Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp THCS

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 6
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
	Tính
a/ A = 
b/ B = 
Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72
b/ Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 22001 + 22002
	 B = 22003
So sánh A và B
c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3 (2 điểm)
	Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em.
Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ?
Câu 4 (3 điểm)
	Cho +ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm.
a/ Tính độ dài BM
b/ Biết BAM = 800; BAC = 600. Tính CAM
c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh rằng:
*ẹEÀ THI CHOẽN HOẽC SINH GIOÛI – TOAÙN 6*
 Naờm hoùc : 2006 – 2007
Thụứi gian : 90 phuựt (khoõng keồ phaựt ủeà)
Ngaứy thi : 6.11.2006
	Baứi 1 : 2 ủieồm
	Tớnh caực toồng sau baống caựch hụùp lyự nhaỏt :
	1)	22344 . 36 + 44688 . 82
	2)	1 + 2 + 3 +  + 2006 + 2007
	3)	132 + 128 + 124 +  + 72 + 68
	Baứi 2 : 2 ủieồm 
	Trong caực soỏ tửù nhieõn nhoỷ hụn 1000, coự bao nhieõu soỏ chia heỏt cho 2 nhửng khoõng chia heỏt cho 5 ?
	Baứi 3 : 2 ủieồm 
	ẹeồ ủaựnh soỏ trang cuỷa moọt quyeồn saựch daứy 2746 trang caàn duứng bao nhieõu chửừ soỏ ?
	Baứi 4 : 2 ủieồm 
	Tỡm x bieỏt :
	(x + 1) + (x + 2) +  + (x + 98) + (x + 99) = 9900
	Baứi 5 : 2 ủieồm 
	1) 	Cho 2006 ủieồm thaỳng haứng. Hoỷi coự bao nhieõu ủieồm naốm giửừa hai ủieồm khaực ?
	2)	Treõn ủửụứng thaỳng xy laỏy 1003 ủieồm phaõn bieọt. Hoỷi treõn ủửụứng thaỳng xy coự bao nhieõu tia ?
-------------------------------------------------------------------------------
* Chuự yự : Hoùc sinh ủửụùc sửỷ duùng maựy tớnh boỷ tuựi.
Câu 1 (4 điểm)
Tìm x z
a)	 b) 
Câu 2 (4 điểm):
a) Chứng minh : 
b) So sánh với n N
Câu 3 (4 điểm) :
Đội văn nghệ của trường Cầu Diễn có từ 70 đến 100 học sinh. Số nam chiếm 3/8 tổng số. Trong đó 2/9 số nam là số học sinh nam khối 6. Trong số học sinh 9 nữ của trường thì có tới 4/9 số nữ học sinh nữ khối 6.
	Tính số học sinh nam, học sinh nữ khối 6.
Câu 4 (4 điểm) :
	Cho = 135o. Kẻ 2 tia Bx, By nằm trong góc ABC sao cho = 90o,
 = 90o. Kẻ tia Bm là phân giác của 
a) So sánh và 
b) Vẽ tia Bz sao cho BC là tia phân giác của chứng tỏ tia Bz, BA đối nhau.
c) Chứng tỏ Bm là phân giác của
Câu 5 (4 điểm) : Cho A là số nguyên dương. Biết rằng trong 3 mệnh đề sau đây (P, Q, R) chỉ có duy nhất một mệnh đề sai.
a) Hãy tìm mệnh đề sai.
b) Hãy tìm A.
	P : A + 51 là số chính phương.
	Q : A có chữ số tận cùng là 1.
	R : A - 38 là số chính phương.
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 6
Câu 1: 
Tính
a/ A = 	(1 điểm)
b/ B = 	(1 điểm)
Câu 2:
a/ Vì 1028 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9
Lại có 1028 + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8
Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72	(1/2 điểm)
b/ Có 2A = 2 + 22 + 23 + . . . + 22002 + 22003 => 2A – A = 22003 – 1
=> A = B – 1. Vậy A < B.	(1/2 điểm)
c/ Xét phép chia của p cho 5 ta they p có 1 trong 5 dạng sau:
p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4 (k N; k > 0)
+ Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5
+ Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
Thử lại với p = 5 thoả mãn	(1 điểm)
Câu 3:
Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em như khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trước 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh)
	(1 điểm)
Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ)	(1/2 điểm)
Số học sinh là: 4 . 10 – 3 = 37 (học sinh)	(1/2 điểm)
Câu 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận	 (1/2 điểm)
a/ C nằm giữa B và M 
=> BC + CM = BM	(1/2 điểm)
=> BM = 3 + 5,5 = 8,5	(1/2 điểm)
b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia 
nằm giữa 2 tia AB và AM	 (1/2 điểm)
=> BAC + CAM = BAM
=> CAM = BAM – BAC
=> CAM = 800 – 600 = 200(1/2 điểm)
c/ Xét 2 trường hợp:
+ Nếu K nằm giữa C và M tính được BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)
+ Nếu K nằm giữa C và B tính được BK = 4,5 (cm)	(1/2 điểm)
Câu 5:
Ta có:	 
(1/2 điểm)
(1/2 điểm)
Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
Thực hiện các phép tính:
a/ 
b/ ( 1 + 2 + 3 + ... + 90 ) ( 12 . 34 - 6 . 68 ) : 
Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng 3636 - 910 chia hết cho 45
b/ Tính x, y, z biết rằng:
x + y + z
c/ Tìm các số a, b, c biết: ( - 2a2b3 )10 + ( 3b2c4 )15 = 0
Câu 3 (2 điểm)
Một người đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi được quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ trưa. Tính quãng đường AB, người đó khởi hành lúc mấy giờ?
