Giáo án môm thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6 - Nguyễn Thị Thu

BUỔI 1:
CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP, CÁCH GHI SỐ TỰ NHIÊN.
I, Mục tiêu:
- HS được hệ thống tổng quát các khái niệm về tập hợp và bổ sung thêm một số kháI niệm về tập hợp
- Hiểu sâu về tập hợp số tự nhiên và cách ghi số tự nhiên
- HS làm thành thạo các bài tập trên tập hợp đặc biệt là cách ghi số tự nhiên trong hệ thập phân
- HS tư duy thành thạo và làm các bài tâp thay số và điền số
II, Nội dung
Bài toán1. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó.
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8: x = 2.
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5.
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x – 2 = x + 2.
d)Tập hợp D các số tự nhiên mà x + 0 = x
Hưỡng dẫn:
a, A = ; b, B = 
c, C = ; d, D = N
Bài toán 2. Cho tập hợp A = { a,b,c,d} 
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử.
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử?
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Hưỡng dẫn:
a, Các tập hợp con của A là:
;; 
b, 
c, có 4 tập hợp con của A có 3 phần tử, có 1 tập hợp con của A có 4 phần tử
d, tập hợp A có 15 tập hợp con
Bài toán 3. Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường hợp sau.
 a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7} b, A= {x,y}, B = {x,y,z}
 c, A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
hưỡng dẫn: 
a, A B ; b, A B c, A B (vì A có phần tử 0)
Bài toán 4. Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu ;. Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp B = {1;2;3}.
Hưỡng dẫn:
Bài toán 5. Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và B = {3;4;5}. Hãy viết các tập hợp vừa là tập con của A, vừa là tập con của B.
Hưỡng dẫn: 
Bài toán 6. Chứng minh rằng nếu thì 
Hưỡng dẫn:
Lấy x A => x B (vì mọi phần tử của A dều thuộc B) => x C (vì mọi phần tử của B đều thuộc C
=> 
Bài toán 7. Có kết luận gì về hai tập hợp A,B nếu biết.
 a, thì b, thì , thì .
Hưỡng dẫn:
a, b, A = B
Bài toán 8. Cho H là tập hợp ba số lẽ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.
 a, Viết các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b,CMR 
 c, Tập hợp M với .
 - Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử? nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
 - Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn điều kiện trên?
Hưỡng dẫn
a, 
b, Vì H = và K = => 
c, M có ít nhất là 3 phần tử , Nhiều nhất là 6 phần tử
có 3 tập hợp M thỏa mãn điều kiện trên (yêu cầu HS viết cụ thể)
Bài toán 9. Cho . Hãy xác định tập hợp M = {a - b}.
Hưỡng dẫn:
M = 
Bài toán 10. Cho tập hợp A = {14;30}. Điền các ký hiệu vào ô trống.
 a, 14 A ; b,{14} A; c, {14;30} A.
Hưỡng dẫn:
a, b, c, 
Bài 11: Thay các chữ bởi các số thích hợp
a, abc + acb = cba
b, abcd . 9 = a0bcd
c, (ab . c + d) . d = 1977
========================================================
BUỔI 2-3
CHUYÊN ĐỀ 2 : CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
I, Mục tiêu:
- Hệ thống và khác sâu các kiến thức về các phép toán trên tập hợp số tự nhiên
- HS tính toán thành thạo, rèn kỹ năng tính toán
- hình thành và phát triển kỹ năng suy luận, lập luận
II. Nội dung
Bài toán 1. Viết tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số trong đó mỗi số:
a, Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục.
b, Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4.
c, Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục.
HD HS tự làm:
a, A = 
b , B = 
c , C = 
Tập hợp này có tất cả : 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (phần tử)
Bài toán 2. Cho một số có 3 chữ số là (a,b,c khác nhau và khác 0). Nếu đỗi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy? (kể cả số ban đầu).
HD HS:
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( Hoặc a , hoặc b, hoặc c) . Sau khi chọn chữ số hàng trăm thì chỉ còn 2 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số hàng trăm và hàng chục rồi chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vởy có tất cả 3.2.1 = 6 số 
, , , , , 
Bài toán 3. Cho 4 chữ số a,b,c và 0 (a,b,c khác nhau và khác 0).Với cùng cả 4 số này có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số?
