Đề tài Áp dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải toán

T
oán học là chìa khoá của ngành khoa học. Môn toán là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con người. Với một xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học . 
Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã học một cách thích hợp. Qua đó rèn trí thông minh sáng tạo, tính tích cực hoạt động nhằm phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
Qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp 6 tôi thấy rằng tính chất chia hết của một tổng (một hiệu, một tích ) tuy chỉ cung cấp một lượng kiến thức nhỏ nhưng lại được ứng dụng rộng rãi để giải quyết nhiều bài tập.
Chính vì thế tôi đã viết sáng kiến kinh ngiệm “áp dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải toán 
cơ sở lý luận và thực tiễn
Tính chất chia hết của một tổng được học ở bài 10 chương I số học lớp 6.
Đây là cơ sở lý luận để giải thích được các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Nó còn được vận dụng để giải quyết một lượng lớn các bài tập liên quan đến chia hết.
Để giải quyết các bài tập này người học sinh phải nắm chắc và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, uyển chuyển, qua đó mà học sinh có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo.
Tính chất chia hết của một tổng không chỉ được ứng dụng trong tập hợp số tự nhiên mà còn được mở rb ộng trong tập hợp số nguyên. Vì vậy muốn nắm chắc được tính chất này trong tập hợp số tự nhiên học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong trương trình THCS.
Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập liên quan đến tính chất chia hết của một tổng (một hiệu ). Ngoài ra mở rộng đối với một tích trong chương I số học lớp 6. Mỗi dạng bài tập đều có ví dụ minh hoạ và ví dụ kèm theo.Tuy nhiên việc mắc phải những sai sót là điều không tránh khỏi. 
thực trạng việc học toán của học sinh lớp 6
Học sinh khối 6 là một khối mới bắt đầu cách học mới của cấp THCS. Các em đang quen với tính toán các số tự nhiên và các dấu các phép toán cụ thể. Năng lực tư duy logic của các em chưa phát triển cao. Do vậy việc áp lý thuyết để làm bài tập toán đối với các em là một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hướng yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách làm và thực hiện phép toán như thế nào.
Phần kiến thức tính chất chia hết của một tổng là một phần kiến thức rất quan trọng trong lớp 6 nói riêng và bậc trung học cơ sở nói chung. Nhưng nhiều khi các em thuộc lý thuyết toán nhưng lại chưa biết áp dụng vào bài tập cụ thể như thế nào, các em chưa biết tư duy để đi từ kiến thức tổng quát vào bài tập cụ thể. Do vậy giáo viên cần hướng dẫn để các em hiểu và áp dụng được tính chất đã học vào làm bài tập cụ thể.
Mặt khác tính tự giác học tập đối với học sinh lớp 6 chưa cao, vì vậy cần cho các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên để các em có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống để giúp các em học tốt trong các năm học sau.
i. kiến thức cơ bản
 1. Định nghĩa: 
- Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ạ 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x.
 2. Tính chất chia hết của tổng và hiệu:
3. Tính chất chia hết của một tích:
 a. Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n 
ii. các dạng bài tập.
DạNG 1: Bài tập trắc nghiệm nhằm củng cố lí thuyết.
Bài tập 1: Điền dấu '' X '' vào ô thích hợp trong các câu sau:
 CÂU
 Đúng
 sai
a) Nếu mỗi số hạng của tổng chia hết cho 6 thì tổng chia hết cho 6.
b) Nếu mỗi số hạng của tổng không chia hết cho 6 thì tổng không chia hết cho 6.
c) Nếu tổng của hai số chia hết cho 5 và một trong hai số đó chia hết cho 5 thì số còn lại chia hết cho 5.
d) Nếu hiệu của hai số chia hết cho 7 và một trong hai số đó chia hết cho 7 thì số còn lại chia hết cho 7.
Bài tập 2: Khoanh tròn trước câu trả lời đúng
Xét biểu thức 864 + 14
Giá trị của biểu thức chia hết cho 2
Giá trị của biểu thức chia hết cho 3
Giá trị của biểu thức chia hết cho 6
Giá trị của biểu thức chia hết cho 7
Nếu a chia hết cho 6 và b chia hết cho 8 thì (a + b) chia hết cho?
2, 3, 6
3, 6
6, 9
6, 18
Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì:
a = c.
a chia hết cho c.
không kết luận được gì.
a không chia hết cho c.
DạNG 2 : Không tính toán , xét xem một tổng (hiệu) có chia hết cho một số hay không ?
Bài tập 1: áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết cho 8 không?
48 + 56 + 112
160 – 47
 Giải
áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có:
Bài tập 2: Không thực hiện phép tính hãy chứng tỏ rằng:
34.1991 chia hết cho 17.
2004. 2007 chia hết cho 9.
1245. 2002 chia hết cho15.
 1540. 2005 chia hết cho 14.
