Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Hà Đức Tư

Chuyên đề bồi dưỡng HSG lớp 6 phần số học
Bài 1 : TìM CHữ Số TậN CùNG
Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không có trong chương trình. Vì thế có không ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được. 
Qua tiết học này thầy sẽ trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bài toán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS. 
Chúng ta xuất phát từ tính chất sau : 
Tính chất 1 : 
a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. 
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6. 
Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. 
- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6. 
- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9, vì am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, 3 nên từ tính chất 1c => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar. 
- Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên, từ tính chất 1d => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar. 
Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 
a) 799   	b) 141414   	c) 4567
Lời giải : 
a) 	Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 :
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 +  + 9 + 1) chia hết cho 4
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) 
=> 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) 
=> 799 có chữ số tận cùng là 7.
b) 	Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) 
=> theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6.
c) 	Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 
=> 567 = 4k + 1 (k thuộc N)
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6
Nên 4567 có chữ số tận cùng là 4. 
Tính chất sau được => từ tính chất 1. 
Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. 
Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 +  + 20048009. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng : 
(2 + 3 +  + 9) + 199.(1 + 2 +  + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 +  + 9) + 9 = 9009. 
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. 
Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3. 
Tính chất 3 : 
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. 
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. 
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. 
Bài toán 3 : Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 +  + 20048011. 
Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7 ; 411 có chữ số tận cùng là 4 ;  
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : 
(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. 
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9. 
* Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo. 
Bài toán 4 : Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. 
Lời giải : 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. 
Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ? 
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 
=> n2 + n + 1 không chia hết cho 5. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000. 
Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0 ; 1; 4; 5; 6; 9, ta có thể giải được bài toán sau: 
Bài toán 5 : Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương: 
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) 
b) N = 20042004k + 2003 
Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1 ; 3 ; 7 ; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán : 
Bài toán 6 : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. 
Chứng minh rằng : p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5. 
* Các bạn hãy giải các bài tập sau : 
Bài 1 : Tìm số dư của các phép chia : 
a) 21 + 35 + 49 +  + 20038005 cho 5 
b) 23 + 37 + 411 +  + 20038007 cho 5 
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của X, Y : 
X = 22 + 36 + 410 +  + 20048010 
Y = 28 + 312 + 416 +  + 20048016 
Bài 3 : Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau : 
U = 21 + 35 + 49 +  + 20058013 
V = 23 + 37 + 411 +  + 20058015 
Bài 4 : Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004. 
* Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này. 
* Tìm hai chữ số tận cùng 
Nhận xét : Nếu x N và x = 100k + y, trong đó k ; y N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. 
Hiển nhiên là y < x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). 
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. 
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x = am như sau : 
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am 2m. 
Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 25. 
Viết m = pn + q (p ; q N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq # 4 ta có :
x = am = aq(apn - 1) + aq. 
Vì an - 1 25 => apn - 1 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1)100. 
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. 
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 100. 
Viết m = un + v (u ; v # N, 0 # v < n) ta có : 
x = am = av(aun - 1) + av. 
Vì an - 1 100 => aun - 1 100. 
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av. 
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av. 
Bài toán 7 : 
Tìm hai chữ số tận cùng của các số : 
a)   a2003     b)  799 
Lời giải : a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 2n - 1 25. 
Ta có 	210 	= 1024 
=> 210 + 1 	= 1025 25 
=> 220 - 1 	= (210 + 1)(210 - 1) 25 
=> 23(220 - 1) 100. 
Mặt khác : 22003 	= 23(22000 - 1) + 23 
= 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k # N). 
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. 
b)   Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 7n - 1 100. 
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 100. 
Mặt khác : 99 - 1 4 => 99 = 4k + 1 (k N) 
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q # N) 
Tận cùng bởi hai chữ số 07. 
Bài toán 8 : 
Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25. 
Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3517. 
Do số này lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 # 100. 
Ta có 310 = 95 = 59049 
=> 310 + 1 50 
=> 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) 100. 