Giải :
Chữ số 0 không thể đứng đầu nên chỉ có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn, ba cách chọn chữ số hàng trăm, hai cách chọn chữ số hàng chụcvà 1 cách chọn chứ số hàng đơn vị. Vậy có tất cả 3.3.2.1 = 18 (Số)
Bài toán 4. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số? 
HD HS:
Trường hợp không có chữ số 0 thì có : 5.4.3.2.1 = 120 ( số)
Trường hợp có chữ số 0 thì có : 4.4.3.2.1 = 96 (số)
Bài toán 5. Quyển sách giáo khoa Toán 6 có tất cả 132 trang.Hai trang đầu không đánh số. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này?
Giải :
Từ trang 3 đén trang 9 có : 9-3+1 = 7 trang có 1 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có : 99-10+1 = 90 trang có 2 chữ số
Từ trang 10 đến trang 132 có : 132-100+1 = 33 trang có 3 chữ số
Số chữ số cần dùng là : 7.1 + 90.2 +33.3 = 286 ( Chữ số) 
Bài toán 6. Tìm hai số biết tổng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại.
 Giải :
Gọi số thứ nhất là , thì số thứ hai là , Theo đề bài ta có :
176
Từ cột hàng chuch ta thấy a+b > 10, vậy từ cột hàng chục suy ra a + b = 16. Vì a# b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9
Hai số cần tìm là 97 và 79
Bài toán 7 . Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0.
a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau.
b) Có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đó. 
HD HS:
a, Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn( Hoặc a , hoặc b, hoặc c, hoặc d). Sau khi chọn chữ số hàng nghìn còn 3 cách chọn chữ số hàng trăm . Sau khi chọn chữ số hàng trăm thì chỉ còn 2 cách chọn chữ số hàng chục. Sau khi chọn chữ số hàng trăm và hàng chục rồi chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất cả 4.3.2.1 = 4! (số )
b , Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có tất cả : 4.3 = 12 (số)
Bài toán 8. Tính các tổng sau.
a) 1 + 2 + 3 + 4 +....+ n b) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2.n
c) 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2.n + 1) d) 1 + 4 + 7 + 10 + .. + 2005
e) 2 + 5 + 8 + ... + 2006 	 f) 1+ 5 + 9 + . . + 2001
HD HS:
Tính tổng theo cách tính của Gau-Xơ .Dãy số cách đều
1 + 2 + 3 + 4 +....+ n 
S = (1 + n ).n : 2
 b) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2.n
S = ( 2 + 2n).n : 2 = (1+n).n
 c) 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2.n + 1)
S = (1 + 2n+1 ).(n+1) : 2 = (n+1).(n+1)
 d) 1 + 4 + 7 + 10 + .. + 2005
S = [(1+2005).669] : 2 = 1003.669 = 671 007 
Bài toán 9 Tính nhanh tổng sau. A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 8192
Bài toán 10 a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số 
 b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 11. 
a) Tổng 1+ 2 + 3 + 4 + ... + n có bao nhiêu số hạng để kết quả bằng 190 
b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 2004
HD HS:
a .Ta có S = (u1 + un).n : 2 Hay 190 = (u1 + un).n :2 từ đó tìm được n =un = 19
b. Không có số n nào để 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 2004
Bài toán 12. Tính giá trị của biểu thức.
a) A = (100 - 1).(100 - 2).(100 - 3)...(100 - n) với n N * và tích trên có đúng 100 thừa số.
b) B = 13a + 19b + 4a - 2b vớ a + b = 100.
HD HS:
a, A = 0 vì tích trên có 100 thừa số , thừa số thứ 100 là 100 – 100 = 0
b, B = 13a + 19b + 4a - 2b = 17a + 17b = 17(a+b) = 17.100 = 1700
Bài toán 13.Tìm các chữ số a, b, c, d biết 
Bài toán 14. Chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết được thành một tích của hai thừa số bằng nhau: 11111111 - 2222.
HD HS:
Ta có : 11111111 - 2222. = 1111.( 10001 – 2) = 1111.9999
	 = 1111.3.3333 = 3333.3333 (đccm)
Bài toán 15. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a b. 
 Chứng tỏ rằng a - b : m
HD HS:
Gọi số dư là r, Ta có: a = mk1 + r b = mk2 + r
Vậy a – b = (mk1 + r) – (mk2 + r) = mk1 + r - mk2 – r = mk1 – mk2
 = m ( k1 – k2 ) m
Bài toán 16. Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta được số dư là 10. Tim số chia.
