Bài tập nâng cao bồi dưỡng Toán học Lớp 6 - Chủ đề 1: Phép cộng, trừ, nhân, chia và nâng cao lũy thừa trong N - Nguyễn Thị Thanh Thảo

CHỦ ĐỀ 1: PHÉP CỘNG , TRỪ , NHÂN CHIA 
VÀ NÂNG LŨY THỪA TRONG N
I.MỤC TIÊU
+ Thöïc hieän thaønh thaïo caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp N: Coäng tröø, nhaân chia, naâng leân luyõ thöøa.
+ Hoïc sinh aùp duïng ñöôïc caùc tính chaát cô baûn vaøo tính nhanh, tính hôïp lyù.
+Giải một số dạng toán trong tập hợp N
II. TÓMTẮT LÝ THUYẾT
- Trên tập hợp các số tự nhiên có các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia các số tự nhiên và phép lũy thừa
-Điều kiện để phép trừ hai số tự nhiện luôn thực hiện được trên tập hợp N là số bị trừ phải lớn hơn hoặc bằng số trừ
-Các tính chất của phép cộng , nhân hai số tự nhiên :
 *Giao hoán: a+ b = b + a ; a.b = b.a
 *Kết hợp : (a + b) + c = a + (b + c) ; (a . b) . c = a.( b. c)
 *Phân phối giữa phép nhân với phép cộng : (a + b).c = ac + bc
 *Nhân với 1: a . 1 = 1.a = 1
 *Cộng với 0 : a + 0 = 0 + a = a
-Với hai số tự nhiên a và b , trong đó b¹ 0 , nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x
- Cho hai số tự nhiên a và b , trong đó b¹ 0 , ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho : a = b.q + r trong đó 0 £ r < b
*Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết
*Nếu r ¹ 0 thì ta có phép chia có dư
Số chia bao giờ cũng khác 0
-Công thức nhân , chia lũy thừa cùng cơ số:
 am. an = am + n (a Î N ; n ¹ 0, n Î N )
 am : an = am - n (a Î N , a ¹ 0; m, n Î N, m ≥ n )
III.BÀI TẬP
Bài 1: Cho một số có 3 chữ số ( a, b, c khác nhau và khác 0 ) . Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ( Kể cả số ban đầu)
HD: Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị 
Vậy có tất cả : 3.2.1 = 6 (số ) 
Bài 2: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 ( a, b, c khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số?
HD: Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn; 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Vậy có tất cả : 3.3.2.1 = 18 ( số)
Bài 3: Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
HD:Trường hợp không có chữ số 0 thì có 5.4.3.2.1 = 120 ( số)
 Trường hợp có chữ số 0 thì có 4.4.3.2.1 = 96 ( số)
Bài 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 176; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại.
HD: Gọi số thứ nhất là thì số thứ hai là ( 0 < a,b £ 9 ; a ¹ b)
Theo đề ta có : 
Từ cột hàng chục ta thấy : a + b > 10 , từ cột hàng đơn vị ta suy ra b + a = 16
Vì a ¹ b nên a = 9 ; b = 7 hoặc a = 7 ; b = 9
Vậy hai số cần tìm là 97 và 79
Bài 5: Cho a + c = 9 . Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho là một số có 3 chữ số
Bài 6: Từ 10 chữ số 0; 1; 2 ; ; 9 hãy ghép thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại.
Tìm giá trị lớn nhất của tổng
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
HD: a) Muốn có tổng lớn nhất thì các chữ số hàng chục của 6 số hạng phải lớn nhất. Ta lần lượt chọn 9; 8; 7; 6; 5 làm chữ số hàng chục , còn 5 chữ số còn lại sẽ là các chữ số hàng đơn vị 
Khi đó ta có tổng của 5 số là 90 + 81 +72 + 63 + 54 = 360
Vậy giá trị lớn nhất của tổng là 360 ( các chữ số hàng đơn vị có thể đổi chỗ cho nhau 1 cách tùy ý)
b)Tương tự ta có tổng 5 số là : 19 + 28 + 37 + 4 6 + 50= 180
Bài 7: Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0
Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau
Có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho 
HD:a) có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn; 3 cách chọn chữ số hàng trăm; 2 cách chọn chữ số hàng chục; 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Vậy có tất cả : 4.3.2.1 = 4! ( số)
b)Có 4 cách chọn chữ số hàng chục; 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 4.3 = 12 ( số)
Bài 8:Có 5 số tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng của chúng có tận cùng bằng 8 không?
