Đề kiểm tra tự chọn môn Toán Lớp 6 - Học kỳ I - Năm học 2006-2007

Trường THCS
Trần Đăng Ninh
Đề kiểm tra tự chọn Toán 6
Học kỳ I - Năm học 2006-2007.
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1: Tính nhanh.
 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 +.+ 2001 + 2002 – 2003 – 2004 + 2005 + 2006 - 2007.
 1.3 + 2.4 + 3.5 + .+ 198.200.
Bài 2: 
 Giả sử x và y là 2 số nguyên dương thoả mãn:
	2x2 + x = 3y2 + y.
 Chứng minh rằng : x –y là số chính phương.
Bài 3:
	 Tích của hai số tự nhiên là 19851986. Hỏi tổng của hai số tự nhiên đó có chia hết cho 1986 không?
Bài 4: 
 Tìm bốn số nguyên liên tiếp mà tích của chúng là một số chính phương.
Bài 5: 
 Từ 2007 điểm trong đó có đúng 100 điểm thẳng hàng , ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng có thể tạo ra bao nhiêu đường thẳng? Vì sao?
	Đáp án chấm toán 6.
Bài 1: 4 điểm.
a)1 điểm:
 1+2–3–4+5+6–7–8+9++2001+2002–2003–2004+2005+2006-2007
=1+(2–3–4+5)+(6–7–8+9)++2001+(2002–2003–2004+2005)+2006-2007. (0,5đ)
= 1 +0+ .+0 + 2006 – 2007.
= 0	(0,5đ)	
b)3 điểm:
Đặt A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + .+ 198.200
 = 1.(2+1) +2.(3+1) + 3(4+1) + + 198(199+1)
 = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3+ + 198.199 +199.
 = (1.2+2.3+3.4++ 198.199) + (1+2+3++199)	 (1đ)
Tính được tổng: 1.2+2.3+3.4++ 198.199 = 2 626 800 (1đ)
 1+2+3++199 = 19 900 (0,5đ)
	Thay vào A = 2 626 800 + 19 900 = 2 646 700	 (0,5đ)
Bài 2:4 điểm
Vì 2x2 + x = 3y2 + y 2x2 – 2y2 + x – y = y2
	 2(x+y)(x-y) +(x-y) = y2
 (x-y)(2x+2y +1) = y2	(1) (1đ)
Tương tự ta có: (x-y)(3x+3y +1) = x2 (2)	 (0,5đ)
Từ (1) và (2) ta có: (x-y)2(2x+2y +1) )(3x+3y +1) = (xy)2
 (2x+2y +1)(3x+3y +1) là 1 số chính phương. (1đ)
* C/m: (2x+2y +1) và (3x+3y +1) là 2 số nguyên tố cùng nhau (1đ)
 (2x+2y +1) là số chính phương.	
 Mà (x-y)(2x+2y +1) = y2 
 x – y là 1 số chính phương. (0,5đ)
Bài 3: 4 điểm
Gọi 2 số tự nhiên đó là a và b thì : a.b = 1985 1986.
Xét a.b = 1985 1986 -1 + 1 = 19851986 – (-1)1986 + 1. (1đ)
* áp dụng BTP: An – Bn (A - B) , với n N*
 Ta có : 
 P= [19851986 – (-1)1986 ] [ 1985 – (-1)] 
hay P 1986
 1986 3 P 3
Do đó a.b : 3 dư 1 (1) a , b không 3 (1đ)
* Đặt a = 3k + r
 b = 3k’ + r’ (1 r, r’ 2 )
Thì ab = (3k + r)( 3k’ + r’)
 = 3k(3k’+r’) + 3k’r + rr’ (2)
Từ (1) và (2) rr’ : 3 dư 1
 r =r’ =1 a + b= 3(k+k’)+2 không 3
Hoặc r=r’=2 a + b= 3(k+k’)+4 không 3
 Trong mọi trường hợp a +b đều không 3
 a+ b không chia hết cho 1986. (1đ)
 *C/m BTP:
 An –Bn = An – An-1B + An-1B -An-2B2 + An-2B2- An-3B3++ A2Bn-2- ABn-1 + ABn-1 –Bn
	 = An-1(A-B) + An-2B(A-B) + An-3 B2 (A-B)++ ABn-2(A-B)+ Bn-1(A-B)
	 = (A-B)( An-1 + + Bn-1) (A-B). (1đ)
Bài 4:
Gọi 4 số nguyên liên tiếp cần tìm là n, n+1, n+2, n+3.
