Giáo án bồi dưỡng môn Toán học Lớp 6 - Nguyễn Viết Cương

điền Số tự nhiên. ghi số tự nhiên. tìm số
A/. Mục tiêu:
Học sinh nắm vững các kiến thức về số tự nhiên về cấu tạo số trong hệ thập phân, các phép tính về số tự nhiên, các tính chất về chia hết.
Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học.
Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lô gic óc phân tích tổng hợp.
B/. Chuẩn bị:
 Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.
I/ Kiến thức cơ bản.
1, Đặc điểm của ghi số tự nhiên trong hệ thập phân.
- Dùng 10 chữ số 0; 1; 2; 3;......9 để ghi mọi số tự nhiên.
- Cứ 10 đơn vị của một hàng bằng một đơn vị của hàng trước.
Ví dụ: 	= 10a+b
= 100a + 10b+c
2, So sánh 2 số tự nhiên.
+ a > b khi a nằm ở bên trái số b trên tia số.
+ a < b khi a nằm ở bên phải số b trên tia số.
3, Tính chẵn lẻ:
a, Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 là số chẵn (2b;b ẻN)
b, Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 là số lẻ (2b+1;b ẻN)
4, Số tự nhiên liên tiếp.
a, Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau hai đơn vị.
a;	 a+1 (a ẻ N)
b, Hai số tự nhiên chẵn liên tiếp hơn kém nhau hai đơn vị.
2b; 	2b + 2 (b ẻ N)
c, Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau hai đơn vị.
2b + 1 ; 	2b + 3 (b ẻ N)
II/ Bài tập.
Bài tập 1: Có bao nhiêu chữ số có 4 chữ số mà tổng các chữ số bằng 3?
Giải
3 = 0 + 0 + 3 = 0 + 1 + 1 + 1 = 1 + 2 + 0 + 0 
3000	1011	2001	1002
1110	2100	1200	 1 + 3 + 6 = 10 số
1101	2010	1020
Bài tập 2: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10000 có bao nhiêu số có đúng ba chữ số giống nhau?
Giải
Có duy nhất số 10000 có 5 chữ số không thoả mãn đề bài vậy các số đều có dạng.
	 	(aạb)
Xét số chữ số a có 9 cách chọn (aạb)
Với a đã chọn ta có 9 cách chọn (bạa)
=> Có 9.9 = 81 số có dạng 
Tương tự: 	=> Có 81.4=324 số
Bài tập 3: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 ->100 từ trái sang phải thành dãy.
a, Dãy trên có tất cả bao nhiêu chữ số?
b, Chữ số thứ 100 kể từ trái sang phải là chữ số nào?
Giải
a, Số có 1 chữ số: 9 số => 9.1 = 9 chữ số 
Số có 2 chữ số: 99 – 9 = 90 số => 90.2 = 180 chữ số 
Số 3 chữ số: 100 => 3 chữ số
Vậy dãy trên có 9 + 180 + 3 = 192 chữ số.
b, Chữ số thứ 100 rơi vào khoảng số có 2 chữ số
Bắt đầu từ 1011 ....là chữ số thứ 91
91 – 2.45 + 1
Số thứ 45 kể từ 10 là: (45 - 1) + 10 = 54
Vậy chữ số thứ 100 là chữ số 5.
Bài tập 4: Viết liên tiếp 15 số tự nhiên lẻ đầu tiên tạo thành một số tự nhiên hãy xoá đi 15 chữ số để được.
a, Số lớn nhất (9 923 252 729)
b, Số nhỏ nhất (1 111 111 122) 
Bài tập 5: Nếu số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng 1112 đơn vị (=123)
Bài tập 6: Tìm số có 4 chữ số. Biết rằng nếu xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị.
Giải 	- = 4455 => = 99.(45-)
	 (45-) 45 - = 	 0 
	 	 1
=> 	Nếu = 45 => = 0
Nếu = 44 => = 99
Vậy số phải tìm 	4500
44996 
Bài tập 7: Tìm số có 2 chữ số biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Giải 
	= 5(a+b) => 5a = 4b
=> b 5 => b = 0
	 5
Nếu b = 0 	=> a = 0 loại
Nếu b = 5	thì a = 4	=> 	= 45
Bài tập 8: Tìm số có 2 chữ số biết rằng lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó được thương là 5 dư 12.