 Hướng dẫn:
	Ta có tính chất sau:
Chỉ cần có một thừa số trong tích chia hết cho một số thì cả tích chia hết cho số đó.
Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không?
1.2.3.4.5.6 + 42
1.2.3.4.5.6 - 32 
 Hướng dẫn: 
* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số 5 do đó tích này chia hết cho 5. Từ đó xét thừa số còn lại xem có chia hết cho 5 không? Dẫn đến cách giải tương tự như bài tập 1.
Bài tập 4: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:
3.4.5 + 6.7
7.9.11.13 – 2.3.4.7
3.5.7 + 11.13.17
164354 + 67541
*Nhận xét: Để chứng tỏ một tổng (hiệu) là hợp số ta chỉ cần chỉ ra rằng tổng (hiệu) đó chia hết cho một số khác 1 và chính nó.
Giải:
Mà tổng này lớn hơn 3 nên suy ra tổng này là hợp số
 Gợi ý:
b) Hiệu chia hết cho 7 và hiệu lớn hơn 7
 Tích 3.5.7 là một số lẻ, tích 11.13.17 là một số lẻ, mà tổng hai số lẻ là một số chẵn nên suy ra tổng chia hết cho 2 và tổng lớn hơn 2
d) Tổng này có chữ số tận cùng là 5. Vậy nó chia hết cho 5 và nó lớn hơn 5.
Bài tập 5: Chứng tỏ rằng:
Giải:
 Ta có: 
 Dạng 3: Tìm số x (hoặc tìm chữ số x)
 Bài tập 1: Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x thuộc N. Tìm x để:
A chia hết cho 2
A không chia hết cho 2
*Nhận xét: 3 số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2. Muốn tổng A chia hết cho 2 thì x phải là một số chia hết cho 2. Muốn tổng A không chia hết cho 2 thì x phải là một số không chia hết cho 2.
Bài tập 2: Tìm chữ số x để:
*Nhận xét: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3. Vậy
Từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x.
*Giải: Ta có:
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn:
 biết 32 x49
 Giải
Ta có:
 Vậy: 
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên x sao cho :
 Hướng dẫn
Từ đó ta tìm được x.
Bài tập 5: Tìm số tự nhiên x sao cho :
Hướng dẫn: Ta thấy
 Từ đó ta tìm được x.
Bài tập 6: Tìm số tự nhiên x sao cho :
 Hướng dẫn
 Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta cần tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số
 Ta có:
 Từ (*) và (**) suy ra
 Từ đó ta tìm được x.
Bài tập tương tự
Bài tập 7: Tìm các số tự nhiên x để
Một số bài tập nâng cao
Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: (18n + 3) 7. 
 Giải
Cách1:
 Vì (4,7) =1 nên (n - 1) chia hết cho 7.
 Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)
Cách 2:
 Vì (18,7) =1 nên (n-1) chia hết cho 7
 Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)
* Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó các hệ số của n là 1. 
Bài tập 2: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N) .Chứng minh rằng (10a + b) chia hết cho 13.
 Giải
 Đặt : a + 4b = x
 10a + b = y
Ta biết x chia hết cho 13 cần chứng minh y chia hết cho 13
Cách 1: Xét biểu thức 
	10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b ) =
	10a + 40b – 10a – b = 39b
	Vậy 
Cách 2: Xét biểu thức
	4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b ) = 40a + 4b – a – 4b = 39a
	Vậy
Cách 3: Xét biểu thức
	3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + 4b ) =
	3a + 12b +10a + 4b = 13a + 13b 
	Suy ra
Cách 4:	Xét biểu thức
	x + 9y = a + 4b + 9 ( 10a + b ) =
	a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b
 Suy ra
* Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có một số hạng chia hết cho 13. Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13. Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức (10x – y) nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0. Xét biểu thức (3x – y) nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13.
Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1. Nên xét biểu thức (4x – y) nhằm khử b . Xét biểu thức (x + 9y) nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13.
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.
Giải
Gọi n là số chia cho 5 dư 1 và chia cho 7 dư 5
Cách 1: Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r (k, n là số tự nhiên, r < 35 ). Trong đó r chia cho 5 dư 1, r chia cho 7 dư 5. Số nhỏ hơn 35 chia cho 7 dư 5 là 5, 12, 19, 26, 33 trong đó chỉ có 26 chia cho 5 dư 1. Vậy r = 26. Số nhỏ nhất có dạng 35k + 26 là 26.
Cách 2: Ta có 
 Số nhỏ nhất thoả mãn hai điều kiện trên là số 26.
Cách 3: 
	n = 5x + 1 = 7y + 5 suy ra 5x = 5y + 2y + 4 suy ra 
	2 ( y + 2 ) chia hết cho 5 suy ra y + 2 chia hết cho 5
	Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 suy ra giá trị nhỏ nhất của n bằng 7.3 + 5 = 26.
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho khi chia n cho 131 thì dư 112, chia n cho 132 thì dư 98.