HD HS:
Gọi số chia là b theo đầu bài ta có :
129 = b.k1 +10 => bk1 =119 = 119.1 = 17.7
Và 61 = bk2 + 10 => bk2 = 51 = 51.1 = 17.3
Vì b >10 và k1 k2 nên ta chọn được b = 17
Bài toán 17. Cho S = 7 + 10 + 13 + ... + 97 + 100
a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng?
b) Tim số hạng thứ 22
c) Tính S.
HD HS:
a) Số hạng của tổng là : (100 – 7) : 3 +1 = 32 (Số hạng)
b) Gọi số hạng thứ 22 là x, ta có : (x-7) : 3 +1 = 22
	x – 7 =21.3 =63
	x = 70
c) S = ( 100+ 7 ) . 32 : 2 = 1712 ( Cách tính tổng của Gau- Xơ)
CHÚ Ý CHO HS CÁCH TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU : 
Số số hạng của dãy kí hiệu là n
Các số hạng của dãy lần lượt ký hiệu : u1, u2, u3, .un
Khoảng cách giữa 2 số hạng là d
Tổng của n số hạng đầu tiên là Sn Ta có : 
n =( un – u1) :d +1
un = u1 + (n-1).d
Sn = ( u1 + un ).n : 2
Bai toán 18. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết được thành một tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
a) 111222 ; b) 444222
HD HS:
111222 = 111000 + 222 =111.(1000+2) = 111.1002 = 111.3.334
 = 333.334
444222 = 444000 + 222 = 222.(2000 + 1) = 222.2001 = 222.3.667 
= 666.667
Bài toán 19 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thương bằng 6, số dư bằng 3, tổng của số bị chia,số chia và dư bằng 195.
HD HS:
Gọi số bị chia là a số chia là b (a,b N ; a,b 0 , b >3) . Ta có
a = b.6 + 3 (1)
a + b + 3 = 195 (2) 
Từ (1) và (2) => b = 27 và a = 165
Bài toán 20 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thương bằng 6, số dư bằng 49, tổng của số bị chia,số chia và dư bằng 595.
Tương tự bài 19 HS tự giải
Bài toán 21. Tính bằng cách hợp lý.
a) b) 
c) 
Bài toán 22. Tìm kết quả của phép nhân. 
a) b) 
Bài toán 23.
Tìm gi ...  + Vẽ hình minh họa.
	+ Nhớ kỹ một số kiến thức vật lý về chuyển động đều như :
	- Quãng đường = vận tốc . thời gian 	(S = v.t)
	- Vận tốc = quãng đường : thời gian.	(v = 
	- Thời gian = quãng đường : vận tốc	(t = )
	- Quãng đường đi được (đi cùng vận tốc) tỉ lệ thuận với thời gian.	- Quãng đường đi được (đi cùng thời gian) tỉ lệ thuận với vận tốc.
	- Vận tốc và thời gian (đi cùng quãng đường) tỉ lệ nghịch với nhau.	- Vận tốc một động tử khi xuôi dòng = vận tốc thật + vận tốc dòng nước.	- Vận tốc một động tử khi ngược dòng = vận tốc thật - vận tốc dòng nước.	
	b. Ví dụ minh họa :
	* Toán về chuyển động đều:
1. Một người đi từ thị trấn Hồ xá về một xã ở Quảng Bình. Người đó khởi hành lúc 8 giờ sáng và đi xe đạp với vận tốc 10 km/h. Sau đó 1 giờ cũng có một người đi từ Hồ Xá về xã đó bằng ngựa với vận tốc 12 km/h. Hỏi người thứ 2 đuổi kịp người thứ nhất sau mấy giờ ? và gặp nhau cách Hồ Xá bao nhiêu km ?
	Giải:
	Cách 1: cách này dùng thông thường với loại toán về chuyển động cùng chiều (đuổi kịp nhau).
	Sau 1 giờ, người đi xe đạp đi được 10 km. Nghĩa là sau 1 gời ta coi như 2 người cùng bắt đầu đi, thì rõ ràng người đi ngựa đi thua người đi xe đạp 10 km. Nhưng mỗi giờ người đi ngựa đi hơn người đi xe đạp là 12 – 10 = 2 (km). Như vậy muốn đi thêm 10 km nữa cho kịp, người đó phải đi trong  10 : 2 = 5 (giờ). Chỗ gặp nhau cách thị trấn Hồ Xá 5.12 10.6 = 60 (km).