Giải 
	= 5(a+b) + 12 => 5a = 4(b+3)
=> b + 3 5 => b = 2
	 	 7
Nếu b = 2 => 	a = 4 	=> 	= 42
Nếu b = 7 => 	a = 8 	 87
Bài tập 9: Không làm phép tính hãy kiểm tra kết quả phép tính 
a, 136 . 136 – 42 = 1960
b, . - 8557 = 0
(chữ số tận cùng)
Bài tập 10: Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số đó (260)
Bài tập 11: Tìm số có 2 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ta có thương là 26 dư 1.
Giải 
 = (a - b) . 26 + 1 => 27b = 16 a + 1 
16a chẵn => 16a + 1 lẻ => b lẻ => b = 3 => a = 5 
 = 53
Bài tập 12: Tìm số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng số đó bằng tổng các số có 2 chữ số khác nhau lập từ 3 chữ số của số phải.
Giải 
	 = + + + + + 
=> = 22(a + b + c)
Bài tập 13: Điền chữ số thích hợp thay cho các chữ cái 
a, 1 + 36 = 1
b, - = 
c, + + = 
Các phép tính về số tự nhiên . Đếm số
A/. Mục tiêu:
Học sinh nắm vững các phép tính về số tự nhiên, các tính chất về chia hết, kiến thức về dãy số cách đều.
Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học.
Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lô gic óc phân tích tổng hợp.
B/. Chuẩn bị:
 Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.
I/ Kiến thức cơ bản.
Các tính chất:
Giao hoán:	 a + b = b + a; a.b = b.a
Kết hợp: 	a + (b + c) = (a + b) + c; a.(b.c) = (a.b).c
Phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ:
a.(b+c) = a.b + a.c	 a.(b-c) = a.b - a.c
Một số trừ đi một tổng: a – (b+c) = a - b – c
Một số trừ đi một hiệu: a – (b-c) = a - b + c
Công thức về dãy số cách đều:
Số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách + 1
Tổng = (số cuối + số đầu). Số số hạng : 2
I/ Bài tập.
Bài tập 1: Tính bằng cách nhanh chóng.
a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763 	= 29 + (132 + 868) + (237 + 763)
= 29 + 1000 + 1000 = 2029
b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73 = (652 + 148) + (327 + 73) + 15
= 700 + 400 + 15 = 1115
Bài tập 2: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp. 
a, + + = 
=> + ==> 
=> a = 1 => b = 9 => c = 8 => 19 + 98 + 81 = 198 
b, + + a = 874
=> + + c = 874 
Do + c 874 ³ > 874 – 110 = 764 => a = 7 
=> + c = 874 – 777 = 97
Ta có: 97 ³ > 97 – 10 = 87 => = 88 => c = 9
Ta được: 789 + 78 + 7 = 874
Bài tập 3: Điền các số từ 1 đến 9 vào ma phương 3 x 3 sao cho tổng các hàng thứ tự là 6 ; 16; 23 và tổng các cột 14; 12;19 
Bài tập 4: 
Cho 9 số 1; 3; 5; .....; 17 có thể chia 9 số đã cho thành 2 nhóm sao cho:
a, Tổng các số nhóm I gấp đôi tổng các số nhóm II
a, Tổng các số nhóm I bằng tổng các số nhóm II.
Giải 
a, Có thể: (chia hết cho 3)
Nhóm I: 1 + 3 + 5 + 13 + 15 + 17 = 54
Nhóm II: 7 + 9 + 11 = 27
b, Không vì tổng đó không chia hết cho 2.
Bài tập 5: Tìm x biết:
a, 135 – (x + 37 ) = 80 	=> x + 37 = 135 – 80 
=> x + 37 = 55 
=> x = 55 – 37 = 18 
b, (x - 17) + 52 = 158 	=> x – 17 = 158 - 52
=> x – 17 = 106 
=> x = 106 + 17 = 123 
Bài tập 6: Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bằng 490 hiệu lớn hơn số trừ là 129. Tìm số trừ và số bị trừ.