HD: Giả sử có 5 số tự nhiên có tích bằng 2003; tích là một số lẻ nên cả 5 số đều là số lẻ, khi đó tổng của chúng là phải là một số lẻ nên không thể có chữ số tận cùng bằng 8 được. Vậy không tồn tại 5 số tự nhiên nào như vậy
Bài 9:Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất:
38 + 41 + 117 + 159 + 62 
73 + 86 + 968 + 914 + 3032
341.67 + 341.16 + 659.83
42.53 + 47.156 - 47.114
ĐS: a) 417 ; b) 5073 ; c) 83000 ; d) 4200
Bài 10:Tính giá trị của biểu thức 
A = ( 10 – 1).(100 – 2). (100 – 3)  (100 – n) với n ÎN* và tích trên có đúng 100 thừa số
B = 13a + 19b + 4a – 2b với a + b = 100
ĐS: a) A = ( 10 – 1).(100 – 2). (100 – 3)  (100 – 100) = 99.98.0 = 0
 b) B = (13a + 4a )+ (19b – 2b) = 17a + 17b = 17(a + b) = 17. 100 = 1700 
Bài 11:Không tính giá trị cụ thể hãy so sánh:
A = 199. 201 và B = 200.200
C = 35.53 – 18 và 35 + 53.34
E = 1998.1998 và F = 1996.2000
HD: a) A = 199. 201 = 199.( 200 + 1) = 199.200 + 199 và B = 200.200 (199 + 1).200 = 199.200 + 200
 Vì 199.200 + 199 < 199.200 + 200 nên A < B
b)C = D
c)E < F
Bài 12:Hãy viết các số sau dưới dạng một tích của hai số tự nhiên liên tiếp
a) 12 b) 1122 ; 111222
HD: a) 12 = 3.4
b)1122 = 1100 + 22 = 11.100 + 2.11 = 11(100 + 2) = 11. 102 = 11. 3. 34 = 33. 34
c)111222 = 111000 + 222 = 111.1000 + 2.111 = 111(1000 + 2) = 111. 1002 = 111.3 . 334 = 333. 334
Bài 13:Tìm các chữ số a, b, c, d biết a. 
Ta có 
Vậy a. = 
Suy ra a = 7; b = 1 ; c = 4 ; d = 3
Bài 14: Cho a, b n ÎN* ; a > 2 ; b > 2. Chứng tỏ rằng a + b < a.b
HD: Vì a > 2 ; b >2 nên a = 2 + m ; b = 2 + n ( m, n ÎN* )
Ta có a + b = ( 2 + m ) + ( 2 + n) = 4 + ( m + n) (1)
 a.b = (2 + m) .(2 + n) = (2 + m) .2 + (2 + m) .n = 4 + 2m + 2n + mn = 4 + 2(m + n) + m.n (2)
Vì m, n ÎN* nên 2( m + n) > m + n và m.n > 0
Do đó từ (1) và (2) duy ra a + b = a.b
Bài 15:a)Một số có 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số cũ là bao nhiêu?
b)Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau. Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3
HD: a) Gọi số có 3 chữ số là , trong đó a, b, c là số tự nhiên liên tiếp. Suy ra : c – a = 2.
Số viết theo thứ tự ngược lại là .