Câu 4 (3 điểm)
 ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 900). Đường cao Ah của tam giác ABC và đường cao CK của tam giác BCE cắt nhau ở N. Chứng minh AN = BC.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 25 số, trong đó 4 số bất kì nào cũng có tổng là 1 số dương. Chứng minh rằng tổng 25 số ấy là một số dương
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 7
Câu 1:
 = 1	 (1 điểm)
b/ Ta có: 12.34 - 6 . 68 = 0
Do đó giá trị của biểu thức bằng 0.
Câu 2:
a/ Ta có 3636 có tận cùng bằng 6
	 910 có tận cùng bằng 1	 (1/4 điểm)
Do đó 3636 - 910 chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9, vậy chia hết cho 45	 (1/4 điểm)
b/ Ta có:
	(1)	
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho 3 tỉ số đầu ta được:
	(2)
Nếu x + y + z = 0 thì từ (1) suy ra x = 0; y = 0; z = 0.
Nếu x + y + z 0 thì từ (2) suy ra: x + y + z = 	 (1/2 điểm)
Khi đó (1) trở thành:
Do đó: 
Có 2 đáp số: (0; 0; 0) và (1/2; 1/2; -1/2)	 (1/2 điểm)
c/ Ta có: 210 . a20 . b 30 + 315 . b30 . c60 = 0
Hai đơn thức ở vế trái đều không âm mà có tổng bằng 0 nên:
	 (1/4 điểm)
Do đó b = 0, a và c tuỳ ý
hoặc a = 0; c = 0 và b tuỳ ý
hoặc a = 0; b = 0; c = 0.
Câu 3:
Ta có sơ đồ sau:
	 A	C	B	
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 4 km/h là t1 (phút)
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 3 km/h là t2 (phút)
=> t2 - t1 = 15 (phút) và v1 = 4 km/h; v2 = 3 km/h.	 (1/2 điểm)
Ta có mà vận tốc và thờigian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch 
nên:	 (1/2 điểm)
 => t2 = 15 . 4 = 60 (phút) = 1 (giờ)	 (1/2 điểm)
Vậy quãng đường AB bằng: 1 . 5 . 3 = 15 (km)
Và người đó khởi hành lúc: 12 - 1 . 5 = 8 (giờ)
Câu 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm)
Ta có: 
NAC = BCE (Góc có cạnh tương ứng
vuông góc cùng tù) (1)
	(1 điểm)
Lại có:
C2 = E 	 (2)
và AC = CE (gt)	(3) (1 điểm)
Từ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg)
Vậy AN = BC	 (1/2 điểm)
Câu 5: (1 điểm)
Trong 25 số đã cho, phải có ít nhất 1 số dương vì nếu cả 25 số đều âm, thì tổng 4 số bât kì là âm, trái với đề bài.
Tách riêng một số dương đó, còn lại 24 số, chia thành 6 nhóm. Theo đề bài mỗi nhóm đều có tổng mang giá trị dương nên tổn của 6 nhóm đó là số dương.
Vậy tổng của 25 số đó là số dương. 
Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6
b/ Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
Câu 2 (2 điểm)
a/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của:	A = 
Câu 3 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có
(a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2
b/ Chứng minh rằng: x3m+1 + x3n+2 + 2 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m,n.
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đường cao AA’, BB’, CC’.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Câu 1
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử:
x3 - 7x - 6 	= x3 - 4x - 3x - 6 
= x(x2 - 22) - 3(x + 2)	(1/2 điểm)
	 	= x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2)
	= (x + 2)(x2 - 2x - 3)
	= (x + 2)(x2 - 1 - 2x - 2)
	= (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)]
	= (x + 2)(x + 1)(x - 3)	(1/2 điểm)
b/ x4 -30x2 + 31x - 30 = 0 (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0	(1/2 điểm)
=> (*) (x - 5)(x + 6) = 0 	(1/2 điểm)
Câu 2 
a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c là các số nguyên (1/2 điểm)
=> a + b + c - c = a + b nguyên => 2a + 2b nguyên => 4a + 2b nguyên 
=> (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyên => 2b nguyên
 Vậy 2a, 2b nguyên.
