Bài giảng Môn Toán 6 - Phần số học - Tính chia đúng của các số nguyên số nguyên tố - Bscnn - uscln

TÍNH CHIA ĐÚNG CỦA CÁC SỐ NGUYÊN
 SỐ NGUYÊN TỐ - BSCNN - USCLN
I. Tính chia hết của các số nguyên:
1. Định nghĩa:
	a gọi là chia hết cho b khi nào đạt được ba điều kiện sau:
	* a = bq (r = 0)
	* a = kb (k là số nguyên, a là bội của b)
	* (k là số nguyên, b là ước của a)
	Đặc biệt : Số 0 chia hết cho tất cả các số.
2. Tính chia hết:
	 a. Hai số a và a/ chia đúng cho d thì tổng của chúng cũng chia hết cho d.
	Chứng minh :
	Vì a = dq và a/ = dq/ nên a 
	Hệ quả: Một tổng đại số chia hết cho một số khi từng số hạng của tổng chia hết cho số đó.
 b. Tích của nhiều số chia hết cho một số khi một thừa số của tích chia hết cho số đó.
	Hệ quả: 
 c. Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a + b và a – b đề không chia hết cho m. Nếu tổng hoặc hiệu hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
	3. Qui ước: Chia hết: “”
	Không chia hết: “ ”
Điều kiện chia hết:
a. Chia hết cho 2 và 5:
	* Nhận xét: Số dư của phép chia một số nguyên cho 2 và 5 bằng số dư của phép chia chữ số cuối cùng bên phải số đó cho 2 và 5.
	* Ta có điều kiện: 
	- Một số chia hết cho 2 hoặc 5 khi chữ số tận cùng chia hết cho2 hoặc 5.
	- Một số chia hết cho 4 và 25 khi số hợp bởi hai chữ số tận cùng bên phải của số đó chia hết cho 4 và 25.
	- Một số chia hết cho 8 và 125 khi số hợp bởi ba chữ số tận cùng bên phải của số đó chia hết cho 8 và 125.
	- Một số vừa chia hết cho 2 và 5 thì chia hết cho 10.
	- Một số vừa chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100
	- Một số vừa chia hết cho 8 và 125 thì chia hết cho 1000.
	b. Chia hết cho 3 và 9:
	*. Nhận xét:
	Số dư của phép chia một số nguyên cho 3 và 9 bằng số dư của phép chia tổng các chữ số của số đó cho 3 và 9.
	Thật vậy: 	 10 = 9 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
	100 = 99 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
	10n = 99....9 + 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1
Vì vậy một số = 1000a + 100b + 10c + d = 
 = a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d
	 = aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d
	 = Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c + d).
	* Điều kiện:
	Một số nguyên chia hết cho 3 và 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 và 9.
	* Lưu ý:
	- Một số chia hết cho 3 và 9 thì chia hết cho 18
	- Một số chia hết cho 2 và 3 thì chia hết cho 6, chia hết cho 2 và 9 thì chia hết cho 18.
	- Một số chia hết cho 3 và 5 thì chia hết cho 15, chia hết cho 5 và 9 thì chia hết cho 45.
	c. Chia hết cho 11:
	Trong một số nguyên N nếu gọi L là tổng các chữ số hàng lẻ (Kể từ phải sang trái) và C là tổng các chữ số hàng chẵn (Kể từ phải qua trái), thì số dư của phép chia N co 11 bằng số dư của hiệu (L – C) hay (C – L) ch 11.
	Thật vậy:	102 = 99 + 1 = Bs11 + 1
	104 = 999 + 1 = Bs11 + 1
	102n = Bs11 + 1
	Mặt khác: 102n+1 = 102n.10 = Bs11 – 1
	Vì vậy nếu ta có số : 
	* Điều kiện:
Một số nguyên chia hết cho 11 khi hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ với tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11.
