5 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

đề 1
Câu 1 ( 2 điểm )
 5.415.99 - 4.320.89
 a) Tính ắắắắắắắắắắ
 5.29.619 - 7.229.276
 b) Tính tổng 
 3	 3 3
 A = ắắ + ắắ + ... + ắắ
	2.5 5.8 17.20
Câu 2 ( 2,5 điểm )
 a) Tìm số tự nhiên n sao cho 2n + 7 chia hết cho n + 1
 b) Tìm các số nguyên tố p sao cho p + 10 ; p + 14 là các số nguyên tố.
Câu 3 ( 2, 5 điểm ) 
 2n + 5 
 a) Tìm số n ẻ Z để phân số ắắắ là số nguyên 
 n + 1
 b) Số sách ở ngăn A bằng 2/3 số sách ở ngăn B. Nếu chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thì ngăn A bằng 3/7 số sách ở ngăn B.
 Tìm số sách mỗi ngăn
Câu 4 ( 2 điểm ) 
 Cho D ABC điểm D nằm giữa A và C , điểm E nằm giữa A và B, các đoạn thẳng BD, CE cắt nhau tại K, nối DE . Tính xem có bao nhiêu D có trong hình vẽ.
Câu 5 ( 1 điểm )
 Tìm số nguyên lớn nhất, nhỏ nhất biết rằng
 1996 < ẵx + 2 ẵ < 2000 
đáp án đề 1
 Câu 1:(1điểm) 
 5.230.318 - 22.320.227	 229.318(5.2 - 9)
 a) ắắắắắắắắắ = ắắắắắắắ
	5.29.219.319 - 7.229.318 228.318(15-14)
 2.1
 = ắắ = 2 
	1
 b) (1đ): Tính tổng 
 3 1 1
 ắắ = ắ - ắ
 2.5 2	5
 3 1 1
 ắắ = ắắ - ắắ
 5.8	 5 8
	....
	 3 3 3 1 1 1 1 1 1
 Vậy: ắ + ắ + ... + ắắ = ắ - ắ + ắ - ắ + ... + ắ - ắ
 2.5 3.8 17.20 2 5 5 8 17 20
	1 1 9
 = ắ - ắắ = ắắ
	 2 20 20
Câu 2 
 a) ( 1 điểm ) 2n + 7 chia hết cho n + 1 
 ị 2n + 7 - 2( n+ 1) chia hết cho n + 1
 ị 2n + 7 - 2n -2 chia hết cho n + 1
 ị 5 chia hết cho n + 1
 ị n + 1 là ước của 5 ị n + 1 = 5 ị n = 4 
	 n + 1 = 1 ị n = 0 
 Vậy khi n = 0 , n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n +1 
 b) ( 1, 5 điểm)
 vì 10.14 là chẵn ị p phải lẻ thì p + 10 , p +14 là nguyên tố
 với p = 3 ta có p + 10 = 13 nguyên tố 
 p + 14 = 17 nguyên tố 
 với p = 3k + 1 ta có p + 10 = 3k + 11 không chia hết cho 3 nguyên tố
 p + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3 là hợp số 
 với p = 3k + 2 ta có p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 là hợp số 
 p + 14 = 3k + 16 không chia hết cho 3 nguyên tố 
Vậy với p = 3 là số nguyên tố duy nhất sao cho p + 10 , p +14 là nguyên tố 
 Câu 3 
 2n + 15
 a) ( 1, 5 điểm) Tìm n ẻ Z để ắắắ là số nguyên 
 n + 1
 ta có = + để là số nguyên thì phải là số nguyên tức là : n + 1 là ước của 13 ( ước nguyên ) của 13 là: 
±1, ±13
do đó 
 n + 1 = 1 ị n = 0
 n + 1 = -1 ịn = - 2
 n + 1 = 13 ị n= 12
 n + 1 = - 13 ị n = - 14
Vậy các giá trị cần tìm là: n = ớ0, -2, 12, 14ý
 b) ( 1điểm ) Lúc đầu ngăn A = (Tổng số sách )
 Tổng số sách hai ngăn là: 3: = 30 quyển 