b/ Có A = 	(1/2 điểm)
Đặt y = => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2	(1/2 điểm)
=> min A = 2 => y = 1 => x = 2
Vậy min A = 2 khi x = 2	(1/2 điểm)
Câu 3
a/ Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2
	 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2axby + b2y2	(1/4 điểm)
	 a2y2 - 2axby + b2x2 0 (ay - bx)2 0	(1/4 điểm)
Vì bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng nên bất đẳng thức phải chứng minh là bất đẳng thức đúng.	(1/4 điểm)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay 	(1/4 điểm)
b/ Ta có x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1	(1/4 điểm)
	= x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1)	(1/4 điểm)
Ta thấy x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x3 - 1 do đó chia hết cho x2 + x + 1
x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1
Câu 4 
+ Có SABC = BC . AA’ 	(1/2 điểm)
+ Có SHBC = BC . HA’ 	(1/2 điểm)
+ Có SHAC = AC . HB’ 	(1/2 điểm)
+ Có SHAB = AB . HC’ 	(1/2 điểm)
+ ; ; 	(1/2 điểm)
=> 	
Vậy 	(1/2 điểm)
Câu 5
Do a + b + c = 1 nên 	(1/2 điểm)
Vậy 
Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3
Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức: P = 
b/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn có:	
Câu 2 (1,5 điểm)
a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 
Câu 3 (2,5 điểm) Xét đa thức P(x) = x9 + x99
a/ Chứng minh rằng P(x) luôn luôn chẵn với mọi x nguyên dương
b/ Chứng minh rằng P(2) là bội số của 100
c/ Gọi N là số nguyên biểu thị số trị của P(4). Hỏi chữ số hàng đơn vị của N có thể là chữ số 0 được không ? Tại sao ?
Câu 4 (3 điểm)
Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy các điểm A, B sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c và |a - b| < c. Chứng minh rằng phương trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0 luôn luôn vô nghiệm.
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 9
Câu 1 
a/ P = 
 (1/2 điểm)	(1/2 điểm)
b/ Ta có:
VT = 	(*)	(1/4 điểm)
Từ a + c = 2b => a = 2b – c thay vào (*) ta có	(1/4 điểm)
VT = 	(**)
	(1/4 điểm)
Thay b = vào (**) ta có
VT = VP (Đpcm)	(1/4 điểm)
Câu 2
a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2
 (2x + 2)2 = 6(7 - y2)	(1/4 điểm)
Vì (2x + 2)2 0 => 7 - y2 0 => 7 y2 mà y Z => y = 
	(1/4 điểm)
+ Với y = 1 => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) 2x2 + 4x - 16 = 0
=> x1 = 4; x2 = -2.
+ Với y = 2 =>2x2 + 4x - 7 = 0 => x1, x2 Z (loại)	(1/4 điểm)
+ Với y = 0 =>2x2 + 4x - 19 = 0 => x1, x2 Z (loại)
Vậy cặp nghiệm (x, y) của phương trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1).
b/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x2 ta được:
	M = 	(1/2 điểm)
M đạt giá trị lớn nhất khi nhỏ nhất => = 2 => x = 1
Vậy M lớn nhất bằng 1/3 khi x = 1
Câu 3 Ta có P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 – x36 + x66)
	= (x + x11)(x2 – x12 + x22)(	x6 – x36 + x66)	(1/4 điểm)
a/ Với x chẵn thì x9, x99 đều chẵn	
	x lẻ thì x9, x99 đều lẻ
	=> x9 + x99 đều chẵn với mọi x nguyên dương	(1/4 điểm)
b/ Ta có x11 = 2048 nên x + x11 = 2050	(1/4 điểm)
Vì x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 4100
Vậy P(2) chia hết cho 100	(1/4 điểm)
c/ Ta có N = P(4) = 49 + 499 = (29)2 + (299)2 = (29 + 299)2 – 2 . 29 . 299
	(1/4 điểm)
Theo câu b thì số bị trf có chữ số hàng đơn vị là 0 mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác 0 hay hiệu của chữ số hàng đơn vị khac 0
Vậy chữ số của N khác 0.
Câu 4
- Dựng A’ đối xứng với M qua Ox (1 điểm)
- Dựng B’ đối xứng với M qua Oy 
- Nối A’B’ cắt Ox tại A, cắt Oy tại B (1 điểm)
=> AM = AA’ (A Ox trung trực của A’M)
 BM = BB’ (B Oy trung trực của B’M)
	 (1/2 điểm)
=> P(AMB) = AA’ + AB + BB’ nhỏ nhất
 (vì A’, A, B, B’ thẳng hàng)
Câu 5 
Tính biệt số = [(a – b)2 – c2][(a + b)2 – c2]
	(1/2 điểm)
Vì a + b > c > 0 và 0 < | a – b| < c 
nên (a – b)2 (a – b)2 – c2 < 0
và (a + b)2 > c2 => (a + b)2 – c2 > 0
Do vậy Phương trình vô nghiệm	(1/2 điểm)