Ta có - = (100c + 10b + a) – (100a + 10b + a) = 100c + 10b + a – 100a - 10b – a 
 = 99c – 99a = 99( c- a) = 99.2 = 198
b)Gọi hai số là a và b
Giả sự a chia 3 dư 1; b chia 3 dư 2
Suy ra a = 3q1 + 1; b = 3q2 + 2
Khi đó a + b = 3q1 + 1+ 3q2 + 2 = 3q1 + 3q2 + 3 = 3(q1 + q2 + 1) 3
Bài 16:Chứng tỏ rằng trong một phép trừ , tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bao giờ cũng chia hết cho 2
HD: Gọi a là số bị trừ, b là số trừ ; c là hiệu của a – b 
Khi đó ta có : c = a – b
Ta có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là a + b + c = a + b + a – b = 2a 2
Bài 17:Cho M = { 1; 13; 21; 29; 52 }. Tìm x, y ÎM biết 30 < x – y < 40
Vì x – y > 30 nên x > 30 Þ x = 52
Từ x – y > 30 Þ 52 – y > 30 Þ y < 22 (1)
Từ x – y 12 (1)
Từ (1) và (2) suy ra 12 < y < 22 . Do y Î{ 1; 13; 21; 29; 52 } nên y = 13 hoặc y = 22
Bài 18: Tìm x biết:
( x + 74) – 318 = 200
3636 : ( 12x – 91) = 36
(x : 23 + 45).67 = 8911
420 + 65.4 = (x + 175) : 5 + 30
(32.15) : 2 = (x + 70) : 14 – 40
x – 4867 = (175.2 – 50.70) : 25 + 23
Bài 19:Thực hiện phép tính sau bằng cách hợp lý nhất
(44.52.60) : (11.13.15)
123.456456 – 456.123123
(98.7676 – 9898.76) : (2001.2002.2003..1010)
(168.168 – 168.58) : 110
[(456.11 + 912) . 37 ] : (13.74)
(864.48 – 432.96) : (864.48.432)
(16.17 – 5) : (16.16 + 11)
(27.45 + 27.55) : (2 + 4 + 6 +  + 14 + 16 + 18)
(26.108 – 26.12) : (32 – 28 + 24 – 20 + 16 – 12 + 8 – 4)
(27.700 – 24.45.20) : (45 – 40 +35 –30 +25 – 20 +15 – 10 + 5)
1 + 6 + 11 + 16 +  + 46 + 51
2 + 5 + 11 +  + 47 + 65
3 + 12 + 48 +  + 3072 + 12288
2 + 5 + 7 + 12 +  + 81 + 131
Bài 20:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B = 2003 – 1003 : (999 – x) với x ÎN
HD: B có giá trị nhỏ nhất Û 1003 : (999 – x) có giá trị lớn nhất 
 Û 999 – x có giá trị nhỏ nhất 
 Û 999 – x = 1 (Vì số chia phải khác 0)
 Û x = 988; lúc đó B = 1000
Bài 21: Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng một số dư , a ≥ b Chứng tỏ rằng a – b chia hết cho m
HD: Gọi số dư là r, ta cò a = mq1 + r; b = mq2 + r
Suy ra a – b = (mq1 + r) – ( mq2 + r) = mq1 + r – mq2 – r = m ( q1 – q2) m
Bài 22: Trong một phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12. Tìm số chia và thương
HD: Gọi sô bị chia , số chia và số dư lần lượt là a, b, q, r
Ta có a = b.q + r ( b ¹ 0 ; r < b)
Suy ra : b. q = a – r = 155 – 12 = 143 = 143.1 = 13.11
Vì b > 12 nên ta chọn b = 143 , q = 1 hoặc b = 13; q = 11
Bài 23: Viết tập hợp C các số tự nhiên x biết rằng lấy x chia cho 12 ta được thương bằng số dư.