 Ngăn A có = 12 quyển 
 B có 30 - 12 = 18 quyển 
Câu 4 ( 2 điểm)
DABC D AED D AEC D ABD D DEC D DEB
DDEK D DKC DDBC D EBC D EBK D BKC
Câu 5 ( 1 điểm )
 đặt A = ẵ x+ 2 ẵta có 1996 < 2000 
 ( 0, 5 điểm) số nguyên A nhỏ nhất lớn hơn 1996 là 1997 nên 
 ẵ x+ 2 ẵ= 1997 
với x + 2 =± 1997 ị x= 1995 
 x = - 1999
 A nhỏ nhất nên x nhỏ nhất ị x = - 1999
 ( 0, 5 điểm)
 Số nguyên A lớn nhất nhỏ hơn 2000 là 1999 nên 
 ẵ x+ 2 ẵ= 1999 với x + 2 = ± 1999 ị x= 1997 
 x = -2001
 A lớn nhất suy ra x lớn nhất suy ra x= 1997
Vậy số nguyên lớn nhất là 1997, số nguyên nhỏ nhất là - 1999 t/m đk
Đề 2
Câu hỏi:
Bài 1 (2,5đ)
a) Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + ... + 2001 + 2003
b) Tìm số nguyên x thoả mãn | 2x - 2| = x + 18
Bài 2 (1,5đ)
Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b N). Chứng minh rằng 10 a + b chia hết cho 13.
Bài 3 (3đ)
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
	2n + 3 và 4n + 8
b) Tìm số tự nhiên biết rằng 260 chia cho số đó dư 20 ; 350 chia cho số đó dư 30.
Bài 4 (3đ)
a) Chứng tỏ rằng phân số là phân số tối giản với mọi n ẻ N.
b) Tìm phân số bằng phân số . Biết tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6.
Đáp án đề 2
Bài 1 (2,5đ)
a) Tính được tổng S có: (2003 - 1) : 2 + 1 = 1002 
Vậy S = ( 1 + 2003 ) . 1002 : 2 = 	(0,5đ)
	= 1004004	(0,5đ)
b) (1,5 điểm)
	| 2x - 2 | = x + 18
suy ra 2x - 2 = x + 18	(0,25đ)
	2x - x = 18 + 2 => x = 20	(0,25đ)
Hoặc là: 2x - 2 = - ( x + 18 )	(0,25đ) 
	 3x = - 16 	=> x = 	(0,5đ)
Vậy x = 20 thoả mãn đề bài.	( 0,25đ)
Bài 2 (1,5đ)
Đặt a + 4b = x 	;	10a + b = y	(0,25đ)
Biết x 13 cần chứng minh y 13
Xét biểu thức:
	10 x - y = 10 ( a + 4b ) - ( 10a + b )	(0,5 đ)
	 = 10a + 40b - 10a - b 	(0,25đ)
	 = 39 b 13
Như vậy 10 x - y 13	(0,25đ)
Do đó x 13 nên 10x 13 suy ra y 13 	(0,25đ)
Bài 3 (3đ)
a) (1,5 điểm)
Gọi d là ƯCLN (2n + 3 ; 4n + 8)	(0,5 đ)
=> (4n + 8 ) - 2 ( 2n + 3 ) 	(0,25 đ)
= 4n + 8 - 4n - 6 = 2 d	(0,25đ)
Do d là ước của số lẻ 2n + 3 nên d = 1	(0,5đ)
b) (1,5 điểm)
Gọi số chia phải tìm là a (a ẻ N* ) 	(0,25đ)
Theo bài ra ta có: 
	(260 - 20 ) a và (350 - 30 ) a	(0,5đ)
Nên a là ƯCLN (240 ; 320 ) = 80 	(0,5đ)
Vậy a = 80	(0,25đ)
Bài 4 (3đ)
a) ( 1,5 điểm)	Vì n ẻ N
Gọi ƯCLN (5n + 3 ; 3n + 2 ) = d (d ẻ N và d ≥ 1 )	 (0,25đ)
Ta có 5n + 3 d và 3n + 2 d
Do đó 5 ( 3n + 2 ) d và 3 ( 5n + 3 ) d	( 0,5đ)
Suy ra 5 ( 3n + 2 ) - 3 ( 5n + 3 ) d	(0,5đ)
 Hay 15n + 10 - 15n - 9 = 1 d
Do đó d = 1	(0,25đ)
Vậy phân số là phân số tối giản với mọi n ẻ N.
