Đề tài Rèn kĩ năng tìm ước chung nhỏ nhất - Bội chung nhỏ nhất và các bài toán liên quan

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO GIAO THUỶ
TRƯỜNG THCS GIAO T ÂN
SÁNG KIẾN DỰ THI CẤP HUYỆN
BÁO CÁO SÁNG KIẾN
RÈN KĨ NĂNG TÌM ƯCLN - BCNN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 Tác giả: PHẠM VĂN THUÂN
 Trình độ chuyên môn: CAO ĐẲNG - TOÁN
 Chức vụ: GIÁO VIÊN
 Nơi công tác: TRƯỜNG THCS GIAO LẠC
Giao Lạc, ngày 05 tháng 02 năm 2011
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến:
 Rèn kĩ năng tìm ƯCLN – BCNN và các bài toán liên quan.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
 Áp dụng cho học sinh lớp 6.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:
 Từ ngày 10 tháng 11 năm 2010 đến ngày 20 tháng 12 năm 2010.
 4. Tác giả:
Họ và tên: Phạm Văn Thuân
Nơi sinh: Giao Châu – Giao Thuỷ - Nam Định
Nơi thường trú: Giao Châu – Giao Thuỷ - Nam Định
Trình độ chuyên môn: Cao dẳng – chuyên ngành: Toán
Chức vụ công tác: Giáo viên Trường THCS Giao Lạc
Nơi làm việc: Trường THCS Giao Tân – Giao Thuỷ - Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Trường THCS Giao Tân – Giao Thuỷ - Nam Định
Điện thoại: - DĐ: 
 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THCS Giao Tân
Địa chỉ: Xã Giao Tân – Giao Thuỷ - Nam Định
Điện thoại: Cơ quan: 
I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
 Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng lớn lao và quan trọng. Trong thời đại công nghiệp hoá hiện đại hoá hiện nay nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí. Vì vậy phải có chiến lược nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học. Vậy dạy toán ở trường THCS ngoài mục đích cung cấp tri thức toán học cho học sinh, điều đặc biệt là phải dạy cho học sinh cách phân tích, nghiên cứu, tìm tòi, đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kiến thức.
	Với mục tiêu trên việc lên lớp và truyền thụ kiến thức cho học sinh vô cùng quan trọng. Vì vậy, tôi đã đặt ra cho mình mục tiêu giáo dục nhằm hình thành và phát triển các kỹ năng cơ bản và sử dụng phương pháp linh hoạt, phát triển năng lực trí tuệ, khả năng tư duy, quan sát, dự đoán và tưởng tượng, tư duy lôgíc, cách sử dụng ngôn ngữ . có khả năng thích ứng với những thay đổi của cuộc sống, biết diễn đạt ý tưởng của mình và nắm bắt được ý tưởng của người khác. Hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập sáng tạo, nâng cao khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh.
II. Thực trạng: 
 Trong quá trình dạy toán ở Trường THCS Giao Lạc do đối tượng học sinh không đồng đều, điều kiện cơ sở vật chất còn chưa đầy đủ, tình hình kinh tế của dân còn khó khăn nên ít có điều kiện quan tâm đến việc học của con em mình, đa số các em chưa ý thức được cho mình việc học tập.
Trên cơ sở củng cố và phát triển những kết quả của tiểu học, mục tiêu chung của giáo dục THCS là “ Tiếp tục phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản của nhân cách người Việt Nam XHCN có trình độ học vấn và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học THPT, THCN học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”. 
 Với thực trạng trên việc lên lớp và truyền thụ kiến thức cho học sinh còn nhiều hạn chế và kết quả đạt được chưa cao. Vì vậy tôi đã đặt ra cho mình mục tiêu giáo dục nhằm hình thành và phát triển các kỹ năng cơ bản về phương pháp học tập và ý thúc tự giác cho học sinh. Với học sinh lớp 6 việc học toán và khả năng nhận biết, phân tích bài toán là vô cùng quan trọng, vì vậy việc hướng dẫn học sinh cách học như thế nào để đạt hiệu qủa cao là một vấn đề mà tất cả mọi giáo viên đều quan tâm. “ Hướng dẫn học sinh cách tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất” (ƯCLN và BCNN ¦) là một phần quan trọng trong chương trình số học 6 vì nó liên quan đến nhiều kiến thức ở các lớp tiếp theo. Vì vậy tôi đã hướng dẫn học sinh cách tìm tòi bài toán để giúp các em có kỹ năng học tập tốt hơn đặc biệt giúp các em có kỹ năng và kiến thức về ƯCLN và BCNN.
