Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT Quốc học - Năm học 2006-2007

 Sở Giáo dục-đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH VàO LớP 10 thpt qUốC HọC 
 Thừa Thiên Huế Khóa ngày 19.6.2006 
 Đề chính thức Môn: TOáN 
Số báo danh: ............. Phòng: Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (1 điểm) 
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi): 3 + 7 và 19 . 
Bài 2: (1 điểm) 
a) Biến đổi 3 1x x− + về dạng 2A b+ với b là hằng số và A là một biểu thức. 
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức 
1
3 1x x− + . Giá trị đó đạt đ−ợc khi x bằng bao 
nhiêu ? 
Bài 3: (1,25 điểm) 
Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng song song với đ−ờng thẳng d 2 1x y+ = và đi qua giao 
điểm của hai đ−ờng thẳng d x1 : 2 3 4y− = và 2 : 3 5d x y+ = . 
Bài 4: (1,25 điểm) 
Cho ph−ơng trình . Tìm giá trị của , biết rằng ph−ơng trình đã cho có hai 
nghiệm x
2 6 4x mx− + = 0 m
1 và x2 thỏa mãn điều kiện 2 2
1 2
1 1
2x x
7+ = . 
Bài 5: (1,5 điểm) 
Một máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh tr−ớc. Khi bơm căng, bánh xe 
sau có bán kính lớn hơn bán kính bánh xe tr−ớc là 25 cm. Khi đi trên đoạn đ−ờng dài 314m thì 
bánh xe tr−ớc quay nhiều hơn bánh xe sau 40 vòng. Tính bán kính của mỗi bánh xe tr−ớc và 
sau. Cho biết 3,14π = . 
Bài 6: (0,75 điểm) 
Từ một đài quan sát của một con tàu cao 15m so với mực n−ớc biển, ng−ời thủy thủ bắt đầu 
nhìn thấy đỉnh của ngọn hải đăng. Hỏi khi đó con tàu cách ngọn hải đăng bao nhiêu kilômét ? 
Biết rằng theo bản đồ hàng hải, cột hải đăng đó cao 90m so với mực n−ớc biển và bán kính của 
Trái Đất gần bằng 6400km. 
Bài 7: (1,75 điểm) 
 Cho đ−ờng tròn (O) tâm O, bán kính R. Trên (O) cho 
các điểm B, C cố định và A di động. EF là đ−ờng kính 
vuông góc với BC. Gọi I là tâm của đ−ờng tròn nội tiếp tam 
giác ABC. Khi A chạy trên (O) thì I chạy trên các đ−ờng 
nào ? Nêu cách dựng các đ−ờng đó. 
Bài 8: (1,5 điểm) 
Một cái phểu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính 
đáy bằng R và phần còn lại có dạng hình nón, chiều cao 
bằng 2R. Phểu chứa n−ớc có mực n−ớc đến sát đáy hình 
nón. Ng−ời ta thả vào một quả bi hình cầu bằng kim loại vào 
thì nó đặt vừa khít trong hình nón (hình vẽ). Tính chiều cao 
cột n−ớc dâng lên theo R. 
Hết 
R
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt qUốC HọC 
 Thừa Thiên Huế Năm học 2005-2006 
 Đề chính thức Đáp án và thang điểm 
Bài ý Nội dung Điểm
1 1,0 
Đ−a về so sánh ( )23 7+ với ( )219 19= 
hay so sánh 10 với 19 = 10 + 9, hay so sánh 2 21+ 2 21 với 9. 
Ta có ( )2 22 21 84 81 9= > = , 
suy ra: ( ) ( )2 22 21 9 3 7 19 3 7 1> ⇒ + > ⇒ + > 9 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
2 1,0 
 2.a ( ) ( )2 22 3 3 1 3 1 13 1 2 , 02 2 4 2 4 4x x x x x x   − + = − ⋅ ⋅ + + = − + ≥ ≥          0,50
 2.b 
Suy ra 3 1x x− + đạt giá trị nhỏ nhất là 1
4
 khi 
3 30
2 4
x x− = ⇔ = 0,25
 Do đó 1
3 1x x− + đạt giá trị lớn nhất là khi 4
3
4
x = 0,25
3 1,25 
 + Đ−ờng thẳng 1 12 1
2 2
x y y x+ = ⇔ = − + , nên có hệ số góc 1
2
a = − 0,25 
 + Đ−ờng thẳng d song song với đ−ờng thẳng 2 1x y+ = , nên 
1 1:
2 2
d y x b b = − + ≠   
0,25 
 + Tọa độ giao điểm M của d1 và d2 là nghiệm của hệ ph−ơng trình: 
2 3
3 5
x y
x y
− = + =
4
+ Giải hệ ph−ơng trình ta có 19 2;
11 11
M  −   
0,25 
 + Đ−ờng thẳng d đi qua M nên: 2 19 15
11 22 22 2
b b 1− = − + ⇔ = ≠ 
+ Vậy ph−ơng trình của đ−ờng thẳng 1 15: 11
2 22
x x y22 15d y = − + ⇔ + = 
0,25 
0,25 
4 1,25 
 Ta có: 2' 9 4m∆ = − 0,25 
 Để ph−ơng trình có 2 nghiệm x1, x2 cần và đủ là: 
 2 2
4 2 2' 9 4 0 | |
9 3 3
m m m m haym∆ = − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ − ≥ 2
3
0,25 
Theo giả thiết: 
( )22 2 1 2 1 21 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
21 1 7 7
2 2
x x x xx x
x x x x x x
+ −++ = ⇔ = ⇔ = 7
2
2
236 8 7 16 4
16 2 9 3
m m m− = ⇔ = ⇔ = ± . Cả hai giá trị này của đều thỏa mãn 
điều kiện 
m
2
3
m ≥| | . 