Theo đề bài , ta có:
 n(n+1)(n+2)(n+3) = x2 (1) 
 Mà : n(n+1)(n+2)(n+3) = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1 - 1
 = (n2 + 3n + 1)2 - 1
	= y2 -1. (2)
Từ (1) và (2) x2 = y2 -1
	 (y-x)(y+x) = 1= 1.1 = (-1)(-1)
	 y-x = y +x
	 x =0
Thay vào (1) ta có: n(n+1)(n+2)(n+3) =0
 n 
Vậy ta có các bộ 4 số nguyên liên tiếp cần tìm là:
 (0;1;2;3); (-1;0;1;2) ; (-2;0;1;2) ; (-3;0;1;2)
Bài 5: 4 điểm
Ta xét 3 trường hợp:
Từ 100 điểm thẳng hàng chỉ có 1 đường thẳng (0,5đ)
Xét số đường thẳng tạo ra từ : 2007 -100 = 1907 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Cứ 1 điểm trong 1907 điểm tạo với 1906 điểm còn lại 1 đường thẳng.
Làm như thế với các điểm còn lại thì số đt có là : 1907.1906 (đ/thẳng)
Nhưng như thế mỗi đ/t đã được tính 2 lần
Số đ/t được tạo ra thực tế là: 1907.1906 : 2 =1 817 371(đ/thẳng) (2 đ)
Xét số đường thẳng tạo ra từ 1907 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng với 100 điểm thẳng hàng ta được : 1907.100=190700 (đ/thẳng)
	 (1 đ)
Vậy tổng số đường thẳng có là:
1+ 1 817371 + 190700 = 2 008 072(đ/thẳng) (0,5đ)
Trường THCS
Trần Đăng Ninh
 *****
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
 Năm học 2006-2007.
(Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 1:
Tìm các số nguyên a biết:
2 - 5 = 21.
 (a2 - 1)(a2- 5)(a2- 11) < 0.
Bài 2:
Cho biểu thức P = (1 + )(1 + )(1 +).
So sánh biểu thức P với 2.
Bài 3: 
Cho 2007 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2007. Đặt trước mỗi số dấu “+” hoặc dấu “-” rồi cộng lại thì được tổng A. Tính giá trị không âm nhỏ nhất mà A có thể nhận được?
Bài 4:
 Cho dãy số: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; trong đó mỗi số hạng , kể từ số thứ ba , bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước ( an = an-2 + an -1; n3). Chứng minh rằng:
 là phân số tối giản với mọi n 2.
Bài 5:
 Trong vòng loại giải bóng chuyền tranh chức vô địch VTV Cup năm 2007 tại thành phố Hồ Chí Minh, một bảng có 6 đội bóng ; mỗi đội phải đấu với đội khác một trận. Chứng minh rằng ở giải này , vào bất kì thời gian nào cũng luôn luôn có 2 đội đã đấu cùng một số trận. 
Bài 6:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm I. Trên d1 lấy 10 điểm phân biệt A1; A2;; A10 và khác điểm I.Trên d2 lấy n điểm phân biệt B1 ; B2;; Bn và khác điểm I . Vẽ tất cả các đoạn thẳng nối 10 điểm đã lấy trên d1 với n điểm đã lấy trên d2. Biết rằng không có ba đoạn thẳng nào cùng đi qua một điểm khác với đầu mút của các đoạn thẳng. Giả sử số giao điểm của các đoạn thẳng 
( không kể các giao điểm tại đầu mút của các đoạn thẳng và điểm I) là 222750 giao điểm. Tính số điểm đã lấy trên d2?
 **********************************
	Đáp án chấm toán 6.
Bài 1: 4 điểm.
 a) 1điểm:
 2 - 5 = 21 = 13
 3a + 1 = 13 (0,5đ)
	* Nếu 3a + 1 = 13	
 a = 4 	 (0,25đ)
 * Nếu 3a + 1 = -13
 3a = -14 (loại vì x là số nguyên)	 (0,25đ)
 Vậy a = 4
 b) 3 điểm:
 (a2 - 1)(a2- 5)(a2- 11) < 0.