	Cách 2: 
Trong cùng một thời gian, người đi ngựa đi được khoảng cách AC, với 
vận tốc 12 km/h. Người đi xe đạp đi
với vận tốc 10 km/h và đi được quãng
đường BC. Vì quãng đường tỉ lệ thuận 
với thời gian nên ta có: 
. Mặt khác AC – BC = 10 => AC = 10.6 = 60.
	Thời gian người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất là: 60 : 12 = 5 (giờ).
	Cách 3:
	Gọi t1 là thời gian để người đi xe đạp đi hết quãng đường AC; t2 là thời gian để người đi xe đạp đi hết quãng đường BC.
Ta biết thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc, tức là: .
Đến đây bài toán được đưa về dạng: Tìm hai số khi biết tỉ số của chúng và hiệu của 2 số.
	t1 = 1.6 = 6 (giờ)
	t2 = 5 (giờ).
Quãng đường cần tìm là 5.12 = 60 (km).
	*Toán về chuyển động ngược chiều:
2. Một xe đạp đi từ A đến B lúc 8 giờ sáng với vận tốc 20 km/h. Lúc 9 giờ một ô tô đi từ B đến A với vận tốc 35 km/h. Hỏi sau mấy giờ thì gặp nhau? Và chỗ gặp nhau cách B bao nhiêu km? Biết rằng A và B cách nhau 240 km.
	Giải:
Cách 1:
	Sau 1 giờ người đi xe đạp đi từ A đến A/ cách A 20 km, lúc đó ô tô bắt đầu đi từ B và cách người đi xe đạp 240 – 20 = 220 (km).
	- Mỗi giờ hai động tử đi được 20 + 35 = 55 (km).
	- Để đi được 220 km phải mất: 220 : 55 = 4 (giờ).
	- Chỗ gặp nhau cách B: 4. 35 = 140 (km).
	Cách 2:	
Từ 9 giờ đến lúc gặp nhau, trong cùng một thời gian người đi xe đạp đi được quãng đường x với vận tốc 20 km/h. Trong lúc đó ô tô đi được quãng đường y với vận tốc 35 km/h. Vì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc nên ta có: . Mặt khác x + y = 220 nên suy ra: 
=> => x = .
3. Một người cán bộ đã đi bộ liên tục từ làng A đến làng B với vận tốc 
v = 6 km/h rồi từ làng B đến làng C với vận tốc v = 4 km/h. sau một thời gian công tác ở C người cán bộ đó trở về A theo đường cũ và quyết định đi thế nào để cho thời gian đi quãng đường CA bằng thời gian đi quãng đường AC để kịp báo cáo. Muốn vậy người cán bộ tính toán phải đi đến trên đoạn CA với vận tốc v = 5 km/h. Thế nhưng khi đến B người cán bộ phải dừng 24 phút để giải quyết công tác và có thể về A đúng thời gian qui định, người cán bộ quyết định tăng tốc 6 km/h. Háy tính khoảng cách từ A đến B, từ B đến C ?
	Giải:
	a).	+ Gọi thời gian đi từ B đến C là t1, thời gian đi từ C đến B là t2. (t1 và t2 tỉ lệ nghịch với 4 và 5 nên ta có: .
	+ Đi từ B đến C thời gian lâu hơn đi từ C đến B 24 phút (vì thời gian từ A à B và từ B về A là như nhau (quãng đường như nhau, vận tốc như nhau). Chi nên chỉ còn chênh lệch thời gian ở quãng đường CB và BC).
=> t1 – t2 = 24.
	+ Vậy: 
=> Quãng đường BC bằng: 2.4 = 8 (km)
	b). Gọi t3 là thời gian đi từ A à B, t4 là thời gian đi từ B à A. Ta thấy:
. Nhưng đi từ B tới A lâu hơn từ A tới B 24 phút nên: 
	.
	Vậy quãng đường AB là:	6km/h. 2 h = 12 (km).
.
4. Một ô tô đi qua cột km lúc 7 giờ, qua cột km lúc 8 giờ và qua cột km lúc 9 giờ. Biết ô tô chuyển động thẳng đều. Tính vận tốc của ô tô.