III. Các giải pháp: 
1. Tìm hiểu nội dung chương trình:
	ƯCLN và BCNN là một phần kiến thức quan trọng của chương trình số học, vì nó có liên quan đến nhiều kiến thức khác. Vì vậy việc nắm vững nội dung và làm thành thạo các bước tìm ƯCLN và BCNN là rất quan trọng. Giáo viên phải truyền đạt và khắc sâu kiến thức cơ bản như:
- Thế nào là ƯCLN của hai hay nhiều số, thế nào là hai số nguyên tố cùng nhau.
- Biết tìm ƯCLN và BCNN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố. Tìm hợp lý trong tong trường hợp cụ thể và vận dụng được vào trong các bài toán cụ thể.
-Phân biệt được điểm giống và khác nhau giữa hai quy tắc tìm ƯCLN và BCNN.
2 . Các biện pháp để tổ chức thực hiện:
 Trước hết giáo viên cần cho học sinh nắm chắc và khắc sâu các bước tìm ƯCLN và BCNN bằng hình thức đưa ra bài tập trắc nghiệm ghép đôi.
Ví dụ:
 Viết các số thứ tự chỉ cụm từ lấy từ cột A, đặt vào vị trí tương ứng phù hợp ở cột B.
STT
Cột A
Cột B
1
2
3
4
5
Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Xét các thừa số nguyên tố chung.
Xét các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Lập tích các thừa số đó, mỗi thừa số lấy số mũ nhỏ nhất.
Lập tích các thừa số nguyên tố, mỗi thừa số lấy số mũ lớn nhất.
Tìm ƯCLN
Tìm BCNN
 Sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm giáo viên đưa ra các số cụ thể và yêu cầu học sinh tìm ƯCLN và BCNN của các số.
Ví dụ: a) Tìm ƯCLN ( 36; 84; 504)
 b) Tìm BCNN ( 12; 10).
 Giáo viên yêu cầu học sinh làm theo đúng các bước của quy tắc.
Giáo viên chốt lại vấn đề rồi mở rộng cho học sinh một số tính chất của ƯCLN, BCNN và quan hệ giữa ƯCLN và BCNN.
 - Tính chất của ƯCLN:
Tính chất 1: ƯCLN ( a,b ) chia hết cho mọi ƯC ( a,b ). Nghĩa là tập hợp các
ƯC ¦ ( a, b ) bằng tập hợp các ước của ƯCLN ( a, b ).
Tính chất 2: Với mọi a, b, k Î N* thì:
	ƯCLN ( ka, kb ) = k . ƯCLN ( a, b )
Tính chất 3: Nếu các số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau 
 Số c a và c b thì c ab.
Tính chất 4: ƯCLN ( a, b, c ) = ƯCLN (ƯCLN ¦ ( a, b ), c )
	= ƯCLN (ƯCLN ¦ ( a, c ), b )
	= ƯCLN (ƯCLN ¦ ( b, c ), a )
 - Tính chất của BCNN:
Tính chất 1: Mọi BC ( a, b ) đều là bội của BCNN ( a, b ).
Tính chất 2: BCNN ( ka, kb ) = k . BCNN ( a, b ) với mọi a, b, k Î N*
Tính chất 3: BCNN ( a, b ) = a.b : ƯCLN ( a, b ).
 Để củng cố và khắc sâu các tính chất và mối quan hệ giữa ƯCLN và BCNN Giáo viên đưa ra ví dụ:
Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên, biết chúng có tổng là 27, ƯCLN là 3 và BCNN là 60:
Giáo viên hướng dẫn giải và yêu cầu học sinh nhận xét về các tính chất đã được áp dụng trong bài tập này.
Giải.
Giả sử a, b là hai số cần tìm thì phải có.
a+ b = 27, ƯCLN ( a, b ) = 3 và BCNN ( a, b ) = 60
Theo tính chất 3 ta có:
a.b = ƯCLN ( a, b ) . BCNN ( a, b ) = 3. 60 = 180.