HD: Ta phải tìm x Î N sao cho x = 12.q + q hay x = 13q ( với q <12)
Lần lượt cho q = 0; 1; 2; 11 ta tìm được c 
Vậy C = {0; 13; 26; 39; .; 143}
Bài 24: Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10. Tìm số chia
HD: Gọi số chia là b, theo đầu bài ta có ;
129 = b.q1 + 10 Þ b.q1 = 119 = 119. 1 = 17.7
61 = b.q2 Þ b.q2 = 51 = 51. 1 = 17.3
Vì b > 10 và q1 ¹ q2 nên ta chọn b = 17
Bài 25: Cho tổng S = 7 + 10 + 13 +  + 97 + 100
a)Tổng trên có bao nhiêu số hạng
b)Tìm số hạng thứ 22
c)Tính S
HD: a)Số số hạng của tổng là (100 – 7) : 3 + 1 = 32 ( số hạng)
b)Gọi số hạng thứ 22 là x , ta có : (x – 7) : 3 + 1 = 22 Þ 70
c)Ta có S = (7 + 100) .32 : 2 = 1712
Bài 26: Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho 7 dư 3;
A = { x ÎN / x = 7.q + 3 ; q ÎN ; x £ 150 }
a) Hãy liệt kê các phần tử của A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn
b)Tính tổng các phần tử của A
HD:a)A = {3; 10; 17; 24; ; 143; 150}
b)Dễ thấy dãy số 3; 10; 17; 24; ; 143; 150 là một dãy số cộng với u1= 3 ; d = 7
Số hạng của dãy là n = (un – u1) : d + 1 = (150 – 3): 7 + 1 = 22( số hạng)
Tổng các số hạng của dãy là Sn = (u1 + un).n : 2 = (3 + 150).22:2 = 1683
Bài 27:Tìm một số chính phương có 2 chữ số sao cho mỗi chữ số đều là một số chính phương
ĐS : 49
Bài 28: Trong các số sau, những số nào bằng nhau? Số nào nhỏ nhất? Số nào lớn nhất?
24 ; 34 ; 42; 43 ; 990 ; 099 ; 1n 
Bài 29: Kiểm tra xem đẳng thức sau đúng hay sai? Nếu sai hãy di chuyển 1 chữ số đến vị trí khác để được đẳng thức đúng. 
152 – 53 = 102
ĐS: 152 - 53 = 102
Bài 30: Chứng tỏ tổng, hiệu sau đây là một số chính phương 
a)32 + 42
b)132 - 52
c)13 + 23 + 33 + 43
Bài 31: Viết các tổng hoặc hiệu sau dưới dạng một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1
172 - 152
62 + 82
132 - 122
43 – 23 + 52
Bài 32: Viết các tích hoặc thương sau dưới dạng lũy thừa của một số:
a)2.84 ; b)256.1253 ; 6255 : 257 ; d) 123 . 33
e)23.84.163 ; f) 643.43 : 16 ; g) 812 : (32.27) 
 h) (811.317 ): (2710 . 915)
Bài 33: ... 2 = b2 + c2
CMR: abc M 60
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: a. 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n
= 3.9n + 4.2n
= 3(7 + 2)n + 4.2n 
= 7M + 7.2n M 7
b. mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) M 30
Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = 1 vµ n = 2k (k Î N) 
cã 3n + 63 = 32k + 63
= (32k - 1) + 64 Þ A(n) M 8
Bµi 4: §Æt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k Î N) 
Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) M 64 vµ 3
Bµi 5: Cã 60 = 3.4.5 	§Æt M = abc
NÕu a, b, c ®Òu kh«ng chia hÕt cho 3 Þ a2, b2 vµ c2 chia hÕt cho 3 ®Òu d­ 1 Þ a2 ¹ b2 + c2. Do ®ã cã Ýt nhÊt 1 sè chia hÕt cho 3. VËy M M 3
NÕu a, b, c ®Òu kh«ng chia hÕt cho 5 Þ a2, b2 vµ c2 chia 5 d­ 1 hoÆc 4 Þ b2 + c2 chia 5 th× d­ 2; 0 hoÆc 3.
Þ a2 ¹ b2 + c2. Do ®ã cã Ýt nhÊt 1 sè chia hÕt cho 5. VËy M M 5
NÕu a, b, c lµ c¸c sè lÎ Þ b2 vµ c2 chia hÕt cho 4 d­ 1.
Þ b2 + c2 º (mod 4) Þ a2 ¹ b2 + c2
Do ®ã 1 trong 2 sè a, b ph¶i lµ sè ch½n.
Gi¶ sö b lµ sè ch½n
	NÕu C lµ sè ch½n Þ M M 4
	NÕu C lµ sè lÎ mµ a2 = b2 + c2 Þ a lµ sè lÎ 
Þ b2 = (a - c) (a + b) Þ 
Þ ch½n Þ b M 4 Þ m M 4
VËy M = abc M 3.4.5 = 60
5. Ph­¬ng ph¸p 5: biÕn ®æi biÓu thøc cÇn chøng minh vÒ d¹ng tæng
Gi¶ sö chøng minh A(n) M k ta biÕn ®æi A(n) vÒ d¹ng tæng cña nhiÒu h¹ng tö vµ chøng minh mäi h¹ng tö ®Òu chia hÕt cho k.