 Trong 3 số (a2 - 1) ; (a2- 5) ;(a2- 11) có 1 số âm hoặc cả 3 số đều âm.(0,25đ)	
 * Nếu trong 3 số có 1 số âm:
 Vì (a2 - 1) > (a2- 5) > (a2- 11) (0,5đ)
 (a2 - 1) > 0
 (a2- 5) > 0 a2> 5	 5 < a2 < 11 (0,5đ)
 (a2- 11) < 0	 a2 < 11
 Mà a Z a2 = 9 a = 3. (0,5đ)
 * Nếu cả 3 số cùng âm:
 (a2 - 1) < 0
 (a2- 5) < 0 a2 0	 0 a2 < 1 (0,75đ)
 (a2- 11) < 0	 a2 < 1
 Mà a Z a2 = 0 a =0	 (0,25đ)
 Vậy a 	 (0,25đ)
Bài 2: 3 điểm
 P = (1 + )(1 + )(1 +).
 P= 	 (0,5đ)
 P=	 (0,5đ)
 P= 	 (0,5đ)
 P= 	 (0,5đ)
 P=2.	 (0,5đ)
 Vì k N < 1	 P < 2.	 (0,5đ)
Bài 3:3 điểm.
 + Ta thấy tổng A được viết như sau:
 A = (*1*2) + (*3*4) +. + (*2005*2006) *2007
 Trong đó dấu “*” thay cho dấu “+” hoặc dâú “-”. (1đ)
 Tổng A có : 2007 : 2 = 1003 (cặp) dư 1 số
 Vì giá trị của mỗi cặp là số lẻ nên tổng 2 cặp là số chẵn.
 Tổng 1003 cặp là số lẻ
 2007 lẻ	 A là số chẵn.	 (1đ)
 + Số chẵn không âm nhỏ nhất là số 0. Tổng A có thể nhận giá trị này, chẳng hạn:
 A= (1+2-3) + (4-5-6+7)+ (8-9-10+11) +  + (2004-2005-2006+2007)
 = 0 + 0+ .+ 0	(1đ)
 =0
Bài 4: 3 điểm: Chứng minh bằng pp qui nạp.
 + Với n = 2 thì:
 là p/s tối giản mệnh đề đúng với n = 2. (0,75đ)	
 + Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là:
 là p/s tối giản. (0,75đ)
 + Ta phải c/m mệnh đề đúng với n = k+1, tức là:
 là p/s tối giản. (0,25đ)
 Gọi d là ước chung của ak + ak+2 và ak+1 + ak+3 ; dN* thì:
 (ak+1 + ak+3) – (ak + ak+2 ) chia hết cho d.
 (ak+1 - ak) + (ak+3 - ak+2 ) chia hết cho d.
 Mà an = an-2 + an -1	ak-1 + ak+1 chia hết cho d.	
 an - an-1 = an -2	
	Mà ak + ak+2 chia hết cho d.
 d = 1(theo GT qui nạp).	(1đ)
 Mệnh đề đúng với n = k+1.
 Vậy là phân số tối giản với mọi n 2. (0,25đ)
Bài 5: 3 điểm:
Ta lập các nhóm sau:
Nhóm 1: Gồm các đội đã đấu 0 trận.
Nhóm 2: Gồm các đội đã đấu 1 trận
Nhóm 3: Gồm các đội đã đấu 2 trận
Nhóm 4: Gồm các đội đã đấu 3 trận
Nhóm 5: Gồm các đội đã đấu 4 trận
Nhóm 6: Gồm các đội đã đấu 5 trận	 (1 đ)
Ta thấy có 2 khả năng xảy ra:
Có đội nào đó chưa đấu trận nào.
 Nhóm 6 rỗng vì không có đội nào đấu được 5 trận.
Tất cả các đội đều đã được thi đấu.
 Nhóm 1 rỗng.	 (1đ)
Như vậy , dù khả năng nào xảy ra , ta luôn có 5 nhóm .
Phân 6 đội bóng vào 5 nhóm, theo nguyên lí Đirichlê ít nhất phải có 1 nhóm chứa 2 đội. 