	Lưu ý :
- Một số nguyên chia hết cho 2 và 11 thì chia hết cho 22
- Một số nguyên chia hết cho 3 và 11 thì chia hết cho 33
- Một số nguyên chia hết cho 5 và 11 thì chia hết cho 55
- Một số nguyên chia hết cho 9 và 11 thì chia hết cho 99
	Bài tập áp dụng:
1. Chứng minh rằng (a3 – a) chia hết cho 3
	Giải:
Ta thấy a3 – a = a(a2 -1) = a.(a + 1)(a – 1) = (a – 1)a(a + 1).
Đây là tích của ba số tự nhiên liên tiếp do đó có ít nhất là một thừa số là bội của 3. Nghĩa là: (a3 – a) chia hết cho 3.
2. Chứng minh rằng (2n + 1)2 – 1 chia hết cho 8.
	Giải:
Ta có (2n + 1)2 – 1 = 4n2 + 4n + 1 – 1 = 4n2 + 4n = 4n(n + 1).
Đây là một tích của 3 thừa số trong đó có thừa số 4 và 2 thừa số còn lại là hai số nguyên liên tiếp, cho nên tích trên vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 4.
Do đó (2n + 1)2 – 1 chia hết cho 8.
.
3. Cho số chia hết cho 3. Hãy tìm số ấy ?	Giải:
4. Tìm số 
	Giải:
Vậy theo điều kiện chia hết cho 11 ta có: (8 + x) – (0+ 6) = 11k (k nguyên) hay 8 + x – 6 = x + 2 = 11k hay x = 11k – 2. 
Vì Số phải tìm là: 8092
5. Tìm số 
	Giải :
.
6. Cho một số N gồm 4 chữ số đều khác không. Biết rằng chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục.
	a. Chứng minh N chia hết cho 11.
	b. Tính N khi N chia hết cho 5 và 9.
	Giải:
	a. Theo đề bài ta biểu diễn số phải tìm như sau: . Khi đó muốn cho chia hết cho 11 thì .
	Thật vậy: (a + b) – (b + a) = a + b – b – a = 0. Mà 0 11 nên 11
	b. - N chia hết cho 5 nên chữ số cuối cùng bên phải a = 0 hoặc 5, nhưng theo điều kiện bài ra là a khác 0 nên a = 5. như vậy số phải tìm có dạng: .
	7. Tìm số tự nhiên n sao cho:
	a). n + 2 chia hết cho n – 1.
	b). 2n + 7 chia hết cho n + 1.
	c). 2n + 1 chia hết cho 6 – n.
	d). 3n chia hết cho 5 – 2n.
	e). 4n + 3 chia hết cho 2n + 6.
	Giải:
	Căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu, tich tâ có thể rút ra phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây:
	Nếu A 
	a). 	(n + 2) (n – 1) suy ra [(n + 2) – (n – 1)] (n – 1) hay 3 (n – 1). Do đó (n -1) phải là ước của 3.
	Với n – 1 = 1 ta suy ra n = 2
	Với n – 1 = 3 ta suy ra n = 4.
Vậy với n = 2 hoặc n = 4 thì n + 2 chia hết cho n – 1.
	b) 	(2n + 7) (n + 1) => [(2n + 7) – 2(n + 1)] (n + 1) => 5 (n + 1)
	Với n + 1 = 1 thì n = 0
	Với n + 1 = 5 thì n = 4
Số n phải tìm là 0 hoặc 4.
	c).	(2n + 1) (6 – n) => [(2n + 1) + 2(6 - n)](6 – n) => 13 (6 – n)
	Với 6 – n = 1 thì n = 5
	Với 6 – n = 13 thì không có sô tự nhiên nào thỏa mãn..
Vậy với n = 5 thì 2n + 1 chia hết cho 6 – n.
	d) 	3n (5 – 2n) => [2.3n + 3(5 – 2n)] ((5 – 2n) => 15 (5 – 2n)
	Với 5 – 2n = 1 thì n = 2
	Với 5 – 2n = 3 thì n = 1
	Với 5 – 2n = 5 thì n = 0
	Với 5 – n = 15 thì không có số tự nhiên n nào thỏa mãn.