b) (1,5điểm)
Ta có: = 	(0,25đ)
Các phân số phải tìm có dạng (k ẻ Z ; k ạ 0 ) 	(0,5đ)
Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên:
	-17k + 19k = 6 => 2k = 6 => k = 3	(0,5đ)
Phân số phải tìm là: 	= 	 	(0,25đ)
Đề 3
Bài 1: ( 2 Điểm ) cho tổng Sn = 1 + 23 + 33 + ... +n3
a) Tính S100 ( tổng của 100 số hạng đầu tiên của Sn ).
b) áp dụng tìm x N , biết: 1 + 23 + 33 + ... +x3 = 100.
Bài 2: ( 2 Điểm )
a) Cho n N*, chứng minh rằng: A = 199...98 + 36n 54;( n - 1 chữ số 9)
b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết khi chia a cho 39 thì dư 5, cho 40 thì dư 7.
Bài 3: ( 2 Điểm )
Tìm x nguyên để ( x + 3)( 1 - x ) là số chính phương
Tìm n N để phân số tối giản.
Bài 4: ( 2,5 Điểm )
Cho n điểm A1, A2, ...., An ( n 2). Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
Tính số đường thẳng nếu n = 20
Tìm n biết số đường thẳng kẻ được là 1128
Số đường thẳng kẻ được có thể bằng 2004 không ?
Bài 5: ( 1,5 Điểm )
Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: 2x + 14 = y2.
Cho N = 1.3.5....2001. Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp
2N -1; 2N; 2N +1 không có số nào là số chính phương.
Họ và tên thí sinh: ........................................., SBD: ........
Đáp án đề 3
Bài 1: ( 2 Điểm )
a) ( 1 Điểm ) .Sn = 1 + 23 + 33 + ... + n3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n)2 (0,25 đ)
 = 
 S100 = 1 + 23 + 33 + ... + 1003
 = ( 1 + 2 + 3 + ... + 100)2 = = (0,5 đ) 
 =(50. 101)2 = 50502 = 25502500. (0,25 đ)
b) ( 1 Điểm ) 
 Ta có: 1 + 23 + 33 + ... + x3 = 100 ( 1 + 2 + 3 + ... + x)2 = 100 (0,25 đ)
 mà x và x+ 1 là hai số (0,5 đ)
tự nhiên liên tiếp suy ra x = 4. (0,25 đ)
Bài 2: ( 2 Điểm ).
a) ( 1 điểm ) A = 199..98 + 36n + 2.10n - 2 + 36n = 2( 10n -1) + 36n (0,25 đ)
A = 2.99....9 + 36n = 18( 11...1) - 18n + 54n = 18( 11...1 - n) + 54n (0,5 đ)
ta có: 11...1 - n 3 18( 11...1 - n ) 54 A 54. (0,25 đ)
b) ( 1 điểm ) Theo đề bài ta có: a = 19k +5 và a = 40q + 17 ( k, q N ) (0,25 đ)
suy ra 19k = 40q + 12 19 40q + 12 19 2q + 1219 2(q + 6) 19 
( m N ) (0,5 đ)
suy ra q+6 19 q = 19m +13 a = 760m + 537 a nhỏ nhất khi m = 0 
 a = 537. (0,25 đ)
Bài 3: ( 2 Điểm )
( 1 đ ) Ta có: ( x + 3 )( 1 - x ) = y2 ( y N )
y2 (1) (0,25 đ)
Lại có: x + 3 > x - 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
( vì x Z ) (0,5 đ)
Kiểm tra và trả lời x (0,25 đ)
b) ( 1 đ ) Gọi d ƯC(18n +3, 21n + 7 ); d nguyên tố.