VÝ dô 1: CMR: n3 + 11n M 6 víi " n Î z.
Gi¶i
Ta cã n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n
	 = n(n + 1) (n - 1) + 12n
V× n, n - 1; n + 1 lµ 3 sè nguyªn liªn tiÕp
Þ n(n + 1) (n - 1) M 6 vµ 12n M 6
VËy n3 + 11n M 6
VÝ dô 2: Cho a, b Î z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) M 11
CMR: (16a +17b) (17a +16b) M 121
Gi¶i
Cã 11 sè nguyªn tè mµ (16a +17b) (17a +16b) M 11
Þ (1)
Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) M 11 (2)
Tõ (1) vµ (2) Þ 
VËy (16a +17b) (17a +16b) M 121
VÝ dô 3: T×m n Î N sao cho P = (n + 5)(n + 6) M 6n.
Gi¶i
Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30
	= 12n + n2 - n + 30
V× 12n M 6n nªn ®Ó P M 6n Û n2 - n + 30 M 6n
Û 
Tõ (1) Þ n = 3k hoÆc n = 3k + 1 (k Î N) 
Tõ (2) Þ n Î {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
VËy tõ (1); (2) Þ n Î {1; 3; 6; 10; 15; 30}
Thay c¸c gi¸ trÞ cña n vµo P ta cã 
n Î {1; 3; 10; 30} lµ tho¶ m·n
VËy n Î {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) M 6n.
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 M 23
Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 M 24
Bµi 3: CMR: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 M 59
	b. 9 2n + 14 M 5
Bµi 4: T×m n Î N sao cho n3 - 8n2 + 2n M n2 + 1
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53)
	= 8m + 8N M 23
Bµi 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
Ta thÊy n vµ 3n + 5 kh«ng ®ång thêi cïng ch½n hoÆc cïng lÎ 
Þ n(3n + 5) M 2 Þ §PCM
Bµi 3: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 
	= 5n(25 + 26) + 8 2n+1 
	= 5n(59 - 8) + 8.64 n
	= 5n.59 + 8.59m M 59
b. 9 2n + 14 = 9 2n - 1 + 15
	= (81n - 1) + 15
	= 80m + 15 M 5
Bµi 4: Cã n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + 8 M (n2 + 1) Û n + 8 M n2 + 1
NÕu n + 8 = 0 Þ n = -8 (tho¶ m·n)
NÕu n + 8 ¹ 0 Þ ½n + 8½³ n2 + 1
Þ 
Þ n Î {-2; 0; 2} thö l¹i
VËy n Î {-8; 0; 2}
6. Ph­¬ng ph¸p 6: Dïng quy n¹p to¸n häc
Gi¶ sö CM A(n) M P víi n ³ a (1)
B­íc 1: Ta CM (1) ®óng víi n = a tøc lµ CM A(n) M P
B­íc 2: Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k tøc lµ CM A(k) M P víi k ³ a
Ta CM (1) ®óng víi n = k + 1 tøc lµ ph¶i CM A(k+1) M P
B­íc 3: KÕt luËn A(n) M P víi n ³ a
VÝ dô 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - 1 M 225 víi " n Î N*
Gi¶i
Víi n = 1 Þ A(n) = 225 M 225 vËy n = 1 ®óng
Gi¶ sö n = k ³ 1 nghÜa lµ A(k) = 16k - 15k - 1 M 225
Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 M 225
ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1
	= 16.16k - 15k - 16
	= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15
	= 16k - 15k - 1 + 15.15m
	= A(k) + 225
mµ A(k) M 225 (gi¶ thiÕt quy n¹p) 
225mM 225
VËy A(n) M 225
VÝ dô 2: CMR: víi " n Î N* vµ n lµ sè tù nhiªn lÎ ta cã 
Gi¶i
Víi n = 1 Þ m2 - 1 = (m + 1)(m - 1) M 8 (v× m + 1; m - 1 lµ 2 sè ch½n liªn tiÕp nªn tÝch cña chóng chia hÕt cho 8)
Gi¶ sö víi n = k ta cã ta ph¶i chøng minh
ThËt vËy Þ 
Þ 
cã 
	= 
VËy víi " n ³ 1
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 M 29 víi " n ³ 1
Bµi 2: CMR: 42n+2 - 1 M 15
Bµi 3: CMR sè ®­îc thµnh lËp bëi 3n ch÷ sè gièng nhau th× chia hÕt cho 3n víi n lµ sè nguyªn d­¬ng.