Vậy với n lấy một trong các giá trị 0, 1, 2 thì 3n chia hết cho 5 – 2n
	e) 	Ta thấy rằng với mọi số tự nhiên n thì 4n + 3 = 2(2n + 1) + 1 là một số lẻ và 2n + 6 = 2(n + 3) là một số chẵn. Một số chẵn không thể là ước của một số lẻ. Vậy không thể có một số tự nhiên n nào để 4n + 3 chia hết cho 2n + 6.
Với a, b là các chữ số khác 0, chứng minh: 
	Giải:
Vậy: với a > b ta có 
	9. Tìm tất cả các số có 5 chữ số có dạng : mà chia hết cho 36
	Giải:
	Vì 36 = 9.4 nên số vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 4.
Để . Vì x và y là các chữ số nên chỉ có thể x + y = 6 hoặc x + y = 15.
Mặt khác 
	Kết hợp với các điều kiện trên, ta có : 
	Nếu y = 2 thì x = 6 – 2 = 4
	Nếu y = 6 thì x = 6 – 6 = 0 hoặc x = 15 – 6 = 9.
Vậy các số phải tìm là : 34452 ; 34056 ; 34956.
..
10. Cho A = 9999931999 – 555571997 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5.
	Giải:
	Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.
Ta có: 31999 = (34)499.33 = 81499.27. Suy ra số bị trừ có số tận cùng bằng 7.
Mặt khác: 71997 =(74)499.7 = 2041499.7. Do đó số trừ cũng có tận cùng bằn 7.
Vậy A tận cùng bằng (7 – 7=) 0, nên A chia hết cho 5.
	11. Cho số tự nhiên A. người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp ba lần số A. Chứng minh rằng số B chia hết cho 27.
	Giải:
	Theo đầu bài ta có B = 3A (1) , suy ra B 3, nhưng tổng các chữ số của B và A như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số) nên ta cũng có A 3 (2).
	Từ (1) và (2) suy ra B 9. Nếu vậy thì A 9 (vì các chữ số của chúng như nhau).	(3)
	Từ (1) và (3) ta suy ra B 27.
	12. Cho B = .
	Giải:
	Ta viết B dưới dạng sau: 
	Vì n chính là tổng các chữ số của số 
	Từ đó suy ra B chia hết cho 9.
..
	13. Tìm số tự nhiên được viết bằng một chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, .., 9 chữ số 9 sao cho số này lại bằng lập phương của một số tự nhiên.
	Giải:
	Giả sử số tự nhiên N được viết bằng 1 chữ số 1, 2 chữ số 2, 3 chữ số 3,. ,9 chữ số 9.Như vậy tổng các chữ số của số N bằng: 1 + 2.2 + 3.3 + .+ 9.9 = 285. Số 285 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Nếu vậy thì N không thể là lập phương của một số tự nhiên được (vì nếu n = a3 3 thì do 3 là số nguyên tố nên a3 ch hết cho 3.3.3.)
	Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện của đầu bài.
.
	14. Có bao nhiêu số có 5 chữ số thỏa mãn hai điều kiện sau:
a. Chia hết cho 3
b. Có ít nhất một chữ số 6.
	Giải:
	Số các số có 5 chữ số là: 99999 – 10000 + 1 = 90000 (số). Cứ ba số tự nhiên liên tiếp nhau lại có một số chia hết cho 3 nên số các số có 5 chữ số chia hết cho 3 là: 90000 : 3 = 30000 (số). Bây giờ, ta tìm các số có 5 chữ số chia hết cho 3 mà không có một chữ số 6 nào.
	Có 8 cách chọn chữ số hàng vạn (chọn trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9).
	Có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục (chọn trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9).
Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị (phụ thuộc vào tổng các chữ số của bốn hàng trên để chia hết cho 3 nên hoặc là 0, 3, 9 hoặc là 1, 4, 7 hoặc là 2, 5, 8.
Do đó số các số có 5 chữ số chia hết cho 3 mà không có chữ số 6 nào là: 
= 17496 (số)
Vậy số các số có 5 chữ số thoả mãn cả hai điều kiện của đầu bài là: 
	30000 – 17796 = 12504 (số).