 Ta có: (0,25 đ)
 lại có: 21n + 7 3 d; và 21n +7 7 (0,25 đ)
 nếu 18n +3 (0,25 đ)
 Vậy để phân số tối giản thì n (0,25 đ)
Bài 4: ( 2,5 Điểm )
( 1 đ ) 
Lập luận đưa đến khẳng định số đường thẳng kẻ được với n điểm là: (0,5 đ)
Với n = 20 số đường thẳng kẻ được là: ( đường thẳng ) (0,5 đ)
( 0,75 đ) Ta có: = 1128 n(n – 1) = 2256 = 48.47 n = 48
( 0,75 đ ) = 2004 n( n – 1 ) = 4008 ( vô lý ) vì tích hai số nguyên liên tiếp không có tận cùng bằng 8. Vậy số đường thẳng kẻ được không thể là 2004.
Bài 5: ( 1,5 Điểm )
a) ( 0,75 đ) Nếu x = 0 thì y2 = 15 ( không thoả mãn )
Nếu x = 1 thì y2 = 16 suy ra y = 4. (0,25 đ)
Nếu x 2 thì 2x chia hết cho 4 nên 2x + 14 chia cho 4 dư 2 (0,25 đ)
suy ra y2 chiacho 4 dư 2
điều này không thể xảy ra vì số chính phương chia cho 4 chỉ có 
số dư là 0 hoặc 1.
vậy ( x = 1; y = 4 ). (0,25 đ)
( 0,75 Ta có: 2N là số chẵn nhưng không chia hết cho 4 
 nên 2N không là số chính phương. (0,25 đ)
N chia hết cho 3 suy ra 2N chia hết cho 3 suy ra 2N - 1 chia cho 3 dư 2 
nên 2N - 1 không là số chính phương. (0,25 đ)
Giả sử 2N + 1 = k2 ( k N ) 2N = ( k - 1 )( k + 1 ) 2 
	k - 1 và k + 1 cùng chia hết cho 2 ( k - 1 )( k +1 ) 4 
2N 4 ( mâu thuẫn ) suy ra 2N + 1 không là số chính phương.
Vậy ba số trên không thể là số chính phương. (0,25 đ)
----------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm như đáp án!
Đề 4
Bài 1: (4 điểm) cho phân số 
a, Rút gọn phân số.
b, Hãy xoá một hạng tử và một số hạng ở mẫu để được một phân số mới có giá trị bằng phân số cũ.
Bài 2: (6 điểm)
a, CMR: (1980m- 1995n)15 với mọi m, n N.
b, Tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 14 là số nguyên tố.
c, Tính tổng: 
Câu 3: (5 điểm)
Có 2 xe ô tô . Xe thứ nhất chạy từ A đến B mất 3 giờ. Xe thứ 2 khởi hành sau xe thứ nhất 1 giờ. Hỏi sau khi xe thứ hai chạy được một giờ thì 2 xe cách nhau mấy phần quãng đường AB.
Câu 4 (5 điểm)
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, xác định tia Oy, Oz sao cho xOy =1200,
 xOz = 500 .
a, Tính yOz ?
b, Vẽ tia Ot là tia đối của tiaOy. Nêu tên các cặp góc kề bù có trong hình vẽ.
c, Tính số đo góc kề bù với xOy .
Đáp án Đề 4
Câu 1:( 4 điểm) đúng mỗi phần 2 điểm.
a, 
b, Có thể xoá số 5 ở tử và số 15 ở mẫu: 
Có thể xoá số 4 ở tử và số 12 ở mẫu: 
Có thể xoá số 6 ở tử và số 18 ở mẫu: 
Câu 2: (6 điểm) đúng mỗi phần 2 điểm.
a, Hiệu ( 1980m- 1995n) 15
b, + Với p = 2 thì p + 10 và p + 14 là hợp số không thoả mãn.
 + Với p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13 là số nguyên tố.
	 p + 14 = 3 + 14 = 17 là số nguyên tố.