2 đội đó có số trận đấu bằng nhau.
Vậy vào bất cứ thời gian nào trong thời gian thi đấu, ít nhất cũng có 2 đội đã đấu cùng 1 số trận. (1đ)
Bài 5: 4 điểm.
 A2
 A1
 I
 B1
 B2
 Bn d2 
d1 - Ta gọi các đoạn thẳng nối 1 điểm trên d1 đến các điểm trên d2 là 1 chùm. Thì các đoạn thẳng trong cùng 1 chùm không cắt nhau( không kể tại các đầu mút). (0,5đ)
- Xét số giao điểm của 2 chùm khác nhau, chẳng hạn các chùm xuất phát từ A1 và A2 .
+ Đoạn A2B1 cắt A1B2; A1B3;; A1Bn tất cả n-1 đoạn thẳng tại n-1 giao điểm. (0,5đ)
+ Đoạn A2B2 cắt A1B3; A1B4;; A1Bn tất cả n-2 đoạn thẳng tại n-2 giao điểm. (0,5đ)
.
 + Đoạn A2Bn-1 cắt A1Bn tại 1 giao điểm.
 + Đoạn A2Bn không cắt đoạn nào.	 (0,5đ)
 Số giao điểm của 2 chùm là: (n-1) + (n-2) +(n-3) ++ 1 = giao điểm. 
 Đặt số này bằng a. (0,5đ) 
 - Vẽ lần lượt các chùm.
 + Chùm từ A1 không cắt chùm nào.
 + Chùm từ A2 cắt 1 chùm từ A1 tại a giao điểm.
 + Chùm từ A3 cắt 2 chùm từ A1 và A2 tại 2a giao điểm.	 (0,5đ)
 ..
 + Chùm từ A10 cắt 9 chùm trước đó tại 9a giao điểm.
 Tổng số giao điểm có được khi nối 12 điểm trên d1 với n điểm trên d2 là:
 a + 2a + 3a ++ 9a = a(1+2+3++9)= 45a = 45..	 (0,5đ)
 Theo đề bài ta có:
 45.= 222750	 
 n(n-1)= (222750.2) :45 =9900 = 99.100
 n =100.
 Vậy số điểm đã lấy trên d2 là 100 điểm.	 (0,5đ)
Chú ý:
Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương.
Bài 6: Cho 101 số : a1; a2; a3;.; a101 trong đó :
 a1 = 5.
 a2= a1 + 	
a3 = a2 + 
	Với mọi n 1.
an+1 = an + Chứng minh rằng: a51 > 11.
Trường THCS
Trần Đăng Ninh
Đề kiểm tra tự chọn Toán 6
Học kỳ I - Năm học 2007-2008.
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1:
Tìm x biết:
a) - 3 = 4
b) 125.5x + 5x+1 =3250
c) (x - 4)5 = (x - 4)3
Bài 2:
Có tồn tại hay không số nguyên dương k sao cho 2003k – 1 chia hết cho 51?
Bài 3:
Chứng minh rằng: 
 n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 với mọi n là số nguyên.
Bài 4:
Tổng của 6 số nguyên không âm bằng tích của chúng. Tìm các số đó?
Bài 5:
Chứng minh rằng: với mọi n N, n > 6 đều biểu diễn được dưới dạng tổng 2 số nguyên tố cùng nhau lớn hơn 1.
Bài 6:
Cho đoạn thẳng AB. Lấy A1 là trung điểm của AB; A2 là trung điểm của AA1; A3 là trung điểm của AA2Cứ tiếp tục như vậy cho đến A30 là trung điểm của AA29.
Biết AA30 = m. Tính độ dài AB?
	Đáp án chấm toán 6.