Mặt khác : 516 - 1 4 
=>5(516 - 1) 20
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 
=>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, 
có hai chữ số tận cùng là 43. 
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18. 
Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. 
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn giá trị đúng. 
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n = 4. 
Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). 
Tính chất 4 : Nếu a N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1 25. 
Bài toán 9 : Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng : 
a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002 
b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003 
Lời giải : 
a) Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho 4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25. 
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a # N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1 25. 
Vậy với mọi a N ta có a2(a100 - 1) 100. 
Do đó S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042. 
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng 12 + 22 + 32 + ... + 20042. áp dụng công thức : 
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 
=>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30. 
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. 
b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + ... + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043. Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 13 + 23 + 33 + ... + 20043. 
áp dụng công thức : 
=> 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận cùng là 00. 
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. 
Trở lại bài toán 5 (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng. 
Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). 
Tính chất 5 : Số tự nhiên A không ph ...  ? 
- Đó là thần TT (1) 
Ông hỏi thần ngồi giữa : 
- Ngài là ai ? 
- Ta là thần KN (2) 
Sau cùng ông hỏi thần bên phải : 
- Ai ngồi cạnh ngài ? 
- Đó là thần DT (3) 
Nhà hiền triết thốt lên : 
- Tôi đã xác định được các vị thần. 
Hỏi nhà hiền triết đã suy luận như thế nào ? 
Lời giải : Gọi 3 vị thần theo thứ tự từ trái sang phải là : A, B, C. 
Từ câu trả lời (1) => A không phải là thần TT. 
Từ câu trả lời (2) => B không phải là thần TT. 
Vậy C là thần TT. Theo (3) B là thần DT; A là thần KN 
Nhận xét : Cả 3 câu hỏi đều tập trung xác định thần B, phải chăng đó là cách hỏi “thông minh” của nhà hiền triết để tìm ra 3 vị thần ? Câu trả lời không phải, mà là nhà hiền triết gặp may do 3 vị thần đã trả lời câu hỏi không “khôn ngoan” ! 
Nếu 3 vị thần trả lời “khôn ngoan” nhất mà vẫn đảm bảo tính chất của từng vị thần thì sau 3 câu hỏi, nhà hiền triết cũng không thể xác định được vị thần nào. Ta sẽ thấy rõ hơn qua phân tích sau về 2 cách hỏi của nhà hiền triết : 
1. Hỏi thần X : 
- Ngài là ai ? 
Có 3 khả năng trả lời sau : 
- Ta là thần TT => không xác định được X (Cách trả lời khôn nhất) 
- Ta là thần KN => X là thần KN hoặc DT 
- Ta là thần DT => X là KN 
2. Hỏi thần X : 
- Ai ngồi cạnh ngài ? 
Cũng có 3 khả năng trả lời sau : 
- Đó là thần TT => thần X khác thần TT 
- Đó là thần KN => không xác định được X (cách trả lời khôn nhất) 
- Đó là thần DT => không xác định được X (cách trả lời khôn nhất) 
Trong cả 2 cách hỏi của nhà hiền triết đều có cách trả lời khiến nhà hiền triết không có được một thông tin nào về ba vị thần thì làm sao mà xác định được các vị thần. Nếu gặp may (do sự trả lời ngờ nghệch) thì chỉ cần sau 2 câu hỏi nhà hiền triết cũng đủ để xác định 3 vị thần. Các bạn tự tìm xem trường hợp đó các câu trả lời của các vị thần là như thế nào nhé. 
Bài toán cổ này thật là hay và dí dỏm, nhưng nếu các vị thần trả lời theo các phương án “khôn ngoan” nhất thì có cách nào để xác định được 3 vị thần sau 1 số ít nhất câu hỏi được không ? 
Rõ ràng là không thể đặt câu hỏi như nhà hiền triết được. 
Phải hỏi như thế nào để thu được nhiều thông tin nhất ? 