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: T­¬ng tù vÝ dô 1.
Bµi 2: T­¬ng tù vÝ dô 1.
Bµi 3: Ta cÇn CM M 3n (1)
Víi n = 1 ta cã 
Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k tøc lµ M 3k
Ta chøng minh (1) ®óng víi n = k + 1 tøc lµ ph¶i chøng minh
M 3k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k
Cã 
7. Ph­¬ng ph¸p 7: sö dông ®ång d­ thøc 
Gi¶i bµi to¸n dùa vµo ®ång d­ thøc chñ yÕu lµ sö dông ®Þnh lý Euler vµ ®Þnh lý Fermat
VÝ dô 1: CMR: 22225555 + 55552222 M 7
Gi¶i
Cã 2222 º - 4 (mod 7) Þ 22225555 + 55552222 º (- 4)5555 + 45555 (mod 7)
L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 
= - 42222 (43333 - 1) = 
	V× 43 = 64 º (mod 7) (mod 7)
Þ 22225555 + 55552222 º 0 (mod 7)
VËy 22225555 + 55552222 M 7
VÝ dô 2: CMR: víi " n Î N
Gi¶i
Theo ®Þnh lý Fermat ta cã: 
310 º 1 (mod 11)
210 º 1 (mod 11)
Ta t×m d­ trong phÐp chia lµ 24n+1 vµ 34n+1 cho 10
	Cã 24n+1 = 2.16n º 2 (mod 10)
Þ 24n+1 = 10q + 2 (q Î N)
	Cã 34n+1 = 3.81n º 3 (mod 10)
Þ 34n+1 = 10k + 3 (k Î N)
Ta cã: 
= 32.310q + 23.210k + 5
º 1+0+1 (mod 2)
	º 0 (mod 2) 
mµ (2, 11) = 1
VËy víi " n Î N
VÝ dô 3: CMR: víi n Î N
Gi¶i
Ta cã: 24 º 6 (mod) Þ 24n+1 º 2 (mod 10)
Þ 24n+1 = 10q + 2 (q Î N)
Þ 
Theo ®Þnh lý Fermat ta cã: 210 º 1 (mod 11)
Þ 210q º 1 (mod 11)
	º 4+7 (mod 11) º 0 (mod 11) 
VËy víi n Î N (§PCM)
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR víi n Î N
Bµi 2: CMR víi " n ³ 1 ta cã
52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 M 38
Bµi 3: Cho sè p > 3, p Î (P)
CMR 3p - 2p - 1 M 42p
Bµi 4: CMR víi mäi sè nguyªn tè p ®Òu cã d¹ng
	2n - n (n Î N) chia hÕt cho p.
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: Lµm t­¬ng tù nh­ VD3
Bµi 2: Ta thÊy 52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 M 2
MÆt kh¸c 52n-1. 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 = 2n(52n-1.10 + 9. 6n-1)
V× 25 º 6 (mod 19) Þ 5n-1 º 6n-1 (mod 19)
Þ 25n-1.10 + 9. 6n-1 º 6n-1.19 (mod 19) º 0 (mod 19)
Bµi 3: §Æt A = 3p - 2p - 1 (p lÎ)
	DÔ dµng CM A M 2 vµ A M 3 Þ A M 6
NÕu p = 7 Þ A = 37 - 27 - 1 M 49 Þ A M 7p
NÕu p ¹ 7 Þ (p, 7) = 1
Theo ®Þnh lý Fermat ta cã:
	A = (3p - 3) - (2p - 2) M p
§Æt p = 3q + r (q Î N; r = 1, 2)
Þ A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2)
= 3r.27q - 2r.8q - 1 = 7k + 3r(-1)q - 2r - 1 (k Î N)
víi r = 1, q ph¶i ch½n (v× p lÎ)
Þ A = 7k - 9 - 4 - 1 = 7k - 14
VËy A M 7 mµ A M p, (p, 7) = 1 Þ A M 7p
Mµ (7, 6) = 1; A M 6
Þ A M 42p.