	Giải:	
	* Từ 7 giờ đến 8 giờ ô tô đi được 
	 Từ 8 giờ đến 9 giờ ô tô đi được 
	* Vì ô tô chuyển động đều nên : 
	=> hai chữ số bao giờ cũng bé hơn 200) do đó cũng phải bé hơn 200 và a không thể bằng 0 và a không thể lớn hơn 1 vì nếu a > 1 thì > 200. 
	Vậy a = 1.
Mặt khác tổng a + a và tổng c + c là các tổng của các chữ số thuộc hàng đơn vị của hai số bằng nhau nên phải có chữ số tận cùng bằng nhau. Mà ta đã có : a + a = 2a = 2.1 = 2.
	Vậy c + c = 2c cũng có tận cùng bằng 2. Tức là c = 6 (vì 1 c = 6).
	Ta có vận tốc của ô tô là : 61 – 16 = 45 (km/h).
..
	5. Mai và Lan nhà ở cách nhau 1200 m đi về phía nhà bạn. mai đi lúc 9 giờ, Lan đi sau 5 phút. Dọc đường không thấy nhau, mỗi người cứ đến nhà bạn rồi quay lại ngay. Lần này thì hai bạn gặp nhau. Hỏi lúc gặp nhau là mấy giờ ? Biết rằng mỗi phút Mai đi 60m, Lan đi 90m.
	Giải:
	Trong 5 phút Mai đi được 5. 60 = 300 (m).
	Mai và Lan gặp nhau sau khi Lan đi được một thời gian là: 
	(1200 m – 300 m) : (60 m + 90 m) = 6 (phút).
	Mai và Lan gặp nhau lần 1 lúc (9 giờ 5 phút + 6 phút ) = 9 giờ 11 phút. Quãng đường mà Mai và Lan đi được cộng lại bằng 2 lần khoảng cách 1200 m trong một thời gian là : 1200.2 : (60 + 90) = 16 (phút).
	Thời gian gặp nhau lần 2 là : 9h11 ph + 16 ph = 9 h 27 ph..
..
	6. Một xe lửa đi qua cầu dài 181 m mất tất cả 47 s, cũng với vận tốc đó xe lửa lướt qua người đi bộ đi ngược chiều với xe lửa. Tính chiều dài và vận tốc của xe lửa ? Biết rằng vận tốc cử người đi bộ là 1 m/s và xe lửa lướt qua người đó trong 9 s.
	Giải:
	Trong 47 s, xe lửa đi được một quãng đường là một cầu dài 181m và quãng đường bằng chiều dài đoàn tàu 	
Giả sử khi đầu tàu bắt đầu đến mố cầu B, sau khi tàu qua khỏi A thì hết thời gian 47 s. Chẳng hạn người đó gặp đuôi tàu ở A. Tức là trong 38 s, xe lửa đi được 181+ 9.1 = 190 (km) 	=> vận tốc xe lửa là: 
v = = 5 (m/s) = 18 (km/h).
	Chiều dài xe lửa là : 5.9 + 9 = 54 (m).
.
	7. Hiện nay 3 giờ (giả thiết là các kim đồng hồ chạy đúng). Hãy tính xem bao nhiêu phút kim phút đuổi kịp kim giờ ?
	Giải:
	Cách 1: 
	Gọi S1 và S2 là số vòng mà kim phút và kim giờ đã quay được khi kim phút kịp kim giờ, như vậy thì : S1 – S2 = . Mặt khác khoảng cách tỷ lệ thuận với vận tốc, mà vận tốc kim phút quay gấp 12 lần vận tốc kim giờ nên => .
	Kim phút quay 1 vòng hết 60 phút nên muốn quay 3/11 vòng cần : 
	Vậy sau 16 phút thì kim phút đuổi kịp kim giờ.
	Cách 2:
	Kim phút quay 1 vòng thì kim giờ quay được 1/12 vòng. Như vậy trong 60 phút kim phút quay nhiều hơn kim giờ 1 - . Muốn đuổi kịp kim giờ kim phút cần quay hơn kim giờ ¼ vòng và như vậy mất một thời gian : 
..
6. Giải toán bằng phương pháp lựa chọn:
	a. Nội dung: 
	Trong phương pháp này ta xét mọi trường hợp có thể xảy ra đối với một đối tượng. Sau đó chọ xem trường hợp nào đúng với các điều kiện của bài toán.
	b. Ví dụ:
	1. Tìm số có ba chữ số biết rằng bình phương chữ số hàng chục bằng tích hai chữ số kia và nếu đổi chỗ hai chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số ấy giảm đi 594 đơn vị.
