệ với 1 : 2 : 3 chỉ cú thể là 1, 2, 3 hoặc 2, 4, 6 hoặc 3, 6, 9 nờn số phải tỡm cú cỏc là số lập nờn từ một trong ba bộ cỏc chữ số trờn 
Nhưng số phải tỡm chia hết cho 18 nghĩa là chia hết cho 9 nờn tổng cỏc chữ số của nú phải chia hết cho 9. Như vậy chỉ cú bộ ba chữ số 3, 6, 9 thoả món điều kiện đú. Mặt khỏc số đú chia hết cho 18 nờn phải chia hết cho 2 suy ra nú cú chữ số tận cựng là số chẵn. Vậy số phải tỡm là 396 hặc 936 thoả món cỏc điều kiện của bài toỏn.
Nhận xột: Ta cú thể xột điều kiện số cú ba chữ số chia hết cho 18 trước. Tuy nhiờn khi đú phải thử chọn nhiều kết quả hơn. Vỡ vậy cần lưu ý khi sử dụng phương phỏp này là kiểm tra cỏc điều kiện loại được nhiều cỏc giỏ trị khụng thoả món trước để vựng lựa chọn được thu hẹp lại giỳp ta tỡm đỏp ỏn bài toỏn nhanh hơn 
VD2: Tỡm số tự nhiờn x biết tổng cỏc chữ số của x là y, tổng cỏc chữ số của y là z và x + y + z = 60
Lời giải:
Nhận xột: Ta thấy x là số cú hai chữ số và x < 60
Khi đú x = suy ra y = 10a + b.Cú hai trường hợp đối với z
Nếu a + b < 10 thỡ z = y = a + b 
 Nếu a + b 10 thỡ z = a + b – 9 
Xột trường hợp 1: Do x + y + z = 60 nờn ta cú 10a + b + (a + b) + (a + b) = 60 
hay 4a + b =20 suy ra b = 20 – 4a 4 vậy b nhận cỏc giỏ trị 0, 4, 8, tương ứng ta tỡm được cỏc giỏ trị của a là 5, 4, 3 . Tuy nhiờn cặp giỏ trị a = 3, b = 8 bị loại vỡ a + b > 10. Từ đú ta tỡm được x bằng 50 hoặc 44
Xột trường hợp 2: Ta cú 10a + b + (a + b) + (a + b – 9 ) = 60 
hay 4a + b = 23. Kết hợp cỏc điều kiện ta tỡm được a = 4, b = 7 thoả món từ đú tỡm được x = 47
Vậy cú 3 số thoả món đầu bài
2/ Một số bài tập:
Bài 1.3: Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số biết nếu chia số đú cho tớch cỏc chữ số của nú thỡ được và hiệu giữa số phải tỡm với số gồm cỏc chữ số của số đú viết theo thứ tự ngược lại là 18.
Bài 2.3: Cú ba tờ bỡa ghi cỏc số 23, 79 và . Xếp ba tờ bỡa đú lại thành thỡ được một số cú 6 chữ số. Cộng tất cả cỏc số cú 6 chữ số đú lại (đổi chỗ cỏc tờ bỡa ta lại được sụ cú 6 chữ số khỏc) thỡ được kết quả là 2 989 896. Tỡm số 
Bài 3.3: Trờn một tấm bia cú cỏc vũng trũn tớnh điểm là 18, 23, 28, 33, 38. Muốn trỳng thưởng thỡ phải bắn một số phỏt để đạt đỳng 100 điểm. Hỏi phải bắn bao nhiờu phỏt và vào những vũng nào để trỳng thưởng.
C. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Vũ Hữu Bỡnh_ Nõng cao và phỏt triển toỏn 6 tập 2_ NXB Giỏo dục năm 2005
2. Tạp chớ Toỏn tuổi thơ 1 _ NXB Giỏo dục