Bµi 4: NÕu P = 2 Þ 22 - 2 = 2 M 2
NÕu n > 2 Theo ®Þnh lý Fermat ta cã:
2p-1 º 1 (mod p)
Þ 2m(p-1) º 1 (mod p) (m Î N)
XÐt A = 2m(p-1) + m - mp
A M p Þ m = kq - 1
Nh­ vËy nÕu p > 2 Þ p cã d¹ng 2n - n trong ®ã
N = (kp - 1)(p - 1), k Î N ®Òu chia hÕt cho p
8. Ph­¬ng ph¸p 8: sö dông nguyªn lý §irichlet
	NÕu ®em n + 1 con thá nhèt vµo n lång th× cã Ýt nhÊt 1 lång chøa tõ 2 con trë lªn.
VÝ dô 1: CMR: Trong n + 1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho n.
Gi¶i
LÊy n + 1 sè nguyªn ®· cho chia cho n th× ®­îc n + 1 sè d­ nhËn 1 trong c¸c sè sau: 0; 1; 2; ; n - 1
Þ cã Ýt nhÊt 2 sè d­ cã cïng sè d­ khi chia cho n.
Gi¶ sö ai = nq1 + r 	0 £ r < n
aj = nq2 + r	a1; q2 Î N
Þ aj - aj = n(q1 - q2) M n
VËy trong n +1 sè nguyªn bÊt kú cã 2 sè cã hiÖu chia hÕt cho n.
NÕu kh«ng cã 1 tæng nµo trong c¸c tæng trªn chia hÕt cho n nh­ vËy sè d­ khi chia mçi tæng trªn cho n ta ®­îc n sè d­ lµ 1; 2; ; n - 1
VËy theo nguyªn lý §irichlet sÏ tån t¹i Ýt nhÊt 2 tæng mµ chi cho n cã cïng sè d­ Þ (theo VD1) hiÖu cïadr tæng nµy chia hÕt cho n (§PCM).
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: CMR: Tån t¹i n Î N sao cho 17n - 1 M 25
Bµi 2: CMR: Tån t¹i 1 béi cña sè 1993 chØ chøa toµn sè 1.
Bµi 3: CMR: Víi 17 sè nguyªn bÊt kú bao giê còng tån t¹i 1 tæng 5 sè chia hÕt cho 5.
Bµi 4: Cã hay kh«ng 1 sè cã d¹ng.
	19931993 .. 1993000  00 M 1994
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: XÐt d·y sè 17, 172, , 1725 (t­¬ng tù VD2)
Bµi 2: Ta cã 1994 sè nguyªn chøa toµn bé sè 1 lµ:
	1
	11
	111
	.
Khi chia cho 1993 th× cã 1993 sè d­ Þ theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt 2 sè cã cïng sè d­.
Gi¶ sö ®ã lµ 
	ai = 1993q + r 	0 £ r < 1993
aj = 1993k + r	i > j; q, k Î N
Þ aj - aj = 1993(q - k) 
mµ (10j, 1993) = 1
M 1993 (§PCM)
Bµi 3: XÐt d·y sè gåm 17 sè nguyªn bÊt kú lµ 
a1, a2, , a17
Chia c¸c sè cho 5 ta ®­îc 17 sè d­ ¾t ph¶i cã 5 sè d­ thuéc tËp hîp{0; 1; 2; 3; 4}
NÕu trong 17 sè trªn cã 5 sè khi chia cho 5 cã cïng sè d­ th× tæng cña chóng sÏ chia hÕt cho 5.