	Giải:
	Gọi số phải tìm là 
Do a > c nên phép trừ ở cột đơn vị có nhớ, vì thế 10 + c – a, tức là a – c = 6.
Các số thỏa mãn điều kiện này là : Có hai trường hợp thỏa mãn bài toán :
	* b2 = 0, số phải tìm là 600
	8 b2 = 16, số phải tìm là 842.
	2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 12 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số lớn hơn số ban đầu là 18.
	Giải:
	Gọi số phải tìm là . Do a + b = 12, a < b nên ta xét các số : 57, 48, 39 có tổng hai chữ số thỏa mãn đề bài. Tuy nhiên phải đối chiếu với điều kiện thư hai là  ta có :
	* 75 – 57 = 18
	* 84 – 48 = 36
	* 93 – 39 = 54
	Như vậy chỉ có số 57 là thỏa mãn
	3. Tìm số có ba chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của hai chữ số kia và số đó chia hết cho 45.
	Giải:
	Gọi số phải tìm là Ta lại có a + b + c mà a + c = 2b nên 3b 9, do đó b 3, mà b 0 nên b bằng 3 hoặc 6 hoặc 9.
	* Với b = 3 ta có các số : 630, 135
	* Với b = 6 ta có số : 765
	* Với b = 9 thì không có số nào thỏa mãn.
	Vậy các số cần tìm là : 630, 135, 765.
	7. Giải toán sử dụng nguyên lý ĐIRICHLÊ:
	a. Nội dung: 
Nguyên lý này mang tên nhà bác học Đirichlê (1805-1859) : Không thể nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng mà mỗi lồng có không quá 2 con thỏ. Nói cách khác, nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cái lồng thì tồn tại một lồng có từ 3 con thỏ trở lên.
	b. Ví dụ:
	1. Một lớp học có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có tháng sinh giống nhau.
	Giải:
	Một năm có 12 tháng. Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng ấy. Nếu mỗi tháng có không quá 3 học sinh được sinh ra thì số học sinh không quá 3.12 = 36 (em) mà 36 < 40 vô lý.
	Vậy tồn tại một tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh (Trong bài này 40 thỏ ví như là 40 HS, 12 lồng ví như là 12 tên tháng).
	2. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 3k tận cùng bằng 001
	Giải:
	Trước hết ta chứng tỏ rằng tồn tại hai lũy thừa của 3 có cùng số dư khi chia cho 1000. Trong phép chia cho 1000, có 1000 số dư là 0, 1, 2,.., 999.
	Ta xét 1001 số là 3, 32, 33,.., 31001 thì tồn tại hai số có cùng số dư trong phép chia cho 1000. Gọi hai số đó là 3m và 3n (1 n < m 1000). Như vậy 3m – 3n chia hết cho 1000, do đó 3n.(3m – 1) chia hết cho 1000, suy ra 3m-1 chia hết cho 1000, tức là số 3m – n tận cùng bằng 001.
..
	3. Người ta thả 130 viên xúc xắc vào một bàn cờ Quốc Tế có 64 ô vuông. Chứng minh rằng tồn tại 1 ô vuông trong bàn cờ chứa 3 viên xúc xắc.
	Giải:
	Giả sử mỗi ô chứa không quá 2 viên xúc xắc thì 64 ô chứa không quá 2.64 = 128 (viên).
	Mà 128 < 130. Nên có ít nhất 1 ô vuông trong bàn cờ chứa 3 viên xúc xắc.
	4. Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kỳ, tìm được hai số có hiệu chia hết cho 5.
	Giải:
	 Một số khi chia cho 5 chỉ có 1 trong 5 số dư là 0, 1, 2, 3, 4. Ta lại có 6 số tự nhiên bất kỳ. Như vậy sẽ tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 5, hiệu của chúng sẽ chia hết cho 5.
	5. Chững minh rằng tồn tại một bội số của 1989 được viết bởi toàn các chữ số 1 và 0.
Giải:
	Xét 1990 số dạng 1, 11, 111,.., . Chia các số trên cho 1989, số dư chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4,,1988. Có 1990 số mà chỉ có 1989 số dư nên tồn tại hai số có cùng số dư, hiệu của chúng chia hết cho 1989. Hiệu này gồm toàn chữ số 1 và 0.