Giải 
SBT = a 	; ST = b; 	H = c
=> 	a – b = c 	(1)
a + b + c = 490 	(2)
c – b + c 129	(3)
(1) và (2) => a = 490 : 2 = 245 
(2) và (3) => a + 2c = 619 => c= 
=> b = 245 – 187 = 58
Bài tập 7 Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp **** - *** = **. Biết rằng các số đều không đổi khi đọc từ phải sang trái hoặc là từ trái sang phải.
Giải
 * * * 	=> chữ số hàng nghìn của tổng là 1 => chữ số hàng đơn vị của 
 + * * tổng cũng bằng 1
 * * * * Chữ số hàng trăm của số hạng thứ nhất là 9 
	=> Chữ số hàng đơn vị của số hạng thứ nhất là 9
	=> ................
Bài tập 8:
Một trăm số tự nhiên từ 1 -> 100 chia thành 2 lớp chẵn và lẻ 
a, Tổng các số của 2 nhóm, nhóm nào lớn hơn?
b, Tổng các chữ số của 2 nhóm, nhóm nào lớn hơn?
Giải 
a) 1	3	5	7	9	....	99
 2	4	6	8	10	....	100
100
b) 	1	3	5	7	9	11	13	....	99
2	4	6	8	10	12	....	98 
Bài tập 9:
Đem số có 4 chữ số giống nhau chia cho số có 3 chữ số giống nhau thì được thương là 16 và số dư là 1. Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm 200 đơn vị, tìm các số đó? 
Giải
 = 16 . + r 
 = 16 . + (r - 200)
Với 200 Ê r < 
Từ 2 đẳng thức => 1000 a = 1600 b + 200
=> 5a = 8b + 1 
=> a = 5 và b = 3
Bài tập 10: Để đánh số trong một cuốn sách cần dùng 1995 chữ số 
a, Cuốn sách đó có bao nhiêu trang ? 
b, Chữ số thứ 1000 ở trang nào và là chữ số nào? 
Giải 
a) Để viết các số có 1 ; 2 chữ số cần 1 . 9 + 2 . 90 = 189 chữ số
Vậy số trang là số có 3 chữ số
Số các số có 3 chữ số là 
Số thứ nhất có 3 chữ số là 100 . Vậy số thứ 602 là 
100 + 602 – 1 = 701 
Cuốn sách có 701 trang 
b) Chữ số thứ 1000 thuộc số có 3 chữ số (1000 – 189 = 811)
811 = 3 . 270 + 1 
Số thứ 270 là 100 + 270 – 1 = 369 
Vậy chữ số thứ 1000 là chữ số hàng trăm của 370 (chữ số 3)
Bài tập 11: Khi viết các số tự nhiên từ 1 đến 100 thì 
a, chữ số 0 được biết bao nhiêu lần ? (11 lần)
b, chữ số 1 được biết bao nhiêu lần ? (21 lần)
c, chữ số 2 ; 3 được biết bao nhiêu lần ? (20 lần)
Bài tập 12: Trong các số tự nhiên từ 100 đến 10000 có bao nhiêu số mà trong cách viết của chúng có 3 chữ số giống nhau.
Giải 
Loại có 3 chữ số:	có 9 số 
Loại có 4 chữ số:	
Có 9 cách chọn; b có 9 cách chọn và b có 4 vị trí khác.
=> có 9 . 9 . 4 = 324 số 
Vậy có 9 + 324 = 333 số
Bài tập 13: 	a, Tính tổng của các số tự nhiên lẻ từ 1 -> 999
b, Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999. Tính tổng các chữ số 
Giải
a, Số hạng của dãy là: 
Tổng của dây là:
b, 999 là số có tổng các chữ số là 27 
Ta thấy 	1 + 998 = 999 
	2 + 997 = 999
 ............
Có 499 cặp => Tổng các chữ số là 27.500 = 13500
Bài tập 14: Trong các số tự nhiên có 3 dãy số. Có bao nhiêu số không chứa chữ số 9 
Giải
Các số tự nhiên phải đếm có dạng 
a có 8 cách chọn từ 1 -> 8 . b có 9 cách chọn từ 0 -> 8 
c có 9 cách chọn từ 0 -> 8
Vậy có: 8 . 9 . 9 = 648 (số lẻ chứa chữ số 9)
Luỹ thừa với số mũ tự nhiên
A/. Mục tiêu:
Học sinh nắm vững định nghĩa và các tính chất về luỹ thừa, vận dụng thành thạo vào trong giải bài tập về luỹ thừa.
Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học.
Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, tư duy lô gic óc phân tích tổng hợp.
B/. Chuẩn bị:
 Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện.
C/. Nội dung chuyên đề.
I/ Kiến thức cơ bản.
1, Định nghĩa: 
an = a . a ....a (a, n ẻ N ; n ³ 1 )
Ví dụ: 
23 = 2 . 2 . 2 = 8
5 . 5 . 5 = 53
Quy ước: a0 = 1 (aạ0)
2, Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số (chia)
a, am . an = am+n
b,	am : an = am-n	(aạ0 ; m ³ n )
Ví dụ: 
35 . 32 = 35+2 = 37
2 . 22 . 23 = 21+2+3 = 26
a2 : a = a42-1 = a (aạ0) 
139 : 135 = 134
3, Lũy thừa của một tích.
Ví dụ: Tính:
( 2 . 3)2 = (2 . 3) (2 . 3) = (2 . 2) (3 . 3) = 22 . 32
Tổng quát: (a . b )n = an . bn
4, Luỹ thừa của luỹ thừa.
Ví dụ: Tính (32)3 = 32 . 32 . 32 = 32.3 = 36
Tổng quát: (am)n = am.n
Ví dụ: 93 . 32 = (32)3 . 32 = 36 . 33 . 38
= 93 . 9 = 94
6, Thứ tự thực hiện phép tính.
Nâng luỹ thừa – Nhân, chia – cộng trừ.
7, So sánh 2 luỹ thừa.
a, Luỹ thừa nào có giá trị lớn hơn thì lớn hơn.
23 và 32
23 = 8 ; 32 = 9 . Vì 8 23< 3 ... o saựnh caực phaõn soỏ sau: 
Hửụựng daón giaỷi:Sửỷ duùng tớnh chaỏt a(b + c)= ab + ac
+Vieỏt 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Vieỏt 423134.846267=(423133+1).846267=
+Keỏt quaỷ A=B=1
(Gụùi yự: laứm nhử caõu a ụỷ treõn ,keỏt quaỷ M=N=1,P>1)
Baứi taọp 3: So saựnh 
Gụùi yự: 7000=7.103 ,ruựt goùn 
Baứi taọp 4: So saựnh 
Gụùi yự: Chổ tớnh 
Tửứ ủoự keỏt luaọn deó daứng : A < B
Baứi taọp 5:So saựnh ?
Gụùi yự: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Keỏt quaỷ M>N
	Mụỷ roọng : 123123123=123.1001001 ;..
 Baứi taọp 6: So saựnh 
	Gụùi yự: +Caựch 1: Sửỷ duùng ; chuự yự : 
	 +Caựch 2: Ruựt goùn phaõn soỏ sau cho 101.
	 Baứi taọp 7: Cho a,m,n N* .Haừy so saựnh : 
	 Giaỷi: 	
	 Muoỏn so saựnh A & B ,ta so saựnh & baống caựch xeựt caực trửụứng hụùp sau:
Vụựi a=1 thỡ am = an A=B
Vụựi a0:
Neỏu m= n thỡ am = an A=B
Neỏu m< n thỡ am < an A < B
Neỏu m > n thỡ am > an A >B
	Baứi taọp 8: So saựnh P vaứ Q, bieỏt raống: ?
	Vaọy P = Q
	Baứi taọp 9: So saựnh 
	Giaỷi: Ruựt goùn 
	Vaọy M = N
	Baứi taọp 10: Saộp xeỏp caực phaõn soỏ theo thửự tửù taờng daàn ?
	 Gụùi yự: Quy ủoàng tửỷ roài so saựnh .
	 Baứi taọp 11: Tỡm caực soỏ nguyeõn x,y bieỏt: ?
	 Gụùi yự : Quy ủoàng maóu , ta ủửụùc 2 < 3x < 4y < 9
	 Do ủoự x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.