......................................................
	15. Chứng minh rằng A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27.
	Giải:
 Ta viết số A dưới dạng sau:
 A = 10n + 18n – 1 = 10n – 1 – 9n + 27 n
.
II. SỐ NGUYÊN TỐ
	1. Định nghĩa : Số nguyên tố là những số chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
	Lưu ý :
	- Hai số gọi là nguyên tố cùng nhau khi UCLN của chúng bằng 1.
	- Hợp số là những số có từ 3 ước số trở lên.
	- Số chính phương là những số bằng bình phương của các số tự nhiên.
	2. Định lý và sự tìm các số nguyên tố :
	a. Định lý 1 : Muốn tìm các số nguyên tố không lớn hơn một số N nào đó. Ta viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến N. Sau đó bỏ đi số 1 và các bội số của các số nguyên tố không lớn hơn , trừ chính số đó. Những số còn lại là số nguyên tố.	
b. Định lý 2 : Muốn phát hiện xem một số N cho trước có phải là số nguyên tố không ta làm như sau : Lần lượt đem chia N cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn và dừng lại khi thương số nhỏ hơn số chia. Nếu trong các phép chia trên tất cả các số dư khác không thì N chắc chắn là số nguyên tố.
	3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
	a. Định lý:
	1. Mọi số phức hợp đều phân tích ra nhiều thừa số nguyên tố.
	2. Phép phân tích này chỉ có một cách độc nhất.
	b. Định lý về điều kiện chia hết:
	Nếu một số A chi hết cho một số B thì mọi số nguyên tố có trong B phải có trong A, số mũ mỗi số nguyên tố đó ít nhất phải bằng số mũ cữ số đó trong B.
	Chú ý :
	* Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của hai số đó.
	* Nếu tích ab chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.
	c. Cách làm:
	Muốn phân tích số N ... ùng nhau.
	5. Bài tập áp dụng :
1. Chứng minh rằng hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau.
	Giải:
	Ta có n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp => USCLN (n, n + 1) = d. Ta thấy n d và (n + 1) d nên [(n + 1) – n] d hay 1 d .
	Vậy (n, n + 1) = 1 nên n và n + 1 nguyên tố cùng nhau. 
.
	2. Chứng minh rằng 2752 và 221 là hai số nguyên tố cùng nhau.
	Giải:
	2752 và 221 nguyên tố cùng nhau khi USCLN của chúng là d = 1. Vậy ta tìm USCLN của 2752 và 221. 
	Theo thuật toán Ơ Cơ lit ta có: 	
12
2
4
1
3
5
2752
221
100
21
16
5
1
100
21
16
5
1
0
USCLN (2752, 221) = 1 nên 2752 và 221 nguyên tố cùng nhau.
	3. Chia 7600 và 629 cho một số nguyên N thì các số dư lần lượt là 4 và 5. Tính N.
	Giải:
	N > 5 (vì số dư là 4 và 5)
	7600 – 4 = 7596 N
	629 – 5 = 624 N
Vậy N là USC của 7596 và 624 nên nó cũng là US của USCLN của 7596 và 624.
Ta tìm USCLN của 7596 và 624 là 12. Các Ú của 7596 và 624 là : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Mà N > 5 nên N = 6 hay N = 12.
.
	4. Tìm hai số nguyên, biết tổng số của chúng là 192 và USCLN là 24 ?
	Giải :
	Gọi A và B là là hai số phải tìm, a và b là các thương số của chúng với 24. Ta có A = 24a ; b = 24b. Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 = 8.
Mặt khác theo định lý thì : 
	Vậy:	a = 1 => 7 = 7
	a = 2 => b = 6 (không hợp lý)
	a = 3 => b = 5
	a = 4 => b = 4 (không hợp lý)
Do đó số phải tìm là: 	a = 1, b = 7 => A = 24 ; B = 168
	a = 3, b = 5 => A = 72 ; B = 120 
	5. Cho ba số chẵn liên tiếp, chứng minh tích ba số ấy chia hết cho 48.
	Giải:
	Gọi 2n, 2n + 2, 2n + 4 là ba số chẵn liên tiếp. 
