ĐềThi học sinh giỏi – năm học 2007 - 2008 môn toán 9 – thời gian 150 phút

PGD KRÔNG BÚK
TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG
THI HS GIỎI – Năm học 07-08
Môn Toán 9 – Thời gian 150 phút.
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức 
Bài 2 (3đ) Cho biểu thức
a/ Rút gọn B.
b/ Chứng minh rằng .
Bài 3: (3đ). Với a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a.b = c.d =1.
Chứng minh bất đẳng thức: .
Bài 4 (3đ). Chứng minh rằng:
là số hữu tỷ.
Bài 5 (3đ). Cho ba số x, y, z thỏa mãn 
Hãy tính tổng .
Bài 6 (3đ). Cho . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp . Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tại D.
a/ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp .
b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC. K là hình chiếu vuông góc của C xuống đường thẳng AI. Chứng minh M, N, K thẳng hàng.
Bài 7 (3đ). Cho . Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luôn có diện tích khônh lớn hơn diện tích .
Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích đạt giá trị lớn nhất.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 – Năm học: 07 – 08.
Bài 1 (2đ).
1,5 đ
 	. ĐK: 
Với 0,25đ
	Với 0,25đ
Bài 2 (3đ). a/ Rút gọn biểu thức M ở trong ngoặc ()
2đ
Ta có: 	
(ĐKXĐ: )
b/ Vì 
1đ
Nên 
Mặt khác: nên chia cả 2 vế của (1) cho ta có:
	 và vì nên dấu “=” không xảy ra.
Vậy với .
1đ
Bài 3 (3đ) ta có: 
1đ
1đ
(luôn đúng với )
1đ
Bài 4 (3đ) Ta có:
1,5đ
Mỗi số hạng của C có dạng: Trong đó .
0,5đ
Mà (Vì )
 là một số hữu tỷ C là số hữu tỷ.
Bài 5 (3đ). Theo đề ra ta có 0,5đ
	Nên 	 0,5đ
	 0,5đ
1đ
	Đẳng thức xảy ra 	 
	Vậy 0,5đ.
Bài 6 (3đ)
a/ 
(1)
1,5đ
(T/c góc ngoài tam giác)
Mà 
 là tâm đường tròn ngoại tiếp 
0,5đ
b/ 	
mà
0,25đ
Chứng minh 4 điểm I, N, K, C cùng nằm trên một đường tròn
 (cùng chắn )
Mà (T/c góc ngoài tam giác)
M, N, K thẳng hàng
Từ (3), và (4) 
0,25đ
	B, N, C thẳng hàng	
M, K ở hai nửa mặt phẳng bờ BC
Bài 7 (3đ)
Kẻ 
AH cắt DE tại K
1đ
Đặt AH = h, AK = k
0,75đ
	Áp dụng bất đẳng thức 
	Dấu “=” xảy ra khi 
	 Tổng không đổi thì tích lớn nhất khi 
	Ta có k + h – k = h không đổi 
	 tích k(h – k) lớn nhất khi 
1đ
0,25đ
	 lớn nhất khi tức DE là đường trung bình .