NÕu trong 17 sè trªn kh«ng cã sè nµo cã cïng sè d­ khi chia cho 5 Þ tån t¹i 5 sè cã sè d­ kh¸c nhau Þ tæng c¸c sè d­ lµ: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 M 10
VËy tæng cña 5 sè nµy chia hÕt cho 5.
Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, 
a1994 = 
®em chia cho 1994 Þ cã 1994 sè d­ thuéc tËp {1; 2; ; 1993} theo nguyªn lý §irichlet cã Ýt nhÊt 2 sè h¹ng cã cïng sè d­.
Gi¶ sö: ai = 1993  1993 (i sè 1993)
aj = 1993  1993 (j sè 1993)
Þ aj - aj M 1994 	1 £ i < j £ 1994
Þ 
9. Ph­¬ng ph¸p 9: ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng
	§Ó CM A(n) M p (hoÆc A(n) M p )
+ Gi¶ sö: A(n) M p (hoÆc A(n) M p )
+ CM trªn gi¶ sö lµ sai
+ KÕt luËn: A(n) M p (hoÆc A(n) M p )
VÝ dô 1: CMR n2 + 3n + 5 M 121 víi " n Î N
	Gi¶ sö tån t¹i n Î N sao cho n2 + 3n + 5 M 121
Þ 4n2 + 12n + 20 M 121 (v× (n, 121) = 1)
Þ (2n + 3)2 + 11 M 121 (1)
Þ (2n + 3)2 M 11
V× 11 lµ sè nguyªn tè Þ 2n + 3 M 11
	Þ (2n + 3)2 M 121 (2)
Tõ (1) vµ (2) Þ 11 M 121 v« lý
VËy n2 + 3n + 5 M 121
VÝ dô 2: CMR n2 - 1 M n víi " n Î N*
Gi¶i
XÐt tËp hîp sè tù nhiªn N*
Gi¶ sö $ n ³ 1, n Î N* sao cho n2 - 1 M n
Gäi d lµ ­íc sè chung nhá nhÊt kh¸c 1 cña n Þ d Î (p) theo ®Þnh lý Format ta cã
2d-1 º 1 (mod d) Þ m < d
ta chøng minh m\n
Gi¶ sö n = mq + r (0 £ r < m)
Theo gi¶ sö n2 - 1 M n Þ nmq+r - 1 M n
Þ 2r(nmq - 1) + (2r - 1) M n Þ 2r - 1 M d v× r < m mµ m Î N, m nhá nhÊt kh¸c 1 cã tÝnh chÊt (1)
Þ r = 0 Þ m\n mµ m < d còng cã tÝnh chÊt (1) nªn ®iÒu gi¶ sö lµ sai.
VËy n2 - 1 M n víi " n Î N*
Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: Cã tån t¹i n Î N sao cho n2 + n + 2 M 49 kh«ng?
Bµi 2: CMR: n2 + n + 1 M 9 víi " n Î N*
Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 M 289 víi " n Î N
H­íng dÉn - §¸p sè
Bµi 1: Gi¶ sö tån t¹i n Î N ®Ó n2 + n + 2 M 49 
Þ 4n2 + 4n + 8 M 49
Þ (2n + 1)2 + 7 M 49 (1) Þ (2n + 1)2 M 7
V× 7 lµ sè nguyªn tè Þ 2n + 1 M 7 Þ (2n + 1)2 M 49 (2)
Tõ (1); (2) Þ 7 M 49 v« lý.
Bµi 2: Gi¶ sö tån t¹i n2 + n + 1 M 9 víi " n
Þ (n + 2)(n - 1) + 3 M 3 (1)
v× 3 lµ sè nguyªn tè Þ Þ (n + 2)(n - 1) M 9 (2)
Tõ (1) vµ (2) Þ 3 M 9 v« lý
Bµi 3: Gi¶ sö $ n Î N ®Ó 4n2 - 4n + 18 M 289 
	Þ (2n - 1)2 + 17 M 172
Þ (2n - 1) M 17
17 lµ sè nguyªn tè Þ (2n - 1) M 17 Þ (2n - 1)2 M 289
Þ 17 M 289 v« lý.
CHỦ ĐỀ 6: ĐOẠN THẲNG ( 9 TIẾT)