Ta sẽ có 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2).
n(n + 1)(n + 2) là tích ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Suy ra n(n + 1)(n + 2) 8.
	Vậy ta có 8n(n + 1)(n + 2) 48
6. Tìm BSCNN của 3080 và 1100 ?
	Giải :
	* Ta tìm theo cách 1 :
2
1
4
3080
1100
880
220
880
220
0
	=> d = (3080, 1100) = 220
	Vậy : D = 
7. Tìm hai số A và B, biết USCLN bằng 6 và BSCNN bằng 120.
	Giải :
	Gọi BSCNN của A và B là D, USCNN của A và B là d. Ta sẽ có : A.B = D.d
Nếu 
Như vậy a và b xẩy ra các trường hợp sau:
Như vì (a, b) = 1 nên chỉ có thể 
Suy ra: 
8. Tìm một số nhỏ hơn 400 mà khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 đều dư 1. Khi chia cho 7 thì không còn dư.
	Giải:
	N – 1 = BSC của 2, 3, 4, 5, 6. Như vậy N = BS của BSCNN (2,3,4,5,6) = 60.
Số đó có thể là : 61, 121, 181, 241, 301, 361. Căn cứ theo điều kiện là N 7 nên ta có N = 301
	9. Tìm hai số biết tổng của chúng là 288 và USCLN của chúng là 24.
	Giải:
	Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử ). Ta có a + b = 288 và (a,b) =24. Vì 24 là ƯSCLN của a và b nên ta có thể viết a = 24a,, b = 24 b, trong đó a, và b, là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và . Do đó :
12 chỉ có thể là tổng của hai cặp số nguyên tố cùng nhau: 1 và 11, 5 và 7.
Hai số phải tìm là : 24 và 264, 120 và 168.
.
	10. Tìm hai số biết tích của chúng là 4320 và BSCNN của chúng là 360.
	Giải:
	Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử ), gọi d = (a, b) nên a = a’.d, 
b = b’.d trong đó (a’,b’) = 1. Ta đã biết:
	[a,b] = . Từ đó ta có a.b = a’.b’.d2 và [a,b] = a’b’d.
Theo đầu bài, ta suy ra: 
Đảo lại, nếu (a’,b’) = 1 và a’.b’ = 30 thì các số a = a’.12 và b = b’.12 có tích bằng 4320 và có BCNN là 360.
	Vậy chỉ cần tìm hai số a’. b’ nguyên tố cùng nhau 
a’
b’
a
b
1
2
3
5
30
15
10
6
12
24
36
60
360
180
120
72
	Vậy các cặp số phải tìm là : 12 và 360, 24 và 180, 36 và 120, 60 và 72.
.
	11. Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu?
	Giải:
	Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: 
A = 4q1 + 3
	 = 17q2 + 9 
	= 19q3 + 13	 (q1, q2, q3 )
Nếu ta thêm vào số đã cho 25 thì ta lần lượt có:
	 A + 25 = 4q1 + 3 + 25 = 4.(q1 + 7)
	= 17q2 + 9 + 25) = 17.(q2 + 2)
	= 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2)
Như vậy A + 25 đồng thời chia hết cho 4, 17, 19. Nhưng 4, 17, 19 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau, suy ra A + 25 chia hết cho 4.17.19 = 1292.
	Vậy A + 25 = 1292.k	(k = 1, 2, 3, 4,.). 
Suy ra A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267.
Do 1267 < 1292 nên 1267 là số dư trong phép chia số đã cho A cho 1292.
	12. Tìm hai số biết hiệu giữa BSCNN và ƯSCLN của chúng bằng 18.
	Giải:
	Gị hai số phải tìm là a và b, ƯSCLN của a và b là d. Ta có a = a’.d; b = b’.d (a’ và b’ là hai số nguyên tố cùng nhau). BCNN của a và b là a’b’d. Theo đầu bài ta có: a’b’d – d = 18.