Bây giờ ta đặt vấn đề như sau : 
Mỗi lần hỏi chỉ được hỏi 1 vị thần và chính vị đó trả lời. Cần hỏi như thế nào để sau một số ít nhất câu hỏi ta xác định được các vị thần. Bài toán rõ ràng là không dễ chút nào, nhưng tôi tin rằng các bạn sẽ tìm ra nhiều phương án tối ưu đấy ! Sau đây là một phương án của tôi. 
Hỏi thần A : 
- Ngài là thần KN ? 
- Nhận được câu trả lời. 
Hỏi thần B : 
- Ngài là thần KN ? 
- Nhận được câu trả lời. 
Sau đó tôi chỉ cần hỏi thêm 1 hoặc 2 câu nữa là xác định được chính xác 3 vị thần. Như vậy số câu hỏi nhiều nhất là 4. Các bạn có thể rút số câu hỏi xuống dưới 4 được không ? 
Xin mời các bạn hãy giải trí bài toán này bằng một phương án tuyệt vời nào đó (Nhớ là chỉ hỏi một thần và chính vị đó trả lời) 
Bài 8. Dãy số viết theo quy luật
A. Dạng 1: Sử dụng công thức tổng quát sau:
- - - Chứng minh - - -
*Bài 1.1: 	Tính
a) 	b) 
c) 	d) 
*Bài 1.2: 	Tính:
a) 	b) 
c) 
*Bài 1.3: 	Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a) 	b) 
c) 
*Bài 1.4: 	Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) 
b) 
*Bài 1.5: 	Chứng minh rằng với mọi ta có:
*Bài 1.6: Cho Chứng minh: 
*Bài 1.7: 	Cho dãy số : 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
*Bài 1.8: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.9: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.10: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.11: Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.12: Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.13: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.14: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.15: 	Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.16:	 Cho . Chứng minh: 
*Bài 1.17: 	Cho . Tìm phần nguyên của B.
*Bài 1.18: 	Cho . Chứng minh C > 48
*Bài 1.19: 	Cho . Chứng minh 
*Bài1.20: 	Cho . Chứng minh 97 < N < 98.
*Bài1.21: Chứng minh 
*Bài1.22: 	Cho . Chứng minh rằng: 
Mở rộng với tích nhiều thừa số
Chứng minh:
*Bài 1.23: 	Tính 
*Bài 1.24: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.25: 	Cho . Chứng minh B < 3
*Bài 1.26: 	Cho . Chứng minh 
*Bài 1.27: 	Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có:
*Bài 1.28:	 Tính 
*Bài 1.29: 	Tính 
*Bài 1.30: 	Tính: 
*Bài 1. 31: 	Tính: 
*Bài 1.32: 	Cho 
 So sánh S với 
B. Dạng 2: Dãy luỹ thừa với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính : 
Bài 2.2: Tính: 
Bài 2.3: Tính: 
Bài 2.4: Tính: 
Bài 2.5: Cho . Chứng minh 
Bài 2.6: Cho . Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.8: Cho . Chứng minh: D < 1.
Bài 2.9: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.10: Cho với n N*. Chứng minh: 
Bài 2.11: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.12: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.13: Cho . Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho . Chứng minh: 
Bài 2.15: Cho . Chứng minh: L < 4,5.
C. Dạng 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: 	Tính: .
Bài 3.2:	 Cho dãy số: 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính: .
Bài 3.4: Cho . Chứng minh: 
HD: Ta có (1)
 (2)
Nhân (1) và (2) theo từng vế ta được:
Bài 3.5: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.6: Tính: 
Bài 3.7: Tính: .
Bài 3.8: Tính: .
Bài 3.9: Tính: .
Bài 3.10: Tính: 
Bài 3.11: Cho . So sánh K với 
Bài 3.12: So sánh với 
Bài 3.13: So sánh với 
Bài 3.14: Tính: 
Bài 3.15: Tính .
Bài 3.16: Tính: 
Bài 3.17: Tính: 
Bài 3.18: So sánh: và 
Bài 3.19: Cho . Chứng minh V < 2.