 + Với p > 3 p có dạng 6n + 1 hoặc 6n - 1
 * Nếu p = 6n + 1 thì p + 14 = 6n + 15 3
 * Nếu p = 6n- 1 thì p + 14 = 6n- 9 3
Tức là với p > 3 thì hoặc p + 10 là hợp số hoặc p + 14 là hợp số.
Vập p = 3
c, 
Câu 3 (5 điểm)
Khi xe thứ hai chạy được 1 giờ thì xe thứ nhất chạy được 2 giờ ( 0,5 điểm)
Trong 2 giờ xe thứ nhất chạy đựơc quãng đường AB. ( 1 điểm)
Trong 1 giờ xe thứ hai chạy đợc quãng đường AB. ( 1 điểm)
Tổng quãng đường hai xe chạy là: quãng đường AB. ( 1 điểm)
Vậy 2 xe gặp nhau, sau đó chạy cách xa nhau thêm là: quãng đường AB. 
	( 1 điểm)
Câu 4: ( 5 điểm). y z
+ Vẽ đúng ( 1 điểm)
a, Tính đúng yOz ( 2 điểm)
( Vì xOz < xOy nên tia Oz nằm giữa Oy, Ox.
 yOz = xOy - zOx = 1200- 500 = 700 ) O x
b,Các cặp góc kề bù nhau trong hình là:
yOz và zOt; yOx và xOt ( 1 điểm)
c, Tính đúng số đo góc kề bù với xOy ( 1 điểm)
( Kề bù với xOy là xOt : xOy + xOt = 1800xOt = 1800- xOy = 1800- 1200 = 600 )
đề 5
Câu 1 (2điểm) Tính :
51: {112-[5.23 + (14-6)2]}.
1+2+3+4+...+2004.
Câu 2(3 điểm) : Tìm số tự nhiên x biết:
a. 121+(23.3 - 2x):4 =125
 b. 4x-3 + 8.23 = 24.8
 	 c. (x-3)2 - 25: 8 =65: 35 
Câu 3 (2điểm) :
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m thì tích (m +11)(m + 16) luôn là một số chẵn
Câu 4 (2điểm) :
Cho 3 số tự nhiên : ; ; . Biết : và chia hết cho 3
Chứng minh rằng cũng chia hết cho 3.
Câu 5(1điểm) :
Cho A =2+22+23+ ... +22004
 	Chứng minh rằng A chia hết cho 7.
Đáp án đề 5
Câu 1 (2điểm) :
a. 3
b. 1002.2005=2009010 (hoặc ==1002.2005)
Câu 2: (2điểm) :
a. x=4
b. x=6
c. x=9
Câu 3: 
+ Giả sử m là số tự nhiên chẵn => m=2k (k = 0,1,2...). Từ đó ta có: 
(m + 11).(m +16 )= (2k +11).(2k + 16) =(2k +11).(k+8).2 chia hết cho 2
=> (m + 11).(m +16 ) là số chẵn.
+ Giả sử m là số tự nhiên lẻ => m= 2k +1 (k=0,1,2,3...). Từ đó ta có :
(m + 11).(m +16 )= (2k +1 +11).(2k +1+16) =(2k +12).(2k+17) = 2(k+6).(2k+17) chia hết cho 2 .
=> (m + 11).(m +16 ) là một số chẵn .
 	Vậy (m + 11).(m +16 ) là một số chẵn với mọi số tự nhiên m.
Câu 4 :
Xét tổng : ++=100a +10b +c +100b + 10c +a +100c +10a +b
 =111( a + b + c ) chia hết cho 3
Vậy chia hết cho 3
Câu 5:
A =2+22+23+ ... +22004
 =(2 +22+23)+(24+25+26)+...+(22002+22003+22004)
 =2(1+2+22)+24(1+2+22)+...+22002 (1+2+22)
 	 =(1+2+22)(2+24+...+22002)
 =7.(2+24+...+22002) chia hết cho 7
 	Vậy A chia hết cho 7
Đề 6