Đặt 
Ta có: a1 + b1 = 9 và ( a1 ; b1 ) = 1.
Điều này chỉ xảy ra trong trường hợp a1 = 1, b1 = 8
 hoặc a1 = 2, b1 = 7
 hoặc a1 = 4, b1 = 5
Nếu a1 = 1, b1 = 8 thì a = 3; b = 24 a . b = 72 ¹ 180 (loại l)
Nếu a1 = 2, b1 = 7 thì a = 6; b = 21 a . b = 126 ¹ 180 (loại l)
Nếu a1 = 4, b1 = 5 thì a = 12; b =15 a . b = 180 (nhận n)
Vậy hai số cần tìm là 12 và 15.
*) Đây là một bài tập khó nên giáo viên đưa ra ở cuối bài để hướng dẫn học sinh hoặc đưa vào trong giờ học bồi dưỡng cho học sinh khắc sâu tính chất. 
*) Sau các tiết học được khắc sâu cách tìm ƯCLN và BCNN của các số Giáo viên đưa ra một số bài tập có liên quan đến tìm ƯCLN và BCNN. 
3. Một số dạng bài toán áp dụng ƯCLN và BCNN.
Dạng 1: Tìm hai số trong đó biết ƯCLN của chúng.
Ví dụ 1: Điền dấu “ X “ vào ô trống mà em chọn:
Tìm ƯCLN và BCNN
Đúng
Sai
ƯCLN ( 2003; 2 ) = 1
ƯCLN ( 8; 16; 48 ) = 8
ƯCLN ( 24; 16; 8 ) = 48
BCNNN ( 5; 7; 8 ) = 5. 7. 8 = 280
 Học sinh điền xong giáo viên có thể hỏi thêm: Những kết quả sai em có thể sửa lại cho đúng như thế nào?.
Giáo viên đưa ra một bài tập khó hơn dành cho đối tượng khá giỏi.
Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 6.
Hướng dẫn:
Bài toán này cho biết những gì? các số cần tìm phải thoả mãn đIều kiện nào?
Giải:
Gọi hai số phải tìm là a, b ( a b )
Ta có: ƯCLN ( a, b ) = 6.
Nên a =6 a/, b =6 b/ . Trong đó ( a/ , b/ ) = 1 ( a, b, a/, b/ ÎN)
Do a + b = 84 nên 6 ( a/ ; b/ ) = 84.
Þ a/ + b/ = 14.
Chọn cặp số a /, b/ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14. ( a/ b/ ) . Ta được.
a/
1
3
5
Do đó
a
6
18
30
b/
13
11
9
b
78
66
54
Dạng 2: Các bài toán phối hợp giữa BCNN và ƯCLN.
Bài tập trắc nghiệm dạng điền khuyết (dành cho học sinh trung bình).
Ví dụ 1: Điền số thích hợp vào ô trống của bảng sau.
Giáo viên: Yêu cầu học sinh nhận xét các tích của: 
 BCNN( a, b, c). ƯCLN (a, b, c) với tích: a. b.c
 ? Cho biết đã dựa vào tính chất nào.
a
4
4
20
b
5
8
20
c
7
16
20
ƯCLN ( a, b, c )
BCNN(a , b, c )
ƯCLN ( a, b, c ). BCNN(a , b, c )
a. b. c
Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10 và BCNN của chúng bằng 900.
*) Bài tập này học sinh có thể vận dụng ngay vào ví dụ 2 phần bài tập dạng 1 để làm. Giáo viên chỉ cần nhấn mạnh cho học sinh những điểm giống và khác nhau trong hai bài tập này.
Do học sinh còn chưa quen với các bài tập trình bày theo lôgíc khoa học nên giáo viên cần giải cặn kẽ từng bước cho học sinh khắc sâu.
Giải
Gọi các số phải tìm là a và b.
Giả sử a b
Ta có: ƯCLN ( a, b ) = 10.
Nên a = 10 a/ ; b = 10 b/ . Trong đó ƯCLN ( a/, b/ ) = 1. a/ b/.
Do đó: ab = 100 a/b/ (1 )
Mặt khác a.b = BCNN ( a, b ) . ƯCLN ( a, b ) = 900 . 100 = 9000 ( 2 )
Từ (1) và (2) Þ a/b/ = 90.