	 Baứi taọp 12: So saựnh 
	 Giaỷi: Aựp duùng coõng thửực: 
	 Choùn laứm phaõn soỏ trung gian ,so saựnh > C > D.
	 Baứi taọp 13: Cho 
	a)Chửựng minh: M < N b) Tỡm tớch M.N c) Chửựng minh: 
	 Giaỷi: Nhaọn xeựt M vaứ N ủeàu coự 45 thửứa soỏ
	a)Vaứ	 neõn M < N
	b) Tớch M.N
	c)Vỡ M.N maứ M < N neõn ta suy ra ủửụùc : M.M <<
	tửực laứ M.M < . M < 
	 Baứi taọp 14: Cho toồng : .Chửựng minh: 
Giaỷi: Toồng S coự 30 soỏ haùng , cửự nhoựm 10 soỏ haùng laứm thaứnh moọt nhoựm .Giửừ nguyeõn tửỷ , neỏu thay maóu baống moọt maóu khaực lụựn hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ giaỷm ủi. Ngửụùc laùi , neỏu thay maóu baống moọt maóu khaực nhoỷ hụn thỡ giaự trũ cuỷa phaõn soỏ seừ taờng leõn.
	 Ta coự : 
	hay tửức laứ: Vaọy (1)
	 Maởt khaực: 
	 tửực laứ : Vaọy (2).
	 Tửứ (1) vaứ (2) suy ra :ủpcm.
một số phương pháp tính tổng
I > Phương pháp dự đoán và quy nạp :
 Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn 
Sn = a1 + a2 + .... an (1) 
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được .
 Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 
 S2 = 1 + 3 =22 
 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 
 ... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2 
 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng 
giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k 2 (2)
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) 
 Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) 
vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2 
theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh 
 vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 
 Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + .... + n = 
2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 
3, 13+23 + ..... + n3 = 
4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 
II > Phương pháp khử liên tiếp :
 Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2 
 	a2 = b2 - b3 
 	.... .... .....
 	an = bn – bn+ 1 
khi đó ta có ngay :
 Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) 
 = b1 – bn + 1 
Ví dụ 2 : tính tổng :
 S = 
Ta có : , , 
Do đó : 
S = 
Dạng tổng quát 
 Sn = ( n > 1 ) 
 = 1- 
Ví dụ 3 : tính tổng 
 Sn = 
Ta có Sn = 
 Sn = 
 Sn = 
Ví dụ 4 : tính tổng 
 Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) 
Ta có : 1! = 2! -1! 
 2.2! = 3 ! -2! 
 3.3! = 4! -3! 
 	 ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! 
 = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng 
Sn = 
Ta có : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó Sn = ( 1- 
 = 1- 
III > Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: 
Ví dụ 6 : Tính tổng 
 S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) 
 ta viết lại S như sau :
 S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )
 S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) 
 => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
S = 2101-1
Ví dụ 7 : tính tổng 
 Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1) 
Ta viết lại Sn dưới dạng sau : 
Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )
Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) 
Sn = 1+p ( Sn –pn ) 
Sn = 1 +p.Sn –p n+1 
Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 
Sn = 
Ví dụ 8 : Tính tổng 
Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) 
Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 
 = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn- ( theo VD 7 )
 Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - 
Sn = 
IV > Phương pháp tính qua các tổng đã biết 
Các kí hiệu : 
Các tính chất : 
 1, 
 2, 
Ví dụ 9 : Tính tổng :
Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) 
Ta có : Sn = 
Vì :
 (Theo I )
cho nên : Sn = 
Ví dụ 10 : Tính tổng :
Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta có : Sn = 
 = 
Theo (I) ta có :
Sn = 
Ví dụ 11 . Tính tổng 
Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 
 ta có : 
Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]
 = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) 
Sn = ( theo (I) – 3 )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 
= (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 ) 
Cơ sở lý thuyết :
 + để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: 
 Số số hạng = ( số cuối – số đầu 0 : ( khoảng cách ) + 1 
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:
 Tổng = ( số đầu – số cuối ) .( số số hạng ) :2 
Ví dụ 12 : 
Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132 
Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
 A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 
Ví dụ 13 : Tính tổng 
 B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 
 số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 
 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm toán 
Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) 
Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1) 
Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) 
 = k( k+1) 
	 = k (k+1) .3 
	 = 3k(k+1) 
Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1). 	