	(a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ = .
	Vì a’b’ là số tự nhiên nên d phải là ước của 18. Không mất tính tổng quát, ta giả sử 
d
a’b’
a’
b’
a
b
1
19
19
1
19
1
2
10
10
5
1
2
20
10
2
4
3
7
7
1
21
3
6
4
4
1
24
6
9
3
3
1
27
9
18
2
2
1
36
18
.....................................................
	13. Tìm tất cả các số lớn hơn 10000 nhưng nhỏ hơn 15000 mà khi chia chúng cho 393 cũng như khi chia chúng cho 655 đều được số dư là 210.
	Giải:
	Gọi số phải tìm là A. Theo đầu bài ta có: 10000 < A < 15000	(1)
	A = 393q1 + 210	(2)
	A = 655q2 + 210	(3)	(q1, q2 N).
	Từ (2) và (3) ta suy ra A – 210 chia hết cho 393 và 655 tức là A – 210 chia hết cho [393,655] = 1965.
	Do đó A – 210 = 1965 q (q N), nên A = 1965q + 210
	Từ (1) suy ra q chỉ có thể bằng 5, 6, 7.
	Với q = 5 thì A = 1965.5 + 210 = 10035.
Với q = 6 thì A = 1965.6 + 210 = 12000.
Với q = 7 thì A = 1965.7 + 210 = 13965.
	Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965.
	14. Cho các số tự nhiên khác 0 là a, b, c sao cho:
 p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b.
	Chứng minh rằng hai trong các số p, q, r phải bằng nhau.
	Giải:
	Trong ba số tự nhiên a, b, c phải có ít nhất hai số cùng tính chẵn, lẻ. Giả sử hai số đó. Vì bc cùng tính chẵn lẻ với b nên p = bc + a chẵn, nhưng p lại là số nguyên tố, do đó p = 2, suy ra b = a = 1. Khi đó q = ab + c = 1 + c = ca + 1 = ca + r. Nếu hai số cùng tính chẵn lẻ là a và c hoặc b và c thì cũng lý luận tương tự, ta suy ra trong ba số nguyên tố p, q, r phải có hai số bằng nhau.
..
C: PHÂN SỐ
I. Các khái niệm cơ bản:
	* 
Các số tự nhiên đều có thể coi là phân số có mẫu số bằng 1.
	* 
Các phân số khi chưa tối giản đều có một phân số tối giản bằng nó.
II. Tính chất cơ bản:
	. Ta áp dụng t/c cơ bản này để rút gọn phân số.
	 	với n có thể là UCLN của a và b (rút gọn một lần để được phân số tối giản) hoặc n có thể là một trong các ước của a và b (rút gọn nhiều lần).
III. Các cách so sánh hai phân số:
	1). Qui đồng tử hay mẫu số:
	a. Nếu hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số ớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
	b. Nếu hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
	2). Phân số phần bù đến đơn vị:
	Hai phân số đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phân số phần bù đến đơn vị của phân số nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số bằng nhau).
3). Phân số trung gian thứ 3: Thông thường có hai cách sau:
	a. Chọn một phân số trung gian thứ ba có cùng tử số với một trong hai phân số đã cho, cùng mẫu số với phân số còn lại.
	b. Chọn một phân số trung gian thứ ba thể hiện mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của hai phân số.
IV. Bài tập áp dụng:
1. So sánh hai phân số sau: 
	Giải: 
	Ta chọn phân số 
Ta lại có: .
..............................................................
	2. So sánh hai phân số: 
	Giải:
	Ta thấy 59 gấp gần 4 lần 15; 97 gấp hơn 4 lần 24.
Ta có: 
	Từ (1) và (2) 
..............................................................
	3. Cho phân số Cùng thêm m đơn vị vào tử số và mẫu số thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ?
	Giải:
	Cách 1: 	Nếu a < b thì: 
Khi đó : . So sánh 
	Vậy: 
	Cách 2:	Qui đồng mẫu số: MSC là b(b + m)
 Cách 3:	 Nếu a < b thì am < bm 
	=> ab + am < ab + bm
	=> a(b + m) < b(a + m)
	=> 
.