Ta có các trường hợp sau. 
a/
1
2
5
9
b/
90
45
18
10
a
10
20
50
90
b
900
450
180
100
 Do đó
Dạng 3: Những bài toán thực tế
Câu 1: Một lớp có 28 nam và 24 nữ.
a, Có thể chia đươc nhiêu nhất bao nhiêu tổ. Sao cho số nam trong các tổ bằng nhau và số nữ trong các tổ cũng bằng nhau ?
b, Khi đó số nam và số nữ trong mỗi tổ là bao nhiêu ?
 Giải:
a, Gọi a là số tổ nhiều nhất có thể chia được.
Theo bài ra ta có: a là ƯCLN ( 28, 24 ) (1)
 28 = 
 24 = 
=> ƯCLN ( 28, 24 ) = . (2)
Từ (1) và (2) ta có: a = 
Vậy: Số tổ nhiều nhất có thể chia là: .. (tổ)
b, Số nam trong mỗi tổ là:
 28 : .. =  ( nam )
 Số nữ trong mỗi tổ là:
 24: .. = .. (nữ)
 Đáp số: Mỗi tổ có.. nam và . nữ.
Câu 2: Học sinh khối 8 của trường Giao Lạc, khi xếp hàng 3, hàng 14, hàng 15 đều vừa đủ. Hỏi số học sinh khối 8 của trường đó là bao nhiêu? Biết số học sinh khối đó nằm trong khoảng 200 đến 300.
 Giải:
a, Gọi b là số học sinh của khối 8
 Theo bài ra ta có: b là BC ( 3, 14,15 ) và 200 < b < 300. ( 1 )
 3 = .
 14 = .
 15 = .
 => BCNN( 3, 14, 15 ) = .
 => BC ( 3, 14,15 ) = B ( .. ) =  ( 2 )
 Từ (1) và (2) ta có: b = .. 
 Vậy: Số học sinh của khối 8 là : . ( học sinh ).
* Chú ý: 
 - Nếu trong bài có từ nhiều nhất thường liên quan đến tìm ƯCLN.
 - Nếu trong bài có từ ít nhất (hoặc trong khoảng từ . đến.) thường liên quan đến tìm BCNN.
Dạng 4: Tìm ƯCLN của hai số bằng thuật toán Ơ Clít.
*) Giới thiệu thuật toán Ơ - Clít.
Ta có thể tìm ƯCLN của hai số tự nhiên không cần phân tích chúng thành thừa số nguyên tố. Theo quy tắc dưới đây gọi là thuật toán Ơ - Clít.
Để tìm ƯCLN ( a, b ) ta thực hiện.
 - Chia a cho b có số dư là r.
Nếu r = 0 thì ƯCLN ( a, b ) = b việc tìm ƯCLN dừng lại.
Nếu r > 0 ta chia b cho r được số dư r1.
Nếu r1 = 0 thì ƯCLN ( a, b ) = r . Dừng việc tìm ƯCLN.
Nếu r1 > 0 ta chia r cho r1 và lập lại quá trình như trên ƯCLN ( a, b ) là số dư khác 0 nhỏ nhất tronh dãy phép chia nói trên.
+ ) Ví dụ: Tìm ƯCLN ( 1575; 343 ).
Ta có: 1575 = 343 . 4 + 203 (dư 203 d > 0 )
 343 = 203 . 1 + 140 (dư 140 d > 0 )
203 = 140 . 63 . 2 + 14 (dư 14 d > 0 )
140 = 63 . 2 + 14 (dư 14 d > 0 )
63 = 14 . 4 + 7 (dư 7 d > 0 )
14 = 7 . 2 + 0 (chia hết c)
Ta thấy: 7 là số dư nhỏ nhất lớn hơn 0 trong dãy phép chia.
Vậy: ƯCLN ( 1575; 343 ) = 7.
Trong thực hành người ta đặt phép chia như sau:
 1575 343
 343	203 4
 203 140 1
 140 63 1
 63 14 2
 14 7 4
2
Þ ƯCLN ( 1575; 343 ) = 7.
Chú ý: Trường hợp tìm ƯCLN của ba số ta tìm ƯCLN của hai số rồi tìm ƯCLN của kết quả với số thứ 3.
Sau khi giảng đầy đủ cả hai cách làm giáo viên cho học sinh làm bài tập củng cố.