	 = 	 *
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 
 => 1.2 = 
S = 
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng :
 k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) 
 từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2) 
Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) 
	= k( k+1) ( k +2 ) .4
Rút ra : k(k+1) (k+2) = 
áp dụng : 1.2.3 = 
 2.3.4 = 
 ..........................................................
 n(n+1) (n+2) = 
Cộng vế với vế ta được S = 
* Bài tập đề nghị :
Tính các tổng sau 
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 
2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 
 b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100 
 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 
3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 
5, S = 
6, S = 
7, A = 
8, M = 
9, Sn = 
10, Sn = 
11, Sn = 
12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
	 50 chữ số 9 
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 
 Tính S100 =? 
 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 
 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 
 c, 1 + 
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 
15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 là luỹ thừa của 2 
 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60 3 ; 7; 15
 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991 13 ; 41
 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1 5 
ôn tập 
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức
a) 	b) 	c)
d) 	e) f) g) 	h) i) 
j) 125%.	k) +	l) + 
m) 	n) 
p) 
Bài 2. Tìm x biết:
a) b) c) d) 
e) f) 	g) 	h)
i) 	j) 	k) 
l) 	m) 	n)60%x+=
p)	q)
Bài 3. Tìm x nguyên để các phân số sau là số nguyên a) b) c) d) 
Bài 4. Bạn Nam đọc một cuốn sách dầy 200 trang trong 3 ngày. Ngày thứ nhất bạn đọc được số trang sách. Ngày thứ hai bạn đọc được số trang còn lại. Hỏi:
Mỗi ngày bạn Nam đọc được bao nhiêu trang sách?
Tính tỉ số số trang sách trong ngày 1 và ngày 3
Ngày 1 bạn đọc được số trang chiếm bao nhiêu % số trang của cuốn sách.
Bài 5. Một lớp có 45 học sinh gồm 3 loại học lực: giỏi, khá, trung bình. Số học sinh trung bình chiếm số học sinh cả lớp, số học sinh khá bằng 60% số học sinh còn lại.
Tính số học sinh mỗi loại	b)Tính tỉ số giữa số học sinh giỏi và học sinh trung bình.
c) Số học sinh giỏi chiếm bao nhiêu phần trăm học sinh của cả lớp?
Bài 6. Bạn Nga đọc một cuốn sách trong 3 ngày. Ngày 1 bạn đọc được số trang sách. Ngày 2 bạn đọc được số trang sách còn lại. Ngày 3 bạn đọc nốt 200 trang.
Cuốn sách đó dầy bao nhiêu trang?
Tính số trang sách bạn Nga đọc được trong ngày 1; ngày 2
Tính tỉ số số trang sách mà bạn Nga đọc được trong ngày 1 và ngày 3
Ngày 1 bạn đọc được số trang sách chiếm bao nhiêu % của cuốn sách?
Bài 7. Một cửa hàng bán gạo bán hết số gạo của mình trong 3 ngày. Ngày thứ nhất bán được số gạo của cửa hàng. Ngày thứ hai bán được 26 tấn. Ngày thứ ba bán được số gạo chỉ bằng 25% số gạo bán được trong ngày 1.
Ban đầu cửa hàng có bao nhiêu tấn gạo?
Tính số gạo mà cửa hàng bán được trong ngày 1; ngày 3
Tính tỉ số số gạo cửa hàng bán được trong ngày 2 và ngày 1.
Số gạo cửa hàng bán được trong ngày 1 chiếm bao nhiêu % số gạo của cửa hàng?
Bài 8. Một bà bán cam bán lần đầu hết và 1 quả. Lần thứ hai bán còn lại và 1 quả. Lần 3 bán được 29 quả cam thì vừa hết số cam. Hỏi ban đầu bà có bao nhiêu quả cam?
Bài 9. Chứng minh các phân số sau là các phân số tối giản:
Bài 10. Tìm x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 11. Tìm x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 12. Chứng minh rằng:
a) 	b) 
c) 
Bài 13. Tính tổng