Bài 1: 4 điểm.
a) - 3 = 4 = 7 2x+1 =7	
+ Nếu 2x + 1 =7 x =3
+ Nếu 2x + 1 =-7 x =- 4	
Vậy x 	 (1,5đ)
b) 125.5x + 5x+1 =3250
 (125 + 5)5x = 3250	
5x =25 x = 2	 (1đ)
c) (x - 4)5 = (x - 4)3 (x - 4)5 - (x - 4)3= 0
 (x - 4)3[(x - 4)2 – 1] = 0	 (0, 5đ)
 (x - 4)3 = 0 hoặc (x - 4)2 – 1 = 0
+ Nếu (x - 4)3 = 0 x = 4
+ Nếu (x - 4)2 – 1 = 0 (x - 4) = 1 x 	
Vậy x 	 (1đ)
Bài 2: 3 điểm
Xét 52 số: 2003; 20032; 20033; ; 200352
 52 số của dãy trên khi chia cho 51 được 52 số dư gồm 51 loại số dư. Phân 52 số dư vào 51 loại số dư.
Theo Đi rich lê: tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 51.	(1,5đ)
Giả sử 2 số đó là: 2003m và 2003n (1nm52)
Thì: 2003m – 2003n 51
 2003n (2003m-n -1) 51
Vì (2003; 51) = 1 (2003n; 51) = 1
 2003m-n 51 	 (1,5đ)
Vậy tồn tại số tự nhiên k sao cho 2003k – 1 chia hết cho 51
Bài 3: 3 điểm
Ta có: n2 + 11n + 39 = n2 + 2n+ 9n + 18 +21
	= n(n+ 2)+ 9(n + 2) + 21
	= (n + 2)(n + 9) + 21
Vì: (n + 9)- (n+ 2) = 7 7
 n + 9 và n+ 2 khi chia cho 7 có cùng số dư.	(1đ)
+) Nếu n + 9 và n+ 2 cùng 7
(n + 9)(n+ 2) 49
 Mà 21 không 4 (n + 9)(n+ 2) + 21 không 49	(1đ)
+) Nếu n + 9 và n+ 2 không 7
(n + 9)(n+ 2) không7
 Mà 21 7	 (n + 9)(n+ 2) + 21 không 7
 	 (n + 9)(n+ 2) + 21 không 49	(1đ)
Bài 4: 4 điểm
Gọi 6 số nguyên không âm cần tìm là a; b; c; d; e; g.
Theo đề bài ta có: a + b + c + d + e + g = abcdeg (1)
* Nếu trong 6 số đã cho có 1 số = 0 a = b = c = d = e = g = 0	(1đ)
* Nếu cả 6 số đều > 0:
Vì vai trò của 6 số như nhau; không mất tính tổng quát giả sử:
 1 a b c d e g
 abcdeg = a + b + c + d + e +g 6g
 abcdeg 6g mà g > 0
 abcde 6	(0;75đ)
+) Trong 5 số a; b; c; d; e không thể tồn tại 3 số 2 vì khi đó: 2.2.2 = 8 > 6
 có 3 số < 2
Mà 1 a b c d e g	 a = b = c = 1
 Kết hợp với (1)	
 deg = 3+ d+ e + g (2)
 Và de 6
Ta thấy d2 vì nếu d 3 thì e 3 de 9 (loại) d = 1; 2	(0;75đ)
 Mà 1 d ; d nguyên	
+) Nếu d = 1; thay vào (2) ta có: eg = 4 + e + g
 (e - 1)(g -1) = 5	
Vì e; g 1 e- 1; g – 1 N	 e – 1 = 1 e = 2
 e– 1 g - 1	 g – 1 = 5	 g= 6
+) Nếu d = 2
 Mà de 6	 e 3; d e e = 2; 3
+ Nếu e = 2 thay vào (2) ta có: 
2.2.g = 3+ 2 + 2+ g 4g = 7 + g 3g = 7 (loại vì g N)
+ Nếu e = 3 thay vào (2) ta có:
2.3.g = 3+ 2 + 3 + g 6g = 8 + g 5g = 8 (loại vì g N)	(1đ)
Vậy ta có bộ các số nguyên không âm cần tìm là:
(0; 0; 0; 0; 0; 0) và (1; 1; 1; 1; 2; 6)	(05đ)
Bài 5: 3 điểm
* Nếu n lẻ: n có dạng n = 2k + 1; kN*
	Ta viết:	n = k + (k+1)
	vì n > 6 k + 1 > k > 1
 C/m: (k; k + 1) = 1	 (1đ)
* Nếu n chẵn: n chia cho 4 dư 0 hoặc 2.