Giải
Cách 1: Ta có 
	131x + 112 = 132y + 98 suy ra
	131x = 131y + y – 14 suy ra
	y – 14 chia hết cho 131 suy ra
	y = 131k + 14 (k thuộc N ) suy ra
	n = 132. (131k + 14 ) + 98 suy ra
	n = 132. 131k + 1946
	Do n có bốn chữ số nên k bằng 0. Vậy n = 1946.
Cách 2: Từ 131x = 131y + y – 14 suy ra
	131. ( x – y ) = y – 14
 Nếu x > y thì y – 14 131 suy ra y 145
	Suy ra n có nhiều hơn bốn chữ số
	Vậy x = y do đó y = 14 ; n = 1946
Cách 3: Ta có n = 131x + 112 nên
	132n = 131.132x + 14784 (1)
	mà n = 132y + 98 nên
	131n = 131.132y + 12838 (2)
	Từ (1) và (2) suy ra 
	132n – 131n = 131.132 ( x – y ) + 1946
	 Hay n = 131.132 (x – y ) + 1946
	 Vì n có bốn chữ số nên n = 1946
Bài tập 5: 
Chứng tỏ rằng hiệu sau không chia hết cho 2
( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) ( k N* )
Chứng tỏ rằng tổng sau chia hết cho 2
2001k + 2002k + 2003k ( k N* )
Xét xem hiệu sau có chia hết cho 10 không ?
200012010 - 19172000
Hướng dẫn
a) 10k, 8k, 6k là những số chẵn nên ( 10k + 8k + 6k ) là số chẵn chia hết cho 2	 ; 9k, 7k, 5k là những số lẻ nên ( 9k + 7k + 5k ) là số lẻ không chia hết cho 2.
Vậy ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) không chia hết cho 2
 b)2001k là số lẻ; 2003k là số lẻ nên 2001k + 2003k là số chẵn chia hết cho 2. 
2002k là số chẵn nên chia hết cho 2. Vậy
2001k + 2002k + 2003k chia hết cho 2
 c) 20012010 có chữ số tận cùng là 1
 19172000 = (19174 )500 cũng có chữ số tận cùng là 1 
 	Vậy 200012010 - 19172000 có chữ số tận cùng là 0 do đó 
 200012010 - 19172000 chia hết cho 10
* Trên đây là một số bài tập tiêu biểu tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể. Qua việc áp dụng tính chất chia hết của một tổng để giải bài tập học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán một cách logic, có căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập , thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung. Đồng thời giúp các em biết cách xử lý một cách linh hoạt, tối ưu các tình huống trong thực tế đời sống hàng ngày.
iii. các biện pháp thực hiện 
Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phương pháp cũ, phải đảm bảo tính chủ đạo của thày, chủ động của trò đồng thời kích thích hứng thú học tập ở lứa tuổi học sinh lớp 6. Để áp dụng tốt tính chất chia hết của một tổng vào làm bài tập cần sử dụng hợp lý tất cả các phương pháp dạy học : Đặt vấn đề, đàm thoại, gợi mở, trực quan  để học sinh tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất.
Biện pháp chủ yếu là cho các em làm bài tập trong giờ lý thuyết, giờ luỵện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi mở của giấo viên. Có thể tổ chức thi làm bài nhanh giữa các tổ để kích thích tính tích cực, ganh đua trong học tập. Đồng thời cần có biện pháp để kiểm tra sát sao việc học bài và làm bài của học sinh để đảm bảo chất lượng học tập trung. 
i. tóm tắt quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm và kết quả đạt được
Xuất phát từ nhiệm vụ chính của người giáo viên với mục đích cuối cùng là nâng cao chất lượng giáo dục về mọi mặt. Bản thân tôi là một giáo viên trẻ kinh nghiệm cũng chưa được nhiều song qua quá trình dạy học của bản thân, qua đồng nghiệp và qua bạn bè, qua việc tìm hiểu tham khảo sách vở tôi đã cố gắng lựa chọn các bài tập tiêu biểu để áp dụng, qua đó giúp học sinh nắm trắc kiến thức, sâu kiến thức hơn.
Trong sách giáo khoa toán 6 tập 1 sau tiết lý thuyết không có tiết luyện tập về tính chất chia hết của một tổng nên việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế, chưa được mở rộng nâng cao, thậm chí có những học sinh chỉ dừng lại ở mặt lý thuyết còn việc vận dụng là rất khó khăn. Do năng lực tư duy của các em còn hạn chế do vậy việc chuyển từ lý thuyết sang làm bài tập là một việc rất khó khăn.
II. Bài học kinh nghiệm:
Tính chất chia hết của một tổng thuộc một phần phép chia hết ở lớp 6, là một nội dung qua trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, tính chất chia hết của một tổng, một hiệu và một tích.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Cần rèn luyện nhiều về cách lập luận và trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ được.