	4. Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để 
	Giải:
	Vì n là số cần tìm có cả ở tử số và mẫu số nên cần biến đổi thành tổng các phân số sao cho n chỉ còn ở tử hoặc mẫu số.
	.
Muốn hay 21 và n – 2 là nguyên tố cùng nhau, mà 21 chia hết cho 3 và 7 nên (n – 2) không chia hết cho 3 và 7.
	Vậy nếu n .
..
Với giá trị nào của số tự nhiên a thì:
 	Giải:
	Biết rằng có giá trị lớn nhất khi tử số a không đổi, mẫu số b là nhỏ nhất
	Vậy cần biến đổi 
Muốn có giá trị lớn nhất thì ta cần tìm với giá trị nào của a để có giá trị lớn nhất.
	Giá trị nhỏ nhất của a để phép trừ 4a – 13 thực hiện được là a = 4. Khi đó .
	6. Tính giá trị của phân số: 
	Giải:
Ta thấy rằng tử và mẫu của mỗi phân số đều là tổng của bốn số hạng, mỗi số hạng đều là tích của ba thừa số. Ta có:
= 
= 
..
	7. Tìm phân số tối giản biết giá trị của nó không thay đổi khi cộng tử số với 6 và mẫu số với 8.
	Giải:
	Gọi phân số cần tìm là Theo đầu bài ta có: 
	A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b => 
	Vậy phân số đã cho là .
	8. Cho phân số 
	Giải:
	Giả sử . Suy ra (a + b) chia hết cho d và b chia hết cho d nên (a + b) – b chia hết cho d do đó a chia hết cho d. Điều đó có nghĩa là a và b cùng có UC là d khác 1, tức là phân số 
	Vậy 
	9. Chứng minh rằng phân số sau tối giản với n là số tự nhiên lớn hơn 0:
	Giải:
	Giả sử a là một số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 0, phân số không tối giản thì ƯCLN (8n + 5, 6n +4) = d > 1. Suy ra (8n + 5) d và (6n + 4) d. Do đó [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] d, mà [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] = 1 d vô lý.
	Vậy 
 	10. Tìm tất cả các số tự nhiên n lớn hơn 0, để có thể rút gọn được?
	Giải:
	có ƯCLN là d > 1, ta được (4n +5) d và (5n + 4) d, do đó (20n + 25) d (1)
 và (20n + 16) d	(2). 
	Từ (1) và(2) ta được 9 d, vậy nếu phân số rút gọn được thì tử số và mẫu số chia hết cho 3. Vì (5n + 4) và (4n + 5) chia hết cho 3 nên (n – 1) 3 hay n = 3k + 1 (k 0).
.
	11. Tìm tất cả các số tự nhiên n để: 
	Giải:
	.
Muốn là số tự nhiên thì n – 2 phải là ước của 3, do đó n – 2 = 1 hoặc
n – 2 = 3. Vậy n = 3 hoặc n = 5. 
	12. Hãy chứng tỏ rằng: .
	Giải:
	Ta thấy từ Tất cả các phân số trên đều có tử số là 1. Ta có thể nhóm các phân số thành một nhóm rồi dựa vào kiến thức so sánh các phân số có tử số giống nhau.
	Vậy: 
= 
Vì 
	Ta lại có: 
	= 
Từ (1), (2), (3) ta được: 
..
	13. Tính giá trị của biểu thức:
 S = 
	Giải:
	Biến đổi ở phân số dạng tổng quát ta có: 
Áp dụng kết quả này vào bài tập đã cho ta có:
Cộng từng vế ta được:
..........................................................
	14. Cho hai phân số 
	Giải:
	 . Vì nên mỗi phân số nhân với chính bản thân nó 4 lần ta được:
	 	(1)
	Mà 	(2)
	Từ (1) và (2) ta có 
	15. Hãy chứng tỏ rằng nếu .
	Giải:
	Từ 
	Từ 
	Từ