+ Nếu n = 4k; k N*
Ta viết n = (2k - 1) + (2k + 1)
	vì n > 6 2k + 1 > 2k -1> 1
C/m: (2k +1; 2k - 1) = 1	 (1đ)
+ Nếu n = 4k + 2; kN*
Ta viết n = (2k -1) + (2k + 3)
	vì n > 6 2k - 1 > 2k + 3> 1
C/m: (2k -1; 2k + 3) = 1
Vậy 	 (1đ)
Bài 6: 3 điểm:
A A3 A2 A1 B 
Vì A1 là trung điểm của AB nên: AA1 = AB
Vì A2 là trung điểm của AA1 nên: AA2 = AA1=AB
Vì A3 là trung điểm của AA2 nên: AA3 = AA2=AB
.
Vì A30 là trung điểm của AA29 nên: AA30 = AA29=AB	(2đ)
Mà AA30 = =
AB = AB = 1 (m)	 (1đ)
Trường THCS
Trần Đăng Ninh
 *****
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
 Năm học 2007-2008
(Thời gian làm bài : 150 phút)
I- Phần trắc nghiệm: Hãy chép lại các câu trả lời đúng trong các khẳng định sau:
Câu 1: Nếu [(250 - 25): 15] : x = (450 - 60) :130 thì x bằng:
A. 15 B. 5 C. 3 D. 45
Câu 2: Nếu 64. 4n = 48 thì n bằng:
A. 4 B. 5 C. 8 D. -1
Câu 3: Tập hợp các số nguyên gồm:
Tập hợp các số nguyên âm và các số nguyên dương.
Tập hợp các số nguyên âm và các số không âm.
Tập hợp các số nguyên âm và các số tự nhiên.
Câu 4: Tổng của ba số là 84. Tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng tỉ số giữa số
 thứ hai và số thứ ba và bằng . Ba số đó là:
A.12; 24; - 48 B. -12; - 24; 48 C. -12; 24; - 48 D. 12; 24; 48
Câu 5: Giá trị của biểu thức: P = là:
A. 4 B. 8 C. - 4 D. 12
Câu 6: Trên tia Ox lấy 3 điểm A; B; C sao cho: OA = 2cm; OB = 5cm; OC = 8cm thì:
Điểm A nằm giữa 2 điểm B và C.
Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC.
Điểm C nằm giữa 2 điểm A và B
Câu 7:Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ các tia Oy; Oz; Ot sao cho: 
 xÔy = 200; xÔz = 1500; yÔt = 700; khi đó:
A. xÔt = 1000 B. xÔt 900
Câu 8: Cho 10 điểm, trong đó có đúng 4 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm vẽ được 
 một đường thẳng. Vẽ được tất cả:
A. 45 đường thẳng B. 40 đường thẳng C. 39 đường thẳng.
II- Phần bài tập:
Bài 1:
Chứng tỏ rằng giữa 3 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tìm được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.
Bài 2:
Cho a và b là 2 số tự nhiên không chia hết cho 5. Chứng minh rằng: 
 pa4m + qb4m chia hết cho 5 khi và chỉ khi p + q chia hết cho 5.
Bài 3:
Tìm số tự nhiên A biết tổng các ước tự nhiên của A là 2A, và tích các ước tự nhiên của A là A2.
Bài 4:
Trên mặt phẳng cho 25 điểm. Biết rằng với 3 điểm bất kì trong số các điểm đó luôn luôn chọn được 2 điểm có khoảng cách < 1.
Chứng tỏ rằng: trong các điểm đã cho có ít nhất 13 điểm nằm trong một hình tròn có bán kính bằng 1.
Đáp án chấm toán 6.
Bài 1:
Giả sử tồn tại 2 phân số tối giản và thoả mãn:
 + = m (1)
 . = n (2) với m và n Z
Từ (1) = m - ; thay vào (2) ta có:
(m - ). = n
(). = n
 (md - c)c = nd2
mcd – c2 = nd2
 mà nd 2 d
mcd – c2 d
mcd d c2 d
	(c, d) = 1
cd không là phân số tối giản (trái GT)
Vậy không tồn tại 
Bài 2:
Bài 3:
Một số tự nhiên > 3
Bài 2:
Tìm 2 số nguyên x và y thoả mãn đẳng thức:
(2x + 5y + 1)( + x2 + x + y) = 105