Vậy các giá trị của m thỏa mãn điều kiện của bài toán là: 
4
3
m = ± 
0,25 
0,50 
5 1,50 
 Gọi x (m) là bán kính của bánh xe tr−ớc. Điều kiện: x > 0. 0,25 
 Khi đó bán kính của bánh xe sau x + 0,25 (m) 
Chu vi của bánh xe tr−ớc và sau là: 2 6,28 ;2 ( 0,25) 6,28( 0,25)x x x xπ π= + = +
0,25 
 Theo giả thiết: 314 314 50 5040 40
6,28 6,26( 0,25) 0,25x x x x
= + ⇔ − =+ + 
24 1,25x x⇔ + − = 0 
0,25 
0,25 
Giải ph−ơng trình ta đ−ợc: 1
1 21 0
8
x − −= < (loại), 2 1 21 0,458x m
− += ≈ 0,25 
Vậy: Bán kính của bánh xe tr−ớc là: 1 21 0,45
8
m− + ≈ và bán kính của bánh 
xe sau là: 
1 21 0,70
8
m+ ≈ 
0,25 
6 0,75 
 Gọi A là vị trí của đài quan sát trên tàu, C là đỉnh 
ngọn hải đăng. Khi A nhìn thấy C thì AC là tiếp 
tuyến của trái đất, tiếp điểm là B. 
2 26400.015 6400 13,9AB km= − ≈ 
2 26400.09 6400 33,9BC k= − ≈ m 
Vậy khi nhìn thấy ngọn hải đăng, thì con tàu cách 
đó khoảng 47, . 8km
+ Nếu học sinh tính độ dài tổng 2 cung 
(sử dụng máy tính bỏ tuí): 
đd
ẳ ẳ' , 'A B C B
ẳ 12 6400' cos 13,9
360
A B kmπ −⋅= ⋅ ≈6400
6400.015
    , t−ơng tự với 
đdC B , vẫn cho điểm tối đa. ẳ' 33,8km≈
0,25 
0,25 
0,25 
7 1,75 
 + Tâm đ−ờng tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm I của 3 đ−ờng phân giác 
trong của tam giác, nên: 
ã ã à à à
0180
2 2 2
B C AIBC ICB −+ = + = ã à090
2
ABIC⇒ = + 
+ Khi A chạy trên cung lớn ẳBFC : 
0,25 
C' A' 
à ẳ
2
BECA α= = (không đổi), nên: ã à0 090 90
2 2
ABIC α= + = + (không đổi). 
 Do đó I chạy trên cung chứa góc 0
2
90 α+ dựng trên đoạn BC ở bên trong (O) 
0,25 
0,25 
 Cách dựng: Ta có đ−ờng kính 
EF vuông góc với dây BC, 
nên E và F là trung điểm của 
hai cung tr−ơng bởi BC và 
ãEBF 090= . 
 Suy ra ã
ẳ
2 2
ECEBC α= = . 
Trên tia đối của tia BF lấy 
điểm F', thì góc 
ã 0' 90
2
F BC α= + . 
Theo cách dựng cung quỹ 
tích thì E là tâm của cung chứa góc 090
2
α+ dựng trên đoạn BC ở bên trong (O). 
+ Khi A chạy trên cung nhỏ ẳBEC : 
(không đổi)à ãA BEC= ã ã090
2
BECBIC⇒ = + (không đổi). 
Do đó I chạy trên cung chứa góc 
ã
090
2
BEC+ dựng trên đoạn BC ở bên trong 
(O). 
 dựng: T−ơng tự nh− trên, điểm F là tâm của cung tròn quĩ tích. Cách
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 + Hình cầu đặt khít hình nón, nên đ−ờng tròn lớn 
, ta có: 
của nó nội tiếp trong tam giác cân SAB, với SA, SB 
là hai đ−ờng sinh và AB là đ−ờng kính đáy của đáy 
hình nón. Gọi I là tâm và r là bán kính hình cầu, thì 
BI là phân giác góc SBA. 
+ Theo tính chất phân giác
IO OB IO OB
IS SB IO IS OB SB
= ⇒ =+ + 
2
2 5 1
r R r
R R R
⇒ = ⇒ =+ + 5
R
,25 
,25 
0,25 
0
0
8 1,50 
 + Thể tích hình cầu bằng thể tích cột n−ớc hình trụ dâng lên có chiều cao x > 0, 
nên ta có : 
( )
3
3 2
32
4 4
3 3 3 1 5
r Rr R x x
R
π π= ⇔ = =
+
32
Vậy chiều cao của cột n−ớc dâng lên là: ( )3
32
3 1 5
Rx =
+
+ Cách 2: (sử dụng máy tính hoặc 
bảng số). 
ã ã 1 02 tan (2) 63 2tgSBO SBO −= ⇒ = ≈ 6 '6"
Suy ra: ã ã031 43'3" 0,62IBO r Rtg IBO R≈ ⇒ = ≈ . 
Do đó: 
3
3 2
2
4 4 0,32
3 3
rr R x x
R
π π= ⇔ = ≈ R 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25