Ví dụ: Tìm ƯCLN ( 900; 420; 240 ) bằng cách phân tích thành thừa số nguyên tố và bằng thuật toán Ơ - Clít.
 Giáo viên đưa ra các dạng bài khó có liên quan và hướng dẫn cho học sinh nhằm phát hiện những nhân tài và có kế hoạch bồi dưỡng thêm.
Dạng 5: Hai số nguyên tố cùng nhau.
+. Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.
Ví dụ: Chứng minh rằng.
Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0 k) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.
2n + 1 và 3n + 1 ( n Î N ) là hai số bguyên tố cùng nhau.
Giải.
a ) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1.
Ta có: ƯCLN ( n; n + 1 ) = d.
Þ ( n + 1 ) – n d Þ 1 d Þ d = 1.
Vậy: ( n; n + 1 ) = 1 Þ nguyên tố cùng nhau.
b ) Gọi hai số lẻ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3.
 ƯCLN ( 2n + 1; 2n + 3 ) = d .
	( 2n + 3 ) – ( 2n + 1 ) d 
 Nhưng d là ước của số lẻ d ¹ 2.
 Vậy: d = 1Nguyên tố cùng nhau.
c) Gọi d ÎƯC 
Vậy nguyên tố cùng nhau
Dạng 6: Tìm ƯCLN của các biểu thức.
Ví dụ: Tìm ƯCLN ( n Î N ).
Giải.
Gọi d Î ƯC 
Þ 17
Ta có: 
( k Î N )
Nếu n ¹ 17k + 9 thì 2n – 1 17
Do đó: ƯCLN ( 2n – 1; 9n + 4 ) = 1
Ngoài các bài tập thuộc các dạng trên trong quá trình học giáo viên đưa thêm vào các bài tập đố vui hoặc tổ chức các trò chơi để tạo tinh thần thoải mái và thi đua giữa các cá nhân, các nhóm. Tạo hứng thú học tập cho học sinh.
Ví dụ: Trò chơi: “ Thi làm toán nhanh”
Giáo viên đưa hai bài tập lên bảng phụ.
- Tìm ƯCLN ( 36; 60; 72 )
- Tìm BCNN ( 24; 36; 72 )
Cử hai đội chơi: Mỗi đội gồm 5 em. Mỗi em lên bảng chỉ được viết 1 dòng rồi đưa phấn cho em thứ 2 làm tiếp, cứ như vậy cho đến khi làm ra kết quả cuối cùng.
*Lưu ý: Em sau có thể sửa sai cho em trước. Đội thắng cuộc là đội làm nhanh và đúng.
Cuối trò chơi giáo viên nhận xét từng đội và phát thưởng.
IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại:
 Với cách tổ chức lớp học như trên áp dụng vào thực tế giảng dạy tôi thấy việc hoạt động học của học sinh tương đối tốt. Học sinh được tham gia hoạt động nhiều, có ham muốn tìm tòi, khám phá kiến thức. Đa số học sinh hiểu bàivà vận dụng kiến thức linh hoạt, chất lượng giờ học được nâng cao, số học sinh đạt khá giỏi tăng lên, số học sinh yếu kém giảm nhiều, đa số học sinh có ý thức tự giác học tập hơn.
 Kết quả cụ thể như sau:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu - Kém
6C
39
10 em
27 em
2 em
0 em
6D
39
9 em
25 em
5 em
0 em
V. Đề xuất, kiến nghị:
 Để đạt được kết quả cao trong quá trình giảng dạy tôi rất mong các cấp lãnh đạo tạo điều kiện tốt hơn về cơ sở vật chất, đồ dùng dạy học và tổ chức các cuộc thảo luận chuyên môn để mỗi giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm để tổ chức giờ học được tốt hơn.
 Trên đây là những ý kiến của bản thân tôi trong quá trình công tác. Vì thời gian ngắn nên bài viết có nhiều thiếu sót. Rất mong được sự góp ý, rút kinh nghiệm của quý bạn đọc để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn và đi vào thực tiễn.
 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
 ( Ký ghi rõ họ tên )
 CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
( Xác nhận, đánh giá, xếp loại)
(Ký tên, đóng dấu)
PHÒNG GD - ĐT GIAO THUỶ
( Xác nhận, đánh giá, xếp loại)
( Lãnh đạo phòng ký tên, đóng dấu)