Bài 3.20: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.21: Cho . Chứng minh: 
Bài 3.22: Tính: 
Bài 3.23: Tính: 
Bài 3.24: Tính: , với n N, 
Bài 3.25: Cho 
và với n N*. Tính 
Bài 3.26: Cho và 
Tính: G + H.
Bài 3.27: Cho với n N.
Chứng minh: 
Bài 3.28: Cho dãy số: 
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của 
Bài 3.29: Cho và với n N
a) Chứng minh : là số tự nhiên
b) Tìm n để M là số nguyên tố.
Bài 3.30: Cho 
 với n N
a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên.
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45.
Bài 3.31: Cho .( với n N ) Chứng minh: A < 3.
D. Dạng 4: Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:
Bài 4.1: 	Tính:
Xét tổng: ( gồm có 98 tổng)
Ta thấy : số 1 có mặt ở 98 tổng ; số 2 có mặt ở 97 tổng ; số 3 có mặt ở 96 tổng ;; số 97 có mặt ở 2 tổng ; số 98 có mặt ở 1 tổng . Do đó 
= 1.98+2.97+3.96++97.2+98.1
ĐS: A = 1 
Bài 4.2: 	Tính: 
HD: Theo bài 4.1, ta có 1.98+2.97+3.96++97.2+98.1
= .
áp dụng công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp ta được:
= 
== 
Bài 4.3: 	Tính: 
Bài 4.4: 	Tính: 
HD: Ta có : = (1 - ) + (1 - ) + + (1 - ) = + ++ 
ĐS: D = 1
Bài 4.5: 	Tính: 
HD: Ta chứng minh cho : = 
 = 
ĐS: E = 1
Bài 4.6: 	Tính 
Bài 4.7: 	Tính (Đáp số : G = 0)
Bài 4.8: 	Tính 
HD:Ta có:
Vậy H = 100
Bài 4.9: 	Tính 	(Đáp số : L = )
Bài 4.10: 	Tính 	(Đáp số : K = 7)
Bài 4.11: 	Tính 
HD: 
Bài 4.12: 	Tính (Đáp số : L = )
Bài 4.13: 	Tính 
HD: N = 
 = 
 = 
Bài 4.14: 	Tính 
HD: 
Bài 4.15:	 Tính 
HD: Ta có : = (1 + ) + ( + ) +( + ) ++.( + ) 
 = + 
 = 100.()
 = 50. ()
Vậy Q = 50
Bài 4.16: 	Tính 
HD:Ta có:
Làm tựơng tự như bài 4.8 Ta có đáp số R = 
Bài 4.17: 
HD: Đặt V = x:y
Ta có x = 100(Theo bài 4.8) 
Vậy V = 
*Bài 4.18: Cho:	; 
Tính tỷ số 
HD: 
Ta có : 
= 
----------Hết---------
Đáp an
Câu 1.8: HD: Ta có : 
 < 
Câu 1.18: HD: C = (1 - ) + (1 - ) + (1 - ) + + (1 - ) = 49 – () > 48
Câu 1.21: HD: 
Câu 1.22: HD: áp dụng phương pháp làm trội.
Ta có : 
Câu 1.24: HD: 	
Câu 1.32: v Hướng dẫn:
Áp dụng vào bài toỏn với m ẻ {2; 2 , ., 2 } và k ẻ { 2005, 2005 , } ta cú:
Chuyên đề: GIúP HọC SINH GIảI TốT
 TRƯớC KHI HọC BàI QUY TắC CHUYểN Vế
Đặt vấn đề :
Lý do chọn chuyên đề:
Qua thực tế giảng dạy Toán 6 tôi thấy,rất nhiều em không giải được bài toán tìm x (phương trình bậc nhất một ẩn ).
Mục tiêu
 Sau nhiều năm tìm hiểu ,tìm cách giúp học sinh lớp 6 giải được bài toán tìm x.Tôi xin ghi lại một số kinh nghiệm của mình nhằm:
Chia xẽ thông tin, kinh nghiệm trong giảng dạy
Giúp học sinh tự tin hơn trong học Toán
Giới hạn chuyên đề
Thực hiện ở các tiết từ đầu học kỳ I đến bài qui tắc chuyển vế
Giải quyết vấn đề :
A / Chuẩn bị:
Đối với giáo viên:
Lập kế hoạch ôn tập trước những kiến thức đã học có liên quan đến nội dung giải bài toán tìm x
Chọn các dạng toán tìm x cơ bản và mở rộng để giúp học sinh hiểu rõ vấn đề
Chọn thêm một số bài toán nâng cao cho học sinh khá, giỏi
Chọn thêm một số bài toán dạng tương tự cho học sinh trung bình và yếu
Đối với học sinh :
Học thuộc 6 qui tắc tìm x cơ bản ở tiểu học
Nhận dạng đựơc tên của các số trong bốn phép tính cơ bản ở tiểu học
 B/Trình tự chung :
 B..a/Phân tích đề :
 Dạng cơ bản
 ở tiểu học, các em đã biết giải các bài toán tìm x cơ bản:
a + x = b (1) 
a – x = b (2) 
x – a = b (3) 
x.a = b (4) 
x : a = b (5) 
a : x = b (6) 
Các em phải thuộc 6 qui tắc tìm x ở dạng này(ở tiểu học các em đã học)
 Dạng mở rộng
Thường gặp là các dạng kết hợp giữa (1);(2);(3) với (4);(5);(6):
Ví dụ :(1)kết hợp với (4): a + x . c = d 
 hoặc a. ( x + b ) = c
 Dạng tích (ít gặp,thường là dành cho học sinh giỏi):
(x+a)(b+x)(x-c)=o
 B..b/Cách giải :
Dạng cơ bản:Các em thực hiện đọc qui tắc rồi tự giải
Dạng mở rộng
Bước1:Tìm phần ưu tiên 
 - Đối với dạng này, chúng ta yêu câu các em thực hiện ưu tiên tìm 
Phần trong ngoặc ,hoặc 
Tích, hoặc 
Thương
 có chứa x trước
 - Sau khi rút gọn vế phải,nhớ yêu cầu các em phân tích: “ Tìm phần ưu tiên” ,nếu có, tiếp theolàm như thế cho đến khi được kết quả là bài toán cơ bản
 Bước2:Giải bài toán cơ bản
 Phần này, các em đã biết cách làm khi học tiểu học. Nếu các em quên chúng ta gợi ý :
Xem số phải tìm là số gì (thừa số,số hạng,) trong phép tính
Đọc qui tắc tìm (6 qui tắc mà các em đã biết)
Giải 
Trả lời
Dạng tích:
 Từ (x-a)(x -b)(x-c)=0 ta suy ra
 Hoặc x-a=0, hoặc x-b=0, hoặc x-c=0, từ đó suy ra kết quả và trả lời
 B..c/Ví dụ :
Tìm x ,biết: 
 Giải
 Chú ý
 Với dạng có rất nhiều dấu ngoặc như ví dụ trên ta yêu cầu học sinh ưu tiên tìm phần trong ngoặc theo thứ tự: 
Tìm x,biết :(x-2)(x-4)(x-8)=0
 Giải
 (x-2)(x-4)(x-8)=0
 hoặc x - 2 = 0 x = 2
 hoặc x - 4 = 0 x = 4
 hoặc x - 8 = 0 x = 8
Vậy : x 
Biện pháp :
Trong các tiết ôn tập , luyện tập, giáo viên soạn thêm nhiều bài tương tự để học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán tìm x mà bản thân các em còn yếu 
Giáo viên cho bài tập tương tự từ đơn giản đến khó để các em nâng cao kiến thức
Tác dụng của chuyên đề :
Giúp học sinh nắm vững cơ bản để giải dạng toán tìm x
Tạo cho các em lòng tự tin, dẫn đến sáng tạo trong giải toán,trong học tập và sau này là cuộc sống